Dificultades en El Aprendizaje Del Calcu PDF
Dificultades en El Aprendizaje Del Calcu PDF
Dificultades en El Aprendizaje Del Calcu PDF
Fernando Hitt
Departamento de Matemática Educativa del Cinvestav-IPN
Département de Mathématiques, Université du Québec à Montréal
Resumen
El objetivo del presente trabajo es el de mostrar algunos problemas de aprendizaje ligados
tanto a profesores de matemáticas como a estudiantes en temas de cálculo. Parte de la
problemática aquí expuesta se refiere a que los alumnos que ingresan por primera vez a un
curso de cálculo, generalmente han tenido un acercamiento intuitivo del infinito, muy
probablemente con aspectos de la “vida real” (p.e. que el universo es infinito), sin haber
reflexionado sobre aspectos propios del infinito en matemáticas; ello dificulta en cierta
medida su comprensión en un contexto matemático. En el aprendizaje del concepto de
límite (fundamental para la construcción adecuada de los conceptos del cálculo) se requiere
un conocimiento sobre los procesos infinitos. Además, si la enseñanza del cálculo se
restringe a sus aspectos algebraicos sin poner atención al uso de representaciones diferentes
a las algebraicas, difícilmente los alumnos llegaran a una comprensión profunda del
cálculo. Es difícil concebir que un alumno pueda entender el cálculo sin haber desarrollado,
por ejemplo, habilidades visuales ligadas a la construcción de conceptos del cálculo. ¿Los
profesores no tienen esos problemas? Incluiremos en este trabajo resultados de
investigaciones realizadas tanto con estudiantes como con profesores de matemáticas.
Introducción
La investigación en educación matemática ha mostrado que existen varios problemas para
el aprendizaje del cálculo dificultando a una gran mayoría de estudiantes, e incluso a
algunos profesores de enseñanza media, el acceso profundo a los conceptos propios del
cálculo. La gran cantidad de tópicos que están íntimamente relacionados en cálculo, y el
manejo pobre de algunos de sus subconceptos, obstaculiza el desarrollo profundo de los
conceptos propios del cálculo, como son, el concepto de función, de límite, de continuidad,
de derivada y de integral. Es decir, los problemas derivados de una concepción pobre del
1
Una versión preliminar ha sido presentada en el undécimo Encuentro de Profesores de Matemáticas del
Nivel Medio Superior. Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo. Morelia, Enero, 2003.
1
“precálculo2” derivará en un mal entendimiento de los procesos infinitos del cálculo y sus
aplicaciones. Ello quiere decir, que además de los problemas para el entendimiento de los
procesos infinitos, hay que añadir los problemas producto de un mal aprendizaje del
precálculo.
Veamos por ejemplo sobre el concepto de función. El problema que tienen los
estudiantes y algunos profesores de enseñanza media (ver Hitt, 1996, 1998) para desarrollar
un entendimiento profundo del concepto de función, es que, generalmente tanto los
estudiantes como algunos profesores se restringen a una manipulación algebraica relativa al
concepto, que produce una limitación en su comprensión. En lo general, la actividad de
conectar las diferentes representaciones de un concepto3, no es considerada por muchos
profesores como tarea fundamental en la construcción del conocimiento matemático y, en
lo particular, las tareas de conversión son minimizadas por parte de los profesores en
relación al concepto de función. Nuestro punto es que las tareas de conversión promoverían
un mejor entendimiento de las funciones y permitirían también el desarrollo de procesos de
visualización.
La visualización matemática tiene que ver con procesos de transformaciones
mentales y producciones en papel, en pizarrón o en computadora, generadas de una lectura
de enunciados matemáticos o de gráficas, promoviendo una interacción entre
representaciones para una mejor comprensión de los conceptos matemáticos en juego.
Desde ese punto de vista, los trabajos de Ben-Chaim et al. (1989), Eisenberg y
Dreyfus (1990), Hitt (1998, 2002), Vinner (1989), Zimmermann y Cunninham (1990),
entre otros, proporcionan elementos de reflexión sobre el papel que juega la visualización
en la comprensión del cálculo.
