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    B Segundo Examen de Transformadas 1 2018 2018062616

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    Chris Salas
    1. El documento presenta un examen de matemáticas sobre transformadas e integrales con 4 preguntas. Se pide hallar transformadas de Fourier y de Laplace de diferentes funciones. 2. Se provee la solución detallada a cada una de las 4 preguntas del examen, incluyendo los pasos para llegar a la respuesta. 3. El documento contiene la solución del segundo parcial de Transformadas e Integrales del año 2017 a cargo del profesor Alvaro Carrasco.

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    1. El documento presenta un examen de matemáticas sobre transformadas e integrales con 4 preguntas. Se pide hallar transformadas de Fourier y de Laplace de diferentes funciones. 2. Se provee la solución detallada a cada una de las 4 preguntas del examen, incluyendo los pasos para llegar a la respuesta. 3. El documento contiene la solución del segundo parcial de Transformadas e Integrales del año 2017 a cargo del profesor Alvaro Carrasco.

    Descripción original:

    Examen transformadas

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    1. El documento presenta un examen de matemáticas sobre transformadas e integrales con 4 preguntas. Se pide hallar transformadas de Fourier y de Laplace de diferentes funciones. 2. Se provee la solución detallada a cada una de las 4 preguntas del examen, incluyendo los pasos para llegar a la respuesta. 3. El documento contiene la solución del segundo parcial de Transformadas e Integrales del año 2017 a cargo del profesor Alvaro Carrasco.

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    1. El documento presenta un examen de matemáticas sobre transformadas e integrales con 4 preguntas. Se pide hallar transformadas de Fourier y de Laplace de diferentes funciones. 2. Se provee la solución detallada a cada una de las 4 preguntas del examen, incluyendo los pasos para llegar a la respuesta. 3. El documento contiene la solución del segundo parcial de Transformadas e Integrales del año 2017 a cargo del profesor Alvaro Carrasco.

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    de 3

    UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

    Facultad de Ciencias y Tecnología


    Departamento de Matemáticas
    Prof.: Mgr. A. Carrasco C. Fecha: 16 de junio de 2018

    Segundo parcial de Transformadas e Integrales

    A.Paterno/A.Materno/Nombres: ................................/................................./..............................

    Carrera/ C. I. /Firma ................................/................................./..............................

    Recomendaciones: Lea cuidadosamente cada pregunta y justi…que sus respuestas, pregunta


    sin desarrollo se considera nula. No se permite uso de calculadoras. Prohibido copiar.

    cos (2t)
    1. (25 puntos) Hallar la transformada de Fourier de la función f (t) =
    t2 + 4t + 8
    2. (25 puntos) Hallar la transformada de Fourier del pulso usando la sucesión de funciones
    ; Pd ; sgn; de izquierda a derecha:

    3. (25 puntos) Hallar una solución particular para la siguiente ecuación diferencial:

    x0 (t) + 8x(t) = t + e 3t
    (t)

    4. (25 puntos) Hallar la transformada de Laplace de la función

    f (t) = t sinh (3t) cos2 (7t)

    1
    Solución del segundo parcial de Transformadas e Integrales I-2017
    Responsable Mgr. Alvaro H. Carrasco C.

    cos (2t)
    1. Hallar la transformada de Fourier de la función f (t) =
    t2 + 4t + 8
    Solución: como t2 + 4t + 8 = (t + 2)2 + 4

    1 2jwj
    F = e
    t2 + 22 2
    1
    F = e2iw e 2jwj
    (t + 2)2 + 22 2

    como cos (2t) = 12 (e2it + e 2it


    ) ; entonces

    1 1 1 1 1
    F cos (2t) = F e2it 2 + F e 2it
    t2 + 4t + 8 2 t + 4t + 8 2 t2 + 4t + 8
    1 1
    = e2i(w 2) e 2jw 2j + e2i(w+2) e 2jw+2j = e2i(w 2) 2jw 2j + e2i(w+2) 2jw+2j
    2 2 2 2 4 4
    2. Hallar la transformada de Fourier del pulso usando la sucesión de funciones ; Pd ; sgn; de
    izquierda a derecha:

    Solución:
    7 5 11
    f (t) = 4 (t ( 3)) + 3P5 t + sgn (t 6) +
    2 2 2
    1 7iw 6 w 5
    F [f (t)] = 4e3iw (w) + +e 2 sin +e 6iw
    + 11 (w)
    iw w 2 iw
    3. Hallar una solución particular para la siguiente ecuación diferencial:

    x0 (t) + 8x(t) = t + e 3t
    (t)

    Solución:

    2
    1 1 3t 8t 3t
    x(t) = F t+e (t) = e (t) t+e (t)
    8 + iw
    Zt
    3x 8(t x) 1 3t 1 59 8t 1
    = x+e e dx (t) = e + t e (t)
    5 8 320 64
    0

    4. Hallar la transformada de Laplace de la función

    f (t) = t sinh (3t) cos2 (7t)

    Solución:
    1 1 1 s
    L cos2 (7t) = L (1 + cos (14t)) = + 2
    2 2 s s + 142
    d 1 1 s 1 1 196 s2 1 196 s2
    L t cos2 (3t) = + 2 = + =
    ds 2 s s + 142 2s2 (s2 + 196)2 2s2 2 (s2 + 196)2
    " # " #
    1 1 196 (s 3)2 1 1 196 (s + 3)2
    L sinh (3t) t cos2 (3t) =
    2 2 (s 3)2 2 (s 3)2 + 196
    2
    2 2 (s + 3)2 2 (s + 3)2 + 196 2

    1 196 (s 3)2 1 196 (s + 3)2


    = +
    4 (s 3)2 4 (s 3)2 + 196
    2
    4 (s + 3)2 4 (s + 3)2 + 196 2

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