Practica General

1
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS

FACULTAD DE CIENCIAS PURAS Y NATURALES
PRÁCTICA DE ÁLGEBRA I, MAT-111
1. Determine cuales de las siguientes oraciones son proposiciones:

2
a)x + es un número entero
3
b)¡Si todas las mañanas fueran tan soleadas y despejadas como esta!
c)En 1990, George Bush era el presidente de los estados unidos
d)Quince es un número par
e)¿cómo te fué en el trabajo?
f)Si Alan reprueba Álgebra I, no podrá ser auxiliar de ésta materia
2. Del ejercicio anterior identifique las proposiciones simples o primitivas.
3. Escriba simbólicamente las siguientes proposiciones:

a) Si Enrique juega bien y Pedro viene a todos los encuentros, entonces ganaremos el
campeonato y el Presidente del Club organizará una fiesta.
b)Si a es un número no positivo o si a2 es un número negativo, entonces a no es un número
real.Por otro lado, si a y b son números positivos, entonces a2 = b2 es equivalente a
afirmar que a es igual a b. Pero en el caso de que uno de los dos números, a o b sea negativo,
la equivalencia no es cierta.
c)Como mañana tengo examen de Álgebra I y Cálculo a la misma hora, o bien voy al
examen de Álgebra I o bien voy al examen de Cálculo. En todo caso reprobaré
Álgebra I o Cálculo.
4. Confeccionar las tablas de valores de verdad de las siguientes proposiciones:

a)(p ∧ q) ⇒ r
b)(p ∧ q) ⇒ p
c)(p → q) → (q → p)
d)[(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r)
e)(p → q) ←→ (∼ p ∨ q)
5. Del ejercicio anterior clasificar las proposiciones según sean tautologı́as, contradicciones o
contingencias.
6. Proporcionar las recı́procas y las contrarecı́procas de las siguientes proposiciones:

a)Si a2 es un número impar, a es un número impar.
b)Si acepto el mundo que me ofrecen y soy felı́z, entonces empiezo a cavar mi propia tumba.
c)Si a · b = 0, entonces a = 0 o b = 0
d)Si a < 0, entonces a−1 < 0
7. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

2
a)Si 2+3=6, entonces 1+1=4

b)Verde es azul si y solamente si Blanco es negro
c) 2 + 1 = 3 y 3 + 1 = 5 implica que 4 es impar
d)8 < 3 si 3 < 1
8. Sean p, q, r proposiciones primitivas, utilizando tablas de verdad verificar la siguiente equiva-

lencia lógica:
p → (q ∧ r) ⇔ [(p → q) ∧ (p → r)]
9. Demostrar la equivalencia lógica del ejercicio anterior mediante leyes lógicas.
10. Verifique las leyes de absorción mediante una tabla de verdad.
11. Escriba los pasos y las razones para establecer la equivalencia lógica:
∼ (p ∨ q) ∨ [(∼ p ∧ q)∨ ∼ q] ⇔∼ (q ∧ p)
12. Escriba los pasos y las razones para demostrar la equivalencia lógica:
(p → q) ∧ [∼ q ∧ (r∨ ∼ q)] ⇔∼ (q ∨ p)
13. Determinar si las siguientes proposiciones son leyes lógicas:

a)p ∧ q ⇒ q
b)[(p → q) (q → r)] ⇒ (p → r)
V
c)p ⇒ p q
V
d)p ⇒ p t
W
14. Escriba los pasos y las razones para establecer la equivalencia lógica:
[(p ∨ q) → r] ⇔ [(p → r) ∧ (q → r)]
La cual tiene el esquema del método de demostración por casos.
15. Demostrar la siguiente equivalencia lógica por el método que más le convenga:
p ∧ [(∼ q → (r ∧ r))∨ ∼ [q ∨ ((r ∧ s) ∨ (r∧ ∼ s))]] ⇔ p
16. Utilizando las leyes de la lógica simplifique la siguiente fórmula proposicional:
(((((((((p → q) → p) → q) → p) → q) → p) → q) → p) → q) → p
17. Si se tiene que p ∧ q ⇔ p ∧ r y p ∨ q ⇔ p ∨ r, demostrar que: r ⇔ q
18. ¿Es la condicional asociativa? Es decir, ¿Es
[(p → q) → r] ←→ [p → (q → r)]
una tautologı́a?
19. ¿Es la bicondicional asociativa? En otras palabras, ¿Es