La literatura suministra ejemplos de experimentación educativa donde se analizan
problemas de aprendizaje que presentan muchos estudiantes e incluso algunos profesores
de matemáticas con respecto a los temas de funciones, límites, continuidad, derivada e
integral de funciones. Muchos de estos problemas son enmarcados en la falta de una
habilidad ligada a la visualización matemática, como veremos en los siguientes apartados
de este capítulo.
2
En algunos países se ha caracterizado lo que se entiende por precálculo que tiene que ver fundamentalmente
con el tratamiento de las funciones desde un punto de vista algebraico y gráfico y de las sucesiones y series
(ver p.e. Viglino & Berger, 1998),
3
La articulación entre representaciones se logra a través de considerar tareas de conversión entre
representaciones, p. e. en el caso de las funciones, la tarea de pasar de una representación gráfica de una
función a su representación algebraica y viceversa.
2
Puesto que el objetivo de este documento es mostrar algunas de las dificultades que
presentan tanto estudiantes como algunos profesores en el aprendizaje del cálculo, a
continuación presentaremos algunos ejemplos relativos a esa problemática.
3
x = edad de Juan.
f(x) = edad del Padre.
Obteniendo los siguientes puntos y, denotándolos por: El profesor pasa de caso discreto
F(x) = {(0, 5) (10, 25) (15, 35) (20, 45)} al continuo sin explicación
Elaborando una gráfica en el sistema cartesiano. de la alguna.
forma:
De tal forma que la gráfica obtenida corresponde a una El profesor se contradice con la
gráfica de una linea Recta a la cual Se le llamara definición de función: “...para
“función lineal” cada elemento del Dominio le
corresponde uno y solo un
De la misma forma observará que para cada valor de x le elemento del Codominio...”
corresponde al menos una de f(x), con lo que se le puede
inducir que corresponde a una función Inyectiva; los Menciona que una función es
valores del D (Dominio) van de uno menor a uno mayor creciente porque “los valores de
de tal forma que decimos que la función es Creciente, y D (Dominio) van de uno menor
como para cada valor que el asignemos a x, existe un a uno mayor”. O sea que para él
valor para f(x), con lo cual la definimos como Continua función creciente está determi-
para ∀ x ∃ f (x) , nada por los valores del dominio
sin tomar en cuenta sus
- continua.
imágenes.
Podremos dejar que el alumno encuentre y grafique
- la analogía de grados Centígrados a grados Farenhai.
Su definición de continuidad la
Graficándola y enunciando una serie de Carateristicas de
considera equivalente a que la
esté ejemplo.
función esté definida en cada
punto.
-“Un movil desarrolla una velocidad de cinco veces su
distancia recorrida, menos cuatro metros en un tiempo
Ambigüedad en el enunciado.
determinado”. etcétera.
4
Como podemos apreciar, el docente quiere presentar un ejemplo ligado “a la vida
real” para introducir el concepto de función lineal. El acercamiento seguido por el profesor,
seguramente producirá una concepción limitada y errónea en el alumno. Proponer ejemplos
ligados “a la vida real” requiere de mucho cuidado por parte del docente. Se recomienda
que se utilicen ejemplos bien desarrollados (ver p.e. Hitt, 2002) que no deriven en
incoherencias como las que el profesor desarrolló. Las aplicaciones de la matemática son
importantes como para proponer ejemplos inconexos que mal formarán a los estudiantes,
corriendo el peligro de que en lugar de llevarlos a un nivel más profundo sobre los
conceptos matemáticos en juego, los volvamos insensibles a incoherencias y
contradicciones lógicas. El profesor parece no percatarse de las contradicciones lógicas en
las que él mismo se encontraba. Tanto desde el punto de vista de la matemática como del
sentido común (¡un padre que a la edad de seis años tenga un hijo de uno!). En resumen,
podemos señalar que,
5
De hecho, en el primer ejemplo, el profesor muestra el segundo obstáculo arriba
mencionado al conceptualizar la función como una noción de función-continuidad como un
solo ente matemático. Tiene una idea intuitiva de la continuidad de funciones, mezclada
con alguna notación que probablemente aprendió años atrás con la definición formal de
continuidad. He aquí un par de ejemplos de otro docente de enseñanza media que presenta
los obstáculos antes señalados relativos al concepto de función (ver Figura 1).
