Teorema

De Stokes
Matemática III
Teorema
De Stokes
Matemática III
 “Año De La Unidad, La Paz Y El Desarrollo”

Facultad y Escuela
de Ingeniería Civil
Universidad Nacional José
Faustino Sánchez Carrión

Curso: Matemática III

Docente: Dr. Bautista Loyola,
Francisco Integrantes:
Tema: Teorema De Stokes y Liberado Villarreal,Jean Poul
Teorema de Stokes para Mendocilla Lujerio, Manuel
coordenadas cartesianas Montes Valdivia, Kiara Darlith
Ciclo: III Morán Villanueva, Brandon
Semestre: 2023-I
 2. Teoría de 3. Demostración
Stokes
1. Portada

4. Demostración
6. Ejercicios 5. Teorema de Stokes
para Coordenadas
Cartesianas

8. Bibliografía

7. Conclusiones
9. AGRADECIMIENTOS
 Definición:
Sea S una superficie orientada
con vector normal unitario 𝑁 ⃗,
cuyo contorno es una curva
cerrada simple C, suave a trozos.
Si 𝐹 ⃗ es un campo vectorial
cuyas funciones componentes
tienen derivadas parciales
continuas en una región abierta
D, que contiene S y C entonces:

⃗ 𝐫 = ඵ 𝐫𝐨𝐭 𝐅⃗ ∙ 𝐍𝐝𝐬
ර 𝐅𝐝⃗
Representación grafica
𝑪 𝐒
CONDICIONES PARA
APLICAR EL TEOREMA
-La superficie Tiene que ser

paramétrica simple.

-La curva tiene q ser cerrada y

simple.

-La curva tiene que tener orientación

positiva ⃗ 𝐫 = ඵ 𝐫𝐨𝐭 𝐅⃗ ∙ 𝐍𝐝⃗𝐬

ර 𝐅𝐝⃗
𝑪 𝐒
 DEMOSTRACIÓN
Consideremos una
superficie S limitada por
una curva cerrada simple.
Se divide S en N
subregiones tan pequeñas
que pueden considerarse
planas con áreas ∆𝑺𝟏 , ∆𝑺𝟐 ,
… , ∆𝑺𝒏, En los puntos
( 𝒙𝒊 , 𝒚𝒊 , 𝒛𝒊 ) de ∆𝑺𝒊 , de la
definición del rotacional de:

⃗ 𝐢 = ර 𝐅.
𝐍. 𝛁 × 𝐅∆𝐒 ⃗ 𝐝⃗𝐫 + 𝛆𝐢 ∆𝐒𝐢
𝐂𝐢
Donde 𝛆𝐢 → 𝟎, cuando ∆𝐒𝐢 → 𝟎 y 𝐍 es el
vector normal unitario con ∆𝐒𝐢 . La
suma sobre la superficie total S da:
𝐍 𝐍

෍ 𝐍. 𝛁 × 𝐅⃗ ∆𝐒𝐢 = ෍ ර 𝐅.
⃗ 𝐝⃗𝐫 + ෍ 𝛆𝐢 ∆𝐒𝐢
𝐢=𝟏 𝐢=𝟏 𝐂𝐢 𝐢=𝟏

Ahora consideremos el límite de esta

expresión cuando 𝑵 → ∞. La frontera 𝑪𝒊
de cada ∆𝑺𝒊 consiste en pedazos que
son o parte de la frontera C o parte de
las fronteras de las dos subregiones
adyacentes. Las integrales de línea a
lo largo de curvas fronteras
adyacentes se cancelan, pues los
vectores 𝐝𝒓 tienen direcciones
opuestas; así queda sobre la integral
de línea a lo largo de C por
consiguiente:
Demostrado
EJEMPLO
• Comprobar se teorema de Stokes para 𝐹⃗ 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 2𝑧⃗𝑖 + 𝑥⃗𝑗 + 𝑦 2 𝑘, donde S es
la superficie del paraboloide 𝑧 = 4 − 𝑥 2 − 𝑦 2 y C es la traza de S en el plano xy.

