17

Se anotan los factores de Momentos de columnas y vigas

y los Momentos

e yv y

ELJ:ill l-r.o29ll-1.o29l Eiiill

o.966 -----o.9aaTo.933 - - - - - a - 9 6 6 l
1
0.866 1.575 0.866
liJm j2.05Bl [!}ill_
e A P I T UL O 3
1 1 1
lo.956l ltrs4j !o.9s6!
0.~32 1.350 0.732
l-3.3731 l-3-194tl1~.194l l-3.88511
T R AB A J O Y E NE RG I A
¡-1.175 1.150,1.150 1.1751
0.566 1.083 0..686
12.4171 14.6251 12.929 1

1 1 1
~ l4.458l liru] A, PRINCIPIO DE LOS DESPLAZAMIENTOS VIRTUALES
0.532 1.044 0.~72 B, PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL
fs.rozl l-5.574f299l l-4.37311-4.1541 l-3.696!
r'-221 1.193 1.134 1.102TI.o4r-----La23l
L998 2.892 2.358 1.666

]~. 1
1 1

II:I
3.249 4.444
~,~:1
3.429
·~·:~:1
2.500
 18

2. 1 TRABAJO Y · ENERGIA portamiento elástico no lineal.

Si un sistema de fuerzas externas.se aplica a un cuerpo, este Para el caso de la Fig. 1 la carga P se aplica gradualmente -

se deformará hasta que se presente el equilibrio entre las fuerzas ex- y por lo tanto la deformación aumenta gradualmente. El trabajo desa-

ternas aplicadas y las fuerzas internas del cuerpo. En consecuencia, rrollado por la fuerza P es:

el sistema de fuerzas externas realiza un trabajo. Este trabajo se a.!_

macena en el cuerpo y es a lo que se llama "energía de deformación -

del cuerpo".
W =S p• dG = energÍa de deformaciÓn

El trabajo realizado por el sistema de fuerzas externas, se -

pueae transformar en energía de deformación y jo energía cinética del

p p
cuerpo. Si las fuerzas se aplican gradual y lentamente, a un cuerpo -

elástico, el trabajo exterior se transforma completamente en energía

de deformación. e
La energía de deformación o .energía interna de un cuerpo e-

lástico es por lo tanto, la suma de todo el trabajo transmitido por el

sistema para deformarlo con respecto a su estado natural. La ener--

gía de deformación almacenada se transforma en trabajo cuando el si~

lWllUlililllliillillLUll---:- 8
fig.J ..,. Energ(a de Deformación fig. 2.- Energía de DeformaciÓn
tema de fuerzas es retirado. Si el cuerpo es perfectamente elástico - ca.so no· Lineal
Caso Lineal
recuperará exactamente su forma inicial. En los sistemas elásticos -

se despreciarán las pérdidas de energía por calor.

La energía de deformación depende de las características de - El área no sombreada marcada con C en las Figs. 1 y 2,. se-

la curva carga-deformación del cuerpo. Así, por. ejemplo, en la Fig. 1 denomina "energía complementaria de deformación" y se calcula con-

el área sombreada nos representa la energía de deformación de un -- la integral

cuerpo con comportamiento elástico lineal. El área sombreada en la -

Fig. 2 nos representa la energía de deformación de un cuerpo ccn com

e= J 8·dp= energía complementaria de deformación
 La energía de deformación, puede aparecer debido a fuerzas La aplicación gradual de la carga normal N produce la defor-

axiales, de flexión, de cortante y de torsión. Estas fuerzas pueden pr~ mación S . En la longitud d x el trabajo interno efectuado es:

sentarse .a isla das o en determinadas combinaciones. En seguida se obte~

drán las expresiones para la energía de deformación debido a los efe~

tos antes mencionados, los cuales se consideran que actúan uno a la -

vez. pero

a) Efecto de Fuerza Normal.

Considérese la barra mostrada en la Fig. 3, la cual tiene su S= _s[_ = N

E AE
área transversal constante.
entonces

dw = lL · .l:L dx
2 AE

el trabajo total en la longitud L será

L 2
W= \ _N_dx
~ 2AE

debido a que el trabajo efectuado es igual a la energía de deformación

interna, entonces:
__.o.¡ ~
I____---·,
1 L
11

S+-
J,____. N

Un= JL 2
o ~AE dx

fig. 3
 LU

donde Un es la energía de deformación interna debida a cargas axiales. entonces

b) Efecto de Momento Flexionante.

ó = .l!lL
El
dx
Considérese que en el tramo de viga .mostrado en la Fig. 4 -

actúan fuerzas que producen flexión en él mismo.

Debido a que las fuerzas que producen flexión se aplican gra-

dualmente, el valor de la fuerza promedio que actúa en el área dA, es:

d F= tV dA

-+-
y
entonces

dF = ..L MLdA
"2 J

fig. 4 El trabajo efectuado en la fibra analizada es:

Una fibra situada a una distancia "y" del eje neutro tendrá co dw = ,!'dF

mo deformación en la longitud dx
o sea:

8 =8dx
J M" v•
dw = 2'--'EfldX dA

pero
y el trabajo para todas las fibras en la longitu d x será.
S= _<L ...ML
E Er
 21

C¡
Vi o

J
-c.
y 2 .dA

<:iw= ~dx

El trabajo total en toda la viga será: +dx -t-

fi g. 5

por lo tanto
El trabajo debido a la fuerza cortante es:

L •
= +((; dA)(!idx)
Jo1 2~1
dw
dx

pero
donde Um es la energía de def()rmación interna debida a momento fle-

xionante. VQ
Ti)
e) Efecto de Fuerza Cortante.

