Ejercicios de Metodos Numericos Primera Unidad

Universidad Nacional Autónoma de Chota
Facultad de Ciencias de la Ingeniería

Departamento Académico de Ingeniería Civil
CONJUNTO DE EJERCICIOS DE ANÁLISIS NUMÉRICO DE

RICHARD L. BURDEN Y J. DOUGLAS FAIRES
ING. JAVIER RUBEN SABINO NORABUENA
MÉTODOS NUMÉRICOS
MARZO - 2021
EJERCICIOS
2.1
Ejercicio 1
Aplique el método de Bisección para obtener P3 para f ( x )= √ x−cos x
Solución
se tiene : f ( 0 )=√ 0−cos 0=−1; f ( 1 )=√ 1−cos 1=0,0001523

Iteración 1:
a 1=a=0; f ( 0 )=−1
b 1=b=1 ; f ( 1 )=0.0001523 ◊
a1+ b1 0+1
x 1= = =0.5
2 2
f ( 0.5 )=√ 0.5−cos 0.5=−0.2928551 ◊󠄀
Iteración 2:
x 1=a 2=0.5 ; f ( 0.5 )=−0.2928551
b 1=b 2=1 ; f ( 1 )=0.0001523 ◊
a 2+ b 2 0.5+1
x 2= = =0.75
2 2
f ( 0.75 )=√ 0.75−cos 0.75=−0.1338889 ◊
Iteración 3
x 2=a 3=0.75; f ( 0.75 )=−0.13388889
b 2=b 3=1=1 f (1 ) =0.0001523
a 3+b 3 0.75+1
x 3= = =0.875
2 2
f ( 0.875 )=√ 0.875−cos 0.875=−0.0644690
( 12 ) ( x−1) Aplique el método de bisección para obtener 𝒑𝟑 en:

EJERCICIO 2. Sea f ( x )=3 ( x +1 ) x−
a. [-2,1.5]
Solución:
p3 ¿ x 3
1 an +b n
( )
f ( x )=3 ( x +1 ) x−
2
( x−1 ) , x n=
2
, f ( a ) ⋅ f ( b ) <0
Iteración 1:
1
a 1=−2 → f ( a1 )=f (−2 )=3 (−2+1 ) −2− ( 2)(−2−1 )=−22,5
1
b 1=1,5 (
→ f ( b1 )=f ( 1,5 )=3 ( 1,5+1 ) 1,5−
2 )
( 1,5−1 )=3,75
−2+1,5
x 1= =−0,25
2
1
→ f (−0,25 )=f (−0,25 )=3 (−0,25+1 ) −0,25− ( 2 )
(−0,25−1 )=2,109375
Iteración 2:
1
a 2=a1=−2 → f ( a2 )=f (−2 )=3 (−2+1 ) −2− ( 2 )
(−2−1 )=−22,5
1
b 2=x1 =−0,25 → f ( b2 )=f (−0.25 )=3 (−0,25+ 1 ) −0,25− ( 2 )
(−0,25−1 )=2,109375
−2−0,25
x 2= =−1,125
2
1
(
→ f ( x 2 ) =f (−1,125 )=3 (−1,125+1 ) −1,125−
2 )
(−1,125−1 )=−1,2949218
Iteración 3
1
a 3=x 2=−2 → f ( a2 )=f (−1,125 )=3 (−1,125+1 ) −1,125− ( 2)
(−1,125−1 )=−1,2949218
1
b 3=b2=−0,25 → f ( b )=f (−0.25 )=3 (−0,25+ 1 ) (−0,25− ) (−0,25−1 )=2,109375
2
2
−1,125−0,25
x 3= =−0,6875
2
1
→ f ( x 3 ) =f (−0,6875 ) =3 (−0,6875+1 ) −0,6871− ( 2)(−0,6875−1 )=1,878662
→ p3 ¿ x 3=−0,6875 en el interval o[-2,1.5].
b. [-1.25 ; 2.5]
1
f ( x )=3 ( x+1)( x− )( x−1)
2
Iteración 1: a1 = -1.25 : b1 = 2.5
−1.25+2.5
x 1=
2
X1 = 0.625
1
(
f ( x 1 ) =f ( 0.625 )=3 ( 0.625+ 1 ) 0.625−
2)( 0.625−1 ) =−0.228516
1
(
f ( a1 )=f (−1.25 )=3 (−1.25+1 ) −1.25−
2 )
(−1.25−1 )=−2.953125
1
(
f ( b2 )=f ( 2.5 )=3 ( 2.5+1 ) 2.5−
2 )
( 2.5−1 )=31.5
Iteración 2:
a2 = x1 = 0.625 :
b2 = b1 = 2.5
0.625+2.5
x 2=
2
X2 = 1.5625
1
(
f ( x 2 ) =f ( 1.5625 )=3 ( 1.5625+1 ) 1.5625−
2 )
( 1.5625−1 )=4.594482
1
(
f ( a2 )=f ( 0.625 )=3 ( 0.625+1 ) 0.625−
2)( 0.625−1 )=−0.228516
1
(
f ( b2 )=f ( 2.5 )=3 ( 2.5+1 ) 2.5−
2 )
( 2.5−1 )=31.5
Iteración 3:
a3 = a2 = 0.625 :
b3 = x2 = 1.5625
0.625+1.5625
x 2=
2
X2 = 1.093750
1
(
f ( x 3 ) =f ( 1.093750 )=3 ( 1.093750+1 ) 1.093750−
2)( 1.093750−1 )=0.349640
1
(
f ( a3 )=f ( 0.625 )=3 ( 0.625+1 ) 0.625−
2)( 0.625−1 ) =−0.228516
1
(
f ( b2 )=f ( 1.5625 )=3 ( 1.5625+1 ) 1.5625−
2)( 1.5625−1 ) =4.594482
b)
1
• F(X)=3(X+1)(X- )(X-1)
2
F(x)=3( x 2-1)(X-1/2)
3
F(X)=3 X 3 -3/2 X 2 -3X+
2
a=-1.25
b=2.5
−1.25+2.5
X=m= =0.625
2
F(xa)=3(−1.252-1)(-1.25-1/2)=-2.9531
F(xr)=3(0.6252-1)(0.625-1/2)=-0.228
Criterios
f(xa)*f(xr)<0 cambiar xb = xr
f(xa)*f(xr)>0 cambiar xa = xr
Método de bisección PRÁCTICA 2.2
IITERACION xa xb xr f(xa) f(xr) f(xa)*f(xr) Ea % Et%
1 -1.25 2.5 0.625 -2.953125 -0.22851563 0.67483521 37.5
2 -0.22851563 2.5 1.13574219 2.07141895 0.55292466 1.14533861 0.44969905 0.13574219
3 0.55292466 2.5 1.52646233 -0.11023269 4.09585333 -0.45149693 0.25596448 0.52646233
4 0.55292466 1.52646233 1.03969349 -0.11023269 0.1310849 -0.01444984 0.46818494 0.03969349
5 0.55292466 1.03969349 0.79630907 -0.11023269 -0.32525123 0.03585332 0.30564064 0.20369093
6 -0.32525123 1.03969349 0.35722113 2.21384776 0.37367789 0.82726596 1.22917686 0.64277887
7 0.37367789 1.03969349 0.70668569 0.32604931 -0.31039768 -0.10120495 0.49451201 0.29331431
8 0.37367789 0.70668569 0.54018179 0.32604931 -0.08537067 -0.02783505 0.30823679 0.45981821
9 0.37367789 0.54018179 0.45692984 0.32604931 0.10223329 0.03333309 0.18219854 0.54307016
10 0.10223329 0.54018179 0.32120754 1.18082819 0.48103703 0.56802209 0.42253772 0.67879246
11 0.48103703 0.54018179 0.51060941 0.043725 -0.02352992 -0.00102885 0.37093299 0.48939059
EJERCICIO 3. Aplique el método de bisección para encontrar soluciones exactas dentro de 10−2 para
x 3- 7 x 2 + 14x – 6 = 0 en cada intervalo
a. [0;1]
f(x) = x 3 - 7 x 2 + 14x -6
iteración 1:
a 1= 0 ; b 1= 1
0+1
x 1= → x 1= 0.5
2
f(a 1) = f(0) = 03 – 7(02 ) +14(0) – 6 = -6
f(b 1) = f(1) = 13 -7(12) + 14(1) – 6 =2
f( x 1) = f(0.5) = (0.5)3 - 7(0.5)2 +14(0.5) -6 = -0.625
iteración 2
a 2= x 1 = 0.5
b 2= b 1 =1
1+ 0.5
x 2= → x 2= 0.75
2
f(a 2) = f(0.5) =(0.5)3 - 7(0.5)2 +14(0.5) – 6 = -0.625
f¿) = f(1) = 13 – 7(1)2 + 14(1) – 6 = 2
f( x 2) = f(0.75) = (0.75)3 -7(0.75)2 +14(0.75) -6 = 0.984375
iteración 3
a 3= a 2 = 0.5
b 3= x 2= 0.75
0.5+0.75
x3 = → x 3= 0.625
2
f(a 3) = f(0.5) = (0.5)3- 7(0.5)2 +14(0.5) – 6 = -0.625
f(b 3) = f(0.75) = (0.75)3 --7(0.75)2 +14(0.75) -6 = 0.984375
f( x 3) = f(0.625) = ¿-7(0.625)2 +14(0.625) - 6 = 0.2597656
iteración 4
a 4= a 3 = 0.5
b 4= x 3 = 0.625
0.5+0.625
x4 = → x 4 = 0.5625
2
f(a 4) = f(0.5) = (0.5)3- 7(0.5)2 +14(0.5) – 6 = -0.625
f(b 4) = f(0.625) = ¿-7(0.625)2 +14(0.625) - 6 = 0.2597656
f( x 4 ) = f(0.5625) = ( 0.5625 ¿ ¿3-7(0.5625)2 +14(0.5625) - 6 = - 0.1618652
iteración 5
a 5 = x 4 = 0.5625
b 5= b 4 = 0.625
0.5625+0.625
x5 = → x 5 = 0.59375
2
f(a 5) = f(0.5625) = ( 0.5625 ¿ ¿3-7(0.5625)2 +14(0.5625) - 6 = - 0.1618652
f(b 5) = f(0.625) = ¿-7(0.625)2 +14(0.625) - 6 = 0.2597656
f( x 5) = f(0.59375) = ¿-7(0.59375)2 +14(0.59375) - 6 = 0.0540466
iteración 6
a 6= a 5 = 0.5625
b 6= x 5 = 0.59375
5625+0.59375
x6 = → x 6 = 0.578125
2
f(a 6) = f(0.5625) = ( 0.5625 ¿ ¿3-7(0.5625)2 +14(0.5625) - 6 = - 0.1618652