3
[(p ←→ q) ←→ r] ←→ [p ←→ (q ←→ r)]
una tautologı́a?
20. Si se sabe que q → p es falso, determinar (sin hacer la tabla de verdad) el valor de ver-
dad de la siguiente proposición:
∼ q) ∼ [(p m) → ((q ←→ m)
V V W V
(p s)]
21. Hallar el valor de verdad de las proposiciones r, s y t para que la siguiente proposición sea
verdadera:
[∼ (p →∼ q) ∨ (q →∼ p)] ←→ (∼ r ∧ s∧ ∼ t)
22. Sabiendo que p ∧ q es verdad, indı́que el valor de verdad de:
∼ [(q ←→ s)∧ ∼ (r → q)] ∨ [(p ∧ m) → q]
23. Utilizando las Reglas de inferencia, si se tienen las premisas p → (q ∨ r); q → s; inferir
p → (r ∨ s)
24. Utilizando las Reglas de inferencia, si se tienen las premisas s; (s ∧ p) → r; t →∼ r; p;

inferir ∼ t
25. Demostrar la validéz del siguiente razonamiento:
p → q ; p∨ ∼ r ; (∼ s ∨ t) → r ; por lo tanto: ∼ s → q
26. Demostrar la validéz del siguiente razonamiento por contradicción:
p → q ∨ r ; s → q ; t →∼ r ;p ∧ t, por lo tanto: q
27. Demostrar la validéz del siguiente argumento:
∼ p → q ; r → s∨ ∼ p ; ∼ r ; ∼ s ; ∼ r → t , por lo tanto: ∼ t → q
28. Construya una demostración formal para el siguiente teorema:
Si p∨ ∼ q , t ∧ q , t →∼ (∼ s ∧ p) , entonces r ∨ s
29. Simbolizar el siguiente razonamiento y verificar su validéz:

Razonamiento.- Si hay desempleo o injusticia social entonces hay descontento entre la
gente. Si hay descontento entre la gente, entonces hay protestas callejeras. No hay protestas
callejeras; por lo tanto, hay injusticia social.
30. Simbolice adecuadamente el razonamiento siguiente , indicando las proposiciones simples

que los integran. Pruebe su validéz, construyendo una demostración que lleve a la conclusión es-
tablecida.
Teorema.- Si los acuerdos se cumplen, entonces, se logra la paz. Si se logra la paz, el nivel
de vida se incrementa. Los enfrentamientos terminan y los acuerdos se cumplen. Si los
problemas sociales se agravan, el nivel de vida no se incrementa. Si los problemas sociales
no se agravan, entonces, la justicia social se alcanza. Conclusión: Los enfrentamientos
4
terminan y la justicia social se alcanza.
31. Escriba en el lenguaje formal la siguiente inferencia demostrándola si es válida y especifi-

cando las reglas de inferencia:
Si a es un número perfecto, entonces a es par y n es un número impar. a es par y n es impar.
Por consiguiente, a no es perfecto.
32. Negar las proposiciones:

