PRACTICA N 2

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME Y MOVIMIENTO RECTILINEO

UNIFORMEMENTE ACELERADO

CINEMATICA EN UNA SOLA DIMENSION (1D)

Características:

1. No intervienen fuerzas.
2. Cuerpo sólido considerado partícula, analizaremos movimiento traslacional.
3. El movimiento pude ser una horizontal, vertical u oblicuo (Siempre consideramos
trayectoria recta).

Variables que intervienen en la Cinemática.

Tiempo = t (escalar)
Desplazamiento = ⃗x (Vector)
Velocidad Lineal = ⃗v (Vector)
Aceleración lineal = a⃗ (Vector)

Tiempo (t) .- Magnitud física que permite medir la duración o separación de las cosas sujetas a
cambio.

Para la Cinemática el tiempo, es cuánto tarda la partícula o el cuerpo rígido en cambiar su

posición entre dos estados, finitos (Δ) o infinitesimales (d) y es un escalar.

Símbolos matemáticos Delta (Δ)= Estado mayor – Estado menor (puede ser ±) finito

Derivada (d) infinitesimal

Δt = t2 – t1 Cuando el origen no inicia en cero

Δt = t Cuando el origen coincide con el estado inicial

La Unidad de tiempo es el segundo en todos los sistemas, pero también se puede expresar en
múltiplos y submúltiplos como ser: minuto, hora, día o milisegundos, microsegundos,
nanosegundos (un año tiene 365,2425 días).

En cinemática pura no existe tiempo negativo (t<0), porque el tiempo es un escalar y siempre
se mide el tiempo de t0 = 0 por lo cual Δt siempre será valores positivos

Móvil.- Es el cuerpo que realiza el movimiento

Trayectoria.- (e) Es un Escalar que mide todo el camino recorrido de una partícula entre dos
puntos finitos o infinitesimales y la medida utilizada es el Espacio.

Distancia.-(d) Es el modulo o también se puede decir el escalar del desplazamiento.

Movimiento.- Es aquel fenómeno físico que consiste en el cambio de posición que realiza un
cuerpo (móvil) en cada instante con respecto a un sistema de referencia, el cual se considera
fijo(inercial). Se afirma también que en un cuerpo está en movimiento con respecto a un sistema
de coordenadas rectangulares elegido como fijo (inercial), cuando sus coordenadas varían a
medida que transcurre el tiempo.

Desplazamiento.- ( ⃗x ) Es un Vector libre que determina el cambio efectivo de posición de un

cuerpo entre dos puntos finitos o infinitesimales.

Analizamos el desplazamiento de un móvil entre dos estados finitos, en dos casos

1ero Cuando no coincida el inicio del móvil con el origen del eje de referencia.
Figura Nº 2.1 Cuando no coincide el inicio del desplazamiento

Δx
=
r
t 1
a
y
e
2 Cuando coincida el inicio del móvil con el origen del eje de referencia.
do
c
Δx = x t
Unidades.- Dependiendo del sistema se puede Utilizar o
Sistema Cegesimal centímetro [ ¿ ] cm ri
Sistema Internacional y Sistema Técnico el metro [ ¿ ] m
a
Sistema Ingles e inglés Técnico la unidad es el pie [ ¿ ] ft .

Velocidad Lineal ( ⃗v) Hay que diferenciar entre rapidez y velocidad

Rapidez |⃗v| = V

Es el modulo o escalar de la velocidad

d
v= (2.1)
t

v= Rapidez de la velocidad (Escalar).

d=Distancia de la partícula entre dos estados finitos o infinitesimales (Escalar).

 t= Tiempo empleado entre dos estados (Escalar).

Velocidad ( ⃗v).-Velocidad Media

Figura Nº 2.2 Muestra x

Largada Llegada

X
O
p1 =x

Es un vector libre que mide el cambio de desplazamiento efectivo entre dos posiciones
finitas o infinitesimales en un determinado tiempo.

Δx x 2−¿ x x
v= = 1
= (2.2)¿
Δt t 2−t 1 t

El primer movimiento de aplicación a la Cinemática de una partícula en 1D es

precisamente el movimiento con velocidad media, promedio o constante, llamada
antiguamente Movimiento Uniforme (M.U.), nosotros en el presente estudio vamos a
usar indistintamente.

Para dos estados infinitesimales, haciendo tender la diferencia de tiempo a cero (en el
cálculo matemático a este concepto se lo llama límite), tendremos la velocidad
Instantánea.