f(b 6) = f(0.59375) = ¿-7(0.59375)2 +14(0.59375) - 6 = 0.0540466
f( x 6) = f(0.578125) = ¿-7(0.578125)2 +14(0.578125) - 6 = - 0.0526237
iteración 7
a 7 = x 6 = 0.578125
b 7 = b 6 = 0.59375
0.578125+0.59375
x7 = → x 7 = 0.5859375
2
f(a 7) = f(0.578125) = ¿-7(0.578125)2 +14(0.578125) - 6 = - 0.0526237
f(b 7) = f(0.59375) = ¿-7(0.59375)2 +14(0.59375) - 6 = 0.0540466
f( x 7) = f(0.5859375) = ¿-7(0.5859375)2 +14(0.5859375) - 6 = 0.0010314
E = [ 0.5859375 – 0.578125] = 0.0078125
b. [0;1]
f(x) = x 3 - 7 x 2 + 14x -6
iteración 1
a 1= 0 ; b 1= 1
0+1
x 1= → x 1= 0.5
2
f(a 1) = f(0) = 03 – 7(02 ) +14(0) – 6 = -6
f(b 1) = f(1) = 13 -7(12) + 14(1) – 6 =2
f( x 1) = f(0.5) = (0.5)3 - 7(0.5)2 +14(0.5) -6 = -0.625
iteración 2
a 2= x 1 = 0.5
b 2= b 1 =1
1+ 0.5
x 2= → x 2= 0.75
2
f(a 2) = f(0.5) =(0.5)3 - 7(0.5)2 +14(0.5) – 6 = -0.625
f¿) = f(1) = 13 – 7(1)2 + 14(1) – 6 = 2
f( x 2) = f(0.75) = (0.75)3 -7(0.75)2 +14(0.75) -6 = 0.984375