a)∃x | p(x)∨ ∼ q(x)
b)∀x : p(x) ⇒ q(x)
c)∀x; ∃y | xy = 0
33. Demostrar por contradicción: Si m + n es impar, entonces m es impar o n es impar.
34. Sean a , b números enteros. Se define que a > b si existe un número natural c tal que
a = b + c. Demostrar que: si a > b y b > c entonces a > c.
35. Probar que la suma de los cubos de tres números enteros consecutivos es múltiplo de 9.
36. Considere cuatro números enteros positivos a, b, c y d. Los productos de estos números
tomados de tres en tres sin que se repitan son 30, 42, 70 y 105. ¿Cual es el producto de los cuatro
números?
37. Usando la contrareciproca demostrar que: Para todo m, n enteros , si mn es impar , en-
tonces ambos m y n son impares.
38. Sea n un número entero. Probar que n es par si y solo si 31n + 12 es par.
39. Sea x un número entero, x es par si y solo si x2 es par.
40. Si x ≥ 0 es un número real tal que para todo número real ε > 0 se cumple que 0 ≤ a < ε,
entonces a = 0.
41. Demostrar por cualquier método que sumando 1 al producto de cuatro enteros consecu-
tivos da un cuadrado perfecto.
42. Sea n un número entero. Demostrar que n es impar si y solo si n3 es impar.
43. Si a es un número impar, entonces a2 + 3a + 5 es impar.
44. Decimos que un entero a divide al entero b (denotado por a | b) si b = k · a para algún
entero k. Mostrar que si a - b · c, entonces a - b.
45. Si a es un número entero, demostrar que 4 - a2 , entonces a es impar.
46. Demostrar que si a | b y a | c, entonces a | (b + c) donde a, b y c son números enteros.

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1. Determine cuales de las siguientes oraciones son proposiciones:

2. Del ejercicio anterior identifique las proposiciones simples o primitivas.

3. Escriba simbólicamente las siguientes proposiciones:

4. Confeccionar las tablas de valores de verdad de las siguientes proposiciones:

6. Proporcionar las recı́procas y las contrarecı́procas de las siguientes proposiciones:

7. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

a)Si 2+3=6, entonces 1+1=4

8. Sean p, q, r proposiciones primitivas, utilizando tablas de verdad verificar la siguiente equiva-

9. Demostrar la equivalencia lógica del ejercicio anterior mediante leyes lógicas.

10. Verifique las leyes de absorción mediante una tabla de verdad.

13. Determinar si las siguientes proposiciones son leyes lógicas:

[(p ∨ q) → r] ⇔ [(p → r) ∧ (q → r)]

La cual tiene el esquema del método de demostración por casos.

p ∧ [(∼ q → (r ∧ r))∨ ∼ [q ∨ ((r ∧ s) ∨ (r∧ ∼ s))]] ⇔ p

16. Utilizando las leyes de la lógica simplifique la siguiente fórmula proposicional:

17. Si se tiene que p ∧ q ⇔ p ∧ r y p ∨ q ⇔ p ∨ r, demostrar que: r ⇔ q

18. ¿Es la condicional asociativa? Es decir, ¿Es

19. ¿Es la bicondicional asociativa? En otras palabras, ¿Es

22. Sabiendo que p ∧ q es verdad, indı́que el valor de verdad de:

∼ [(q ←→ s)∧ ∼ (r → q)] ∨ [(p ∧ m) → q]

24. Utilizando las Reglas de inferencia, si se tienen las premisas s; (s ∧ p) → r; t →∼ r; p;

25. Demostrar la validéz del siguiente razonamiento:

26. Demostrar la validéz del siguiente razonamiento por contradicción:

27. Demostrar la validéz del siguiente argumento:

28. Construya una demostración formal para el siguiente teorema:

29. Simbolizar el siguiente razonamiento y verificar su validéz:

30. Simbolice adecuadamente el razonamiento siguiente , indicando las proposiciones simples

terminan y la justicia social se alcanza.

31. Escriba en el lenguaje formal la siguiente inferencia demostrándola si es válida y especifi-

32. Negar las proposiciones:

33. Demostrar por contradicción: Si m + n es impar, entonces m es impar o n es impar.

39. Sea x un número entero, x es par si y solo si x2 es par.

42. Sea n un número entero. Demostrar que n es impar si y solo si n3 es impar.

43. Si a es un número impar, entonces a2 + 3a + 5 es impar.

45. Si a es un número entero, demostrar que 4 - a2 , entonces a es impar.

46. Demostrar que si a | b y a | c, entonces a | (b + c) donde a, b y c son números enteros.

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