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JOSE CARLOS MARIATEGUI] INGENIERIA CIVIL

ªÁ



1. Calcular los esfuerzos de montaje en las barras de acero de la figura ∆ es la

magnitud lineal del error cometido al fabricar el elemento estructural del
sistema. Si además actúa una carga de 5 toneladas en el punto A cuales serian
los nuevos esfuerzos.

AI = 5 cm2
AII = 2AIII
∆ = 1mm
E = 2x106 kg/cm2

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

∑ 𝑴𝑶 = 𝟎
2ª PRACTICA CALIFICADA

𝟒(𝑭𝑰 + 𝑭𝑰𝑰)𝒄𝒐𝒔𝟐𝟎 = 𝟖𝑭𝑰𝒄𝒐𝒔𝟐𝟎

(𝑭𝑰 + 𝑭𝑰𝑰) = 𝟐𝑭𝑰

𝑭𝑰𝑰 = 𝑭𝑰
𝑭 = 𝝈𝑨

RESISTENCIA DE MATERIALES I 1
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𝝈𝑰 𝑨 = 𝝈𝑰𝑰 𝑨 → 𝝈𝑰 𝟓 = 𝝈𝑰𝑰 𝟏𝟎 → 𝝈𝑰 = 𝟐𝝈𝑰𝑰

DIAGRAMA DE
DEFORMACIONES

𝑚 𝑛
= ≫ 𝑚 = 2𝑛
8 4

∆ − 𝛿𝐼
𝑚=
cos 20
𝛿𝐼𝐼
𝑛=
cos 20

Remplazar m=2n

∆ − 𝛿𝐼 𝛿𝐼𝐼
= 2( ) ≫ ∆ − 𝛿𝐼 = 2𝛿𝐼𝐼
cos 20 cos 20
𝜎𝐿
𝛿=
𝐸
𝜎𝐼(5.85) 𝜎𝐼𝐼(5.85)
∆− = (2)
∈ ∈

∈ ∆ − 𝜎𝐼(5.85) = 𝜎𝐼𝐼(11.7)

∈ (0.1) = 𝜎𝐼(5.85) + 𝜎𝐼𝐼(11.7)

𝝈𝑰 = 𝟐𝝈𝑰𝑰

Remplazando ∈ ∆= 2𝜎𝐼𝐼(5.85) + 𝜎𝐼𝐼(11.7)

2ª PRACTICA CALIFICADA

𝑘𝑔
𝜎𝐼𝐼 = 85.5
𝑐𝑚2

𝑘𝑔
𝜎𝐼 = 170.94
𝑐𝑚2

RESISTENCIA DE MATERIALES I 2
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ADICIONANDO (5 Tn) EN EL PUNTO A

∑ 𝑀𝑂 = 0

8(5000) −8FIcos 20 + 4 cos 20(𝐹𝐼 + 𝐹𝐼𝐼) = 0

2(5000) + 2𝑐𝑜𝑠20𝐹𝐼 = cos 20(𝐹𝐼 + 𝐹𝐼𝐼)

10000
2𝐹𝐼 = 𝐹𝐼𝐼 + 𝐹𝐼
cos 20
10000
+ 𝜎𝐼(𝐴𝐼) = 𝜎𝐼𝐼(𝐴𝐼𝐼)
cos 20
10000
10000 𝜎𝐼𝐼(10) − cos 20 𝟐𝟎𝟎𝟎
+ 𝜎𝐼(5) = 𝜎𝐼𝐼(10) → 𝜎𝐼 = → 𝝈𝑰 = 𝟐𝝈𝑰𝑰 −
cos 20 5 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟎

POR LO OBTENIDO ANTERIORMENTE TENEMOS:

𝑚 = 2𝑛

∆−𝛿𝐼 𝛿𝐼𝐼
𝑚= 𝑛=
cos 20 cos 20

𝜎𝐿
𝛿= ≫ 𝐿 = 5.85𝑚 = 585𝑐𝑚
𝜖

PARA HALLAR LOS NUEVOS ESFUERZOS: ∆ − 𝛿𝐼 = 2𝛿𝐼𝐼

𝜎(585) 𝜎𝐼𝐼(585)
∆− = (2)
∈ ∈

∈ ∆ − 𝜎𝐼(585) = 𝜎𝐼𝐼(1170)
2ª PRACTICA CALIFICADA

𝟐𝟎𝟎𝟎
∈ (0.1) = 𝜎𝐼(5.85) + 𝜎𝐼𝐼(11.7) ↔ 𝝈𝑰 = 𝟐𝝈𝑰𝑰 −
𝒄𝒐𝒔𝟐𝟎
2000
∈ 0.1 − (2𝜎𝐼𝐼 − )(5.85) = 𝜎𝐼𝐼(11.7)
cos 20
𝑘𝑔 𝑘𝑔
𝜎𝐼𝐼 = 617.6 𝑐𝑚2 𝜎𝐼 = −893.24
𝑐𝑚2