iteración 3
a 3= a 2 = 0.5
b 3= x 2= 0.75
0.5+0.75
x3 = → x 3= 0.625
2
f(a 3) = f(0.5) = (0.5)3- 7(0.5)2 +14(0.5) – 6 = -0.625
f(b 3) = f(0.75) = (0.75)3 --7(0.75)2 +14(0.75) -6 = 0.984375
f( x 3) = f(0.625) = ¿-7(0.625)2 +14(0.625) - 6 = 0.2597656
iteración 4
a 4= a 3 = 0.5
b 4= x 3 = 0.625
0.5+0.625
x4 = → x 4 = 0.5625
2
f(a 4) = f(0.5) = (0.5)3- 7(0.5)2 +14(0.5) – 6 = -0.625
f(b 4) = f(0.625) = ¿-7(0.625)2 +14(0.625) - 6 = 0.2597656
f( x 4 ) = f(0.5625) = ( 0.5625 ¿ ¿3-7(0.5625)2 +14(0.5625) - 6 = - 0.1618652
iteración 5
a 5 = x 4 = 0.5625
b 5= b 4 = 0.625
0.5625+0.625
x5 = → x 5 = 0.59375
2
f(a 5) = f(0.5625) = ( 0.5625 ¿ ¿3-7(0.5625)2 +14(0.5625) - 6 = - 0.1618652
f(b 5) = f(0.625) = ¿-7(0.625)2 +14(0.625) - 6 = 0.2597656
f( x 5) = f(0.59375) = ¿-7(0.59375)2 +14(0.59375) - 6 = 0.0540466
iteración 6
a 6= a 5 = 0.5625
b 6= x 5 = 0.59375
5625+0.59375
x6 = → x 6 = 0.578125
2
f(a 6) = f(0.5625) = ( 0.5625 ¿ ¿3-7(0.5625)2 +14(0.5625) - 6 = - 0.1618652
f(b 6) = f(0.59375) = ¿-7(0.59375)2 +14(0.59375) - 6 = 0.0540466
f( x 6) = f(0.578125) = ¿-7(0.578125)2 +14(0.578125) - 6 = - 0.0526237
iteración 7
a 7 = x 6 = 0.578125
b 7 = b 6 = 0.59375
0.578125+0.59375
x7 = → x 7 = 0.5859375
2
f(a 7) = f(0.578125) = ¿-7(0.578125)2 +14(0.578125) - 6 = - 0.0526237
f(b 7) = f(0.59375) = ¿-7(0.59375)2 +14(0.59375) - 6 = 0.0540466
f( x 7) = f(0.5859375) = ¿-7(0.5859375)2 +14(0.5859375) - 6 = 0.0010314
E = [ 0.5859375 – 0.578125] = 0.0078125
EJERCICIO 3. Aplique el método de bisección para encontrar la solución exacta dentro de 10−2 para
x 3-7 x 2+14x-6=0 en cada intervalo.
b. [ 1 ,3 . 2 ]
Iteración 1
a 1=1 b 1=3.2
1+ 3.2
x 1=
2
x 1= 2.1
f ( a1 )=f ( 1 )=13−7 ( 12 ) +14 ( 1 ) −6=2
f ( b1 )=f ( 3.2 )=(3.2)3−7 ( 3.2 )2 +14 ( 3.2 )−6=−0.112
f ( x 1 ) =f ( 2.1 )=(2.1)3 −7 ( 2.1 )2+14 ( 2.1 )−6=1.791
Iteración 2
a 2 = x 1= 2.1
b 2=b1=3.2
x 2.1+3.2
2=¿ ¿
2
x 2=¿2.65 ¿
f ( a2 )=f ( 2.1 )=2.13−7 ( 2.12 ) +14 ( 2.1 )−6=1.791
f ( b2 )=f ( 3.2 )=( 3.2)3−7 ( 3.2 )2 +14 ( 3.2 )−6=−0.112
f ( x 2 ) =f ( 2.65 )=(2.65)3−7 ( 2.65 )2 +14 ( 2.65 )−6=0.5521250
Iteración 3
a 3=x 2=2.65
b 3=b2=3.2
x 2.65+3.2
3=¿ ¿
2
x 3=¿2.925 ¿
f ( a3 )=f ( 2.65 )=(2.65)3−7 ( 2.65 )2 +14 ( 2.65 )−6=0.5521250
f ( b3 )=f ( 3.2 )=(3.2)3−7 ( 3.2 )2 +14 ( 3.2 )−6=−0.112
f ( x 3 ) =f ( 2.925 )=(2.925)3−7 ( 2.925 )2 +14 ( 2.925 )−6=0.0858281
Iteración 4
a 4=x 3=2.65
b 4=b 3=3.2
x 2.925 +3.2
4=¿ ¿
2
x 4=¿ 3.0625¿
f ( a4 ) =f ( 2.925 ) =(2.925)3−7 ( 2.925 )2 +14 ( 2.925 ) −6=0.0858281
f ( b4 ) =f ( 3.2 ) =(3.2)3−7 ( 3.2 )2+ 14 ( 3.2 )−6=−0.112
f ( x 4 )=f ( 3.0625 )=(3.0625)3−7 ( 3.0625 )2 +14 ( 3.0625 ) −6=0.0544434
Iteración 5
a 5=a 4=2.925
b 5=x 4=3.0625
2.925+3.0625
x 5=
2
x 5=2.99375
f ( a5 )=f ( 2.925 )=(2.925)3 −7 ( 2.925 )2+ 14 ( 2.925 )−6=0.0858281
f ( b5 )=f ( 3.0625 )=(3.0625)3 −7 ( 3.0625 )2+14 ( 3.0625 )−6=0.0544434
f ( x 5 ) =f ( 2.99375 )=(2.99375)3−7 ( 2.99375 )2 +14 ( 2.99375 )−6=0.0063279
Iteración 6
a 6=x 5=2.99375
b 6=b5 =3.0625
2.99375+3.0625
x 6=
2
x 6=3.028125
f ( a6 ) =f ( 2.99375 )=(2.99375)3−7 ( 2.99375 )2 +14 ( 2.99375 )−6=0.0063279
f ( b6 ) =f ( 3.0625 )=(3.0625)3 −7 ( 3.0625 )2+ 14 ( 3.0625 )−6=0.0544434
f ( x 6 ) =f ( 3.028125 )=(3.028125)3−7 ( 3.028125 )2 +14 ( 3.028125 )−6=−0.0265207
Iteración 7
a 7=a6 =2.99375
〖 b〗_7=x_6=3.028125
2.99375+3.028125
x 7=
2
x 7=3.0109375
f ( a7 )=f ( 2.99375 )=(2.99375)3−7 ( 2.99375 )2+ 14 ( 2.99375 )−6=0.0063279
f ( b7 )=f ( 3.028125 )=(3.028125)3 −7 ( 3.028125 )2+14 ( 3.028125 )−6=−0.0265207
f ( x 7 ) =f ( 3.0109375 )=(3.0109375)3−7 ( 3.0109375 )2+ 14 ( 3.0109375 )−6=−0.0106969
Iteración 8
a 8=a7 =2.99375
b 8=x 7=3.0109375
2.99375+3.0109375
x 8=
2
x 8=3.0023438
f ( a8 )=f ( 2.99375 )=(2.99375)3−7 ( 2.99375 )2+ 14 ( 2.99375 )−6=0.0063279
f ( b8 )=f ( 3.0109375 )=(3.0109375)3 −7 ( 3.0109375 )2+14 ( 3.0109375 )−6=−0.0106969
f ( x 8 ) =f ( 3.0023438 )=(3.0023438)3−7 ( 3.0023438 )2+ 14 ( 3.0023438 )−6=−0.0023328
∈=[ 3.0023438−3.0109375 ] = 0.008594
3 c. Aplique el método de bisección para encontrar las soluciones exactas dentro de 10 -2 para
x3-7x2+14x-6=0 en el intervalo: [3.2,4].
SOLUCION
Observamos que la función es continua en R.

