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    Ex Parcial MA153 2020 1

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    ROBERT ALEXANDER CHUQUILLANQUI ALLCA
    Este examen parcial de ecuaciones diferenciales consta de 4 preguntas con varias partes cada una. La primera pregunta trata sobre funciones y ecuaciones diferenciales de primer orden. La segunda pregunta modela la ecuación diferencial del movimiento de un cohete. La tercera pregunta analiza un modelo poblacional de ardillas. Y la cuarta pregunta involucra un sistema de dos resortes unidos a una masa.

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    Este examen parcial de ecuaciones diferenciales consta de 4 preguntas con varias partes cada una. La primera pregunta trata sobre funciones y ecuaciones diferenciales de primer orden. La segunda pregunta modela la ecuación diferencial del movimiento de un cohete. La tercera pregunta analiza un modelo poblacional de ardillas. Y la cuarta pregunta involucra un sistema de dos resortes unidos a una masa.

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    Ex-Parcial-MA153-2020-1

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    Este examen parcial de ecuaciones diferenciales consta de 4 preguntas con varias partes cada una. La primera pregunta trata sobre funciones y ecuaciones diferenciales de primer orden. La segunda pregunta modela la ecuación diferencial del movimiento de un cohete. La tercera pregunta analiza un modelo poblacional de ardillas. Y la cuarta pregunta involucra un sistema de dos resortes unidos a una masa.

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    Este examen parcial de ecuaciones diferenciales consta de 4 preguntas con varias partes cada una. La primera pregunta trata sobre funciones y ecuaciones diferenciales de primer orden. La segunda pregunta modela la ecuación diferencial del movimiento de un cohete. La tercera pregunta analiza un modelo poblacional de ardillas. Y la cuarta pregunta involucra un sistema de dos resortes unidos a una masa.

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    UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

    FACULTAD DE INGENIERÍA AMBIENTAL


    DEPARTAMENTO DE CIENCIAS Y ESTUDIOS ESPECÍFICOS BÁSICOS

    EXAMEN PARCIAL DE ECUACIONES DIFERENCIALES MA-153

    APELLIDOS Y NOMBRES:ARRIETA ESPIRITU VICTOR ARTURO

    Código de estudiante: 20171580F

    INDICACIÓN: El trabajo es personal. Desarrolle la respuesta a cada pregunta en una hoja de


    papel bond, en forma clara y ordenada y luego tómela una foto y péguela en el lugar que
    corresponda a la pregunta. Terminada la prueba con las respuestas en el lugar respectivo envíela
    en archivo PDF a través de UNIvirtual.

    1. Responde a cada una de las preguntas y justifique su respuesta:

    a) Sea la función ∅(𝑡) = 𝑡 2 (definida para 𝑡 ∈ ℝ). 2 pts.

    i.¿Puede ser la función ∅(𝑡) solución de una ecuación lineal de primer orden homogénea?
    ii.¿Y de una ecuación lineal de primer orden no homogénea?

    b) Establece las condiciones para que la función 𝑦 = 4 𝑠𝑒𝑛ℎ 3𝑥 − 5𝑒 3𝑥 sea una solución
    particular de la ecuación 𝑦 ′′ − 9𝑦 = 0. 2 pts.

    c) Cierta masa está unida a una pared, por medio de un resorte de constante de rigidez
    𝑘 = 40 𝑁/𝑚 y un amortiguador de constante 𝑐 = 40 𝑁𝑠/𝑚. El sistema se encuentra sobre una
    mesa horizontal y no existe fricción entre la masa y la mesa.
    ¿El movimiento que se presenta es críticamente amortiguado? Justifique su respuesta. 3 pts.

    SOLUCIÓN EN LA SIGUIENTE PAGINA


    2. El Aerobee es un cohete de dos etapas que se usa para investigación
    atmosférica. La primera etapa tiene un empuje de 𝑇 newtons y una
    masa de despegue de 𝑚 kg. La fuerza de arrastre aerodinámico 𝐷
    depende del cuadrado de la velocidad de esta manera: 𝐷 = 𝑚 𝐶𝑣 2 ,
    donde 𝐶 es una constante que depende de la densidad de la masa
    atmosférica, del área de sección transversal del cohete y del
    coeficiente de arrastre.
    Suponiendo que el cohete se mueve sólo verticalmente, el diagrama de
    cuerpo libre puede trazarse como se muestra en la figura adjunta.
    a) Modele la Ecuación Diferencial del movimiento para la velocidad
    𝑣. 1pto.
    𝑇
    b) Considerando 𝐵 = 𝑚 − 𝑔, determine, en términos de la función
    tangente hiperbólica tanh y las contantes 𝐵 y 𝐶, la función
    velocidad 𝑣 si el cohete parte del reposo. 3pts.

    SOLUCIÓN EN LA SIGUIENTE PAGINA


    3. Considere el siguiente modelo de una población de ardillas:
    𝑑𝐴 𝐴 𝐴
    = 𝑘𝐴 (1 − ) ( − 1)
    𝑑𝑡 𝑁 𝑀
    donde 𝑘 > 0 y 𝑀 (capacidad de soporte) permanecen contantes. Suponiendo que 𝑀 ≤ 𝑁 para
    varios valores del parámetro 𝑁;
    a) Determine las soluciones contantes de la EDO 1 pto.
    b) ¿Para qué valor de 𝑁 ocurre una bifurcación? 2 pts.
    c) ¿Cómo se comporta la población de ardillas si el parámetro N decrece lenta y continuamente
    hacia el valor de bifurcación? 2 pts.
    4. Cuando dos resortes paralelos con constantes 𝑘1 ; 𝑘2 soportan una sola
    masa, la constante de resorte efectiva del sistema se expresa como
    𝑘 = 4𝑘1 𝑘2 /(𝑘1 +𝑘2 ). Un cuerpo que pesa 20 libras, sujeto a dos resortes,
    estira los mismos en 6 pulgadas y 2 pulgadas respectivamente. Los resortes
    se unen a un soporte rígido común y luego a una placa metálica, la masa se
    une al centro de la placa en configuración de resorte doble, tal como se
    muestra.
    a. Determine la constante de resorte efectiva de este sistema. 1 pts.
    b. Encuentre la ecuación del movimiento, si la masa se libera inicialmente desde la posición de
    equilibrio, con una velocidad descendente de 2 pies/s. 3 pts.

    SOLUCIÓN EN LA SIGUIENTE PAGINA


    UNI, 28 de Julio del 2020

    Prof. Adriana Valverde Calderón


    Prof. Alexander Bonifacio Castro
    Prof. Pedro Huillca Leva

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