6
Construir tres funciones diferentes f1, f2, f3 de los reales en los reales, tal
que |f1(x)|=|f2(x)|=|f3(x)|=2, para cada x real.
Figura 2
7
Posteriormente, investigadores preocupados por el uso de la tecnología en el aula,
muestran que la idea anterior es mucho más compleja de lo que parece. Por ejemplo, Guin
and Trouche (1998) proporcionan en su estudio el siguiente episodio, ligado al problema de
resolver la ecuación tg ( x) = x , en R. Los autores dicen: “En una clase de 32 estudiantes
(edad 17 años) solamente cuatro estudiantes llegaron a la conclusión de la existencia de
sen (x )
una infinidad de soluciones...” (Figura 3). Referente a la ecuación = 0, en [0, 600],
x
(Figura 4), señalaron lo siguiente: ”Solamente 10% de 40 estudiantes de terminal y de
ciencias a nivel universitario (18 y 19 años respectivamente) respondieron ‘es cero cada
vez que el seno de x se hace cero’”.
Figura 3 Figura 4
8
deducción de lo que ha dicho es : “el límite no puede sobrepasar una marca..., el valor
límite no es alcanzado, puedes estar tan cerca como quieras pero no lo alcanza”
Nuevamente como en los casos anteriores, esta idea de ejemplificar con situaciones
de “la vida real”, va a promover en los estudiantes una concepción errónea que
posteriormente se convertirá en obstáculo.
El profesor introduce diferentes situaciones para el cálculo de límites. Presentamos
uno de sus ejemplos : "…para entender la noción de límite de una función es necesario
trabajar con funciones racionales para ver diferentes casos como el resultado que podría
dar el límite de una función. a) Un número entero, b) un número racional, c) 0/c, con c un
entero, entonces el resultado es cero, d) c/0, c un entero, en ese caso tenemos una
indeterminación, ∞. También, el límite de una función puede dar indeterminaciones como
x2 − 9
0/0=∞.… Por ejemplo f ( x) = cuando "x" se aproxima a -3. Para encontrar el límite
x+3
por medio de una aproximación numérica necesitamos tabular los siguientes datos
x -2.5 -2.9 -2.99 -2.999 -3.001 -3.01 -3.1 -3.5
f(x) -5.5 -5.9 -5.99 -5.999 -6.001 -6.01 -6.1 -6.5
9
inicio de sus explicaciones la idea intuitiva del infinito potencial4 al presentar su tabla,
mostrando la idea intuitiva de “acercarse más y más”. En seguida, con respecto al límite, el
profesor se refiere a un acercamiento por la izquierda y por la derecha concluyendo que el
límite deber ser –6, añadiendo: “...este límite se encuentra tanto a la derecha como a la
izquierda del hueco de la indeterminación”!!! El profesor tiene una idea intuitiva del
concepto de límite algo extraña, ¿qué significa que el límite se encuentre a la izquierda y a
la derecha del hueco? El profesor muestra una seria deficiencia con respecto al
concepto de límite.
Además de esa confusión que trasmite seguramente a sus estudiantes, este profesor
continúa con otra idea que no es conveniente, expresa lo siguiente:
“Las técnicas algebraicas para evaluar límites son las siguientes: a) Cuando el resultado
3
es un entero Lim 2x + 1 debes sustituir directamente el valor de la variable, entonces
x →1
3x + 2
Lim 2 ( 1 ) 3 + 1 = 3, b) cuando el resultado es un número racional Lim el mismo
x →1 x →0 x−6
3 (0 ) + 2 1
proceso como en a) Lim = − . También puedes tener un resultado con (c), (d) y
x →0 0−6 3
0
(e) utilizando un método algebraico para remover la indeterminación como ,
0
x 2 + 2x − 3
Lim Si tu substituyes directamente el valor de la variable
x →1 x2 −1
2
Lim
(1) + 2 (1) − 3 0
= . Para remover la indeterminación antes del proceso al límite debes
x →1 (1)2 − 1 0
2
factorizar Lim
x + 2x − 3 (x + 3)(x − 1) , Lim x + 3 , substituyendo el valor de la
2
= Lim
x →1 x −1 x →1 (x + 1)(x − 1) x →1 x + 1
variable, Lim
(1) + 3 = 4 = 2 . Esta introducción es útil en el estudio de la noción de
x →1 (1) + 1 2
continuidad de una función.”