Considérese que en el tramo de viga mostrada en la Fig. 5 -

y
actúan fuerzas que producen esfuerzos de cortante en él mismo. En la

figura se exagera la deformación de la fibra mostrada. ..Y..JL

Glb
 22

donde Q es el momento estático con respecto al eje neutro Y b es el - por lo tanto:

ancho de la sección, entonces:

L 2
_ CV dx
US - 2GA
J.o
Y.___sL
dw = 2GT•l:l" dx· dA
donde Uv es la energía de deformación interna debida a fuerzas cortan-

tes.
El trabajo que se efectúa en la longitud dx, es:
La constante e es el llamado factor de forma y depende de la

forma de la sección transversal. Algunos valores de e se dan ensegui-

da.

si:

h•
e= A
r• J -¡;ro•
-h,
·dA

e= 1.2 e= 1.11 e= 1.5

entonces:

cv•
dw = 2GA dx

El trabajo efectuado en toda la viga será:

e
I = AseccicÍn
A alma
e= 1.2

d) Efecto de Momento Torsionante.

w = JL CV dx
2 La viga mostrada en la Fig. 6 está sujeta a un momento tor-
2GA
o
sionante T aplicado en un extremo de la misma.
 23

T para todo el elemento el trabajo será:

f L
'

I
/ 2
w= .I.:.!tL
2 GJ

L por lo tanto

fig. 6
Ut = l
L

o
r•dx
2GJ

El trabajo efectuado en el segmento d x es:

donde Ut es la energía de deformación interna debida a fuerzas de tor-

sión y J es el momento polar de inercia para una sección circular.

Valores de J para diferentes secciones transversales se dan a conti-

nuación.
pero

Secciones llenas
~ = ..I.-QL
GJ

entonces

J= 'Tf o• J = 0,02 a• J = 3.6(h2 • b2 )

32
 24
Secciones Huecas .Secciones Abiertas
Expresión General: Expresión General:

---+-a
¡-----------¡
1 :
1 1
' '
¡
1
l
:
' 1
l~ l
1 '
1 1
1 :
:1
1
t. l 11
1 --+- b:-'+
J.. _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __!

A=ab A ='iT r~

JJi§_
t
=(_Q_
to + -º-)
h
2
J\~t .= 2'ITt rm

hm En el caso general de un elemento sujeto a los elementos me-

cánicos citados anteriormente, se obtiene que la energía de deforma-

ción total es:

U = Un + Ub + Us + Ut
 25

o sea: se usará la Fig. 7, en la cual se muestra un cuerpo rígido en equilibrio

u= IN'dx
2AE
L
+ I I
L
2
M dx +
2EI
L
2
CV dx
2GA
+ l
L
2
T dx
2G.J
bajo el sistema de cargas dado.

La expresión anterior puede usarse también para vigas liger~

mente curvas. La limitación para su uso se presenta cuando el radio -·

de curvatura es menor que cinco veces la dimensión mayor de la sec-

ción transversal.

2.2 PRINCIPIO DE LOS DESPLAZAMIENTOS VIRTUALES

Este principio constituye la base para la aplicación del prin<:_!:

pio de los trabajos virtuales que se verá en el siguiente inciso.

Se entenderá por desplazamiento virtual aquel desplazamien-

to hipotético de uno o varios puntos de un cuerpo rígido en equilibrio. fig. 7

Las ecuaciones de equilibrio y las condiciones de geometría del cuerpo

no se alteran debido a dicho desplazamiento, el cual puede ser de mag- Si el cuerpo rígido está en equilibrio debe cumplirse que

nitud pequeña o infinitesimal. Dichos desplazamientos son producidos

por un sistema de cargas diferente alaplicado al cuerpo rígido en eq~ ~Fx O

librio. Por lo tanto, el sistema de cargas original se mueve cuando se

produce el desplazamiento virtual. El producto de cada carga del sist_:: ~ Fy o

ma original por su desplazamiento virtual respectivo producirá enton-

ces "un trabajo virtual". ~M+ 2 Fx·Y + ~ Fy·X o

Para demostrar el principio de los desplazamientos virtuales
 26

Si el cuerpo se traslada una distancia pequeña ,S , cuyas co~ ya que 8x y Jy son constantes en todos bs puntos del cuerpÓ.
ponentes son <lx y Jy se efectuará un trabajo que será (Fig. 8) Debido a las condiciones de equilibrio 2_ Fx=O y 2Fy =O

se tiene que:

W = 8lc 2 Fx + Jy 2 Fy = O
o sea
Si el cuerpo ya trasladado sufre una rotación pequeña oc: con respecto

W=.Jx2Fx+ ó'J2Fy al origen O, las componentes del desplazamiento de cualquier punto

y serán a y paralela al eje 'x', y a x paralela al eje 'y', El traba-

jo efectuado por el sistema de cargas será:

W = 2Moc + 2Fx·ocy + 2Fy ocx

y
o sea:

1 W= oc(2M+ 2Fx·.Y+ 2Fy·X)

~ Sy
ya que o<: es constante en todos los puntos. Debido a las condicio-

nes de equilibrio
X
o

fig.
Óx

a --+
 27

se tiene que Los segmentos (1) y (2) de la figura anterior se muestran co-

mo cuerpos libres en la Fíg. 10.

o

Ya que cualquier movimiento de un cuerpo puede descompone~

se en un giro y una traslación y se vió que en ambos casos el trabajo -

efectuado vale cero, se puede enunciar que:

"Si a un cuerpo rígido en equilibrio bajo un sistema de fuerzas

dado se le desplaza virtualmente, el trabajo efectuado por este sistema

durante el desplazamiento virtual es cero".