Iteración 1: como f es continua en [3.2,4], tomamos a1=3.2 y b1=4, luego.
f (a1 )=−0.112 y f (b2 )=2
observamos que son de signos diferentes. El punto medio x1 de [a1,b1] es:

3.2+ 4
x 1= =3.6 y f (x 1)=0.336
2
Iteración 2: observamos que f (a1 ) y f (x 1) poseen signos opuestos, entonces:
a 2=a1=3.2 y b 2=x1 =3.6 ; entonces:
f ( a2 )=−0.112 y f (b2 )=0.336; por lo tanto, x2 es:
3.2+ 3.6
x 2= =3.4 y f ( x 2 ) =−0.016
2
Iteración 3: observamos que f (b2 ) y f ( x 2 ) tienen signos opuestos, entonces:

a 3=x 2=3.4 y b 3=b2=3.6 ; entonces:
f ( a3 )=−0.016 y f ( b3 )=0.336; por lo tanto, x3 es:
3.4+3.6
x 3= =3.5 y f ( x 3 ) =0.125
2
Iteración 4: observamos que f ( a3 ) y f ( x 3 ) tienen signos opuestos, entonces:

a 4=a3=3.4 y b 4=x 3=3.5 ; entonces:
f ( a4 ) =−0.016 y f ( b4 ) =0.125; por lo tanto, x4 es:
3.4+ 3.5
x4= =3.45 y f ( x 4 )=0.046125
2
Iteración 5: observamos que f ( a4 ) y f ( x 4 ) poseen signos opuestos, entonces:

a 5=a 4=3.4 y b 5=x 4=3.45 ; entonces:
f ( a5 )=−0.016 y f ( b5 )=0.046125; por lo tanto, x5 es:
3.4+3.45
x 5= =3.425 y f ( x 5 ) =0.013015625
2
Iteración 6: observamos que f ( a5 ) y f ( x 5 ) tienen signos opuestos, entonces:

a 6=a5 =3.4 y b 6=x 5=3.425 ; entonces:
f ( a6 ) =−0.016 y f ( b6 ) =0.013015625; por lo tanto, x6 es:
3.4+3.425
x 6= =3.4125 y f ( x 6 ) =−0.001998047
2
Iteracion7: observamos que f ( b6 ) y f ( x 6 ) ; poseen signos opuestos, entonces:

a 7=b6 =3.425 y b 7=x 6=3.4125 ; por lo tanto, x7 es:
3.425+3.4125
x 7= =3.41875 y f ( x 7 ) =0.005411620
2
Observamos que después de 7 iteraciones, la solución aproximada es x 7=3.41875 con una exactitud de
10-2. Y observamos en la gráfica la aproximación de la raíz.
EJERCICIO N 4. Aplique el método de bisección para encontrar las soluciones exactas dentro de 𝟏𝟎-2
para 𝒙4 – 𝟐𝒙3 + 𝟒𝒙2 + 𝟒𝐱 + 𝟒 = 𝟎 en cada intervalo.
a. [-2,-1]
Esta entre [-2,-1] entonces podemos considerar [a1 ; b1 ] = [a ; b] = [-2,-1]
numero de iteraciones
ba
n
 102
2
1  (2) 1
n
 102  n
 102  2n  10 2  ln(2n )  ln(100)  n  ln(2)=ln(100)
2 2
ln(100)
n>  n  6.664  n= 7
ln(2)
Iteración 1
a1  2 ; f (a1 )  12
b1  1 ; f (b1 )  1
2  1
x1   x1  1.5 ; f ( x1 )  0.8125
2
Iteración 2
Como f(x1) y f(a1) tienen signos iguales tomamos el siguiente a2 es igual a x1:
a2  x1  1.5 ; f (a2 )  0.8125
b 2 =b1  1 ; f (b2 )  1
1.5  1
x2   x 2  1.25 ; f ( x2 )  0.902344
2
Iteración 3
Como f(x2) y f(b2) tienen signos iguales tomamos el siguiente b3 es igual a x2:
a3  a2  1.5 ; f (a3 )  0.8125
b3 =x 2  1.25 ; f (b3 )  0.902344
1.5  1.25
x3   x 3  1.375 ; f ( x3 )  0.288818
2
Iteración 4
a4  a3  1.5 ; f (a4 )  0.8125
b 4 =x 3  1.375 ; f (b4 )  0.288818
1.5  1.375
x4   x 4  1.4375 ; f ( x4 )  0.195328
2
Iteración 5
a5  x4  1.4375 ; f (a5 )  0.195328
b5 =b4  1.375 ; f (b5 )  0.288818
1.4375  1.375
x5   x 5  1.40625 ; f ( x5 )  0.062667
2
Iteración 6
a6  a5  1.4375 ; f (a6 )  0.195328
b6 =x 5  1.40625 ; f (b6 )  0.062667
1.4375  1.40625
x6   x 6  1.421875 ; f ( x6 )  0.062263
2
Iteración 7
a7  x6  1.421875 ; f (a7 )  0.062667
b 7 =b 6  1.40625 ; f (b7 )  0.288818
1.421875  1.40625
x7   x 7  1.414063 ; f ( x7 )  0.001204
2
error  x7  x6  1.414063  ( 1.421875)  0.007812
4 b (0;2)
Aplique el método de bisección para encontrar las soluciones exactas dentro de 10−2 para
x 4 −2 x 3−4 x 2+ 4 x +4=0
Numero de iteraciones
b−a
n
< 10−2
2
2−0
n
<10−2
2
2 x 2−n <10−2
21−n <10−2
1−n
log ( 2 ) <¿ log( 10−2) ¿
(1−n)log ( 2 ) ←2 log(10)
2
-1+ n >
log (2)
n > 7.644
n=8
Iteración 1
a 1=0 ; b1=2
b 1=4 ; f ( b1 ) =−4
x a + xb
x=
2
0+2
x 1=
2
x 1=1
f ( a1 )=f ( 0 )=(0)4 −2 ( 03 )−4( 0¿¿ 2)+ 4( 0)+ 4 ¿ = 4
f ( b1 )=f ( 2 )=(2)4 −2 ( 23 )−4(2¿¿ 2)+4 (2)+ 4=−4 ¿
f ( x 1 ) =f ( 1 )=(1) 4−2 ( 13 )−4(1¿¿ 2)+4 (1)+ 4=3 ¿
Iteración 2
a 2=x1 =1;
f ( a2 )=f ( 1 )=(1)4 −2 ( 13 )−4(1¿¿ 2)+ 4 (1)+ 4=3 ¿