RESISTENCIA DE MATERIALES I 3
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2. Calcular los esfuerzos en las barras elásticas debido al incremento de la

temperatura.
∆t=60oC

A3 = 8 cm2
A2 = A1= 4cm2
E = 2x106 kg/cm2
α = 1.17x10-5 o C-1

Calculo de fuerza puntual

WT  A1  A2
F V 0
1(500)(1.70)
WT   500(1.70)  S1  1275  S 2  S 3  0
2
WT  425  850 S 2  S 3  S1  1275
WT  1250 Kg  2 A2   3 A3   1 A1  1275
L1  0.56m  2 (4)   3 (8)   1 (4)  1275
L2  0.85m  2  4 3   1  318.75
X .WT   W . A
X (1275)  425(0.56)  850(0.85)
X  0.75m

M 0 0
S 2 (0.5)  1275(0.45)  S1 (1.20)  0
2ª PRACTICA CALIFICADA

S 2 (0.5)  S1 (1.20)  573.75

Momentos
 2 A2  2.4 1 A1  1147.5
 2 (4)  2.4(4) 1  .1147.5
 2  2.4 1  286.89.........(2)
 2  286.89  2.4 1

RESISTENCIA DE MATERIALES I 4
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Del triangulo sacamos:

m   T2   2  ( T1  1 )
n   3   T3  ( T1  1 )
m n

1.7 1.20
 T2   2   T1  1  1.42( 3   T3   T1  1 )

 2 L2  1 L1
 L  L 
L 2 T   L1T   1.42 2 2  L 2 T  L1T  1 1 
E E  E E 
 (100)  1 (100)
100(1.17 *10  5 )(60)  2  100 (1.17 * 10 5
)( 60)  
2 *10 6 2 *10 6
  (60)  (100) 
1.42 3  60(1.17 *10  5 )(60)  1 
 2 *10 2 *10 6 
6

 1.41*10  4  1  0.0455  4.26 *10  5  3 ...........( 4)

Reemplazamos (2) en (1)

 286.89  2.4 1  4 3   1  318.75

 605.54  4 3  3.4 1
 1 (3.4)  4 3  605.54......(5)
 605.54  4 3
1 
3.4
 1  178.13  1.18 3

Igualamos (4) y (5)

1.41 *10 4 (178 .13  1.18 3 )  0.0455   3 (4.26 *10 5 )

0.025  1.66 *10 4  3  0.0455   3 (4.26 *10 5 )
 0.025  2.086 *10 4 ( 3 )
RESPUESTAS
  98 Kg / cm 2
2ª PRACTICA CALIFICADA

3
 1  178 .13  1.18(98)
 1  293 .77 Kg / cm 2
 2  286 .89  2.4(293 .77 )
 2  418 .16 Kg / cm 2

RESISTENCIA DE MATERIALES I 5
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3. Hallar los esfuerzos de cada barra, el esfuerzo unitario en el bloque, el cambio unitario
de volumen en el bloque. Si ocurre un cambio de temperatura ∆t=50oC calcular los
nuevos esfuerzos en las barras y el bloque.

P = 980 kg/cm2

ACERO:
µ = 1/4
α = 1.17x10-5 o C-1
AC/V = 2cm2
E = 2x106 kg/cm2

ALUMINIO:
µ = 1/3
α = 2.3x10-5 o C-1
E = 7x105 kg/cm2

∑ Fv = 0
P=4s

𝑃
S=
4

Remplazar:
𝑃⁄ 1⁄
8𝑐𝑚2 𝑃/255𝑐𝑚2
= - 3
(−980 − 1960)
2𝑥106 𝐾𝑔⁄𝑐𝑚2 7𝑥105 𝑘𝑔⁄𝑐𝑚2 7𝑥105 𝑘𝑔⁄𝑐𝑚2