2.3 PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL

Considérese el cuerpo deformable que se muestra en la Fig. Segmento ( 1} Segmento (2)

9, el cual se encuentra en equilibrio bajo el sistema de fuerzas dado.
fig. 10

El segmento (1) es un segmento interno y está sujeto a fuerzas

internas en todos sus lados. El segmento (2) es un segmento de borde

f¡
y está sujeto a una fuerza externa Fi en uno de sus lados y a fuerzas

internas en los otros.

Si se supone un desplazamiento virtual del cuerpo producido -

por una acción diferente al sistema de fuerzas dado, las fu~rzas exteE

nas e internas se moverán y por lo mismo efectuarán un trabajo virtual.

Por lo anterior, cualquier .segmento del cuerpo deformable sufrirá un

giro, una traslación y una deformac1on virtual. Si se representa por -

flg. 9
 28
d We al trabajo desarrollado por las fuerzas externas en el segmento fuerza adicional, el trabajo virtual producido por las fuerzas externas,

se tiene que: es igual al traba jo de deformación de las fuerzas internas".

dWe dWRT + dWi 2.4 TEOREMA DE BETTI

Considérese el cuerpo elástico mostrado en la Fig. 11 en el

donde: dWRT es el trabajo virtual de rotación y traslación del segme::i
que se aplican dos sistemas de cargas a la vez, los cuales aparecen -
to tratado como un cuerpo rígido y dWi es el trabajo virtual de defor-
por separado.
mación del segmento.

Por el principio de los desplazamientos virtuales se sabe que:

dWRT = 0

por lo tanto

dWe = dWi
p¡

El trabajo desarrollado en todo el cuerpo será:

1 We = Wi 1 Sistema de fuerzas A Sistema de fuerzas B

donde Wi es la energía de deformación interna virtual del cuerpo y - fig.ll

We representa el trabajo virtual total debido al sistema de fuerzas -
Si se aplica el principio de la superposición de efectos se pu_::
externas F, ya que el trabajo desarrollado por las fuerzas interseg-
de hacer el siguiente análisis:
mentales se anula.
Si se aplica gradualmente primero el sistema A y !uego el si~
Por lo visto anteriormente se puede enunciar que:
tema B, el trabajo efectuado por dichos sistemas de fuerza será:
"Si una estructura deformable en equilibrio bajo un sistema -

de fuerzas dado, se sujeta a un desplazamiento virtual debido a una -- W= ~Pi Ji-+ t Fj Jj + Pi $ij
 29
donde "El trabajo que realiza un sistema de fuerza A debido a los -
<>¡
<::> son los desplazamientos producidos por las fuerzas desplazamientos que en sus puntos de aplicación le produce un sistema
Pi de fuerzas B, es igual al trabajo que realiza el sistema de fuerzas B -

cl j son los desplazamientos producidos por las fuerzas debido a los desplazamientos que en sus puntos de aplicación le produ-
Fj e e el sistema de fuerzas A".

Ó ij son bs desplazamientos en la dirección de las fuer Un enfoque más simple puede darse observando la viga mostr~

zas Pi debidos a la aplicación de las fuerzas Fj da en la Fig. 12, en la cual se aplican simultáneamente las fuerzas --

Si ahora se aplica gradualmente el sistema By luego el siste- PA y Pe

ma A, el trabajo efectuado por dichos sistemas de fuerzas será:

W = ~ Fj Jj + t Pi d'i + Fj d'ji ¡PA 1Pe

.
donde
~~--------~t~--------~t
Jji son los desplazamientos en la dirección de las fuer fig. 12

zas Fj debido a la aplicación de las fuerzas Pi

Debido a que el orden de aplicación de los sistemas de fuerzas Considérese que se aplica gradualmente primero la fuerza PA

no afecta al trabajo externo total, las expresiones obtenidas arriba se la cual produce los desplazamientos mostrados en la Fig. 13.
pueden igualar:

t Pi Ji+ 1Fj Jj + Pi óij t Fj cl'j + t Pi 8i-+ FjJji ArA

~
B
de donde: clA;I'
Pi .8ij Fj óji fig. 13
~c¡A

que es el teorema de Betti, el cual puede enunciarse como sigue: Considérese ahora, que se aplica gradualmente la fuerza Pa
 30

con PA en posición como se ve en la Fig. 14. El trabajo total de las fuerzas aplicadas es:

W= t PeJe + t PA cí'A + Pe JeA

~
Pe
P
Al A por lo. tanto, igualando las expresiones del trabajo total, se tiene:
~r------~-A-+-J-~~-~·~-------------------~8, ;B
-- --- +
fi g.l4
de donde:

El trabajo total de las fuerzas aplicadas es:

Pe JeA

W= tPAJA + tPsJs+ PAJAs

2.5 TEOREMA DE MAXWEL

Considérese el marco mostrado en la Fig. 16 al cual se le ap!!

Si se invierte el orden de aplicación de las cargas, se tiene -
ca una carga PA en el punto A y después, al mismo marco se le ap!!
que:
ca una carga Pe en el punto B.

rB
§~------==~4-------=8 ± ~---==------'lA + .iAB
---- + +

-
J
$~-~------<
J:
____J:++BA ''
''
'

''
'
fig. 15 '
,'8 8 ~8
 jl

según la Fig. 16 dBA es el desplazamiento producido por PA y -

tiene la dirección de PB • caso a)

Y J AB es el desplazamiento producido por Pe y tiene la dir~

ción de PA .