b 2=b1=2
f ( b2 )=f ( 2 )=( 2)4 −2 ( 23 )−4(2¿ ¿2)+4 (2)+ 4=−4 ¿
1+ 2
x 2=
2
x 2=1.5
f ( x 2 ) =f ( 0.5 ) =(1.5)4 −2 ( 1.5 3) −4 (1.5¿¿ 2)+4 (1.5)+ 4=−0.6875000 ¿
Iteración 3
a 3=a2=1
f ( a3 )=f ( 1 )=(1)4 −2 ( 13 )−4(1¿¿ 2)+ 4 (1)+ 4=3 ¿
b 3=x 2=1.5
f ( b3 )=f ( 1.5 )=(1.5)4−2 ( 1.53 ) −4 (1.5¿¿ 2)+ 4(1.5)+ 4=−0.6875000 ¿
1+ 1.5
x 3=
2
x 3=1.25
f ( x 3 ) =f ( 1.25 )=(1.25)4−2 ( 1.53 ) −4 (1.25¿¿ 2)+ 4 (1.25)+ 4=1.2851563 ¿
Iteración 4
a 4=x 3=1.25
f ( a4 ) =f ( 1.25 ) =(1.25)4 −2 ( 1.25 3 )−4(1.25¿¿ 2)+4 (1.25)+ 4=1.2851563 ¿
b 4=b 3=1.5
f ( b4 ) =f ( 1.5 ) =(1.5)4 −2 ( 1.5 3 )−4(1.5¿¿ 2)+4 (1.5)+ 4=−0.6875000 ¿
1.25+1.5
x4=
2
x 4 =1.375
f ( x 4 )=f (1.375 )=(1.375)4 −2 ( 1.3753 )−4(1.375¿ ¿2)+4 (1.375)+4=0.3127441 ¿
Iteración 5
a 5=x 4=1.375
f ( a4 ) =f ( 1.375 ) =(1.375)4 −2 ( 1.37553 ) −4 (1.375¿¿ 2)+ 4 (1.375)+ 4=0.3127441 ¿
b 5=b 4=1.5
f ( b5 )=f ( 1.5 )=(1.5)4−2 ( 1.53 ) −4 (1.5¿¿ 2)+ 4(1.5)+ 4=−0.6875000 ¿
1.375+1.5
x 5=
2
x 5=1.4375
f ( x 5 ) =f ( 1.4375 )=(1.4375)4−2 ( 1.43753 ) −4 (1.4375¿¿ 2)+ 4(1.4375)+ 4=−0.1865082¿
Iteración 6
a 6=a5 =1.375
f ( a6 ) =f ( 1.375 )=(1.375)4−2 ( 1.37553 )−4 (1.375¿¿ 2)+ 4(1.375)+4=0.3127441¿
b 6=x 5=1.4375
f ( b6 ) =f ( 1.4375 )=(1.4375) 4−2 ( 1.43753 )−4 (1.4375¿¿ 2)+ 4(1.4375)+4=−0.1865082¿
1.375+1.4375
x 6=
2
x 6=¿ 1.406250
f ( x 6 ) =f ( 1.406250 )=(1.406250)4−2 ( 1.4062503 ) −4 (1.406250¿¿ 2)+ 4( 1.406250)+ 4=0.0636759¿
Iteración 7
a 7=x 6=1.406250
f ( a7 )=f ( 1.406250 )=(1.406250) 4−2 ( 1.4062503 )−4 (1.406250¿¿ 2)+ 4(1.406250)+4=0.0636759 ¿
b 7=b6 =1.4375
f ( b6 ) =f ( 1.4375 )=(1.4375) 4−2 ( 1.43753 )−4 (1.4375¿¿ 2)+ 4(1.4375)+4=−0.1865082¿
1.406250+1.4375
x 7=
2
x 7=¿ 1.421875
f ( x 7 ) =f ( 1.421875 )=(1.421875)4−2 ( 1.4218753 ) −4 (1.421875¿¿ 2)+ 4(1.421875)+ 4=−0.0613183 ¿
Iteración 8
a 8=a7 =1.406250
f ( a7 )=f ( 1.406250 )=(1.406250) 4−2 ( 1.4062503 )−4 (1.406250¿¿ 2)+ 4(1.406250)+4=0.0636759 ¿
b 8=x 7=1.421875
f ( b8 )=f ( 1.421875 )=(1.421875) 4−2 ( 1.421875 53 )−4(1.421875¿¿ 2)+4 (1.421875)+ 4=¿ ¿

