UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

FACULTAD DE INGENIERIA AMBIENTAL

AREA DE CIENCIAS BASICAS

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

Facultad de Ingeniería Ambiental
Escuela Profesional de Ingeniería Sanitaria Ciclo 2019-
EXAMEN FINAL DE MATEMÁTICA IV

DOCENTES: Dr. Gamaniel Gonzales, Ing. Javier Gonzalo

FACULTAD FACULTAD DE INGENIERÍA AMBIENTAL
AREA DE CIENCIAS BASICAS
Período lectivo 2019-I AULA D2-361-371 CURSO MA143 SECCION E-G
Fecha de evaluación 03 /07 /2019 Horario 11:00 a 13:00 Hr.

1.-Resolver por el método de operadores

y''''- 4y'''+ 6y''- 4y' +y = 𝒆𝒙 𝑺𝒆𝒏𝟐𝒙

SOLUCION

LA ECUACION SE EXPRESA ASI: ( 𝑫 − 𝟏 )𝟒 ⌈𝒀⌉ = 𝒆𝑿 Sen2x

La solución homogénea es:

𝒀𝒉 = 𝑪𝟏 𝒆𝑿 + 𝑪𝟐 𝒙𝒆𝑿 + 𝑪𝟑 𝒙𝟐 𝒆𝑿 + 𝑪𝟒 𝒙𝟑 𝒆𝑿

𝒍𝒖𝒆𝒈𝒐 𝒉𝒂𝒍𝒍𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒍𝒂 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 , Sabemos

Que D+a = 𝒆−𝑿 𝑫𝒆𝑿 → 𝑫 − 𝟏 ) 𝑫 − 𝟏 ) 𝑫 − 𝟏 ) 𝑫 − 𝟏 )⌈𝒀⌉ = 𝒆𝒙 𝑺𝒆𝒏𝟐𝒙

→ 𝒆𝒙 D𝒆−𝒙 𝒆𝒙 D𝒆−𝒙 𝒆𝒙 D𝒆−𝒙 𝒆𝒙 D𝒆−𝒙 ⌈𝒀⌉ = 𝒆𝒙 𝑺𝒆𝒏𝟐𝒙

→𝒆𝒙 DDDD𝒆−𝒙 ⌈𝒀⌉ = 𝒆𝒙 𝑺𝒆𝒏𝟐𝒙→ DDDD𝒆−𝒙 ⌈𝒀⌉ = 𝑺𝒆𝒏𝟐𝒙

𝟏
Luego integrando 4 veces →Y = 𝟏𝟔 𝒆𝒙 𝑺𝒆𝒏𝟐𝒙

𝟏
→ 𝒀𝒈 = 𝑪𝟏 𝒆𝑿 + 𝑪𝟐 𝒙𝒆𝑿 + 𝑪𝟑 𝒙𝟐 𝒆𝑿 + 𝑪𝟒 𝒙𝟑 𝒆𝑿 + 𝟏𝟔 𝒆𝒙 𝑺𝒆𝒏𝟐𝒙 Rta

2- Resolver el sistema de ecuaciones por transformada de

Laplace

𝑿′(𝒕) = 𝟑𝑿(𝒕) − 𝟗𝒀(𝒕) + 𝑻

; x(0) = -1 ; y(0) = 3
𝒀′ (𝒕) = 𝟐𝑿(𝒕) − 𝟑𝒀(𝒕) − 𝟏

SOLUCIÓN

Tomando La T de Laplace a la ecuación (1)

ɭ [𝑿′(𝒕)] = 3 ɭ [𝑿(𝒕)] -9 ɭ [𝒀(𝒕)] + ɭ [𝒕]

𝟏
→ ( s-3) ɭ [𝑿(𝒕)] + 9 ɭ [𝒀(𝒕)] = 𝒔𝟐 – 1 …α
 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
FACULTAD DE INGENIERIA AMBIENTAL
AREA DE CIENCIAS BASICAS

Tomando La T de Laplace a la ecuación (2)

ɭ [𝒀′ (𝒕)] = 2 ɭ [𝒙(𝒕)] - 3 ɭ [𝒚(𝒕)] - ɭ [𝟏]