Por el teorema de Betti se tiene: p

" " b) 1 2 ~ 4
~---------:~-~~--------~
P B cl'sA

Según Maxwel si PA es igual a Ps , se tiene:

casa e)
por lo tanto, puede enunciarse que:

"El desplazamiento en un punto A (en la dirección de la fuerza

aplicada en A) debido a la aplicación de una fuerza P en un punto B, -

fí g. 17
es igual al desplazamiento en el punto B (en la dirección de la fuerza -

aplicada en B) debido a la aplicación de una fuerza P en el punto A". En los casos a) y b) se tiene

El teorema anterior también es válido para el caso de rotaci~

nes o de combinaciones entre desplazamiento lineal y rotaciones. Un-

caso como el que se muestra en la Fig. 17 aclarará lo anterior. entonces

En los casos a) y e) se tiene

 32
Considérese la armadura mostrada en la Fig. 18 la cual está suj~
si P y M tienen la misma magnitud, entonces
ta a un sistema de cargas P, y en la cual se desea calcular el desplazamie~

J21 = J 12.
to vertical J vA en el punto A.

En los casos b) y e) se tiene

P2 f3
Q-------------~~----------~

si P y M tienen la misma magnitud, entonces:

2.6 METODO DEL TRABAJO VIRTUAL \i:: --------- __________Jy¡, ___________ __

1<
Es un método muy versátil para calcular desplazamientos en
fig.J8
las estructuras. Estos desplazamientos pueden ser debidos ·a cargas -

de cualquier tipo, cambios de temperatura, contracciones en el mate- Considérese ahora la misma armadura sujeta a una carga F en el

rial estructural o errores de fabricación. punto A en la dirección de <8 vA •

La expresión básica para el método del trabajo virtual ya se

vió anteriormente y es:

;rabajo virtual externo =Trabajo virtual interno

We Wi

En la ecuación anterior se puede expresar el primer término

como el producto de una carga conocida por el desplazamiento busca-

do. El segundo término se puede expresar en función de los elementos ---

mecánicos de la estructura, lo cual se hará enseguida.

fig. 19
 jj

Si se denominan como N las fuerzas axiales en los elementos 2.7 PRIMER TEOREMA DE CASTIGLIANO
debidas al sistema de cargas P, y como n a las fuerzas axiales en los - Este teorema sirve para determinar desplazamientos en cualquier

elementos debidas a la carga F, se tiene, según Betti que: dirección en una estructura.
Considérese la Fig. 20 mostrada en la cual las fuerzas P Y Q se -
We =J.F<:tvA
2 aplican gradual y simultáneamente.

Wi =t~N (~~)

donde el término con paréntesis es el alargamiento o acortamiento de cada

elemento de la estructura debido a la aplicación de la carga F. Por lo tan-

to

..,!,.F JvA =..l~ .lirJ...b_

"- 2 AE

~-- ______[_ {_ --- -~

Si se d'á a F el valor unitario (puede ser cualquier valor) se tendrá

que _____
~.lirr1..._
AE
fíg, 20
En forma semejante se pueden establecer las expresiones del t~

bajo virtual interno para los demás elementos mecánicos y se obtiene:

El trabajo efectuado por P y Q es:-

Wi =tff}Ldx (flexiÓn)
W = ~ + ~ -----(a)

(cortante) Si se aumenta la fuerza P en d P (Fig. 21) con P y Q en posi--

ción, el incremento del trabajo o energía de deformación interna es:

Wi = ..LiL_LL
2 J G
dx (torsiÓn)
o
 34

despreciando los productos diferenciales

Wr = ~ + ~ + ~ + ~ + Q~cia ____ (c.)

pero

fí 9· 21
Wr W + dW

o sea

dW = Wr- W

y de las ecuaciones (a) y (e) se obtiene

Si se deprecian los productos diferenciales se tiene

si se sustituye (b) en la expresión anterior

dW = Pdti'P + Qdcl'o-----(b)
dW = ~P2dP + ~
También se puede valorar dW de la forma siguiente: considére-
o sea
se que se aplican P+dP y Q gradual y simultáneamente, entonces el traba-

jo total ·efectuado es: dW

de donde
Wr = (-P+2 d~ (ciP+ dJP)+- -%<&o+ dcl'o)

dW
dP
 35

que puede escribirse como -

r ... -"'- -.§"'"' "'- -:!: "' -'<

...- ...-
4
i
- .o
.o
•-::." .¡;; "'o "'o
+

1-... ~
.o
""
-"" -.:t
o 1
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-IN
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_,,.,
..J
~ ...1

-1~
"'+ :::; ..J
,.,¡g
..J
_,., ...1 o
+
-lv ;:;
...1 -Ion NI~ -12 -'
Por todo lo anterior puede enunciarse que: -JN -1~

"La derivada parcial de la energía total de deformación con res--

,. ...-
"'

;"
Ñ
,. ·.;; N~
pecto a una fuerza P, es igual al desplazamiento (producido por el sistema "'
:::; ""' +
"""
.§ ...: "" ""
.J ""
::;
.e
"' -' :::; -' :::¡ ..J 1
NI"' ao¡~ -lv "¿i r-1~ <OJ~
=~
,..,¡g "'1!!2 "'-
..J
de fuerzas dado) medido en la dirección de la fuerza P" ...1
-1~
-JN
_¡
El teorema anterior puede resumirse en las expresiones siguien- e E
"'... "" ·--.o""
~"
e -~

tes: E "" ...

