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    Uso de La Derivada para Diversas Funciones

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    Samanta Plata
    1. Calcula la derivada de varias funciones. 2. Calcula la derivada implícita de una función. 3. Calcula derivadas sucesivas de una función. 4. Calcula derivadas de funciones implícitas asumiendo que una variable depende de otra. 5. Aplica el teorema del valor medio para hallar el punto c que satisface la relación dada entre funciones.

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    Uso de La Derivada para Diversas Funciones

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    1. Calcula la derivada de varias funciones. 2. Calcula la derivada implícita de una función. 3. Calcula derivadas sucesivas de una función. 4. Calcula derivadas de funciones implícitas asumiendo que una variable depende de otra. 5. Aplica el teorema del valor medio para hallar el punto c que satisface la relación dada entre funciones.

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    Uso de la Derivada para diversas funciones

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    Uso de la Derivada para diversas funciones

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    1. Calcula la derivada de varias funciones. 2. Calcula la derivada implícita de una función. 3. Calcula derivadas sucesivas de una función. 4. Calcula derivadas de funciones implícitas asumiendo que una variable depende de otra. 5. Aplica el teorema del valor medio para hallar el punto c que satisface la relación dada entre funciones.

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    de 5

    Calculo diferencial

    Unidad 3”

    Evidencia de aprendizaje. “Uso de la Derivada para diversas


    funciones”

    David Saúl Rangel García

    Samanta Valeria Plata Rivera

    ES1921020646

    TA-TCDI-2001-B1-002

    3 de marzo del 2020


    1. Calcula
    d
    dx [√ ]x 2−3
    2
    x +3
    =
    √ x −3(x2
    6x
    2
    +3)
    3
    2

    1
    d x 2−3 d x 2−3
    ( ) ( )
    dx x 2 +3
    2
    dx x 2+ 3
    =¿
    −1
    d 1 x 2−3
    ( )
    dx 2 x 2+ 3
    2
    ¿

    1 2 x ( x 2+3 )−2 x ( x 2−3 )

    (√ x 2−3
    2 2
    () ( x 2+3 )
    2
    )
    =¿

    x +3
    1

    (√ x 2−3
    2 2
    x +3
    )¿

    (√ x 2−3
    2 2
    x +3
    )¿

    ( √
    2∙ 2
    x 2−3
    √ x +3
    ¿
    )
    1

    ( 2 √ x 2−3
    √ x 2 +3
    ¿
    )
    √ x2 +3 ¿
    ( 2 √ x 2−3 )
    √ x2 +3 ∙ 12 x =¿
    2 √ x 2−3 ∙(x 2+ 3)2
    √ x 2 +3 ∙ 6 x =¿
    √ x 2−3 ∙( x 2 +3)2
    1
    6 x (x2 +3) 2
    =¿
    √ x 2−3 ( x2 +3)2
    6x
    3
    2 2
    √ x −3 ( x +3)2
    dy
    2. Calcular para la función implícita definida por la relación
    dx
    xy=sen(x + y )
    d d
    ( xy )= ( sen ( x+ y ) )
    dx dx
    d d d d
    dx
    ( x ) y + ( y ) x=cos ( x+ y )
    dx dx (
    ( x )+ ( y )
    dx )
    d d
    y+x
    dx (
    ( y ) =cos ( x+ y ) 1+ ( y )
    dx )
    y + xy '=cos ( x+ y ) ( 1+ y ' )
    y + xy '=cos ⁡( x + y )∙ cos ( 1+ y ) y '
    y + xy '− y=cos ( x + y ) ∙ y ' cos ( 1+ y )− y
    xy '=cos ( x+ y ) ∙ y ' cos ( 1+ y )− y
    xy '− y' cos ( x + y )=cos ( x + y ) ∙ y ' cos ( 1+ y )− y − y ' cos ( x+ y )
    xy '− y' cos ( x + y )=cos ( x + y )− y
    y'¿
    y ´ ( x +cos ( x + y ) ) cos ⁡( x + y ) y
    = −
    x+cos ( x + y ) x+ cos ( x+ y ) x +cos ( x + y )
    cos ( x + y )− y
    y '=
    x+ cos ( x+ y )
    d cos ( x + y )− y
    ( y )=
    dx x+ cos ( x+ y )
    d3 2 3 x
    3. Mediante derivadas sucesivas calcular (x e )
    d3
    d 2 3x d 3x 2
    ( x ) e + ( e ) x =27 x 2 e 3 x +54 x e3 x + 18 e3 x
    dx dx

    2 x ( e 3 x ) + e3 x 3 x2 =¿
    d
    ( 2 x e 3 x ) + d ( 3 x 2 e 3 x ) =¿
    dx dx
    d d d 2 3x d 3x 2
    2 (dx dx ) (
    ( x ) e3 x + ( e3 x ) x +3
    dx
    ( x ) e + ( e ) x =¿
    dx )
    2 ( e 3 x +3 xe3 x ) +3 ( 2 x e3 x +3 x 2 e3 x ) =¿
    2 e3 x + 6 x e 3 x +6 x e3 x +9 x 2 eex =¿
    9 x 2 e3 x +12 x e 3 x +2 e3 x =¿
    d
    ( 9 x 2 e 3 x ) + d ( 12 xe3 x )+ d ( 2 e3 x ) =¿
    dx dx dx
    d 2 3x d 3x 2
    9 ( ( x ) e + ( e ) x +12 d ( x ) e 3 x + d ( e 3 x ) x +2 d ( e3 x ) =¿
    ) ( ) ( )
    dx dx dx dx dx
    9 ( 2 x e 3 x +3 x 2 e 3 x ) +12 ( e 3 x +3 x e 3 x ) +2 ( 3 e 3 x )=¿
    18 x e 3 x +27 x 2 e3 x +12 e 3 x + 36 x e 3 x +6 e 3 x =¿
    27 x 2 e 3 x +54 x e3 x + 18 e3 x

    4. Calcula las siguientes derivadas funciones implícitas,


    suponiendo que la variable “y” depende de sen2 ( xy )+ xy 2 =x3 +1
    dy dy
    ( sen2 ( xy )+ x y 2 )= ¿+1)
    dx dx
    d d d d
    sen 2 ( xy ) + x y 2 = (x ¿¿ 3) (1) ¿
    dx dx dx dx
    d d d d
    2 sen ( xy ) cos ( xy ) (dx
    (x) y+ ( y) x +
    dx )(
    dx
    ( x ) y 2+ ( y 2 ) x =3 x 2
    dx )
    d d
    2 sen ( xy ) cos ( xy ) ( y + x
    dx )
    2 2
    y + y +2 y ( y) x=3 x
    dx
    d d
    2 sen ( xy ) cos ( xy ) ( y + x y ) + y +2 yx ( y)=3 x
    2 2
    dx dx
    2 sen ( xy ) cos ( xy ) ( y+ xy ' )+ y 2+2 xyy '=3 x 2
    2 sen ( xy ) cos ( xy ) ( y+ xy ' )+ y 2+2 xy y ' − y 2=3 x 2− y 2
    2 sen ( xy ) cos ( xy ) ( y+ xy ' )+ 2 xy y ' =3 x2 − y 2
    2 sen ( xy ) cos ( xy ) y+ 2 sen ( xy ) cos ( xy ) xy ' +2 xyy '=3 x 2− y 2
    2 y sen ( xy ) cos ( xy )+ 2 xy ' sen ( xy ) cos ( xy ) +2 xyy '=3 x 2− y 2
    2 ysen ( xy ) cos ( xy )+ 2 xy ' sen ( xy ) cos ( xy ) +2 xyy '−2 ysen ( xy ) cos ( xy )=3 x 2− y 2−2 ysen ( xy ) cos ( xy )
    2 xy ' sen ( xy ) cos ( xy )+ 2 xyy ' =3 x 2− y 2−2 ysen ( xy ) cos ( xy )
    2 xy ' ( sen ( xy ) cos ( xy ) + y )=3 x 2− y 2−2 ysen ( xy ) cos ( xy )
    2 x y ' ( sen ( xy ) cos ( xy ) + y ) 3 x2 y2 2 ysen ( xy ) cos ( xy
    = − −
    2 x ( sen ( xy ) cos ( xy ) + y ) 2 x ( sen ( xy ) cos ( xy ) + y ) 2 x ( sen ( xy ) cos ( xy ) + y ) 2 x ( sen ( xy ) cos ( xy ) +
    3 x 2− y 2−2 ysen ( xy ) cos ( xy )
    y '=
    2 x ( sen ( xy ) cos ( xy )+ y )

    5. Aplicando el teorema de valor medio, dada la función


    f ( x )=x 2−4 x definida en [ 1,5 ] hallar c ϵ ( a , b ) que satisface la relación
    f ( 5 )−f ( 1 )=f ' (c)(5−1) .
    f ( x )=x 2−4 x f ( 1 ) =(1)2−4 (1 )=−3
    f ' ( x )=2 x−4 f ( 5 )=(5)2−4 ( 5 )=5

    f ( 5 )−f (−3) 8
    f ' ( c) = = =2
    5−1 4
    f ( c ) =2 c−4
    2=2c−4
    2−4=2 c
    6=2 c
    6
    =c
    2
    3=c

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