4
El uso sistemático del concepto de infinito potencial se puede encontrar dentro de los diferentes
trabajos (filosóficos y matemáticos) producidos por los griegos dentro de la denominada “época
de oro” (siglos VI al II a. C.). La idea de infinito potencial surgió de manera natural entre los
filósofos de esa época, permitiendo designar la posibilidad de ir más lejos. El problema del
infinito continuó hasta Kant (1790, § 26) en su “Crítica del Juicio”, donde surge otra idea acerca
del infinito (ahora considerado como ‘infinito actual’): “…La mente atiende ahora a la voz de la
razón, la cual, para todas las magnitudes dadas… requiere totalidad… sin excluir siquiera de
este requisito al infinito, sino que, antes bien, hace inevitable que nosotros consideremos este
infinito… como dado en su totalidad”.
10
Esto nos muestra que una parte de las dificultades que los estudiantes tendrán en el
aprendizaje del concepto de límite, son debidas por la manera como el profesor introduce el
tema. En realidad, el profesor no introduce en ningún momento un proceso al infinito.
Todo lo reduce a una sustitución. Esta idea prevalece a lo largo de los estudios de los
estudiantes y son pocos los que logran sobrepasar el obstáculo.
Por tal motivo, el estudiante tendrá “encima todas las dificultades del mundo”. Unas
que son naturales por la complejidad de la noción de límite, que involucra el uso coherente
de los procesos infinitos, y la otra por las ideas erróneas que recibe por parte del profesor.
Su respuesta fue:
Estudiante : “Bueno, aquí en esta pregunta el límite de una función tiene que ver con... Mi
respuesta es en un punto.”
Estudiante : “Esto es porque si tenemos una función f ( x) = x 2 − 1 cuando x se aproxima
a..., No se, digamos que x sea 2, tenemos que el límite Lim f ( x) = Lim (2) 2 − 1 = 3.”
x →2 x →2
Podemos ver que el estudiante sigue un patrón muy similar al ejemplo del profesor
anterior. La situación se complica en el momento que solicitamos a nuestros estudiantes
resolver un ejercicio no rutinario, en donde lo más seguro es que el estudiante tenga la
necesidad de transitar entre diferentes representaciones para poder resolver el problema.
Para un análisis mucho más detallado de las dificultades en el aprendizaje del límite, les
recomendamos remitirse a Páez (2001).
11
visualización de los conceptos matemáticos” (p. 25). También señalan: “…pensar
visualmente demanda procesos cognitivos más profundos que pensar en forma
algorítmica”, además: “presentaciones no-visuales son utilizadas para comunicar ideas
matemáticas. Esta tendencia se fundamenta en la creencia de matemáticos, maestros, y
estudiantes que las matemáticas no son visuales” (p. 30). En este contexto, los autores
afirman: “De hecho, con respecto al problema nueve [ver en el siguiente párrafo] un
profesor típico de cálculo (quien resultó que había escrito un libro de cálculo) escribió:
f’(-a) =(f(-a))’ = (-f’(a)) = -f’(a).” Como respuesta al problema:
“Dado que f es una función diferenciable tal que cumple que f(-x) = -f(x).
Entonces, para cualquier elemento a dado:
A) f’(-a) = -f’(-a)
B) f’(-a) = f’(a)
C) f’(-a) = -f’(a)
D) Ninguna de las anteriores”
Argumentos:
f’(-a) =(f(-a))’ = (-f’(a)) = -f’(a)
"SIGNO DE
12
Contra-ejemplo: ADVERTENCIA"
3
f(x) = x . Entonces, f’(-1) = f’(1).
Nuevos argumentos:
f ( − a + h) − f ( − a )
f ' (−a) = Lim
h→0 f (a − h)h− f (a)
= Lim [− 1]
h→0 h
f (a + (−h)) − f (a)
= Lim = f ' (a)
h→0 ( − h)
Figura 5
13
que al leer el enunciado no viene a nuestra mente un proceso algebraico a seguir, es
necesario re-interpretarlo y seguramente las diferentes representaciones que evoquemos
al leer el enunciado jugarán un papel fundamental para resolver el ejercicio.