E ·-+ E
e:::; E E ...E E
::2: <t
_,,., :::; ~ :!'! :::¡ ""..J o
:!!:
-'
..J
_,,., ·- :::í
..J ..J
,_,.., _,., -1"'
.¡.

''"'" _,,.., <DJ~ t-J!!l

_,,.,
...1

"''P=~ (lineal) ::2:

- cl p
'----J ..... ;_..:... . -¡;¡
...
·-
w ..
;....
-..."' -... ""+
Ñ
,.
Ñ Ñ N .¡
::¡

1
.~ .lll:
"',.., "'+
"';¡+ -;¿ ...
N
o X.
N
+
N
N
.;¡ "'.;¡.¡. +
~

"' :!: .!· :;< "" .e N

(rotación)
-
.>: + +
... _,,.., -:::;;;¡ -"' -.:t ·-
(/)
w
a::
o
;¡
:J
-IN
~
:.::;
-I·<D
~
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:J
N E !:!
-'
-1!:!
!;1
-'
-1!:! -1!:!
...1
-1~
_¡o= -+
o

(axial)
..J
<{ ... ::!: :!:
... o
~-'
> ... -"' -N
""
N ·-"'
-' ..,1
-11<>
..J
-J<e
N
. .§
_,..,
..J ""
:::; -'
"'
:::;
-¡<t
""
...1
.:t
-'
-IN 3 "'1~
-l<t -¡~
-lo
(.flexión) -¡o

..
(cortante)
¡_."" ...
·-
-'
...
::¡
-IN
...-
..J
-IN
.!:!

-
+
..J
...
.§
..J
NJo<>
...:::;
NI"'
.>:
::¡
"'¡"'
""
:::;
_,,..,
-...
..J
-¡ro -IN
""
..J

,_
-JN

Jr. r \-r_u_\ siL

d P) GJ
(torsiÓn)

¡;: 1 ~ ~..J - ~

..:-
.!~- ;~

"'
-~- i" ~-
U) /
1 o
r~·""
..J

L=--~
o
..
 36
EJEMPLOS 5
Ub = 16.82 X 10 T _m
E
ENERGIA DE DEFORMACION

Problema l.- Obtener la energía de deformación debida a flexión y CO_!

La energía de deformación ¡::or cortante es
tante de la siguiente viga, y calcular la relación Ub/Us
Us =} GTi.on- ~ 3 (70)
2
dx + t(-10)
2
dx J; e= 1.2

D]•o,.
lOT

~
A ]: !e D

3m 2m 3m
A
1· + + ·~
___..,¡
20cm Cálculo de la relación Ub/Us
Por equilibrio se tiene: RA = Rp = 1O Tn
Se tiene G = ~ar tomando u= 0.15
La ecuación de momentos es
M = 1o x 13 + 1o(3 + x) - 1oxj 2 + 1O (5 + x) - 1O.(Z + x) - 1O x 1
3
•

M= 10 X 1~+ 30
..1 13
2
+ 30 - 10 X

o sea que:

La ecuación de cortante es Ub 16.82 X 10 5 X (G) 16.82 ( 1 ) X ¡os

Us 4500 X (E) = 4WO D
2
V= 10 j 3 +0 1- 10 13
o' Ub/Us = 162.512
La energía de deformación se valúa como
Lo anterior indica, que la energía de deformación debida a flexión es
7 M2 1 V2
.Ub = rf IT dx i Us = r ef Gil: dx - - - (A) 162. 51 veces la energía de deformación debida a cortante. Por lo tan-

3
to, para fines de cálculo, se puede despreciar Us
(0. 212
1 (0. 4 l = 0.00101 m'¡ A= 0.2(0.4} = 0.08 m2 ;

Sustituyendo en (A)
 37

Problema 2.- Una columna está sometida a una fuerza horizontal de 1 Problema 3.- Determinar la energía de deformación de la siguiente es-

ton. y otra vertical de 3 ton. como se muestra en la figura. tructura.

5tn
2tn/m
Sin considerar peso propio, determine la energía de deformación de la 8
Sección l
e Sec.cú6n 7 I12" Uv-ia.na.
estructura.
Sece{6n 2 Caj6n de 90x70x5 cm
E = 2x7 06 ~g/cm 2

''iD}o~
3tn 4m Sección 2
E= 2 X 10 6 Kg/cm 2
11 8582.9 cm 4
..._!.ín..
12 7692499.98 cm 4
A= 175 cm2 A
0.
3m
4m 20cm

(20) 4 - (75) 4
9114.58 cm• Cálculo de momentos

La energía total es U = Un + U b
wx2 +
Mes= 2 sx -- ~
, + sooox

Pb PL p2L
Un=-r; n=rr Un= W
M = 2.4 x 10 6 ~g-cm
811
(3000) 2 (400) 5· 743 ~g-cm
Un= 2x2x10 6 xt15 = La energía de deformación es

Ub = f.L:!..dx = ~ ¡•oofTOOOx)2 dx- xsx106 1 •oo= 585.74 ~g-cm

<CL < • EJ - ~
. Ub= •f soo¡20X
2
2 6 2
+ 5000X)2dX + ¡•oof2.4 x 10 ) d
m • 2Et x

