GUÍA DE EJERCICIOS

Unidad 1

DERIVADAS

DEFINICIÓN DE DERIVADA

La derivada de la función f (x) se define mediante el límite:

f ( x + h) − f ( x )
f ' ( x) = lim
h →0 h

1. Utilice la definición de derivada para hallar la derivada de la siguiente función:

f ( x) = 5 x 2

DERIVADAS ELEMENTALES

1. Si f ( x) = x
n
; f ' ( x) = n  x n −1

2. Si f ( x) = C , con C una constante; f ' ( x) = 0

3. Si f ( x) = b f ' ( x) = b x  ln(b)
x
;

4. Si f ( x) = e f ' ( x) = e x
x
;

1
5. Si f ( x) = log b ( x) ; f ' ( x) =
x  ln(b)
1
6. Si f ( x) = ln( x) ; f ' ( x) =
x

2. Determine la derivada de las siguientes funciones:

a) f ( x) = x b) f ( x) = x c) f ( x) = 2
2 5

d) f ( x) = e) f ( x) = 3 x f) f ( x ) = e
x
x

1
 g) f ( x) = 2 h) f ( x) = ln( x) i) f ( x) = log( x)
x

ALGEBRA DE LAS DERIVADAS

1. Derivada de una suma (diferencia)

 f ( x)  g ( x)' = f ' ( x)  g ' ( x)

2. Derivada de un producto

 f ( x)  g ( x)' = f ' ( x)  g ( x) + f ( x)  g ' ( x)

3. Derivada de una división

 f ( x)  f ' ( x)  g ( x) − f ( x)  g ' ( x)
 g ( x)  ' =
  ( g ( x ) )2

3. Determine la derivada de las siguientes funciones:

a) f ( x ) = 3 x − x + 5 b) f ( x) = 6 x + 5 x − 6
2 2

c) f ( x) = x + 3 x + 3 x + 1 d) f ( x) = 4 x − x
3 2 3

e) f ( x) = x + ln( x) f) f ( x) = e − x −2
x

4. Determine la derivada de las siguientes funciones:

a) f ( x ) = x  e b) f ( x) = x  ln( x)
x 2

x4 ex
c) f ( x) = x d) f ( x) =
e ln( x)

ln( x)
e) f ( x) = f) f ( x) = x  2
2 x
x

5. Determine la derivada de las siguientes funciones:

( )(
a) f (t) = t 2 + 1 × t 3 + t 2 + 1 ) b) f (z) =
1 1
- 2
2z 3z
2
 t -1 3x
c) f (t) = d) f (x) =
t + 2t + 1
2
x + 7x - 5
3

5 - 4x2 + x5 2
e) f (x) = f) f (x) = 4 x5 +
x3 x

OTRAS NOTACIONES PARA LA DERIVADA

Si y = f (x) , la deriva de f (x) se puede anotar de las siguientes formas:

dy
f ' ( x) = = f (1) ( x)
dx

dy
6. En cada caso, determine :
dx

a) y = 2 x + 3 x + 6 b) y = ax + bx − c
3 2 2

x2
c) y = x  ln( x ) d) y= x
e

6x
e) y = x 2 f) y =
3 x
log( x )

7. Determine la derivada de las siguientes funciones:

( ) ( )
6 -5
a) f (x) = x + x b) f (x) = 2x + 1
2 3

f ( x) = (2 x + 3) 2
3
c) d) f (x) = x3 + 1

t2 + 1 1
e) f (t) = 2 f) f (u) =
t -1 ( u + 1)2

8. Determine la derivada de las siguientes funciones:

x 2 +6 3−5t
a) f ( x) = e b) f (t ) = e

e 2u
f ( x) = x 2  e − x
2
c) d) f (u ) =
u
3
 2 x +8
e) f ( x ) = 5 f) f ( w) = 2 w  2
6w

9. Determine la derivada de las siguientes funciones:

1 + u 
a) f ( x) = ln(3x − 4) b) f (u ) = ln 
1 − u 

c) ( )
f (t ) = t 2 + 1  ln(2t + 1) (
d) f ( w) = ln 1 + w
2
)
e) f ( x) = log x + 2 ( 3
) (
f) f ( x) = log 2 x − x
4
)

10. Determine la derivada de las siguientes funciones:

(
a) f (x) = x3 + ln x2 + 1 ) b) f (t) = et × t 5 + 2

c) f ( x) = 3 e x + ln( x) d) f (u) = ln( u + 2u )

d2y d3y
11. En cada caso, determine y :
dx 2 dx 3

a) y = 2 x + x − 1 b) y = x + ln( x ) + 2
5 2 6

c) y = e − x−x d) y = e 
x x
x

12. Aplicando la Regla de L’Hopital calcule los siguientes límites:

x 3 − 3x 2 2 x 2 − 5x + 2
a) lim 4 b) lim
x →0 3 x − 2 x x →2 5 x 2 − 7 x − 6

x +1− ex ln( x − 1)
c) lim d) lim
x →0 x2 x→2 x − 2

2e x − 3 + e −2 x x +1 − 2
e) lim f) lim
x →0 x2 x→1 x −1

4
 SOLUCIONES GUÍA DE EJERCICIOS Nº 0

DERIVADAS

1
1. a) 10x b) −
x2

2. a) 2 x b) 5x 4 c) 0

1 1
d) e) f) e x
2 x 3 x3 2

1 1
g) 2  ln(2)
x
h) i)
x x  ln(10)

