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    Álgebra Vectorial: Unidad I. Capítulo I - Parte 6

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    eddy leyva la rosa
    Este documento trata sobre conceptos básicos de álgebra vectorial como propiedades de suma y multiplicación de vectores, ángulo entre vectores, ortogonalidad y proyección de vectores. Explica cómo calcular el coseno del ángulo entre dos vectores a partir de su producto interno y resuelve ejercicios prácticos aplicando estas nociones.

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    Álgebra Vectorial: Unidad I. Capítulo I - Parte 6

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    Este documento trata sobre conceptos básicos de álgebra vectorial como propiedades de suma y multiplicación de vectores, ángulo entre vectores, ortogonalidad y proyección de vectores. Explica cómo calcular el coseno del ángulo entre dos vectores a partir de su producto interno y resuelve ejercicios prácticos aplicando estas nociones.

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    Álgebra Vectorial

    Unidad I. Capítulo I – Parte 6

    Geometría Analítica Vectorial


    Ingeniería
    PROPIEDAD FUNDAMENTAL
    𝟐
    Se sabe que 𝑾 =𝑾∘𝑾
    𝟐
    𝑨+𝑩 = (𝑨 + 𝑩) ∘ (𝑨 + 𝑩)
    𝟐
    𝑨+𝑩 =𝑨∘𝑨+𝑩∘𝑨+𝑨∘𝑩+𝑩∘𝑩
    𝟐 𝟐 𝟐
    𝑨+𝑩 = 𝑨 +𝑨∘𝑩+𝑨∘𝑩+ 𝑩
    𝟐 𝟐 𝟐
    𝑨+𝑩 = 𝑨 + 𝑩 + 𝟐𝑨 ∘ 𝑩
    2
    ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES
    Dados dos vectores 𝑨 y 𝑩 de Vn, si Ɵ es el ángulo entre 𝑨 y 𝑩 (vértice en
    las colas de 𝑨 y 𝑩 ) se define dicho ángulo como:
    Por suma de vectores
    𝟐 𝟐 𝟐
    𝑨+𝑩 = 𝑨 + 𝑩 +𝟐 𝑨 𝑩 𝑪𝒐𝒔 𝜽

    Por norma de vectores


    𝟐 𝟐 𝟐
    𝑨+𝑩 = 𝑨 + 𝑩 + 𝟐𝑨 ∘ 𝑩

    𝟐𝑨 ∘ 𝑩 = 𝟐 𝑨 𝑩 𝑪𝒐𝒔(𝜽)
    𝑨∘𝑩
    Por lo tanto: 𝑪𝒐𝒔 𝜽 =
    𝑨 𝑩

    Es importante recalcar que uno de las expresiones más utilizadas en


    el desarrollo de ejercicio es: 𝑨 ∘ 𝑩 = 𝑨 𝑩 𝑪𝒐𝒔(𝜽) 3
    ANGULO ENTRE DOS VECTORES
    Ejercicio 10
    Tres vectores 𝑨 , 𝑩 y 𝑪 de V3 satisfacen las siguientes propiedades:
    ||𝑨 ||=||𝑩 ||=6; ||𝑪 ||=3√2; ||𝑨-𝑩+𝑪||= ||𝑨+𝑩+𝑪||. Si el ángulo que forman 𝑨 y
    𝑩 es π/3, hallar el ángulo que forman 𝑩 y 𝑪.
    SOL:
    Sea: 𝜽 = 𝟔𝟎°: ∡ 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝑨 𝒚 𝑩; 𝜶: ∡ 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝑩 𝒚 𝑪
    𝟐 𝟐
    𝑨−𝑩+𝑪 = 𝑨+𝑩+𝑪 → 𝑨+𝑪−𝑩 = 𝑨+𝑪+𝑩
    𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
    𝑨 + 𝑪 + 𝑩 − 𝟐 𝑨 + 𝑪 ∘ 𝑩 = 𝑨 + 𝑪 + 𝑩 + 𝟐(𝑨 + 𝑪) ∘ 𝑩
    −𝟐 𝑨 + 𝑪 ∘ 𝑩 = 𝟐 𝑨 + 𝑪 ∘ 𝑩 → 𝟒 𝑨 + 𝑪 ∘ 𝑩 = 𝟎 → 𝑨 + 𝑪 ∘ 𝑩 = 𝟎
    𝑨 ∘ 𝑩 + 𝑪 ∘ 𝑩 = 𝟎 → 𝑨 ∘ 𝑩 = −𝑪 ∘ 𝑩 → 𝑨 𝑩 𝑪𝒐𝒔 𝜽 = − 𝑪 𝑩 𝑪𝒐𝒔 𝜶
    𝟏
    𝟔𝑪𝒐𝒔 𝟔𝟎° = −𝟑 𝟐𝑪𝒐𝒔 𝜶 → 𝑪𝒐𝒔 𝜶 = − → 𝜶 = 𝟏𝟑𝟓°
    𝟐