SOLUCION:

𝒛 = 𝒈 𝒙, 𝒚 = 𝟒 − 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 , como el vector
normal esta orientado hacia arriba
𝝏 𝝏
𝑵 = (− 𝒊⃗ − 𝒋⃗ + 𝒌)
𝝏𝒙 𝝏𝒚
𝑵 = (𝟐𝒙⃗𝒊 + 𝟐𝒚⃗𝒋 + 𝒌)
 𝑭 𝒙, 𝒚, 𝒛 = 𝟐𝒛⃗𝒊 + 𝒙⃗𝒋 + 𝒚𝟐 𝒌
𝒊⃗ 𝒋⃗ 𝒌
𝝏 𝝏 𝝏
𝒓𝒐𝒕𝑭 = = 𝟐𝐲⃗𝒊 + 𝟐⃗𝒋 + 𝒌
𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝝏𝒛
𝟐𝒛 𝒙 𝒚𝟐
ඵ 𝒓𝒐𝒕 𝑭𝑵. 𝒅𝒔 = ඵ 𝟐𝐲⃗𝒊 + 𝟐⃗𝒋 + 𝒌 𝟐𝒙⃗𝒊 + 𝟐𝒚⃗𝒋 + 𝒌 . 𝒅𝑨
𝑺 𝑺
𝟐 𝟒−𝒚𝟐 𝟐 𝟒 − 𝒚𝟐
=න න 𝟒𝒙𝒚 + 𝟒𝒚 + 𝟏 𝒅𝒙 𝒅𝒚 = න 𝟐𝒙𝟐 𝒚 + 𝟒𝒚 + 𝟏 𝒙 ቮ 𝒅𝒚
−𝟐 − 𝟒−𝒚𝟐 −𝟐 − 𝟒− 𝒚𝟐
𝟐
=න 𝟖𝒚 𝟒 − 𝒚𝟐 + 𝟐 𝟒 − 𝒚𝟐 𝒅𝒚
−𝟐
𝟖 𝟑 𝟐
= − 𝟒− 𝒚𝟐 𝟐 + 𝒚 𝟒 − 𝒚𝟐 + 𝟒𝐚𝐫𝐜𝐭𝐠(𝒚/𝟐) ቤ = 𝟒𝝅
𝟑 −𝟐
Teorema de
coordenadas
Teorema de Stokes en
coordenadas cartesianas
Sabemos que ….
•Si consideramos las tres componentes del
campo vectorial, escribiendo como siempre
F=(P,Q,R), y usamos las notaciones clásicas
para las integrales, la Fórmula de Stokes
resulta más explícita:
⃗ P⃗𝒊 +𝐐⃗𝒋 + 𝑹𝒌
•𝐹= 𝐄𝐧𝐭𝐨𝐧𝐜𝐞𝐬:

ර 𝑷𝒅𝒙 + 𝑸𝒅𝒚 + 𝑹𝒅𝒛

𝝏𝑺+

𝝏𝑹 𝝏𝑸 𝝏𝑷 𝝏𝑹 𝝏𝑸 𝝏𝑷
=ඵ − 𝒅𝒚𝒅𝒛 + − 𝒅𝒛𝒅𝒙 + − 𝒅𝒙𝒅𝒚
𝐒 𝝏𝒚 𝝏𝒛 𝝏𝒛 𝝏𝒙 𝝏𝒙 𝝏𝒚
DEMOSTRACIÓN
Demostración
⃗ P⃗𝒊 +𝐐⃗𝒋 + 𝑹𝒌 Entonces 𝐹d𝒓
•Si: 𝐹= ⃗ = 𝑷𝒅𝒙 + 𝑸𝒅𝒚 + 𝑹𝒅𝒛

𝒊⃗ 𝒋⃗ 𝒌
𝝏 𝝏 𝝏 𝝏𝑹 𝝏𝑸 𝝏𝑷 𝝏𝑹 𝝏𝑸 𝝏𝑷
• 𝛻𝒙𝑭 = = 𝝏𝒚 − 𝝏𝒛 𝒊⃗+ − 𝒋⃗ + − 𝒌
𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝝏𝒛 𝝏𝒛 𝝏𝒙 𝝏𝒙 𝝏𝒚
𝑷 𝑸 𝑹

•Se Obtiene:

•‫𝑭𝒙𝛁 𝐒׭ = 𝒓 𝒅𝑭𝒙𝛁 𝐒׭ = 𝒓 𝒅𝑭 𝑪ׯ‬. 𝑵. 𝒅𝒔 … (𝟏)