𝑃 𝑃 1⁄
= + 3
(2940)
16𝑥106 𝑘𝑔⁄𝑐𝑚 2 1785𝑥10 5 7𝑥10 𝑘𝑔⁄𝑐𝑚2
5

𝑃 𝑃 2940
- =
16𝑥106 𝑘𝑔⁄𝑐𝑚2 7𝑥105 𝑘𝑔⁄𝑐𝑚2 21𝑥105 𝑘𝑔⁄𝑐𝑚2

2940
P= P=24605.54𝑐𝑚
2ª PRACTICA CALIFICADA

21𝑥105 𝑘𝑔⁄𝑐𝑚2

𝑃 24605.54
𝜎𝑧 =  𝜎𝑧 =  𝜎𝑧 = −96.49 𝑘𝑔⁄𝑐𝑚2
𝐴 15𝑥17

RESISTENCIA DE MATERIALES I 6
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El esfuerzo en cada barra:

𝑃⁄ ∆V
𝜎= 2
4
3075.69𝑘𝑔⁄𝑐𝑚2 𝑉
= 𝜉𝑥 + 𝜉𝑦 +𝜉𝑧
𝜎𝑥 𝜇 𝜎𝑦 𝜇
𝜉𝑥 = 𝐸
− 𝐸 (𝜎𝑦 + 𝜎𝑧 ) 𝜉𝑦 = 𝐸
− 𝐸 (𝜎𝑥 + 𝜎𝑧 )

−980 1⁄ −1960 1⁄
3 3
𝜉𝑥 = − (−1960 + 96.49) 𝜉𝑦 = − (−980 + 96.49)
7𝑥105 7𝑥105 7𝑥105 7𝑥105

𝜉𝑥 = −5.12𝑥10−4 𝑐𝑚 𝜉𝑦 = −2.38𝑥10−5 𝑐𝑚

𝜎𝑧 𝜇
𝜉𝑧 = − (𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 )
𝐸 𝐸

−96.49 1⁄ ∆V
3
𝜉𝑦 =
7𝑥105
−
7𝑥105
(−980 − 1960) Remplazando en
𝑉
= 𝜉𝑥 + 𝜉𝑦 +𝜉𝑧

∆V
𝜉𝑧 = 1.26𝑥10−3 𝑐𝑚 𝑉
= −5.12𝑥10−4 −2.38𝑥10−5 + 1.26𝑥10−3

∆V= (-0.001352)(15x17x20)

∆V = −6.8952 cm3 

En la dirección X: 𝛿 = 𝛿𝑥 − 𝛿𝑡𝑥
𝜎𝑥
𝐿 = −5.12𝑥10−4 + 15𝑥2.3𝑥10−5 𝑥50
𝐸𝑏 𝑥

(−5.12𝑥10−4 − 15𝑥2.3𝑥10−5 𝑥50)(7𝑥10−5 )

𝜎𝑥 =
15

𝜎𝑥 = −828.89 𝑘𝑔⁄𝑐𝑚2

En la dirección Y: 𝛿 = 𝛿𝑦 − 𝛿𝑡

𝜎𝑦
𝐿 = −2.83 − 2.83𝑥10−3 − 17𝑥2.3𝑥10−5 𝑥50
𝐸 𝑦

(−2.83 − 2.83𝑥10−3 − 17𝑥2.3𝑥10−5 𝑥50)(7𝑥10−5 )

𝜎𝑦 =
17

𝜎𝑦 = −921.53 𝑘𝑔⁄𝑐𝑚2

En la dirección Z:
2ª PRACTICA CALIFICADA

Desplazamiento total  𝛿𝑏 + 𝛿𝑡𝑏 = 𝑆𝑡𝑐 +𝑆𝑒

𝜎𝑧
𝐿
𝐸𝑏 𝑏
+ 20𝑥1.17𝑥10−5 𝑥50 = 20𝑥2.3𝑥10−5 𝑥50 + 1.26𝑥10−3

𝜎𝑧 = 20𝑥2.3𝑥10−5 𝑥 50 + 1.26𝑥10−3 − 20𝑥1.17𝑥10−5 𝑥50

RESISTENCIA DE MATERIALES I 7
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𝜎𝑧 = 439.6 𝑘𝑔⁄𝑐𝑚2

2ª PRACTICA CALIFICADA

RESISTENCIA DE MATERIALES I 8