Las Unidades de la Rapidez y la Velocidad es L/T

Interpretación geométrica de la velocidad media

 Δx
m=tan α = =v x=f ( t ) (2.3)
Δt
Figura Nº 2.3 Velocidad Media

Interpretación geométrica de la velocidad instantánea

dx ∆x
m´ =tan α = = lim = ⃗v x =f ( t ) (2.4)
dt ∆ t → o ∆ t

Figura Nº 2.4 Velocidad Instantánea

La velocidad media, promedio o constante y la velocidad instantánea, en 1D siempre tienen la

misma dirección y sentido del movimiento de la partícula.

La velocidad instantánea en 2D, siempre es tangente a la trayectoria y tiene el mismo sentido en

el instante que se analiza.

Aceleración lineal (a⃗ ¿

Rapidez de la aceleración.- Es el escalar de la aceleración.

La aceleración lineal es vector que determina la variación de la velocidad por unidad de

tiempo, entre dos estados finitos o infinitesimales.
 Ecuación de la aceleración 1D

Aceleración finita, la aceleración es media, promedio o cte. (a ¿

∆ v v 2−v 1 v−v 0
a= = = (2.5)
∆ t t 2−t 1 t

La aceleración instantánea (a)

dv d2 x dv ∆v
a= = 2 =v = lim (2.6)
dt dt dx ∆ t → o ∆ t

Unidades de la aceleración.- Longitud/tiempo al cuadrado.

Gráfico Nº 2.5 Aceleración Media e Instantánea

∆v
m=tan α= =a (2.7)v=f (t)
∆t

Movimiento Rectilíneo Uniforme (M.R.U.) a = 0 v = Cte.

El movimiento rectilíneo (por ejemplo en la dirección del eje x ) uniforme fue definido, por
primera vez, por Galileo en los siguientes términos: «Por movimiento igual o uniforme, entiendo
aquél en el que los espacios recorridos por un móvil en tiempos iguales, tómense como se tomen,
resultan iguales entre sí», o dicho de otro modo, es un movimiento de velocidad constante.
Puesto que la partícula recorre distancias iguales en tiempos iguales.

Δx x 2−¿ x x
v= = = (2.8)¿
1

Δt t 2−t 1 t

Gráficos Nº 2.6 Movimiento Rectilíneo Uniforme:

 (c)
(a) (b)

Grafico a) La pendiente representa la velocidad media b) El área debajo de la gráfica representa

el desplazamiento c) aceleración igual a cero

Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado.- (M.R.U.A.) Segundo tipo de movimiento

en 1D. Este movimiento es con una ( ⃗v ) ≠ cte ⃗a =cte .

Características:

1. Δ v >0 Acelerado

a⃗ =cte ⇒ Δ v ≠ 0 Δ v <0 Desacelerado

2. Ecuaciones diseñadas para cuando el origen del eje de referencia coincide necesariamente
con el estado inicial.

Ecuaciones que rigen.

Si la aceleración es constante a⃗ =cte la velocidad tendrá que variar v0 velocidad inicial y v

velocidad final mayor.

∆ v v f −v 0
Partimos de la Aceleración promedio a= =
∆t t

Despejamos la velocidad final v f =v 0 ∓at 1era Ec. Fundamental (2.9)

Figura Nº 2.7 Representa la 1era Ec. Fundamental

t
Consideración, solo únicamente cuando la aceleración es constante que la velocidad media,
promedia o constante, numéricamente es equivalente a la media aritmética entre las rapideces
de las velocidades de dos puntos finitos.

vf + v0
v=
2

Sabemos del MRU que la velocidad promedio es

Δx x 2−¿ x x
v= = = ¿ 1

Δt t 2−t 1 t

x v f + v0
=
t 2

Entonces tenemos la segunda ecuación x= ( v +2 v ) t

f 0
2da Ec. Fundamental (2.10)

La v f de la primera ec. Fundamental reemplazamos en la segunda ec. Fundamental

x= ( v ∓ at2 + v ) t
0 o

1 2
x=v 0 t ± a t 1era Ec. Derivada (2.11)
2

Figura Nº 2.8 1era Ec. Derivada Figura Nº2.9 Aceleración Constante

 t

Nuevamente utilizamos las dos ec. Fundamentales despejamos los tiempos e igualamos
ambas, obtendremos una ec. Exenta del tiempo.

v f −v 0
t=
a

2x
t=
v0 + vf

v f −v 0 2x
=
a v 0+ v f
2 2
v f v 0−v 0 +v f −v f v 0 =2 ax
2 2
v f =v 0 ∓2 ax 2da Ec. Derivada (2.12)

El signo de la aceleración depende si la partícula esta acelerada (positiva) o esta desacelerada

(negativa).

