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    Derivada de Una Función Vectorial o Un Campo Vectorial

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    Maidyyulieth sanchez cuellar
    1) Se define la derivada de una función vectorial r(t) y se muestran las reglas para derivar la suma, producto y composición de funciones vectoriales. 2) Se presentan ejemplos de derivar funciones vectoriales como r(t)=(1+t)3i+te-tj+sin2tk y r(t)=e1/2tsin(t -π),5t5lnt,t7cos2πt. 3) También se muestra cómo derivar el producto cruz de funciones vectoriales r(t) y s(t).

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    Derivada de Una Función Vectorial o Un Campo Vectorial

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    Maidyyulieth sanchez cuellar
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    1) Se define la derivada de una función vectorial r(t) y se muestran las reglas para derivar la suma, producto y composición de funciones vectoriales. 2) Se presentan ejemplos de derivar funciones vectoriales como r(t)=(1+t)3i+te-tj+sin2tk y r(t)=e1/2tsin(t -π),5t5lnt,t7cos2πt. 3) También se muestra cómo derivar el producto cruz de funciones vectoriales r(t) y s(t).

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    DERIVADA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL O UN CAMPO VECTORIAL

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    1) Se define la derivada de una función vectorial r(t) y se muestran las reglas para derivar la suma, producto y composición de funciones vectoriales. 2) Se presentan ejemplos de derivar funciones vectoriales como r(t)=(1+t)3i+te-tj+sin2tk y r(t)=e1/2tsin(t -π),5t5lnt,t7cos2πt. 3) También se muestra cómo derivar el producto cruz de funciones vectoriales r(t) y s(t).

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    1) Se define la derivada de una función vectorial r(t) y se muestran las reglas para derivar la suma, producto y composición de funciones vectoriales. 2) Se presentan ejemplos de derivar funciones vectoriales como r(t)=(1+t)3i+te-tj+sin2tk y r(t)=e1/2tsin(t -π),5t5lnt,t7cos2πt. 3) También se muestra cómo derivar el producto cruz de funciones vectoriales r(t) y s(t).

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    DERIVADA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL O UN CAMPO VECTORIAL

    Sea r ( t )=( f ( t ) , g ( t ) , h ( t ) )=f ( t ) i+ g ( t ) j+ h ( t ) k , donde f ( t ) , g ( t ) y h(t ) son funciones de valor real y variable
    real. Entonces la derivada de r (t ) es:

    dr r ( t +∆ t )−r ( t )
    ( t )= lim
    dt t→ ∆t ∆t
    Lo que equivalente a decir que:

    dr f ( t+ ∆ t ) i+ g ( t +∆ t ) j+ h ( t+ ∆ t ) k −f ( t ) i−g ( t ) j−h ( t ) k
    ( t )= lim
    dt t→∆t ∆t
    dr f ( t+ ∆ t )−f ( t ) g ( t +∆ t )−g ( t ) h ( t +∆ t )−h ( t )
    ( t )= lim i+ lim j+ lim k
    dt t→∆t ∆t t →∆ t ∆t t→∆t ∆t
    dr df dg dh
    ( t )= ( t ) i+ ( t ) j+ ( t ) k
    dt dt dt dt

    REGLAS DE LA DERIVACIÓN

    Si u ( x ) y v ( x ) son funciones vectoriales, c una constante y f (t) un a función de valor y variable real. Entonces

    d d d
    1) ( u ( t ) + v ( t ) )= ( u ( t ) )+ ( v ( t ) ) Derivada de una suma o resta de funciones
    dt dt dt
    d du
    2) c u ( t )=c ( t ) Derivada de una función por una constante
    dt dt
    d df du
    3) ( f ( t ) u ( t ) )= ( t ) u ( t ) + ( t ) f (t ) Regla del producto de funciones vectoriales
    dt dt dt
    d du dv
    4) ( u ( t ) v ( t ) )= ( t ) v ( t ) + ( t ) u(t) Regla del producto de una fusión escalar y
    dt dt dt
    vectorial
    d du dv
    5) ( u ( t ) × v ( t ) )= ( t ) × v ( t ) + (t )×u (t) Regla del producto cruz de funciones
    dt dt dt
    vectoriales
    d
    6)
    dt
    ( u ( f ( t ) ) ) = du
    dt dt
    df
    ( t ) (t) Regla de la cadena de una función vectorial

    Ejemplo I Derive la función r ( t )=( 1+t )3 i+ t e−t j+sin 2 t k

    dr d d d
    ( t )= ( 1+ t )3 i+ t e−t j+ sin2 t k
    dt dt dt dt
    dr
    ( t )=3 ( 1+t )2 i+ ( e−t −t e−t ) j+ 2cos 2 t k
    dr
    1
    Ejemplo II (
    Derive la función r ( t )= e t sin ( t 2−π ) ,5 t 5 lnt , t 7 cos2 πt )
    1
    dr d t d d
    dt
    ( t )= (
    dt
    e sin ( t 2−π ) , 5 t 5 lnt , t 7 cos 2 πt
    dt dt )
    −6 1
    dr 1 1
    dt (
    ( t )= e t sin ( t 2−π ) + cos ( t 2−π ) ( 2t ) et , 25 t 4 ln t+ 5 t 5 , t
    t 7
    7 2
    cos πt +2 cos πt (−sin πt )( π ) t 7 )
    −6 1
    dr
    dt ( 1
    ( t )= e t ( sin ( t 2−π ) +2 t cos ( t 2−π ) ) , 25 t 4 ln t+5 t 4 , cos πt t
    7 ( 7 7
    cos πt−2 π t sin πt ))

    1
    h ( t )=t 7 cos 2 πt
    1
    m ( t )=t 7 n ( t )=cos 2 πt

    dm 1
    −6
    dn
    (t)= t 7
    ( t )=2 cos πt (−sin πt ) π
    dt 7 dt
    dn dn du dv
    ( t )= (u ) ( v ) (t)
    dt du dv dt
    dh dm dn
    ( t )= ( t ) n ( t )+ ( t ) m(t)
    dt dt dt
    −6 1
    dh 1
    ( t )= t 7
    cos2 πt +2 cos πt (−sin πt ) π t 7
    dt 7
    −6 1
    dh 1
    dt
    ( t )=cos πt t
    7 ( 7 7
    cos πt−2 π t sin πt )
    d
    Ejemplo III Encuentre r (t)× s(t ) si r ( t )=(t , cos t , sin t) y s ( t ) =−i+ 4 t 3 j+e t k
    dt
    d
    dt
    [ r ( t ) × s ( t ) ]= dtd r ( t ) × s ( t ) + dt
    d
    s (t) ×r (t )

    d
    [ r ( t ) × s ( t ) ]=(i−sin t j+cos t k) ×(−i+4 t 3 +e t k )+(0 i+12 t 2 j+e t k )×(ti+ cos t j+ sint k )
    dt
    i j k
    d
    dt |
    r (t ) × s ( t ) = 1 −sint
    −1 4 t3 et |
    cos t =(−et sin t−4 t 3 cos t ) i−( e t +cos t ) j+ ( 4 t 3−sin t ) k

    i j k
    d
    dt | |
    s ( t ) ×r ( t ) = 0 12 t 2 e t =( 12 t 2 sin t−e t cos t ) i−t e t j−12 t 3 k
    t cos t sin t

    −( et ( sin t+ cos t )+ 4 t 2 ( t cos t+3 sin t ) ) i+ ( −e t ( 1+ t )−cos t ) j+ (−8 t 3−sin t ) k

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