𝟏
- 2 ɭ [𝒙(𝒕)] + (s +3) ɭ [𝒚(𝒕)] = 3 - 𝒔 …..𝜷

𝟏
𝒔𝟐 −𝟏 𝟖
| 𝟏 | 𝟏𝟎 𝟑
𝒔− 𝒔+𝟑 + 𝟐 − 𝒔−𝟑𝟎
𝒔 𝒔 𝒔
Por Cramer : ɭ [𝑿(𝒕)] = =
| 𝒔−𝟑 𝟗| 𝒔𝟐 +𝟗
−𝟐 𝒔+ 𝟑

𝟏𝟎 𝟑 −𝒔 −𝟑𝟎
→ ɭ [𝑿(𝒕)] = 𝒔( 𝒔𝟐 +𝟗) + + +
𝒔𝟑 (𝒔𝟐 +𝟗) (𝒔𝟐 +𝟗) (𝒔𝟐 +𝟗)

𝟏𝟎 𝟏 𝟗𝟏 𝟏𝟗𝒔
− −
→ ɭ [𝑿(𝒕)] = 𝟗
+ 𝟑
+ 𝟑
+ 𝟑
𝒔 𝒔𝟐 (𝒔𝟐 +𝟗) (𝒔𝟐 +𝟗)

𝟏𝟎 𝟏 𝟗𝟏 𝟏𝟗𝒔
− −
→ X(t) = ɭ−𝟏 𝟗
+ ɭ−𝟏 𝟑
+ ɭ−𝟏 (𝒔𝟐 +𝟗)
𝟑
+ ɭ−𝟏 𝟑
𝒔 𝒔𝟐 (𝒔𝟐 +𝟗)

𝟏𝟎 𝟏 𝟗𝟏 𝟏𝟗
→ X(t) = + 𝒕+ 𝑺𝒆𝒏𝟑𝒕 + Cos3t
𝟗 𝟑 𝟗 𝟗

Derivando y reemplazando en la ecuación 2 obtenemos:

𝟏 𝟗𝟏 𝟏𝟗 𝟏𝟎 𝟏 𝟗𝟏 𝟏𝟗
(𝟑 − 𝑪𝒐𝒔𝟑𝒕 + Sen3t ) = 3( + 𝟑𝒕 + 𝑺𝒆𝒏𝟑𝒕 + Cos3t ) -9 𝒀(𝒕) + 𝑻
𝟑 𝟑 𝟗 𝟗 𝟗

𝟏𝟎 𝟗𝟏 𝟏𝟗 𝟏 𝟗𝟏 𝟏𝟗
9 𝒀(𝒕) = + 𝟐𝒕 − 𝑺𝒆𝒏𝟑𝒕 − Cos3t -𝟑 + 𝑪𝒐𝒔𝟑𝒕 − Sen3t
𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑

𝟏 𝟐 𝟏𝟏𝟎 𝟖
𝒀(𝒕) = 𝟑 + 𝒕− 𝑺𝒆𝒏𝟑𝒕 + Cos3t
𝟗 𝟐𝟕 𝟑

𝟏𝟎 𝟏 𝟗𝟏 𝟏𝟗
Por lo tanto X(t) = + 𝒕+ 𝑺𝒆𝒏𝟑𝒕 + Cos3t
𝟗 𝟑 𝟗 𝟗

𝟏 𝟐 𝟏𝟏𝟎 𝟖
𝒀(𝒕) = 𝟑 + 𝒕− 𝑺𝒆𝒏𝟑𝒕 + Cos3t Rpta
𝟗 𝟐𝟕 𝟑

3.- Resolver por el método matricial el sistema de ecuaciones

𝑿′ = 𝟒𝑿 + 𝟐𝒀 − 𝟖𝒕
𝒀′ = 𝟑𝑿 − 𝒀 + 𝟐𝒕 + 𝟑

SOLUCIÓN :

M' = AM + (−𝟖
𝟐
)T + (𝟎𝟑)

Hallando los valores propios: λ = -2 , λ = 5

Ahora encontramos los vectores propios ;

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
FACULTAD DE INGENIERIA AMBIENTAL
AREA DE CIENCIAS BASICAS
𝟏 𝟐
( ) 𝒚 ( )
−𝟑 𝟏