•‫ 𝒊⃗𝑷( 𝑪ׯ‬+ 𝑸⃗𝒋 + 𝑹𝒌) 𝒅𝒙 𝒊⃗ + 𝒅𝒚 𝒋⃗ + 𝒅𝒛 𝒌 = ‫ 𝒙𝒅 𝑷 𝑪ׯ‬+ 𝑸 𝒅𝒚 + 𝑹 𝒅𝒛 … (𝟐)

 𝝏𝑹 𝝏𝑸 𝝏𝑷 𝝏𝑹 𝝏𝑸 𝝏𝑷
•‫[𝐒׭ = 𝒔 𝒅𝑭𝒙𝛁 𝑪ׯ‬ − 𝒊⃗+ − 𝒋⃗ + − 𝒌] 𝒄𝒐𝒔𝜶 𝒊⃗ + 𝒄𝒐𝒔𝜷⃗𝒋 + 𝒄𝒐𝒔𝜸𝒌 𝒅𝒔
𝝏𝒚 𝝏𝒛 𝝏𝒛 𝝏𝒙 𝝏𝒙 𝝏𝒚

𝝏𝑹 𝝏𝑸 𝝏𝑷 𝝏𝑹 𝝏𝑸 𝝏𝑷
•= ‫[𝐒׭‬ − cos𝛂. 𝒅𝒔+ − 𝒄𝒐𝒔𝜷. 𝒅𝒔 + − 𝒄𝒐𝒔𝜸. 𝒅𝒔]
𝝏𝒚 𝝏𝒛 𝝏𝒛 𝝏𝒙 𝝏𝒙 𝝏𝒚

•=] … (𝟑)
𝝏𝑹 𝝏𝑸 𝝏𝑷 𝝏𝑹 𝝏𝑸 𝝏𝑷
•‫[𝐒׭‬ − 𝒅𝒚. 𝒅𝒛+ − 𝒅𝒛. 𝒅𝒙 + − 𝒅𝒙. 𝒅𝒚
𝝏𝒚 𝝏𝒛 𝝏𝒛 𝝏𝒙 𝝏𝒙 𝝏𝒚
•Remplazamos (2) y (3) en (1) y obtenemos:

𝝏𝑹 𝝏𝑸 𝝏𝑷 𝝏𝑹 𝝏𝑸 𝝏𝑷
•‫ 𝒙𝒅𝑷 𝑪ׯ‬+ 𝑸𝒅𝒚 + 𝑹𝒅𝒛 = ‫[𝐒׭‬ − 𝒅𝒚𝒅𝒛 + − 𝒅𝒛𝒅𝒙 + − 𝒅𝒙𝒅𝒚]
𝝏𝒚 𝝏𝒛 𝝏𝒛 𝝏𝒙 𝝏𝒙 𝝏𝒚
 EJEMPLO
𝑬𝒗𝒂𝒍𝒖𝒂𝒓 ර 𝑭𝒅 𝒓 𝒄𝒐𝒏 𝒆𝒍 𝒕𝒆𝒐𝒓𝒆𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝑺𝒕𝒐𝒌𝒆𝒔.
𝑪
𝑬𝒏 𝒄𝒂𝒅𝒂 𝒄𝒂𝒔𝒐 𝑪 𝒆𝒔𝒕𝒂 orientada
𝒆𝒏 𝒔𝒆𝒏𝒕𝒊𝒅𝒐 𝒂𝒏𝒕𝒊𝒉𝒐𝒓𝒂𝒓𝒊𝒐, 𝒄𝒐𝒎𝒐 𝒔𝒆 𝒗𝒆 𝒅𝒆𝒔𝒅𝒆 𝒂𝒓𝒓𝒊𝒃𝒂.

𝑭(𝐱, 𝐲, 𝐳)= 𝒛𝟐 𝒊⃗ +𝒚𝟐 𝒋⃗ + 𝒙𝒚𝒌

C es triangulo con vértices (1,0,0), (0,1,0) y

(0,0,2)