    4
    ORTOGONALIDAD DE VECTORES
    Dados dos vectores 𝑨 y 𝑩 de Vn, si 𝑨 es ortogonal a 𝑩.

    𝑩 𝟐 𝟐 𝟐
    𝑨+𝑩 Se cumple que: 𝑨 + 𝑩 = 𝑨 + 𝑩

    Se sabe que: 𝑨∘𝑩= 𝑨 𝑩 𝑪𝒐𝒔 𝜽


    𝑩 𝑨+𝑩
    𝑩 𝑨∘𝑩= 𝑨 𝑩 𝑪𝒐𝒔 𝟗𝟎°

    Por lo que se deduce:

    𝑨 𝑨 𝑨 ∘ 𝑩 = 𝟎; 𝒔𝒐𝒍𝒐 𝒔𝒊 𝑨 ⊥ 𝑩

    5
    ORTOGONALIDAD DE VECTORES
    Ejercicio 11
    Sean 𝑨 =(-1,8,-8) y 𝑩 =(1,-3,1), hallar los vectores 𝑷 y 𝑸 tales que 𝑨 = 𝑷 + 𝑸,
    sabiendo que 𝑷 // 𝑩 y 𝑸 es ortogonal a 𝑩.
    SOL:
    De los datos: 𝑷 = 𝒕𝑩; 𝑸 ∘ 𝑩 = 𝟎; 𝒚 𝑨 = 𝑷 + 𝑸
    𝑨∘𝑩= 𝑷+𝑸 ∘𝑩→𝑨∘𝑩= 𝑷∘𝑩+𝑸∘𝑩→𝑨∘𝑩=𝑷∘𝑩
    𝟐
    𝑨 ∘ 𝑩 = 𝒕𝑩 ∘ 𝑩 → 𝑨 ∘ 𝑩 = 𝒕 𝑩 ∘ 𝑩 → 𝑨 ∘ 𝑩 = 𝒕 𝑩
    𝟐 𝟐
    −𝟏, 𝟖, −𝟖 ∘ 𝟏, −𝟑, 𝟏 = 𝒕 𝟏 + −𝟑 + 𝟏𝟐 → 𝟏𝟏𝒕 = −𝟑𝟑 → 𝒕 = −𝟑
    𝑷 = 𝒕𝑩 → 𝑷 = −𝟑 𝟏, −𝟑, 𝟏 → 𝑷 = −𝟑, 𝟗, −𝟑
    𝑸 = 𝑨 − 𝑷 → 𝑸 = −𝟏, 𝟖, −𝟖 − −𝟑, 𝟗, −𝟑 → 𝑸 = 𝟐, −𝟏, −𝟓

    6
    VECTOR PROYECCIÓN
    Dados dos vectores 𝑨 y 𝑩 de Vn, tal que 𝑨 ≠t𝑩, se define al vector proyección de 𝑨
    sobre 𝑩 , como el vector (𝑷) que tiene su cola en la cola de 𝑩 y su flecha en la pie de
    perpendicular bajado de la flecha de 𝑨 a la recta de acción de 𝑩 :

    Se sabe que: 𝑷 = 𝒕𝑩 Sea: 𝑸 ⊥ 𝑩 → 𝑸 ∘ 𝑩 = 0


    𝑨
    𝑸 Además: 𝑨 = 𝑷 + 𝑸 →𝑨∘𝑩=𝑷∘𝑩+𝑸∘𝑩
    𝑨 ∘ 𝑩 = 𝑷 ∘ 𝑩 → 𝑨 ∘ 𝑩 = (𝒕𝑩) ∘ 𝑩
    𝟐
    𝑨 ∘ 𝑩 = 𝒕𝑩 ∘ 𝑩 → 𝑨 ∘ 𝑩 = 𝒕 𝑩
    O 𝑨∘𝑩
    𝑷 𝑩 𝑨∘𝑩
    𝒕= Entonces: 𝑷 =
    𝟐 𝟐 𝑩
    𝑩 𝑩

    7
    VECTOR PROYECCIÓN
    𝑨 𝑨∘𝑩 𝑨∘𝑩 𝑨∘𝑩
    𝑷= 𝟐
    𝑩 → 𝑷 = 𝟐
    𝑩 → 𝑷 = 𝟐
    𝑩
    𝑩 𝑩 𝑩

    𝑨∘𝑩 𝑨∘𝑩 𝑷 = 𝑨 𝒄𝒐𝒔(𝜽)


    𝑷 = 𝑩 Módulo: 𝑷 =
    Ɵ 𝑩
    𝟐
    𝑩
    O 𝑩
    𝑷 𝑷 Dirección: 𝑷 = 𝒕𝑩 Línea de acción de 𝐁

    𝑨
    𝑨∘𝑩 Sentido: 𝑷 = 𝒕𝑩 𝒕= 𝒄𝒐𝒔(𝜽)
    𝒕= 𝟐 𝑩
    𝑩
    𝒕 = 𝒏𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐 𝒔𝒆𝒏𝒕𝒊𝒅𝒐 ≠ 𝒂 𝑩 , 𝒔𝒊 𝜽 > 𝟗𝟎°
    𝑨 𝑩 𝒄𝒐𝒔(𝜽) t= ቐ
    →𝒕= 𝟐 𝒕 = 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐 𝒔𝒆𝒏𝒕𝒊𝒅𝒐 = 𝒂 𝑩 , 𝒔𝒊 𝜽 < 𝟗𝟎°
    𝑩
    8

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