Solo se pueden utilizar dos ecuaciones, sino se simplifican entre ellas.

1. v f =v 0 ∓at Ec. Fundamental y no depende del desplazamiento de la partícula

(v +v
)
2. x= f 0 t Ec. Fundamental y es independiente de la aceleración.
2
1 2
3. x=v 0 t ± a t Ec. Derivada y no depende de la velocidad final que tiene la partícula.
2
2 2
4. v f =v 0 ∓ 2 ax Ec. Derivada no depende del tiempo.

Etapas de Reacción ® y de Frenado (f).- Cuando un móvil esta acelerado y requiere frenar,
existirá un lapso de tiempo que el móvil tenga un Movimiento Uniforme, porque el piloto tardara
en aplicar los frenos, para luego tener un Movimiento Uniforme Acelerado, con aceleración
negativa.

Se comprobó que un hombre tarda en reaccionar para frenar 0.74s, en cambio para atrapar un
billete con el pulgar y el índice de la mano derecha, tarda una persona normal 0.19 s.
 PRACTICA N 2
MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME Y MOVIMIENTO RECTILINEO
UNIFORMEMENTE ACELERADO

CINEMATICA EN UNA SOLA DIMENSION (1D)

PRUEBA N 1

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME

2.1.1 Objetivo General

 Imitar el Movimiento Rectilíneo Uniforme.

 Consolidar los conocimientos teóricos del movimiento rectilíneo uniforme aplicando a la
práctica a través de la verificación de las ecuaciones.

2.1.2 Objetivos Específicos

 Con la ayuda del Logger Pro tomar 10 datos del desplazamiento y tiempo de la partícula
sobre el carril de aire.
 Calcular analíticamente las rapideces con ec. (2.1) y los datos obtenidos, para luego
calcular un promedio (obtenemos el valor más probable).
 Calcular la rapidez media o promedio gráficamente (Grafico Nº 2.3), aplicar la regresión
lineal (la pendiente representa la rapidez media).
 Graficar la rapidez promedio vs. tiempo(grafico Nº 2.6 (b)), el área bajo la línea recta es
el desplazamiento.
 Aplicar la teoría del error primer método, cálculo del error absoluto y el error relativo
porcentual, a la rapidez calculada gráficamente desplazamiento vs tiempo y
analíticamente.
 Aplicar la teoría del error primer método, cálculo del error absoluto y el error relativo
porcentual, al desplazamiento calculada gráficamente y desplazamiento real de la
partícula.
 Analizar resultados y sacar conclusiones.
ESQUEMA DEL EXPERIMENTO
2.1.3 Tabulación de datos y resultados experimentales
Para hallar la rapidez utilizaremos la ecuación (2.1)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x
Distancia x (cm)
Tiempo t (s)
Rapidez (m/s)

2.1.4 Tabulación de resultados

Parámetro Resultados Resultados ε e

Analíticos Gráficos

V (m/s)

X (m)

2.1.5 Análisis de Resultados y Conclusiones

PRUEBA N 2

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE VARIADO

2.2.1 Objetivo General

 Imitar el Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado.

 Consolidar los conocimientos teóricos del movimiento rectilíneo uniformemente
acelerado aplicando a la práctica a través de la verificación de las ecuaciones.

2.2.2 Objetivos Específicos

 Con la ayuda del Logger Pro tomar 10 datos del desplazamiento y tiempo de la partícula
sobre el carril de aire.
 Calcular analíticamente las rapideces inicial y la aceleración con ec. (2.11) y promediar
los resultados (obtenemos el valor más probable).
 Calcular analíticamente las rapideces finales en todos los tramos analizados con ec (2.9)
 Calcular Δv analiticamente
 Calcular la aceleración gráficamente ( v vs t ) (Grafico Nº 2.7), aplicar la regresión lineal
(la pendiente representa la aceleración media).
 Calcular gráficamente el cambio de velocidad Δv graficamente con la ayuda del grafico Nº 2.9
(a vs t ¿ área bajo la línea.
 Aplicar la teoría del error primer método, cálculo del error absoluto y el error relativo
porcentual, a la aceleración calculada gráficamente velocidad vs tiempo y analíticamente.
  Aplicar la teoría del error primer método, cálculo del error absoluto y el error relativo
porcentual, al cambio de velocidad calculada gráficamente aceleración vs tiempo y
analíticamente.
 Analizar resultados y sacar conclusiones.
ESQUEMA DEL EXPERIMENTO

