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    Integrales de Linea

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    Tatiana Cordoba
    Este documento explica el concepto de integrales de línea y cómo se utilizan para generalizar el concepto de integral a funciones definidas sobre curvas. Describe cómo se calculan integrales de línea para campos escalares y vectoriales a lo largo de curvas paramétricas, y proporciona ejemplos ilustrativos.

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    Tatiana Cordoba
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    Integrales de linea

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    Integral de línea

    Las integrales de línea se encargan de generalizar el concepto de integral, donde una función,
    definida sobre una curva puede describir el trabajo realizado por un campo de fuerzas al desplazar
    un cuerpo a lo largo de una curva.

    Integral de linea sobre un campo escalar

    Sea 𝑓: 𝐷 → 𝑅 una función continua, donde 𝐷 ⊆ 𝑅 𝑛 es una región abierta. Sea 𝐶 una curva
    suave en 𝐷 ⊆ 𝑅 𝑛 con una ecuación dada por una función vectorial de la forma:
    𝑥 = 𝑥(𝑡) 𝑦 = 𝑦(𝑡) 𝑧 = 𝑧(𝑡)
    O por la ecuación vectorial 𝑟(𝑡) = 𝑥(𝑡)𝑖 + 𝑦(𝑡)𝑗 + 𝑧(𝑡)𝑘, donde 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏]. Sea 𝑓 una
    función de tres variables que es continua en alguna región 𝐶, se define la integral de línea
    de 𝑓 a lo largo de 𝐶 como
    𝑏

    ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑠 = ∫ 𝑓(𝑟⃗(𝑡))|𝑟´(𝑡)|𝑑𝑡


    𝐶 𝑎

    Si 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 1 se tiene
    𝑏

    ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑠 = ∫|𝑟´(𝑡)|𝑑𝑡 = 𝐿


    𝐶 𝑎

    Donde 𝐿 es la longitud de curva de 𝐶.


    Ejemplo: sea 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦 sin 𝑧 y 𝐶 una hélice circular dada por 𝑥 = cos 𝑡 , 𝑦 = sin 𝑡 , 𝑧 =
    𝑡, con 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋, evalué
    2𝜋

    ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑠 = ∫ 𝑦 sin 𝑧 𝑑𝑠


    𝐶 0

    Ejemplo: Sea 𝐶 la curva descrita en el grafico:

    y sea 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥
    Evaluar la integral

    ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑠
    𝐶
    Ejercicio: evaluar

    ∫ (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑠
    𝐶

    Donde 𝐶 esta representada por la curva

    Integral de línea sobre un campo vectorial


    Sea F un campo de vectores continuos definido en una curva suave C dada por una función vectorial
    𝒓(𝑡), 𝑎 < 𝑡 < 𝑏. Entonces, la integral de línea de F a lo largo de C es

    ∫ 𝐹𝑑𝑟 = ∫ 𝑃𝑑𝑥 + ∫ 𝑄𝑑𝑦 + ∫ 𝑅𝑑𝑧


    𝐶 𝐶 𝐶 𝐶
    Donde 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑖 + 𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑗 + 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑘

    Ejemplo: Evaluar la integral sobre el campo vectorial 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦𝑖 + (3𝑦 3 − 𝑥)𝑗 + 𝑧𝑘


    sobre el camino 𝑐: (𝑡, 𝑡 2 , 1) con 0 ≤ 𝑡 ≤ 1
    Ejemplo: Evaluar la integral sobre el campo vectorial 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = sin 𝑧 𝑖 + cos 𝑧 𝑗 −
    7𝜋
    (𝑥𝑦)1/3 sobre el camino 𝑐: (cos3 𝑡 , sin3 𝑡 , 𝑡) con 0 ≤ 𝑡 ≤
    2

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