El estudio de Selden et al., de 1989, obtuvo los siguientes resultados a un
cuestionario de cinco problemas no rutinarios: “ni uno solo de los estudiantes de ingeniería
[que aprobaron el curso de cálculo en la Universidad de Tennessee], pudo resolver
completamente alguno de los problemas no rutinarios.” Uno de esos problemas es el
siguiente:
21 19 −1
¿La expresión x + x − x + 2 = 0 tiene raíces reales entre –1 y 0?
¿Porqué sí o porqué no?
21 19 −1
La ecuación x + x − x + 2 = 0 no es una expresión algebraica que pueda evocar
algún procedimiento de entrada. Esto es precisamente el aspecto no rutinario, en la ausencia
de un procedimiento conocido, nos obliga a la búsqueda de diferentes representaciones y
métodos para resolver el problema.
Un procedimiento podría ser el de considerar la función
Figura 6
Al analizar cada uno de los problemas propuestos por Selden et al. (1989, 1994),
parece mostrar que los estudiantes no pudieron resolverlos por no haber desarrollado una
habilidad ligada a la visualización matemática. Ellos señalan: “Esto sugiere que los
métodos tradicionales de enseñanza del cálculo son insuficientes en la preparación de
buenos estudiantes para aplicar el cálculo creativamente”.
14
Precisando nuestro punto de vista, el fracaso de estos estudiantes de ingeniería se
debe a la carencia de articulación entre representaciones, provocando que el estudiante
“camine a ciegas” en el sistema algebraico, desarrollando algoritmos sin una idea clara del
objetivo final perseguido. La resolución de los problemas no rutinarios propuestos por
Selden et al., tiene que ver con la visualización matemática, con la articulación coherente
de representaciones ligadas al contexto de cada uno de los problemas.
Enfaticemos algunas de esas ideas ¿Qué entendemos por un problema no-rutinario?
De acuerdo a lo comentado antes, entenderemos por un problema no-rutinario aquél que
al leer el enunciado no viene a la mente un algoritmo predeterminado, o una idea a
desarrollar para resolverlo. Entonces, si la lectura del enunciado no me indica qué tipo de
algoritmo o camino seguir, es necesario interpretarlo y eventualmente recurrir a una
representación diferente.
Veamos otro de los problemas de Selden et al., (1989), que nos permitirá precisar
nuestro punto de vista.
⎧⎪a x , si x ≤ 1
Sea f (x ) = ⎨ 2 . Encuentre a y b de modo
⎪⎩b x + x + 1, si x > 1
que f(x) sea derivable en 1.
Si analizamos el enunciado del problema, interpretándolo gráficamente, lo que se
requiere es la construcción de una curva asociada a una función, de tal manera que en x = 1
se puedan unir una parte de una recta con una parte de una parábola. También es necesario,
según las condiciones señaladas en el enunciado, que esa unión se realice en forma “suave”
(libre de picos, ver Figura 7, Hitt, 1997).
15
f (x + h) − f (x ) f (x + h ) − f (x )
lim = lim+
h→ 0− h h→ 0 h
De donde a = 2b + 1
para x = 1, a = b + 2
por tanto, b = 1, a = 3
Figura 7
16
Función auxiliar (dibujo superior):
f (b) − f (a )
g( x ) = ( x − a ) + f (a ) − f ( x )
b−a
Figura 8
Analizando las gráficas de la Figura 8, podemos inferir que la función auxiliar se puede
construir de dos maneras con la ayuda de una función lineal y(x) que representa en un
primer caso a la recta que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)) con pendiente
f (b) − f (a )
. Esta tiene que ver con la construcción de la figura superior derecha para
b−a
aplicarle el Teorema de Rolle. Para tal construcción se tiene que la función auxiliar es
g(x) = y(x) - f(x) ; En el segundo caso (Figura 8 inferior derecha), podemos construir la
f (b) − f (a )
función auxiliar con la recta que tiene pendiente , y que pasa por el punto
b−a
(a, 0). Estas construcciones geométricas son de suma importancia, dado que recordando
alguna de las dos ideas geométricas, lo que sigue son procesos algebraicos rutinarios. ¿Qué
es más fácil? ¿Recordar de memoria la expresión algebraica de la función auxiliar g(x) o
reconstruirla a través de una interpretación geométrica?