2.2.3 TABLA TABULACIÓN DE DATOS Y RESULTADOS EXPERIMENTALES

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x
→
x( )

t ( )
→
a
v0

vf

2.2.4 Tabulación de resultados

Parámetro Resultados Resultados ε e

Analíticos Gráficos

cm
a( 2
)
s

cm
Δv ( )
s
2.2.5 Análisis de Resultados y Conclusiones
 CUERPOS EN CAIDA LIBRE.- (C.L.)

Es el tercer movimiento de una Partícula en una dimensión que estudiaremos.

En primer lugar debemos decir que si hacemos caer dos cuerpos en el vacío estos llegan al fondo
al mismo tiempo.

Es un caso especial del Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado, donde la aceleración

corresponde a la aceleración de la gravedad(-g) y el deslazamiento se representa por y .

Experimentalmente se demuestra que todos los cuerpos que se dejan caer cerca de la superficie
de la Tierra, lo hacen con una aceleración aproximadamente constante. Esta aceleración, que se
llama aceleración de gravedad, es producida por una fuerza que existe entre cuerpos con masa,
llamada fuerza de atracción gravitacional.

La aceleración de gravedad, que se denota por g es un vector que apunta hacia el centro de la
Tierra, su magnitud aumenta levemente al aumentar la latitud, es decir desde el ecuador hacia los
polos (Ecuador 9,78 m/ s2 ,Polos 9,83 m/ s2(Radio promedio entre el Ecuador y los Polos es de
6.400Km), y disminuye al aumentar la altura sobre la superficie terrestre. Su valor medio en la
superficie de la Tierra es aproximadamente de 9,807 m/ s2se puede redondear a 10 m/ s2.

Se dice que un objeto está en caída libre cuando se mueve bajo la influencia sólo de la
aceleración de gravedad, que se denomina peso (⃗ F g=⃗
w ¿despreciando la resistencia que el aire
opone a los cuerpos en movimiento(es otra fuerza que se resiste al movimiento), sin importar la
velocidad inicial del objeto. Todos los cuerpos que se lanzan hacia arriba o hacia abajo, o se
dejan caer, lo hacen libremente una vez que se dejan en libertad. La aceleración que
adquieren es siempre la aceleración de gravedad, vertical hacia abajo, cualquiera sea la
dirección inicial del movimiento.

Como el movimiento de caída libre es en una dimensión, con aceleración constante, se puede
adoptar como dirección del movimiento al eje vertical y.

Por lo tanto se pueden aplicar las ecuaciones para el movimiento en una dimensión, tomando al
eje y en la dirección del movimiento de caída, por convención positivo hacia arriba (+↑). Con
esta convención, un movimiento de caída libre de ascenso o de descenso tiene una aceleración g
negativa (−g). También se debe tener en cuenta que si el cuerpo asciende (desciende) su
velocidad será positiva (negativa) en este sistema de referencia. De esta forma las ecuaciones de
movimiento se transforman en las ecuaciones para caída libre:

−g SI
Ecuaciones que rigen la Caída Libre.- Lo que se considera para definir las ecuaciones del
M.R.U.A., es que la a= - ⃗g y el desplazamiento x= ⃗y ( sube +x, baja –x)

v=v 0 −¿ (a)

y= ( v−v2 ) t
0
(b)

1 2
y=v 0 t− g t . (c)
2
2 2
v =v 0 −2 gy (d)

Primer Caso.- Existen 5 posibles casos

1er cuando se encuentra sobre sobre el nivel de referencia de
subida.(desplazamiento y velocidad +por que la flecha está
dirigida hacia arriba)
2do en el punto más alto de la trayectoria (+d + v =0 hmax)Ec
(a)tiempo empleado, la altura con ec.(d)
3er Cuando sigue sobre el nivel de referencia pero de bajada
(+d, -v )ec. (d) por que la raíz cuadrada tendremos dos
valores uno de subida y dos de bajada, si nos interesa el
tiempo la ec. (c)± (subida y bajada)
4to Cuando llega al punto inicial a la misma altura de la línea
de referencia (desplazamiento nulo, la velocidad será igual al
de la velocidad inicial, de sentido contrario o negativo –v) ec
(d)±, si requerimos el tiempo ec ( c)±,
5to cuando se encuentra por debajo del nivel de referencia de
bajada ( -v y- y )
Segundo caso.- Cuando se deja caer una partícula con
velocidad inicial cero, y cuando se deja caer una partícula con
velocidad inicial diferente de cero.
 CINEMATICA DE UNA PARTICULA EN DOS DIMENSIONES

Movimiento Parabólico o Movimiento de un Proyectil (M.P.)

