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    12 Integracion Numerica

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    Este documento describe métodos numéricos para calcular el valor aproximado de una integral definida entre los límites a y b. Explica el método del trapecio, que divide el intervalo en segmentos y aplica la fórmula del área de un trapecio en cada uno. También presenta el método de Simpson, que usa polinomios de orden superior para conectar puntos y obtener una estimación más precisa. Detalla las reglas simple y múltiple de Simpson 1/3 y 3/8.

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    Este documento describe métodos numéricos para calcular el valor aproximado de una integral definida entre los límites a y b. Explica el método del trapecio, que divide el intervalo en segmentos y aplica la fórmula del área de un trapecio en cada uno. También presenta el método de Simpson, que usa polinomios de orden superior para conectar puntos y obtener una estimación más precisa. Detalla las reglas simple y múltiple de Simpson 1/3 y 3/8.

    Descripción original:

    metodos numericos

    Título original

    12 INTEGRACION NUMERICA

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    INTEGRACION NUMERICA

    Esta técnica sirve para calcular el valor aproximado numérico de una integral definida, es
    decir, para obtener el valor

    𝑏
    𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
    𝑎

    METODO DEL TRAPEZOIDE


    La regla del trapecio es la primera de las formulas cerradas de integración de
    Newton – Cotes
    La regla del trapecio de aplicación múltiple
    Una forma de mejorar la precisión de la regla del trapecio consiste en dividir el
    intervalo de integración de “a” a “b” en varios segmentos, y aplicar el método a cada
    uno de ellos. Las áreas de os segmentos se suman después para obtener la integral
    en todo el intervalo

    Dos segmentos Tres segmentos

    Cuatro segmentos Cinco segmentos

    𝑓(𝑥0 ) + 2 ∑𝑛−1
    𝑖=1 𝑓(𝑥𝑖 ) + 𝑓(𝑥𝑛 )
    𝐼 = (𝑏 − 𝑎)
    2𝑛
    METODO DE SIMPSON
    Además de aplicar la regla trapezoidal
    con segmentos cada vez más finos, otra
    manera de obtener una estimación más
    exacta de una integral, es la de usar
    polinomios de orden superior para
    conectar los puntos. Por ejemplo, si hay
    un punto medio extra entre f(a) y f(b),
    entonces los tres puntos se pueden
    conectar con un polinomio de tercer
    orden.
    A las fórmulas resultantes de calcular la
    integral bajo estos polinomios se les
    llaman Reglas de Simpson.
    REGLA SIMPLE DE SIMPSON 1/3
    La regla de Simpson 1/3 se basa en la interpolación polinomial cuadrática (de
    segundo grado) y se obtienen la siguiente ecuación
    𝑏
    ℎ
    𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = [𝑓 + 4𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑏) ]
    𝑎 3 (𝑎)
    𝑏−𝑎
    ℎ=
    2
    𝑎+𝑏
    𝑥=
    2
    REGLA DE SIMPSON 1/3 DE APLICACIÓN MULTIPLE

    𝑓(𝑥0 ) + 4 ∑𝑛−1 𝑛−2


    𝑖=1,3,5 𝑓(𝑥𝑖 ) + 2 ∑𝑗=2,4,6 𝑓(𝑥𝑗 ) + 𝑓(𝑥𝑛 )
    𝐼 = (𝑏 − 𝑎)
    3𝑛
    Regla de simpson simple 3/8

    𝑏
    3ℎ
    𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = [𝑓(𝑥𝑜 ) + 3𝑓(𝑥1 ) + 3𝑓(𝑥2 ) + 𝑓(𝑥3 )]
    𝑎 8
    𝑏−𝑎
    ℎ=
    𝑛
    Regla de simpson 3/8 multiple

    Como son varios segmentos “n” tiene que ser multiplo de “3”, por ejemplo 6,9,etc.
    𝑛−2 𝑛−1 𝑛−3
    3ℎ
    𝐼= [𝑓(𝑥0 ) + 3 ∑ 𝑓(𝑥𝑖 ) + 3 ∑ 𝑓(𝑥𝑖 ) + 2 ∑ 𝑓(𝑥𝑖 ) + 𝑓(𝑥𝑛 )]
    8
    𝑖=1,4,7… 𝑖=2,5,8…. 𝑖=3,6,9

    𝑏−𝑎
    ℎ=
    𝑛
    𝑏
    3ℎ
    𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = [𝑓(𝑥𝑜 ) + 3𝑓(𝑥1 ) + 3𝑓(𝑥2 ) + 𝑓(𝑥3 )]
    𝑎 8

    𝑛−2 𝑛−1 𝑛−3


    3ℎ
    𝐼= [𝑓(𝑥0 ) + 3 ∑ 𝑓(𝑥𝑖 ) + 3 ∑ 𝑓(𝑥𝑖 ) + 2 ∑ 𝑓(𝑥𝑖 ) + 𝑓(𝑥𝑛 )]
    8
    𝑖=1,4,7… 𝑖=2,5,8…. 𝑖=3,6,9
    𝑛−2 𝑛−1 𝑛−3
    3ℎ
    𝐼= [𝑓(𝑥0 ) + 3 ∑ 𝑓(𝑥𝑖 ) + 3 ∑ 𝑓(𝑥𝑖 ) + 2 ∑ 𝑓(𝑥𝑖 ) + 𝑓(𝑥𝑛 )]
    8
    𝑖=1,4,7… 𝑖=2,5,8…. 𝑖=3,6,9

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