Ub= 585.14 + 5. 743 = 590.28 ~g - cm

Üb= 7320.52 + 340.32 7660.84 ~-cm

Problema 4.- Calcular la energía de deformación para la siguiente fi

gura.
 38
Sustituyendo

1200 800 0.24 tn-m

u = 9rrO + 7080
J.L = 0.333
E= 2.1 x 10 6 kgjcm 2
l!R• En las siguientes figuras se muestran los diagramas de momento flexionante y
I = -
4- = 4. 533x1 04 cm 4
torsión.
J = ¡¡v• = 90666 cm 4
32

La energía de deformación vale: U = ub + UT

Diagrama de Momento Flexionante

40

Cálculo de M y T

M -10X l' o~gen en B

BA

M = -10X 1~ a~gen en e
CB
ub =J.' {-10X) 2 dx p {-10X) dx
2 10 2 x 4 3 10 2 x 23 1200
2EI + 2EI 6E1 + 6EI = -rr-

2
uT =!' (20)
2GJ
d - 800
X - GJ

u= 1200 + 800 Diagrama de Momento Torsionante

EI G1

EI 2.1 x 10 6 x 45.333 x 103 9S20 ton-m 2

G E . 2.1x10 6 0.78x 10 6 kgjcm 2

= m+ar = 2(1+.333)

GJ 7.08 x 70 10 kg-em 2 7080 ton-m 2

 39

PRINCIPIO DE LOS DESPLAZAMIENTOS VIRTIJALES AL CALCULO DE Problema 2.- Calcular en el siguiente marco el momento en el punto "C".
ELEMENTOS MECANICOS.

B e
aplicando el principio de despla-
h/2 In.;f;J¡_aduuenda una. Ol!tieufuc.ffin en
zamientos virtuales. p el pun.ta de .i.n.teAú

5 Tn/m (3)
(2) h/2
o=
&>;~
d~pfuz~~O V~ W = Moo + (P) o/2
A
1m 4m 1m 6m Se .óupone que el apoyo ( 3) <1 e "' = o/h
d~pfuza. o, ~onc.~=

Sw.,ti.tuyenda en W

W= M o/h + P o/2

R3 = 15 .tan.
Coma debe ex.f.<l~ equ.<.e.{.b~ W=O
Mo/h + P o/2 =o
Si. {2) .6e d~pfuza. o M= - Ph/2
W = R2o
o
+ 10;¡-- .::ro=
150
O
EJ:. .6.f.gna nega..t.{.va .f.nd.f.c.a. que el
R2 = 16.25 .tan.
<1 ~a del mom~a ~ c.an.;f;J¡_aJU..a
a.J:. <~upuu.ta

S.f. {1) .6e d~pfuza. o

w = R1 o- 10 x io+(5x6l f= o p
 40

APLICACION DEL TEOREMA DE CASTIGLIANO AL CALCULO DE Tramo B-C (origen en A)

3PLAZAMIENTOS. M= (6 + P/2) X- 10(X-4) = 6X + (P/Z)X- 10X + 40

"La derivada parcial de la Energía de Deformación, respecto a una carga

P, es igual al valor del desplazamiento bajo el punto de aplicación y en - M= (P/2) X - 4X + 40

la direccJón de P".
aM
ar =
x
f ; (MJ
aM PX
ar = -4-
2
- 2X2 +2ox

- - - (7) (desplazamiento) Tramo D-C (origen en D)

1
M = (4 + P/2) X = (P/2) X + 4X
Problema l.- Calcular la flecha del punto e en la viga mostrada.

110 Ton Integrando las ecuaciones de momentos y sabiendo que P = O se tiene

B C¡
+---+
1m 2
+----------"wm'----+---'6QJJm'------+ ó
,3X 2
! ,.--
dv~ +!5 (-2X 2 EI+ ZOX) dX+! 5 Er
2X dX=
• EL 4

Se puede .6uponeJt
~; !"+ [ 3+ 10X~ ~ !5=
10 Tr
= -(2/3)X : +
p

A
-- B ~
~ ------- _<s_c..___ ---- --~
~
V P u f,.ú:>;Uw IJ .c,JJtve pa!ta. ha.c.eJt
fu dVU:va.u6n pa!tua.l IJ po.c,.tVU:o'!::_
men.te .6e .e.e da. 4u va.loJt nu.ta = [64 + (-83.33 + 250 + 42.67 - 160) + 83.33 J~I
Cá.e.c.u.ta de momen.to¿,: 19.6.67
TJta.mo A-B
Ó =--u-
M=(6+P/2)X = 6X + (P/2)X
2
oM . X (M) oM 3X2 + PX
ar = f ; ar = 4
 41
Problema 2.- Determinar el desplazamiento horizontal del nudo B de la Momentos

estructura mostrada Tramo A-B (origen A)

M = 4P + 32 - (P+8)X = P(4-X) - 8X + 32
B e
Se c.oru,.{deJuVuf c:íiU.c.ame.n;te. e.&e.c.:to_;
3M
de. 6.te.u6n ap = 4-x ; - 64X + 128 + P [X 2 - 8X+16
EI=cte w = 2T/m
Tramo B-C (origen B)

A
%
M = (P+4)X= PX + 4X ; 3M = X
3P
4 m

Sup)ngase la siguiente condición

Tramo C-0 (origen C)