Cuarto Movimiento de Cinemática

Cualquier objeto que sea lanzado en el aire con una velocidad inicial ⃗v 0 de dirección arbitraria, se
mueve describiendo una trayectoria curva en un plano.
Si para esta forma común de movimiento se supone que:
a) la aceleración de gravedad es constante en todo el movimiento (aproximación válida para el
caso en que el desplazamiento horizontal del cuerpo en movimiento sea pequeño comparado con
el radio de la Tierra)
b) se desprecia el efecto de las moléculas de aire sobre el cuerpo (aproximación no muy buena
para el caso en que la rapidez del cuerpo en movimiento sea alta), entonces a este tipo de
movimiento se le llama movimiento de proyectil y se produce en dos dimensiones.

Se elige el sistema de coordenadas (x, y) tradicional como se ve en la figura, donde se dibuja la

trayectoria de una partícula en movimiento en dos dimensiones, junto con los vectores velocidad
y aceleración de gravedad. Suponiendo que en el instante inicial t = t 0 el proyectil se encuentra
en la posición inicial ( x 0, y 0) moviéndose con una velocidad inicial ⃗v 0 que forma un ángulo α 0
con la horizontal, bajo la acción de la aceleración de gravedad ⃗g

En este tipo de movimiento tenemos tres casos dependiendo del ángulo de tiro

Primer Caso.- Angulo de tiro mayor a cero

Segundo Caso.- Cuando el ángulo de tiro es igual a cero

Tercer Caso.- Cuando el ángulo es menor a cero

La velocidad de tiro o rapidez de lanzamiento es representada por v 0 y su ángulo de tiro α 0, la

aceleración de la gravedad -g solo afectara en el eje y (M.R.U.A.) no así en el eje x (M.R.U.)

Cuando calculamos el tiempo, tendremos dos valores + que sube – cuando baja
El ángulo de tiro será cte.
Para el eje x la velocidad en todo momento es constante no varía.
Para el eje y la velocidad tendrá los siguientes signos(ver Fig 4.1).
Para t 0 ⇒ v y =+¿
Para t 1 ⇒ v y =+¿
Para t 2 ⇒ v y =cero
Para t 3 ⇒ v y =−¿ (igual que t 1 pero de bajada)
Para t 4 ⇒v y =−¿ (igual que t 0 pero de bajada)
Para t 5 ⇒ v y =−¿

DEFINICIÓN
El movimiento parabólico, es aquel movimiento compuesto cuya trayectoria es la de una línea
curva de forma parabólica, considerada como la composición de un movimiento horizontal
rectilíneo uniforme y un movimiento vertical uniformemente variado por la acción de la
aceleración de la gravedad.
CARACTERISTICAS DEL MOVIMIENTO PARABOLICO
El movimiento parabólico de un cuerpo en general, se estudia considerando las siguientes
características como muestra la figura 4.1.
LIMITACIONES DEL MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Altura a la que se eleva el proyectil no debe ser demasiado elevado, caso contrario es necesario
considerar la variación de “g” con la altura.
La velocidad de disparo del proyectil, no debe ser demasiado alta caso contrario el proyectil gira
alrededor de la tierra en una trayectoria elíptica.
El alcance horizontal debe ser lo suficientemente corto para no tomar en cuenta la curvatura de la
tierra.
Cuando el proyectil regresa al plano de lanzamiento, el ángulo que forma dicho plano es igual al
ángulo de lanzamiento.
La velocidad con que el proyectil regresa al nivel del plano de lanzamiento es igual a la
velocidad con que salió el disparo.
a) FORMA DE LA TRAYECTORIA: parabólico

v0y
θ0
=

v 0x =v x
b) VELOCIDAD DEL MOVIMIENTO HORIZONTAL: Movimiento Uniforme Rectilíneo
Componentes de la velocidad sub cero
v 0 x= Constante (1)
De la figura 4.1:
v 0 x= v 0 cosθ0 (2)
Remplazar (1) en (2):
v x=v 0 cosθ 0 (4.1)
En eje x la aceleración es nula y la velocidad es cte.⇒M.R.U
c) VELOCIDAD DEL MOVIMIENTO VERTICAL: Uniformemente Variado