3. a) 6 x − 1 b) 12x + 5

c) 3x + 6 x + 3 d) 12x − 1
2 2

1 1
f) e −
x
e) 1+
x 2 x

1
4. a) e + x  e
x x
b) 2 x ln( x) + x 2  = 2 x ln( x) + x
x

ex
4x e − x e
3 x 4 x e  ln( x) −
x
4x 3 − x 4 x
c) = d)
e2x ex 2
ln ( x)

1
 x − ln( x)
x 1 − ln( x)
e) = f) 2 x  2 x + x 2  2 x  ln(2)
x2 x2

( 2
)( 2
) (
5. a) t + 1  3t + 2t + t + t + 1  (2t ) b)
3 2
) −1
+
6z
=
−1
+
2
2z 2 9z 4 2 z 2 3z 3

t 2 + 2t + 1 − (t − 1)(2t + 2) 3−t
c) =
(t + 2t + 1)
2 2
(t + 1)3

5
 3( x 3 + 7 x − 5) − 3x(3x 2 + 7) − 6 x 3 − 15
(x )
d) =
(x 3
+ 7x − 5 )
2 3
+ 7x − 5
2

(−8 x + 5 x 4 ) x 3 − (5 − 4 x 2 + x 5 )  3x 2 2 x 5 + 4 x 2 − 15
e) =
x6 x4

5 5 −1  1  −1 −1 3 −3
f) 4  x 2 + 2   −  x 2 = 10x 2 − x 2
2  2

6. a) 6 x 2 + 6 x b) 2ax + b

2x  e x − x 2  e x
c) ln(x ) + 1
(e )
d)
x 2

6x
6 ln(6)  log( x ) −
x
1 x ln(10)
e)  2 x + 3 x  2 x  ln(2) f)
33 x2 (log(x ))2

7. (
a) 6  x + x
2
)  (2x + 1)
5
b) − 5  2 x + 1 ( 3
)
−6
 6x 2

3 3x 2
c)  (2 x + 3) 2  2 = 3  (2 x + 3) 2
1 1
d)
2 2  x3 + 1

e) 
2t (t 2 − 1) − (t 2 + 1)  2t
1
= − 2t  t 2
+ 1
−1
2
 t 2
− 1
−3
2
( ) ( )
t +1
2 (t − 1)
2 2
2 2
t −1
2(u + 1) −2
f) − =
(u + 1) 4 (u + 1)3
x 2 +1 3−5t
8. a) 2 x  e b) − 5  e

c) 2 xe
− x2 2 2
(
+ x 2 e − x  (−2 x) = 2 xe − x 1 − x 2 )
2  e 2u  u − e 2u
d)
u2
2 x +8
e) 5  ln(5)  2 f) 2  2
6w
+ 2 w  2 6 w  ln(2)  6

6
 3 1 1 − u − (1 + u )  (−1) 2
9. a) b)  =
3x − 4 1+ u (1 − u ) 2 1− u2
1− u

2t 2 + 2 1 + w 2 − w  2w w
c) + 2t  ln(2t + 1) d) =
2t + 1 (1 + w )
2 2 1 + w2

e)
(
1
x + 2  ln(10)
3
 3x 2
) ( ) f)
(
1
)
x − 1  ln(2)
4
(
 4x3 −1 )

10. a) 3 x +
2 1
x +1
2
 (2 x ) b) e  t + 2 + e 
t 5 t 1
( )
 5t 4
2 t + 2
5

1  x 1 1  1 
c) e +  d)  + 2 u  ln(2) 
( 2 
)x u + 2  2 u 
u
3 3 e + ln( x)
x

d2y d3y
11. a) 2
= 40 x 3 + 2 ; 3
= 120x 2
dx dx

d2y 1 d3y 2
b) = 30 x 4
− ; = 120 x 3
+
dx 2 x2 dx 3 x3

d2y 1 d3y 3
c) 2
= e x + x −3 / 2 ; 3
= e x − x −5 / 2
dx 4 dx 8

d2y x −1 / 2 e x x −3 / 2
d) =e x +e x
x 1/ 2
−
dx 2 4

d3y 3 x −1 / 2 e x x −3 / 2 3 x −5 / 2
=e x + e x
x 1/ 2
−3 + e x
dx 3 2 4 8

3
12. a) 0 b)
13

−1
c) d) 1
2

1
e) 3 f)
2 2