~P~=~O---&----------,--- e E.t vctl.olL que. <le .te. a. da.do a. P, u
.,• o B
'' Mb-U!u:vúo y una. vez que. ->e. ha. d::_ M= (P+4)4 - PX - X2 = P(4-X) - X2 +16
\
1 EI=cte. 2T/m
\ !Úva.do lLUpe.c.:to a. P <le .te. da cUeho
~~ = 4 - X ; M ~* = X3
\
\.
\ vctl.oJt. - 4X 2 - IGX + 64 + p (X 2 - 8x + 1 6 )
1

Integrando las ecuaciones de momentos y sabiendo que P = O

Cálculo de las reacciones y momentos en el marco. 4 2

(EI) oHB = ! (8X - 64X + 128)dx + !'4X 2 dx + ! 4 (X 3 - 4X 2 - 16X + 64)dx

l:MA = Ro (4) - P (4) - 2 (4) (2) ; Rv = p + 4 Ay

4
j
x3
- z-
2
T6X + 64X ¡4
l:Fx = Ax- P- 2(4) ; Ax = P + 8

'f.IU 8 = MA- Ax(4); MA +4(P+8) :4P+ 32 = MA x

= 4
4
+ !x
3
3
- 40X 2 + T92X !-
4=
o - 362.67
HB - ------rl
 4L

Problema 3.- Calcular el desplazamiento para la armadura mostrada en se convierte en suma de integrales para cada barra, los cuales se pue·

el punto "E" den sumar como:

4m 4m

Por superposición de efectos de las dos armaduras anteriores, se tiene

e
10 Tn

Se establecen las fuerzas axiales en las barras en función de una carga

• -(13.53+2.67P) -1.33P
"P" aplicada en (E) y después derivar respecto a ella. ~~C-------~D--------~~E
10 p
Se tendrán que resolver las 2 armaduras siguientes y después particula-

rizar el valor de "P".

Para aplicar la expresión (l) es conveniente disponer de una tabla como '

p sigue
2. ~~,~>::c-:.:..:.:::.::..__ _1'-

l 2 3 4 5 6
Barra L N aN
TP ~~ NaN L
w
AB 4 l.33P l. 33 0.0 0.0
10 Tn p BE 5 l. 67P l. 67 o. o 0.0
AD 5 16. 6it-1. 67P l. 67 27.84 139.2
BD 3 -P -1 a. o 0.0
Para el caso de armaduras, las fuerzas axiales se consideran que son CD 4 -13.33-2.67P -2.67 35.59 1~2.36
1 DE 4 -l. 33P -l. 33 0.0 o. o
constantes para cada una de las barras, en ese caso la integral_ 28L5b

En la columna (5) se debe considerar el valor real de "P" que en este -

 43

caso vale O tn. PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL

Por lo tanto, el desplazamiento buscado será Problema l. - Encontrar M 2 de la siguiente viga aplicando el principio

del traba jo virtual.

0 = 281156 ha.c-ta a.ba.J·a
VE AE
1

(1)~)
El signo de la sumatoria está asociado a la dirección en que se suposo
&k L
~
"P" -+- L/Z -+- l/2

c.evtga. Jte.al c.evtga. v-Ur..tual

Aplicando una fuerza virtual de lO tn. en el punto de interés:

Cálculo de momentos en el punto de interés

WL X WX 2
2
- - ; Mv
2 5X ; O~ X "' L/Z

El trabajo externo desarrollado es: Wve. =~(10)llvz

El trabajo virtual interno debido a flexión es:

Wvi. = J ~ d
_¿2EI X

L
112
(7/2 WLX - 7/2 WX 2 ) 5X dx + J (1/Z WLX- 1/Z WX
2
) 5X dx
Wvi. = J 2 EI I
L/z
 44
Aplicando el teorema de Betti se tiene Problema 2.- Deteürina. ;[ giro relativo y el desplazamiento vertical

en el punto C.

Wv.{ = Wve. ; 5!w 2 1.2. 5 WL 4

792 E1 2 T/m. 16T

Otra furma de solución es usando las tablas de integración.

~·e-~
Los diagramas de momentos para cada una de las cargas son. -+----4m. lm. +-2m + 2 m +

El diagrama de. momentos es el siguiente

Estructura real Estructura virtual

A
Usando la columna 7 y renglón 5 de la tabla de integración.

,,, .
wV.'-
1
=zEI u L U+aB) wy :L] C/.5 Ss 1/2 S ;et = S = 1/2
Aplicando una carga virtual en el punto C

wV-<-. =2 EI1 [ú .333 L ( 1 + 0.25) 0.313 WL 3 l =

2
9t-
EI1 x 12 5 WL 4

Según Be;t;U Wve. = Wv.{

- 1 - - - - 4m. ----1-Im +-- 4 m. ---+-
A a e o

10
T
,
•N2
1
=2rr 96
12.5 WL"
; ~
Wve. 76vc
En los siguientes ejercicios se súprimirá el factor 1/2 que aparece

en las expresiones de Wv.{ y Wv e. •

 45

Usando las tablas para el cálculo de Wv-i Problema 3.- Para la viga que se muestra enseguida, determinar:

Wv-i =ir } (1) (-3) (-1) +} (4) (-3) L-1) +} (4) (-1) (4)=-2.Ji a).- El desplazamiento vertical del punto B tomando en cuenta única-
R2 C2 R2 • CZ RZ C4 mente flexión
R2 ~eng!6n 2 C2 = columna 2 ------ e~e.
b).- Desplazamiento vertical del punto B considerando los efectos de -

o. 3 flexión y cortante
Como Wve Wv-i; t:.ve
- rr:: t

e).- Calcular el giro a la izquierda de la articulación considerando los

Ahora se aplicará un momento virtual en el mismo punto efectos por flexión

1 T-M

A B 'le f D
~~----~~~7·~,----~~ I 12" Liviana
A :IT/m
~ ~eB EI = 179.64x 10 8 k.g-em 2
--1---4m. ---tlm.t--· 4m. - - - ! - -
4m lm 1m
A