1) Velocidad vertical inicial:

De la figura 4.1
v 0 y = v 0 senθ0 (1)

2) Velocidad vertical en un punto cualquiera de la trayectoria parabólica:

v y=v 0 y −gt (2)

Reemplazando (1) en (2)

v y=v 0 senθ0 −gt (4.2)

4.3 ECUACIONES PARA EL MOVIMIENTO PARABOLICO DE LOS CUERPOS

a) Desplazamiento horizontal

v x= Constante (1)
x=v x∗t
(2)

v x=v 0 cosθ 0 (3)

Remplazar (3) en (2)
x=v 0 cosθ0 t (4.3)

b) Desplazamiento vertical

Como el movimiento vertical es uniformemente variado tenemos:

 1
y=v 0 y t− gt 2
2 (1)

v 0 x=v 0 senθ 0 (2)

Remplazando (2) en (1)

1
y=v 0 sen θ 0 t− gt 2
2
(4.4)

Para calcular el Modulo del vector velocidad tenemos que aplicar el teorema de pitagoras

Para calcular el ángulo del vector velocidad tenemos que aplicar la tangente.

|⃗v|= √|⃗
2 2
v x| +|⃗
v y|

|⃗v y|
tan α=
|⃗v x|

c) Ecuación de la trayectoria parabólica

De la ecuación 4.3

x
t=
v 0 cos θ 0 (1)
Remplazando (1) en (4.4) se tiene:
gx 2
y=tg θ0 x−
2 v 2 cos2 θ 0
0 (4.5)
d) Tiempo de vuelo

En la ecuación (4.4) y=0, Se tiene:

1
0=v 0 senθ0 t− gt 2
2
(1)
Despejado el tiempo t de (1)
 2 v 0 senθ 0
t=
g (4.6)

e) Alcance horizontal máximo “r” o “xmax”

Reemplazando ecuación (4.6) en (4.3) se obtiene:

v 2 sen 2 θ0
0
x max =
g (4.7)

f) Altura máxima “H” o “ymax”

De la ecuación (4.2)
v y=0 , se tiene:
0=v 0 senθ0−gt (1)
Despejando el tiempo t:
v 0 senθ0
t=
g (2)
Remplazando ecuación (2) en (4.4):
v 2 sen2 θ0
0
y max =
2g (4.8)

Con un ángulo de 45 grados de ángulo de tiro se logra un máximo alcance

Con ángulos complementarios de logra el mismo alcance para ambos proyectiles 60 y 30 grados
 Movimiento Circular

Quinto movimiento de Cinemática

Es aquel movimiento cuya trayectoria es una circunferencia, llamamos cuerpo rigido por que un
cuerpo que este fijo le aplicamos una fuerza, este cuerpo tendrá un movimiento circular y el eje
será el punto donde se encuentra fijo.
En esta trayectoria existe dos casos:
1erCuando el movimiento circular se lo realiza en forma vertical.
2doCuando el movimiento circular se lo realiza en forma horizontal.

Cinemática en el movimiento circular:

La descripción de los movimientos rectilíneos uniformes (MRU) y uniformemente acelerados

(MRUA) puede extenderse a movimientos de trayectoria no rectilíneo, si no se tienen en cuenta
aquellos aspectos del movimiento relacionados con el cambio de orientación que sufre el móvil
al desplazarse a lo largo de una trayectoria curvilínea.

Por tanto, un movimiento circular uniforme o uniformemente acelerado, se puede estudiar

recurriendo a las relaciones, deducidas en el estudio de los movimientos rectilíneos. Sin
embargo, la posibilidad de describir el desplazamiento del punto móvil mediante el ángulo
barrido por uno de los radios, abre un nuevo camino para su estudio, exclusivo de los
movimientos circulares, empleando magnitudes angulares y no magnitudes lineales, es decir,
utilizando magnitudes referidas a ángulos y no a la línea trayectoria.