17
El estudiante aplicara el teorema fundamental del calculo (estableciendo la relacion entre
la diferencial y la integral).
Podremos decir que la Integral es conocida como la primitiva de una Función establecida,
siendo está función la Derivada.
Por lo tanto la Diferencial es una secuencia de la Integral.
Analizando ejemplos que se han empleado en temas anteriores. Introduciendo la relación
entre la deribada y la Integral en problemas referidos al calculo de Areas de una
parábola, calculo de la velocidad de un movil, etc.
Ejemplo Sea f(x) = x2
f‘(x) = 2x dy/dx = 2x dy = 2x dx
Si graficamos la primera función de -3 ≤ x ≤ 3, [-3, 3], encontramos que
Podremos observar que se trata de una parabola con vertice en el origen y simetrica, la
derivada de está función es 2x por lo tanto la Integral sera f ( x ) = ∫ 2 xdx podremos
observar que del Intervalo de [-3, 3] se podran formar los subIntervalos de [-3, 0],[0, 3] ;
3 0 3
entonces : ∫ 2 x dx= ∫ 2 x dx+ ∫ 2 x dx . Por tal motivo estamos encontrando una serie de
−3 −3 0
Areas
3 2 3 2 2
∫−3 2 x dx = x ] −3 = [3 ] − [−3 ] = 9− 9 = 0 Entonces
3 0 3
2 ∫ x dx = 2 ∫ x dx + 2 ∫ x dx= x 2 ]−03 + x 2 ] 30 = 0 2 − (−3) 2 + (3) 2 − (0) 2 = − 9 + 9 = 0 Esto es lo
−3 −3 0
18
sombreada del lado izquierdo del eje vertical; y positiva a la derecha. No se percata que
está calculando la integral de la función 2x en el intervalo de –3 a 3 y no la integral de una
función cuadrática. Probablemente, la asignación establecida le permite momentáneamente
mantener un equilibrio entre su resultado numérico y su representación gráfica (Figura 9).
Figura 9
Figura 10. Las contribuciones m(x) dx a la integral serán positivas cuando m sea positiva
pero serán negativas cuando m sea negativa.
19
Otro ejemplo que muestra la fuerza de esa idea intuitiva de “área bajo la curva” pero
que provoca problemas de aprendizaje, se refleja en lo que el autor (Leal, 1995, p. 14)
criticando las “fallas” de un paquete señala: “Por ejemplo, la integral de una cosenoide
Cos (x), definida en el intervalo de 0 a 2*Pi, entrega un valor cero. Al margen de esta falla,
Calcula es bastante estable en las cercanías de singularidades.”
En realidad el problema es mucho más grave de lo que pudiera parecer un hecho
aislado. Veamos otro ejemplo, de un grupo de estudiantes de 3er semestre de una carrera de
economía de un prestigiado instituto del área metropolitana. El profesor del curso de
matemáticas señaló a sus alumnos: “En mi curso no está permitido el uso de calculadoras,
aquí vamos a hacer matemáticas...”. Pareciera que a través de esta afirmación, pudiéramos
predecir el tipo de enseñanza del docente. En efecto, los estudiantes señalaron que en
general su acercamiento de enseñanza está muy restringido al contexto algebraico. El
ejemplo proporcionado por sus alumnos es el siguiente. A mitad del curso el profesor
propuso el siguiente problema a sus estudiantes:
2
dx
Calcular: ∫0 x −1
1 1 1
x x x −1
Figura 11
20
2 1−ε 2
dx dx dx
∫ = Lím ∫ + Lím ∫ε
0 x −1 ε →0
0 x −1 ε →0
1+ x −1
2
dx
Entonces, ∫ ( )
= ! = Lím − 2 ε + 2 + Lím 2 − 2 ε = 4 .” ( )
0 x −1 ε →0 ε →0
Figura 12
Solamente una profesora de entre los nueve pudo resolver el problema, sin embargo,
al intentar apoyarse en una gráfica, no hubo coherencia entre su proceso algebraico (bien
desarrollado) y la gráfica incorrecta (ver Figura 13) que realizó. Es notorio que esta
profesora le da mayor peso a sus procesos algebraicos no importa que obtenga algo
“extraño” en sus representaciones gráficas.