𝑹𝒐𝒕 𝑭
𝝏𝑹 𝝏𝑸 𝝏𝑷 𝝏𝑹 𝝏𝑸 𝝏𝑷
= − 𝒊⃗+ − 𝒋⃗ + − 𝒌
𝝏𝒚 𝝏𝒛 𝝏𝒛 𝝏𝒙 𝝏𝒙 𝝏𝒚

𝑹𝒐𝒕 𝑭 = 𝒙 − 𝟎 𝒊⃗ + 𝟐𝐳 − 𝐲 𝒋⃗ + 𝟎 − 𝟎 𝒌
= 𝒙⃗𝒊 + (𝟐𝒛 − 𝒚)⃗𝒋

𝟏 𝟐⃗𝒊 + 𝟐⃗𝒋 + 𝒌
𝑺: 𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟏 𝒏=
𝟐 𝟑
ඵ 𝟐𝒙 + 𝟒𝒛 − 𝟐𝒚 𝒅𝑨
𝑫

𝑫 = { 𝒙, 𝒚 / 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏 ; 𝟎 ≤ 𝒚
≤ 𝟏 − 𝒙}

𝟏 𝟏−𝒙
න න 𝟐𝒙 − 𝟒 𝟏 − 𝟐𝒚 − 𝟐𝒛 − 𝟐𝒚𝒅𝒚𝒅𝒙
𝟎 𝟎

𝟐
න 𝑭. 𝒅 𝒓 =
𝑪 𝟑
EJEMPLO
 • Utilice el teorema de Stokes
E P para evaluar ‫𝐬𝐝𝐍 ∙ ⃗𝐅 𝐭𝐨𝐫 𝐒׭‬:

J R • 𝑭 𝒙, 𝒚, 𝒛 = 𝒙𝒚𝒛⃗𝒊 + 𝒙⃗𝒋 +
𝒆𝒙𝒚 𝒄𝒐𝒔(𝒛)𝒌 , S es el
E O hemisferio 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 = 𝟏 ,
𝐳≥𝟎 orientado hacia
R P arriba
SOLUCION:
C U
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 = 𝟏 , esta orientado
I E hacia arriba como el vector
normal

C S
Grafica:
𝝏 𝝏 𝝏
𝑵=( 𝒊⃗ + 𝒋⃗ + 𝒌)
𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝝏𝒛

I T 𝑵 = (𝟐𝒙⃗𝒊 + 𝟐𝒚⃗𝒋 + 𝟐𝒛𝒌)

Si 𝒛 = 𝟎 → 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏 ; 𝟎 ≤ 𝒓 ≤ 𝟏 ;

O O
𝟎 ≤ 𝜽 ≤ 𝟐𝝅
 𝑭 𝒙, 𝒚, 𝒛 = 𝒙𝒚𝒛⃗𝒊 + 𝒙⃗𝒋 + 𝒆𝒙𝒚 𝐜𝐨𝐬(𝒛)𝒌
𝒊⃗ 𝒋⃗ 𝒌
𝝏 𝝏 𝝏
𝒓𝒐𝒕𝑭 =
𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝝏𝒛
𝒙𝒚𝒛 𝒙 𝒆𝒙𝒚 𝐜𝐨𝐬(𝒛)
= 𝒙𝒆𝒙𝒚 𝐜𝐨𝐬(𝒛)⃗𝒊 + 𝒙𝒚 − 𝒚𝒆𝒙𝒚 𝐜𝐨𝐬 𝒛 𝒋⃗ + (𝟏 − 𝒙𝒛)𝒌

ඵ 𝒓𝒐𝒕 𝑭𝑵. 𝒅𝒔 COORDENADAS CILINDRICAS

𝑺

= ඵ 𝒙𝒆𝒙𝒚 𝐜𝐨𝐬(𝒛)⃗𝒊 + 𝒙𝒚 − 𝒚𝒆𝒙𝒚 𝐜𝐨𝐬 𝒛 𝒋⃗ + (𝟏 − 𝒙𝒛)𝒌 ቀ𝟐𝒙⃗𝒊

𝑺
+ 𝟐𝒚⃗𝒋 + 𝟐𝒛𝒌ቁ . 𝒅𝑨
𝟐𝝅 𝟏
=න න ൫ൣ𝟐𝒙𝟐 𝒆𝒙𝒚 𝐜𝐨𝐬 𝒛 + 𝟐𝒙𝒚𝟐 − 𝟐𝒚𝟐 𝒆𝒙𝒚 𝐜𝐨𝐬 𝒛 + 𝟐𝒛
𝟎 𝟎
− 𝟐
𝟐𝒙𝒛 ൧ 𝒓𝒅𝒓𝒅𝜽൯ =𝝅
Calcular: ‫ 𝑐ׯ‬2𝑥 − 5𝑦 𝑑𝑥 + (3𝑥 + 𝑧 2 )𝑑𝑦 + 𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑧 2 𝑑𝑧