Magnitudes lineales y magnitudes angulares

La magnitud fundamental es el ángulo barrido por el radio que une el punto móvil con el centro
de la trayectoria circular, ángulo que se expresa en radianes (radianes). Un radian es la unidad SI
de medida de ángulo plano y se define como el ángulo central (con vértice en el centro de una
circunferencia) cuyo arco correspondiente tiene una longitud igual al radio. Dado que la longitud
de la circunferencia es igual a 2π veces el valor del radio, el ángulo central completo medirá.
A partir de la definición del radian, se puede establecer una relación entre la longitud del arco
(S), que en términos cinemáticos coincide con el espacio, y el ángulo “”. Así, expresar el
ángulo “” en radianes equivale a decir cuántas veces el radio R está contenido en la porción de
arco S correspondiente, lo que en términos matemáticos se expresa en la forma:

El arco S es igual al delta tita por el radio:

S=θ∗R

Se observa que el ángulo es una variable adimensional, pero se le asigna como unidad de medida
el nombre del ángulo, llamado radian, con símbolo rad. de la ecuación anterior, se define un
radian como el ángulo subtendido por un arco de circunferencia de igual longitud que el radio de
la misma. Como en una circunferencia, S = 2πR, y 2π (rad) = 360º, se puede encontrar la relación
entre radianes y grados:

2π 0
θ(rad)= 0
θ
360

De aquí se deduce que el valor en grados de un radian es 1 rad = 57.3º, y que por ejemplo, 45º =
π/4 rad.

Magnitudes angulares:

Para describir un movimiento circular se elige la opción angular, es decir, en términos de

variación del ángulo θ con el tiempo. Se hace necesario entonces, introducir otras magnitudes
angulares que desempeñen el mismo papel que la velocidad y la aceleración en la descripción
lineal.
Velocidad angular media como el cociente entre el ángulo barrido y el tiempo empleado, es
decir:
Su dirección es perpendicular al plano de rotación y su sentido se determina mediante la regla de
la mano derecha o regla del saca corchos.

w
⃗

⃗v

A la velocidad angular se lo conoce también como rapidez angular o Frecuencia Angular.

∆ θ ⃗θ f −θ⃗ 0
w= =
∆t t−0
∆ θ dθ
Y el valor instantáneo w= lim w=¿ lim = ¿
∆ t →0 ∆t→0 ∆ t dt

Unidades: De acuerdo con su definición, la velocidad angular en SI será el [ ]

rad
s
, RPM

(revolución por minuto), RPS(revolución por segundo), etc

Dado que la velocidad angular w puede variar con el tiempo, es necesario introducir una
magnitud que dé idea de la rapidez con la que dicha variación tiene lugar; esto es, lo que se
entiende por aceleración angular. Esta es dada por:
 ∆w ⃗ wf −⃗
w0
α= =
∆t t −0

Y el valor instantáneo
∆w
α = lim α =¿ lim ¿
∆ t →0 ∆t→0 ∆t

Las unidades para la aceleración angular α en el SI, de acuerdo con su definición es:

[ ][
rad
s
s
rad
= 2 .
s ]
Movimiento Circular Uniforme

Se llama movimiento circular uniforme cuando la rapidez lineal y la velocidad angular son
constantes, (la velocidad lineal no llega a ser constante porque es un vector y este cambia su
dirección continuamente, (luego explicaremos este efecto)).
En lapsos de tiempo constante debe existe un desplazamiento angular igual ( θ⃗ ¿ como
desplazamiento lineales.

Velocidad Lineal o Tangencial.- Es una magnitud vectorial cuyo valor mide la longitud
curvilínea circular que recorre el móvil en cada unidad de tiempo. Su dirección es tangente en
cada punto de esta y su sentido indica el sentido de rotación

S
v⃗ =
t

Unidades.- metros/s ; km/h; cm/s, etc

Para relacionar el movimiento lineal y el movimiento circular, despejamos el arco de la ecuación
de la velocidad lineal, y el angulo de la velocidad angular:
S=⃗v t θ=⃗
wt
Y remplazamos en s=θ∗R

Reemplazar en la ecuación tenemos: ⃗v t=⃗

wt R

obtendremos la relación de las velocidades

⃗v =⃗
wR

Ahora relacionaremos con el periodo y la frecuencia.

Periodo.- (T) Es el tiempo que tarda un cuerpo rígido en dar una vuelta .

Tiempo Total
T=
¿ de vueltas

Si consideramos en el periodo cobo base una vuelta eso quiere que remplazamos uno en el
denominador entonces la ecuación anterior se convierte en:

T =t → S=2 πR

Entonces las ecuaciones de la Velocidad Lineal Y la Velocidad angular se pueden expresar en:

2R
⃗v =
T

2π
w
⃗=
T

Frecuencia.-() Es el número de vueltas en una unidad de tiempo

¿ de vueltas
¿
tiempo total

1
¿
T
Se mide en vueltas por segundo o revoluciones por segundo.