Figura 13
21
Continuando con nuestra experimentación, le solicitamos a otra profesora si podría
resolver el problema. El resultado fue el siguiente:
2
dx
Entrevistador: Calcular ∫
0 x −1
Profesora: La integral es el área bajo la curva… entonces, ¿qué puedo hacer para eliminar
el valor absoluto? Inicio resolviendo el problema desde un punto de vista
algebraico… en este caso debo encontrar una fórmula para calcular la
integral...
⎧ x − 1 si x − 1 ≥ 0
x − 1 = ⎨
⎩−( x − 1) si x < 0
2
dx u = x − 1⎫ 2 −1/ 2 2 2
x −1 ≥ 0 ; ∫ ; ⎬ ⇒ ∫ u dv = 2 u1/ 2 = 2 ( x − 1) 0 → 2 (1 + 1) = 4
0 x − 1 dv = dx ⎭ 0 0
2 − x + 1< 0
u = − x + 1⎫ 2 2
dx
∫ = ⎬ ⇒ − ∫ u1 / 2 dv = − 2 u1 / 2 = −2 (2 ) = −4
0 x − 1 − x < 0 dv = −dx ⎭ 0 0
2
dx
Entrevistador: Recuerda que la pregunta original es: Calcular ∫
0 x −1
Profesora: Bueno,… la integral está en dos partes, y deberá ser cero, pero... Necesito una
gráfica [ver Figura 14] antes de proporcionar mi respuesta final...
Figura 14
22
Figura 15
2 1−ε 2
dx dx dx
Profesora: ∫ = ∫ +∫ ; Ahora entiendo qué hacer, calcular la
0 x −1 0 x −1 1 x −1
integral utilizando epsilon y entonces el límite…
La representación gráfica de la calculadora y el resultado del cálculo provocó en
esta profesora un cambio total que la situó en un camino más cercano a la resolución del
problema desde un punto de vista algebraico. Es notorio que todavía en esa última
aproximación cometió errores en la igualdad. En este contexto, una pregunta pertinente es:
¿Qué tan conveniente es el uso de tecnología en la resolución de problemas?
Reflexiones finales
Las investigaciones reportadas muestran la necesidad de utilizar diferentes representaciones
en forma coherente que nos permita abordar los problemas en forma más eficiente. Los
estudiantes manipulan preponderantemente las representaciones algebraicas, pero si
cometen errores, no pueden reconocer en dónde está el error; y debido a su tendencia a
utilizar las representaciones gráficas de manera muy limitada, no cuentan con
consideraciones adicionales que les puedan servir de apoyo para darles mayor seguridad a
sus procesos algebraicos o proporcionarles una señal de peligro en caso de error.
Por tanto, es importante promover la visualización matemática utilizando diferentes
representaciones y promoviendo un uso racional de las nuevas tecnologías que permitan dar
un significado concreto a las nociones matemáticas. Con ello, se favorecerá la construcción
de conceptos a través de la coordinación, libre de contradicciones, de las diferentes
representaciones relacionadas con dichos conceptos.
La mayoría de profesores de matemáticas son renuentes a la utilización de
calculadoras graficadoras y computadoras porque tienen la creencia que su uso inhibirá las
habilidades operatorias de los estudiantes. Sin embargo, dado la dificultad tan grave del
23
aprendizaje del cálculo, sería conveniente analizar su contribución a la solución de este
problema. La pregunta obligada si estamos a favor del uso de la tecnología en el aula de
matemáticas es qué actividades proponer para utilizar la tecnología de manera que
promueva la construcción de conceptos y una mejor actuación en la resolución de
problemas.
El desarrollo de habilidades ligadas a la visualización matemática podrá impulsar a
los estudiantes a un nivel más profundo de los conceptos fundamentales del cálculo. El
diseño de nuevos materiales es imperativo para este desarrollo integral, y no como hasta
ahora se ha realizado, en donde se enfatiza en demasía un solo tipo de representación, a
saber el algebraico. Es necesario romper con esa idea y proporcionar al estudiante una
noción más rica que le permitan realizar tareas más profundas cuando está aprehendiendo
conceptos del cálculo.
Referencias
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Enough. College Mathematics Journal 19(March), pp. 177-183.
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