Sea “C” una curva cerrada:

(2, −1,1); (2,1,1); (0,1,3); (0, −1,3)

റ 𝑑𝑠
ඵ 𝑟𝑜𝑡𝐹.
𝑐

𝐹റ = 2𝑥 − 5𝑦 𝑖Ƹ + 3𝑥 + 𝑧 2 𝑗Ƹ + 𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑧 2 𝑘෠

𝜕Τ 𝜕 𝜕Τ
𝜕𝑥 ൗ𝜕𝑦 𝜕𝑧
𝑟𝑜𝑡𝐹റ =
2𝑥 − 5𝑦 3𝑥 + 𝑧 2 𝑥2 + 𝑦2 − 𝑧2

= (2𝑦 − 2𝑧)𝑖Ƹ − (2𝑥 − 0)𝑗Ƹ + (0 − −5 )𝑘෠

𝑟𝑜𝑡𝐹റ = (2𝑦 − 2𝑧)𝑖Ƹ − 2𝑥 𝑗Ƹ + 5𝑘෠

Parametrización de una superficie:

Forma: ෡
𝒓 = 𝒙𝒊Ƹ + 𝒚𝒋Ƹ + 𝒛𝒌
 ෡
𝒓 = 𝒙𝒊Ƹ + 𝒚𝒋Ƹ + (𝟑 − 𝒙)𝒌
PARA LOS LIMITES DE INTEGRACION
(VISTA SUPERIOR)
𝜕𝑟റ 𝜕𝑟റ
Para el 𝑑𝑠 = ± × 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝜕𝑥 𝜕𝑦
1 0 −1
= 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 1𝑖Ƹ − 0𝑗Ƹ + 1𝑘෠
0 1 0
റ 𝑑𝑠=
‫𝐹𝑡𝑜𝑟 𝑐׭‬.
2
1
෠ ( 1 𝑖Ƹ − 0 𝑗 Ƹ
න ධ (2𝑦 − 2𝑧)𝑖Ƹ − 2𝑥 𝑗Ƹ + 5𝑘).
−1
0
෠
+ 1𝑘)𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑽𝑨𝑹𝑰𝑨𝑪𝑰𝑶𝑵𝑬𝑺:
𝟎≤𝒙≤𝟐 ,
2
1 −𝟏 ≤ 𝒚 ≤ 𝟏
= න ‫׬‬−1(2𝑦 − 2𝑧 + 5)𝑑𝑦𝑑𝑥 , sabemos 𝑧
0
=3−𝑥 reemplazando en z
2
1
= න ‫׬‬−1(2𝑦 + 2𝑥 − 1)𝑑𝑦𝑑𝑥 =𝟖
0
CONCLUSIONES:
 Del tema aprendí que el Conclusiones
gradiente almacena toda la
información de la derivada parcial de
una función multivariable. Pero es más
que un simple dispositivo de
almacenamiento, tiene varias
interpretaciones maravillosas y
muchos, muchos usos.
En este trabajo aprendí sobre el
teorema de stock, el uso diverso que
tiene en el mundo de las matemáticas,
como su demostración y aplicaciones.
El teorema de Stokes se puede
considerar como una versión del
teorema de Green para tres
dimensiones.
Bibliografía: • https://www.academia.edu/43849454/An%C
3%A1lisis_Matem%C3%A1tico_II_Eduardo_
Espinoza_Ramos_3ed

• https://archive.org/details/moises-lazaro-
analisis-matematico-iii

• https://www.udocz.com/apuntes/20152/solu
cionario-analsis-matematico-iii-eduardo-
espinoza-ramos

• http://www.sancristoballibros.com/libro/anali
sis-matematico-iii_66108

• https://www.librosperuanos.com/libros/detall
e/217/Analisis-matematico-III
AGRADECIMIENTOS
Estamos Agradecidos con la atención Prestada por la exposición
que nos permitió comprender mejor el como Funciona el Teorema de
Stokes, pues es un instrumento muy importante para nosotros
transformar integrales de superficie a través de un campo
vectorial en integrales de línea para hacer el trabajo mas
sencillo y de ella aplicarla de mejor manera en otros campos.
También estamos agradecidos por su trabajo como docente a lo
largo del ciclo