1
Los diagramas de fuerza cortante y momento son:
~
Ae o B
10.5
-+--- 4 m. - - - + ! m +----- 4m. ---+-

Usando las tablas de integración:

EI Wv-i = i (4) (1+0.5) (1) (6) +} (l) (1} (-3) + +(4) (1) (-3) + +(4) {1) (4)
26

4m
R3 • C7 R3 • C1 R2 • C2 R2 • C4

EI Wv-i = 5.83; ee = 5É{ 3

 46
Aplicando una carga virtual en el punro B El desplazamienro total es !lv ,+ Av ; 6.68 cm
8 8
e).- Suponiendo un momento unitario en B
11 Tn

~
!
4m 2m ~ {2. sx + X2 l {1l dx
-+ -+- +- a= !
4
EI
41.33
EI
0.023 flad
Los diagramas de cortante y momentD son:

V a = 1. 318°
1
+ M
Problema 4.- Obtener el desplazamiento horizontal del nudo B

a).- Integrando la ecuación de momenros

+
RSe.ne
R=3m

e e
RCOSe + +
CaJtga Jte.af. CaJtga vJJ¡;tj;,a,f.

Tomando momentos en el punto A

179.64 x 10 8 kg.cm 2 117.33 X 10 9
E1 óvB = 179.64 X 10 8 6 · 531 cm
MA = 2.5 {R-Rcose) ; mA= 1 o<~e.ne (R) dx = Rde

Vvdx e (4 l o. 5 z. 5 ¡ 26
1JJ e
'6v = J" {1 + 1
b ¡.- Bz • C'AG I
RJ" e3
e = 2. 7
A = 59. 74 cm 2
G = 770 000 kg/cm 2 AG =46. O (lO) 3ton

6v = O. 1 52 cm
82
 47

Wv~ 4/
6 ~-(2) (15) (30)
3
·• 5 R f n/ 2
6HB = ~ (sene - sen8c.ose) de 67.5 EI =
1
/d4.24) (30) (15) + + 15(70) + 2(51) (70) +\51)(30)]
TI
R2 • C2 R4 • C3

- (1/3) 4 (30+70) {4) + 5 (51) {70) = Z5032

R4 • C4 R1 • Cl
Problema S.- Determine el desplazamiento vertical en el punto (1) del
siguiente marco Cama rvve = Wv-L ; 6v 1 = Z50Z. 5
----u-

Problema 6.- Calcular el desplazamiento vertical en la siguiente arma-

2T/m
dura. Las áreas de cada barra aparecen entre paréntesis.

1 ST E 1 1 o1 A ( 1O) ló

-- 10 Tn
ÓVA =

5ml El=cte
{1O) (10)
// A {cm 2 )
( 1) 0/
<::."

1 %.
51
3m \.'\
J~~6n

Comp~u.<.6n
{+)
(-)

4 m 3 m (<O) E = eo n<> ;ta n.te

V~ag~arna de momento~

3m 3m
Aplicando una carga virtual de 10 t en (1); Wve = 7Mv 1

Se calculan las fuerzas en todas las barras en la estructura real.

4m -j-3m-+- 70
 4¿j

Se aplica una carga virtual en el punto de interés y se calculan las fuer Problema 7.- Calcular el desplazamiento vertical del nudo 5 en la si-

zas en las barras. guiente armadura. El área, en m2 , de cada barra aparecen entre pa-

réntesis.
10 Tn
(j)

{0.1)
3m ¡;: = c.on.ótante.

El trabajo interno desarrollado en cada barra es

Se calculan las fuerzas en las barras que componen la armadura, tanto

Wv-i. =J I:!R!!.:!_ dx =¡; NR Nv L
AE AE para rondiciones reales como para la carga virtual aplicada en el nudo 55
(5). 10 T 10 T

Para facilitar el cálculo se elabora la siguiente tabla

Barra A L NR Nv NR Nv L
A
AB 10 300 10 o o
BC 10 300 o o o
AE 10. 300 o o o
ED 10 30Q o o o
AD 10 . 42_4lt_"'t. 05 -0. 7 -2092
AC 10 4:2-4 . ...-:¡. 05 -0.7 2092
CD 20 6QO- .. 5 0.5 75
El trabajo interno desarrollado Wv-<. es igual a
¡: = 75.0

Wv-i. = ¡; ,i.¡RA~v L Wve. = 1 x 11v 5

Como Cilve. = Wv-<. ; 11vA = 7~ · 0
se forma la siguiente tabla para el cálculo de Wv.,f_

Barra A L NR Nv NR NvL
A
1-2 0.2 3 o o 0.0
2-3 0.2 3 -5 -0.5 37.5
4-5 o. 1 3 5 0.5 75.0
4-1 o. 1 3 -10 o 0.0
5-2 0.5 3 -5 0.5 -15.0
4-2 0.5 4.23 -7. 1 -0.71 42.6
s-3 0.1 4.23 7.1 0.71 213.0

r: 353.10

Si wVe = Wv.,f_ !ws = 353.1

-E-

C A P I T UL O 4

ESTABILIDAD YGRADO DE INuETtRMINACION DE ESTRUCTURAS