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S4 - PPT - Función Exponencial
S4 - PPT - Función Exponencial
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TRANSFORMAR VIDAS
MATEMÁTICA BÁSICA
FUNCIÓN EXPONENCIAL
temáticos.
Departamento de
Ciencias
¿SABES QUÉ TIENEN EN COMÚN ESTAS EMPRESAS?
1.- Definición
2.- Interpretación Gráfica
3.- Aplicaciones
5.- Metacognición
6.- Referencia Bibliográfica
1. FORMA GENERAL
Regla de correspondencia:
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥
Observación:
En particular si la base es 𝑒 = 2.7182 … la función:
𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥
se denomina función exponencial natural.
2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
𝑎>1 0<𝑎<1
(0;1) (0;1)
La gráfica es: Creciente y cóncava hacia arriba Decreciente y cóncava hacia arriba
Asíntota: 𝒚 = 𝟎
3. APLICACIONES
3.1. CRECIMIENTO POBLACIONAL
Las curvas de crecimiento vegetativo de una población, establecido como la diferencia entre
nacimientos y muertes para un intervalo de tiempo dado, siguen una ley exponencial. Siendo Po la
población inicial e k el índice de crecimiento anual en tanto por uno, y se considera una tasa de
crecimiento continuo, la población seguirá la ley exponencial:
𝑃 𝑡 = 𝑃𝑜 . 𝑒 𝑘𝑡
Donde:
P(t) : Número de individuos en el momento t.
Po : número de individuos en el momento inicial.
k : constante de crecimiento.
t : Tiempo
3. APLICACIONES
3.1. CRECIMIENTO POBLACIONAL
Uno de los principales problemas que enfrentan las zonas turísticas del mundo es el crecimiento
poblacional que se comporta como un modelo de función exponencial y que opera en deterioro de las
reservas naturales del planeta.
Ejemplo
En el año 2 015 la población de un pueblo era de 7 000 habitantes. Si la tasa
relativa de crecimiento es de 4% al año, ¿cuál será la población aproximada en
el 2 020, suponiendo que la tasa de crecimiento es exponencial? Grafique y
Determine su dominio y su rango
Resolución: 𝑃 𝑡 = 𝑃𝑜 . 𝑒 𝑘𝑡
𝑷𝒐 = 7 000 𝑃 5 = 7000 . 𝑒 0,04(5)
𝑘 = 4 % = 0,04 𝑃 5 = 7000 . 𝑒 0,2
𝑡 = 5 años 𝑃 5 = 8549,82
Remplazando los datos en la Luego, en el 2 020 la población
ecuación de crecimiento: será de 8 550 habitantes
aproximadamente.
3. APLICACIONES
3.1. CRECIMIENTO POBLACIONAL
𝑃 𝑡 = 𝑃𝑜 . 𝑒 𝑘𝑡 𝑃 𝑡 = 𝑃𝑜 . 𝑒 𝑘𝑡 𝑃 𝑡 = 𝑃𝑜 . 𝑒 𝑘𝑡
Para t = 0 Para t = 1 Para t = 2
𝑃 𝑡 = 𝑃𝑜 . 𝑒 𝑘𝑡 𝑃 𝑡 = 𝑃𝑜 . 𝑒 𝑘𝑡 𝑃 𝑡 = 𝑃𝑜 . 𝑒 𝑘𝑡
Para t = 3 Para t = 4 Para t = 5
T(tiempo en años) 0 1 2 3 4 5
M(t)(Monto) 7000 7286 7583 7892 8215 8550
3. APLICACIONES
3.1. CRECIMIENTO POBLACIONAL
T(tiempo en años) 0 1 2 3 4 5
M(t)(Monto) 7000 7286 7583 7892 8215 8550
7892
𝑅𝑎𝑛𝑓 𝑥 = ሾ7000, +∞ۧ
7583
7286
7000
0 1 2 3 4 5 t: tiempo en años
3. APLICACIONES
3.1. CRECIMIENTO POBLACIONAL
𝑃 20 = 138 750
𝑄 𝑡 = 0,56 𝑒 0,038𝑡+3,19
donde t representa el tiempo (en días) desde el momento en
que aparece el fenómeno de El Niño.
a) Cuando llegó el fenómeno de El Niño, ¿cuánto era el caudal
del río Chancay?
b) Después de 10 días de empezado el fenómeno, ¿cuánto fue
el caudal del río?
3. APLICACIONES
3.2. AUMENTO DEL CAUDAL DE UN RÍO
a) Cuando llegó el fenómeno de El Niño, el tiempo fue: t = 0
Entonces: 𝑄 𝑡 = 0,56 𝑒 0,038𝑡 + 3,19
𝑄 0 = 0,56 𝑒 0,038(0) + 3,19
𝑄 0 = 0,56 𝑒 3,19
𝑄 0 = 13,6
Luego el caudal del río Chancay fue de 13,6 m3/s
𝑡 Donde:
𝑀 𝑡 = 𝐶𝑜. 1 + 𝑟
M(t) : Monto o capital futuro.
Co : capital inicial.
r : tasa de interés anual, expresada
como número decimal.
t : Tiempo (en años)
3. APLICACIONES
3.3. INTERÉS COMPUESTO
Préstamo Bancario
Javier se presta de una entidad bancaria la cantidad de S/. 4 000 durante
3 años a una tasa de interés del 10 % que se capitalizan al finalizar cada
año. Ayudemos a Javier a calcular el monto que va a pagar en la fecha de
vencimiento. Grafique y Determine su dominio y su rango
𝑡 𝑡 𝑡
𝑀 𝑡 = 𝐶𝑜. 1 + 𝑟 𝑀 𝑡 = 𝐶𝑜. 1 + 𝑟 𝑀 𝑡 = 𝐶𝑜. 1 + 𝑟
0 𝑀 1 = 4000. 1 + 0,1 1 𝑀 2 = 4000. 1 + 0,1 2
𝑀 0 = 4000. 1 + 0,1
0 𝑀 1 = 4000. 1,1 1 𝑀 2 = 4000. 1,1 2
𝑀 0 = 4000. 1,1
𝑀 0 = 4000. 1 𝑀 1 = 4000. 1,1 𝑀 2 = 4000. 1,21
4400
4000
𝐷𝑜𝑚𝑓 𝑥 = ሾ0, +∞ۧ
0 1 2 3 t: número de años
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS