Muestreo Uniforme Ideal

1 MSc. Ing.
Said Eduardo Pérez Poppe
Digitalización de una Señal

Modulación por Codificación de Pulsos PCM
Una señal digital es aquella que presenta su amplitud y su tiempo discretos. Una de las formas
más comunes para digitalizar una señal analógica es la Modulación por Codificación de Pulsos
(PCM), la cual presenta el siguiente diagrama de bloques:
El primer paso es un filtro paso bajo, sin embargo, la utilización de este filtro es consecuencia de
un criterio necesario para la realización un muestreo correcto (segundo bloque).
Muestreador:
El muestreo de una señal analógica sigue la lógica de conseguir que una curva continua pueda
representarse con un número finitos de puntos discretos, tomados de ella misma. Para este fin,
los puntos discretos (muestras) deben tener un espaciamiento suficientemente próximo, de tal
manera que cuando se quiera reconstruir la curva continua se pueda encontrar los valores
intermedios, que se encuentran entre las muestras, mediante una interpolación y con una
exactitud razonable.
En esta oportunidad, solo se abarcará el muestreo uniforme, donde todas las muestras están
equi-espaciadas.
Entonces, el muestreo uniforme puede expresarse en una primera aproximación como el
mensaje analógico 𝑥(𝑡) multiplicado por un tren de deltas:
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Donde 𝑇𝑠 es el tiempo que transcurre entre cada muestra, que comúnmente se llama período
de muestreo.
La señal muestreada 𝑥𝛿(𝑡) se puede representar como:
𝑥𝛿(𝑡) = 𝑥(𝑡)𝑆𝛿(𝑡)
+∞
𝑥𝛿(𝑡) = 𝑥(𝑡) ∑ 𝛿(𝑡−𝑘𝑇𝑠 )

𝑘=−∞
Dado que 𝑥(𝑡)𝛿(𝑡−𝑡𝑑) = 𝑥(𝑡𝑑); entonces 𝑥𝛿(𝑡) puede reducirse a:

+∞
𝑥𝛿(𝑡) = ∑ 𝑥(𝑘𝑇𝑠 )
𝑘=−∞
Desde otra óptica, también se puede hallar una ecuación para 𝑥𝛿(𝑡) con una representación del
tren de deltas 𝑆𝛿(𝑡) como una serie de Fourier en su forma sinusoidal:
+∞ +∞
1 2 1 2
𝑆𝛿(𝑡) = + ∑[ cos(𝑘2𝜋𝑓𝑠 𝑡)] = + ∑[ cos(𝑘𝜔𝑠 𝑡)]
𝑇𝑠 𝑇𝑠 𝑇𝑠 𝑇𝑠
𝐾=1 𝐾=1
+∞
𝑆𝛿(𝑡) = 𝑓𝑠 + ∑[2𝑓𝑠 cos(𝑘𝜔𝑠 𝑡)]

𝐾=1
1
Donde 𝑓𝑠 = = 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑜. El lector puede comprobar la veracidad de la
𝑇𝑠
anterior por medio del cálculo de los coeficientes de la serie de Fourier para este caso en
particular.
De este modo, otra forma de representar 𝑥𝛿(𝑡) es:
𝑥𝛿(𝑡) = 𝑥(𝑡)𝑆𝛿(𝑡)
+∞
𝑥𝛿(𝑡) = 𝑥(𝑡) {𝑓𝑠 + ∑[2𝑓𝑠 cos(𝑘𝜔𝑠 𝑡)]}

𝐾=1
+∞
𝑥𝛿(𝑡) = 𝑓𝑠 {𝑥(𝑡) + ∑[2𝑥(𝑡) cos(𝑘𝜔𝑠 𝑡)]}

𝐾=1
Con la anterior ecuación, se puede obtener de manera fácil el espectro de la señal muestreada
𝑥𝛿(𝑡):
+∞
𝑋𝛿(𝑓) = 𝑇𝑓{𝑥𝛿(𝑡)} = 𝑓𝑠 𝑋(𝑓) + ∑{𝑓𝑠 𝑋(𝑓) ∗ [𝛿(𝑓−𝑘𝑓𝑠 ) + 𝛿(𝑓+𝑘𝑓𝑠 )]}

𝐾=1
+∞
𝑋𝛿(𝑓) = ∑ 𝑓𝑠 𝑋(𝑓−𝑘𝑓𝑠 )
𝑘=−∞
Donde el operador ∗ representa a la convolución.

Con la anterior ecuación de 𝑋𝛿(𝑓) se puede inferir que se puede obtener la señal continua 𝑥(𝑡) a
partir de la aplicación de un filtro paso bajo ideal a la señal muestreada 𝑥𝛿(𝑡), siempre y cuando
𝑥(𝑡) tenga un ancho de banda finito 𝑊, tal que 𝑓𝑠 ≥ 2𝑊. Esta afirmación puede ilustrarse con el
siguiente ejemplo:
Ejemplo: Suponga que se tiene un mensaje 𝑥(𝑡) tal que su ancho de banda es 𝑊 y su espectro
𝑋(𝑓) tiene la siguiente forma:
Si se muestrea esta señal con 𝑓𝑠 < 2𝑊y sabiendo que 𝑋𝛿(𝑓) = ∑+∞
𝑘=−∞ 𝑓𝑠 𝑋(𝑓−𝑘𝑓𝑠 ) ; entonces:
En la anterior gráfica se puede observar que no existe forma de recuperar 𝑥(𝑡) debido a que su
espectro 𝑋(𝑓) se encuentra solapado con 𝑋(𝑓+𝑓𝑠 ) y 𝑋(𝑓−𝑓𝑠 ) . Esto se debe a que 𝑓𝑠 < 2𝑊.
Por el contrario, si 𝑓𝑠 ≥ 2𝑊, entonces:
Donde se puede observar claramente que se puede recuperar el mensaje 𝑥(𝑡) a partir de la señal
muestreada mediante un filtro paso bajo ideal que debe tener un ancho de banda 𝐵, tal que
𝑓𝑠 + 𝑊 ≥ 𝐵 ≥ 𝑊.
Esta última afirmación, implica que el filtro paso bajo ideal usado para reconstruir la señal
continua 𝑥(𝑡) debe tener una función de transferencia similar a la siguiente:
𝑓
𝐻(𝑓) = ∏ ( )
2𝐵
Si aplicamos la transformada inversa de Fourier al filtro, entonces:
𝑓
ℎ(𝑡) = 𝑇𝐹 −1 {𝐻(𝑓)} = 𝑇𝐹 −1 {∏ ( )} = 2𝐵 𝑠𝑒𝑛𝑐(2𝐵𝑡)
2𝐵
Se deja al lector la comprobación de la anterior ecuación en base a la aplicación de la teoría de
la transformada inversa de Fourier y/o la propiedad de la dualidad.
Siguiendo esta misma línea, la señal continua reconstruida 𝑦(𝑡) a partir de la señal muestreada
y la aplicación del filtro tiene el siguiente espectro:
𝑌(𝑓) = 𝐻(𝑓)𝑋𝛿(𝑓)
+∞
𝑓
𝑌(𝑓) = ∏ ( ) ∑ 𝑓𝑠 𝑋(𝑓−𝑘𝑓𝑠 ) = 𝑓𝑠 𝑋(𝑓)
2𝐵
𝑘=−∞
La señal continua reconstruida en tiempo será:
𝑦(𝑡) = ℎ(𝑡) ∗ 𝑥𝛿(𝑡)

+∞
𝑦(𝑡) = ℎ(𝑡) ∗ ∑ 𝑥(𝑘𝑇𝑠 )

𝑘=−∞
+∞
𝑦(𝑡) = ∑ 𝑥(𝑘𝑇𝑠 )ℎ(𝑡−𝑘𝑇𝑠 )

𝑘=−∞
+∞
𝑦(𝑡) = 2𝐵 ∑ 𝑥(𝑘𝑇𝑠 ) 𝑠𝑒𝑛𝑐[2𝐵(𝑡 − 𝑘𝑇𝑠 )]

𝑘=−∞

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Digitalización de una Señal

𝑥𝛿(𝑡) = 𝑥(𝑡) ∑ 𝛿(𝑡−𝑘𝑇𝑠 )

Dado que 𝑥(𝑡)𝛿(𝑡−𝑡𝑑) = 𝑥(𝑡𝑑); entonces 𝑥𝛿(𝑡) puede reducirse a:

𝑆𝛿(𝑡) = 𝑓𝑠 + ∑[2𝑓𝑠 cos(𝑘𝜔𝑠 𝑡)]

𝑥𝛿(𝑡) = 𝑥(𝑡) {𝑓𝑠 + ∑[2𝑓𝑠 cos(𝑘𝜔𝑠 𝑡)]}

𝑥𝛿(𝑡) = 𝑓𝑠 {𝑥(𝑡) + ∑[2𝑥(𝑡) cos(𝑘𝜔𝑠 𝑡)]}

𝑋𝛿(𝑓) = 𝑇𝑓{𝑥𝛿(𝑡)} = 𝑓𝑠 𝑋(𝑓) + ∑{𝑓𝑠 𝑋(𝑓) ∗ [𝛿(𝑓−𝑘𝑓𝑠 ) + 𝛿(𝑓+𝑘𝑓𝑠 )]}

Donde el operador ∗ representa a la convolución.

Por el contrario, si 𝑓𝑠 ≥ 2𝑊, entonces:

La señal continua reconstruida en tiempo será:

𝑦(𝑡) = ℎ(𝑡) ∗ 𝑥𝛿(𝑡)

𝑦(𝑡) = ℎ(𝑡) ∗ ∑ 𝑥(𝑘𝑇𝑠 )

𝑦(𝑡) = ∑ 𝑥(𝑘𝑇𝑠 )ℎ(𝑡−𝑘𝑇𝑠 )

𝑦(𝑡) = 2𝐵 ∑ 𝑥(𝑘𝑇𝑠 ) 𝑠𝑒𝑛𝑐[2𝐵(𝑡 − 𝑘𝑇𝑠 )]

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