𝟐 𝟐
X(t) = 𝑪𝟏 𝒆−𝟐𝒕 + 𝑪𝟐 𝟐𝒆𝟓𝒕 + 𝟓 𝒕 + 𝟐𝟓

𝟏𝟔 𝟏
Y(t) = 𝑪𝟑 (−𝟑)𝒆−𝟐𝒕 + 𝑪𝟒 𝒆𝟓𝒕 + 𝒕 + Rpta
𝟓 𝟐𝟓

4.- Halle en forma general la solución particular de:

a) Y'' +Y = tCost +Sent - 𝟓𝒕
b) Y'' -6Y' +9Y = 3𝒆𝟑𝒕 𝒕𝟕
SOLUCIÓN

a) Y'' +Y = 0 → 𝒓𝟐 + 1 = 0 → r = + i r = -i

𝒚𝒉 = 𝑪𝟏 𝑪𝒐𝒔𝒕 + 𝑪𝟐 𝑺𝒆𝒏𝒕
𝒚𝒑 =𝒌𝟏 𝑺𝒆𝒏𝒕 + 𝒌𝟐 𝑪𝒐𝒔𝒕 + ( 𝒌𝟑 𝒕 +𝒌𝟒 )𝑺𝒆𝒏𝒕 + ( 𝒌𝟓 𝒕 + 𝒌𝟔 )Cost +𝒌𝟕 𝟏𝟎𝒕

→ 𝒚𝒑 = ( A 𝒕𝟐 + Bt) Sent + ( C 𝒕𝟐 + Dt) Cost + E𝟏𝟎𝒕 Rpta

5.- A medida que una gota de lluvia cae se evapora, pero mientras esto
Sucede conserva su forma esférica. Si suponemos adicionalmente que la
Velocidad de Evaporación de la gota de lluvia es proporcional a su área
Superficial y la resistencia Del aire es insignificante, entonces un modelo de
La velocidad de la gota será
𝒌
𝟑
𝝆
𝒗(𝒕) = 𝒗=𝒈
𝒌
(𝝆) 𝒕 + 𝒓𝟎
Aquí 𝝆 es la densidad del agua, 𝒓𝟎 , es el radio de la gota cuando t=0, k<0 es
la constante de proporcionalidad y la dirección hacia abajo se toma como positiva.
a) Resuelva para v(t) si la gota cae desde el reposo
𝒌
b) Demuestre que el radio de la gota en el tiempo t es 𝒓(𝒕) = (𝝆) 𝒕 + 𝒓𝟎

c) Si 𝒓𝟎 = 𝟎. 𝟎𝟏 𝒇𝒕 y r=0,007ft 10 segundo después de que la gota cae de una nube,

determine el tiempo en que la gota se evapora por completo.
 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
FACULTAD DE INGENIERIA AMBIENTAL
AREA DE CIENCIAS BASICAS

SOLUCIÓN
𝑘
a) Con el fin de simplificar los cálculos se tomará el cociente = 𝑏 con lo que encontramos que
𝜌
encontramos una ecuación diferencial lineal en x:
𝑑𝑣 3𝑏
+ 𝑣=𝑔
𝑑𝑡 𝑏𝑡 + 𝑟0
Resolviendo la expresión diferencial tenemos que:
𝑔 𝐶
𝑣(𝑡) = (𝑏𝑡 + 𝑟0 ) +
4𝑏 (𝑏𝑡 + 𝑟0 )3

Teniendo en cuenta las condiciones iniciales del problema

𝑔𝑟0
donde v(0)=0;C=
4𝑏

𝑔𝑟0
𝑔 4𝑏
𝑣(𝑡) = (𝑏𝑡 + 𝑟0 ) +
4𝑏 (𝑏𝑡 + 𝑟0 )3
b) La tasa de variación del radio resulta ser el cociente de la constante de
proporcionalidad y densidad del agua con lo que al integrarla obtenemos la
expresión:
𝑑𝑟 𝑘 𝑘
= ( ) ; ∫ 𝑑𝑟 = ∫ 𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝜌 𝜌
𝑘
𝑟(𝑡) = 𝑡 + 𝐶 ; 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑟(0) = 𝑟0
𝜌
𝒌
𝒓(𝒕) = 𝒕 + 𝒓𝟎
𝝆
𝑘 𝑘
c) 𝑟(10) = 0.007; 0.007 = 𝜌 (10) + 0,01; 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑛𝑑𝑜 = −0.0003
𝜌
0 = −0.0003(𝑡) + 0.01 ; 𝒕 = 𝟑𝟑, 𝟑 𝒔
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
FACULTAD DE INGENIERIA AMBIENTAL
AREA DE CIENCIAS BASICAS