Aceleración Lineal o Tangencial.- (a⃗ ¿ Es un vector y mide el cambio de velocidad lineal en

una unidad de tiempo (modulo), su dirección esta definido por la tangente de la trayectoria y su
sentido es el mismo de la velocidad tangencial si es acelerado, si es desacelerado es inverso a la
de la velocidad.

El vector velocidad no cambia de magnitud pero si de dirección, por eso es que siempre una  ⃗v

En estos gráficos existen dos triángulos iguales, los que forman las velocidades lineales y los que
forma los radios y el ángulo.
Como son iguales podemos escribir lo siguiente.
∆s ∆v
=
r v
∆s
∆ v=v
r
∆v
Sabemos que la aceleración media a med= remplazamos la anterior ec.
∆t
∆s v
a med= aplicamos limites para convertir a la aceleración media en aceleración instantanea
∆t R
∆s v ∆s
a i= lim ( ¿ ) ¿ sin embargo sabemos que lim ( ¿ ) es igual ala v ¿ en cualquier punto o
∆t→0 ∆ t R ∆ t →0 ∆ t

momento así podemos omitir el subíndice entonces podemos escribir:

 vv
aN =
R

v2
aN =
R

Aceleración Angular.- (α⃗ ¿ Es un vector y representa la variación de la velocidad angular por

una unidad de tiempo (modulo), la dirección es perpendicular al plano y el sentido el mismo que
la ⃗
w si es acelerado y al contrario si es desacelerado.

P
P

α⃗

Aceleración Angular Aceleración Angular

positiva negativa

Movimiento Circular Variado

Movimiento se caracteriza por que la aceleración angular y aceleración tangencial se mantienen

constantes, esta última cambia de dirección continuamente.

El movimiento circular acelerado va aumentando su velocidad v 0 inicialmente y v f velocidad

final

∆ v v−v 0
a t= =
∆t t

w f R−w0 R
a t=
t

(w f −w0 ) R
a t=
t
 a t=αR

(w f −w 0)
α⃗ =
t

Aceleración instantánea:
dw d 2 w dw
α= = 2 =w
dt d t dθ
Ecuaciones que se utilizan para este tipo de movimiento
Tangenciales, son las mismas que para el movimiento rectilíneo uniformemente variado MRUV
v f =v 0 ∓ at t
1 2
S=v 0 t ± at t
2

2 2
v f =v 0 ∓ 2 a t x

Angulares
v⃗ =⃗wR
a t=αR
Estas dos fórmulas reemplazamos en las ec. Tangenciales tenemos.

w f R=(⃗
⃗ w 0 R) ∓( αR)t w f =⃗
⃗ w0∓ α t

1 2 1 2
R=( ⃗
w0 R) t ± (αR )t ¿⃗
w 0t ± α t
2 2

2 2 2 2
(⃗
w ¿¿ f R) =( ⃗
w0 R) ∓ 2(αR ) R ¿ w f =⃗
⃗ w0 ∓2 α
Si el movimiento es acelerado utilizar signo positivo (+) y el movimiento es desacelerado utilizar
signo negativo (-)
Se puede utilizar también

S= (
v f +v 0
2
t )
¿ (w f + w0
2
t )
Aceleración Total

Para el caso en que durante el movimiento circunferencial de la partícula cambia la velocidad

tanto en dirección como en magnitud, la velocidad siempre es tangente a la trayectoria, pero
ahora la aceleración ya no es radial, sino que forma un ángulo cualquiera con la velocidad. En
este caso es conveniente escribir la aceleración en dos componentes vectoriales, una radial hacia
el centro ar o Normal y otra tangente a la trayectoria at, entonces a se escribe como:

a⃗ T =⃗at +a⃗ r

En esta ecuación, la componente radial o Normal de la aceleración es la aceleración centrípeta o

Normal originada por el cambio en la dirección de la velocidad y la componente tangencial es
producida por el cambio en la magnitud de la velocidad, por lo tanto su valor numérico es:
2
dv v
a t= aN =
dt R

Módulo de la aceleración instantánea o Total

a T = √ a N 2+ at2
Dirección
aN aN
tg θ= θ=arc tg ( )
at at
Si tenemos el ángulo  y la a T entonces
 a t=aT cosθ aN =a T senθ
Continua Estatica