1.406250+1.421875
x 8=
2
x 8=¿ 1.4140625
f ( x 8 ) =f ( 1.4140625 )=0.0012085
4. C. (2,3)
 NUMERO DE ITERACIONES.
b−a
<E
2n
3−2
n
<10−2
2
1
n
<10−2
2
2−n <10−2
log ⁡(2¿¿−n)<log ⁡(10¿ ¿−2) ¿ ¿
n< 6.643866 n=7 interacciones
 Iteración 1
a 1=2 f ( a1 )=−4
b 1=3 f ( b1 )=7
2+ 3
x 1= f ( x 1 ) =−3.1815
2
 Iteración 2
a 2=x1 =2.5 f ( a2 )=−3.1815
b 2=3 f ( b1 )=7
2.5+3
x 2= =2.75 f ( x 2 ) =−3.1815
2
 Iteración 3
a 3=a2=2.5 f ( a3 )=−3.1815
b 3=x 2=2.,75 f ( b3 )=0.347656
2.5+2.75
x 3= =2.625 f ( x 3 ) =¿−1.757568
2
 Iteración 4
a 4=x 3=2.625 f ( a4 ) =−1.757568
b 4=b 3=2.75 f ( b4 ) =0.347656
2.625+2.75
x4 = =2.6875 f ( x 4 )=−0.795639
2
 Iteración 5
a 5=x 4=2.6875 f ( a5 )=−0.795639
b 5=b 4=2.75 f ( b5 )=0.347656
2.6875+2.75
x 5= f ( x 5 ) =−0.247466
2
 Iteración 6
a 6=x 5=2.71875 f ( a6 ) =−0.247466
b 6=b5 =2.75 f ( b6 ) =0.347656
2.71875+2.75
x 6= f ( x 6 ) =0.044125
2
 Iteración 7
a 7=x 6=2.71875 f ( a7 )=−0.247466
b 7=b6 =2.734375 f ( b7 )=0.044125
2.71875+2.734375
x 7= =2.7265625 f ( x 7 ) =−0.103151
2
ERROR=| x7 −x 6|=|2.7265625−2.734375|=0.007813<10−2
EJERCICIO 4 D. Aplique el método de bisección para encontrar las soluciones exactas dentro
de 10-2 para x4-2x3 -4x2+4x+4=0 en el intervalo [-1; 0].
SOLUCIÓN
Función: f(x)= x4- 2x3 - 4x2 + 4x + 4
Iteración 1.
a1 = a= 1 f(a)= -1
b1 = b= 0 f(b)= 4
a+b −1+0
x1= = =−0.5 f(x1)= 1.3125
2 2
Iteración 2.
a2 = a1 = -1 f(a2) = -1
b2 = x1 = -0.5 f(b2) = 1.3125
−1−0.5
x2= =−0.75 f(x2)= - 0.0898432
2
Error= │x2-x1│= │-0.5+0.75│= 0.25 ≠ 0.01
Iteración 3.
a3= x2 = -0.75 f(a3) = -0.0898432
b3= b2 = -0.5 f(b3) =1.3125
−0.75−0.5
x3 = =−0.625 f(x3)= - 0.5783691
2
Error= │x3-x2│= │-0.625+0.75│= 0.125 ≠ 0.01
Iteración 4.
a4 = a3 = - 0.75 f(a4) = -0.0898438
b4 = x3 = -0.625 f(b4) = 0.5783691
−0.75−0.625
x4= =−0.688 f(x4)= - 0.2299999
2
Error= │x4-x3│= │-0.688+0.75│= 0.062 ≠ 0.01
Iteración 5.
a5 = a4 = - 0.75 f(a5) = -0.0898438
b5 = x4 = -0.688 f(b5) = 0.2299999
−0.688−0.75
x5= =−0.719 f(x5)= - 0.0667946
2
Error= │x5-x4│= │-0.719+0.688│= 0.031 ≠0.01
Iteración 6.
a6 = a5 = - 0.75 f(a6) = -0.0898438
b6 = x5 = -0.719 f(b6) = 0.0.0667946
−0.719−0.75
x5= =−0.7345 f(x6)= - 0.0124001
2
Error= │x6-x5│= │-0.7345+0.75│= 0.0155 ≠ 0.01
Iteración 7.
a7= x6 = - 0.7345 f(a7) = -0.0124001
b7 = b6 = -0.719 f(b6) = 0.0.0667946
−0.719−0.7345
x7= =−0.72675 f(x6)= - 0.0124001
2
Error= │x7-x6│= │-0.72675+0.7345│= 0.00775 ‹ 0.01
Por lo tanto, la raíz aproximada será. r≈ x7= -0.72675.
EJERCICIO 5. Use el método de bisección para encontrar una solución exacta dentro de 10-3 para
x = tanx en [4, 4.5].
 La función: f(x) = x- tanx, dónde a=4 y b=4.5
Error 10−3    0,001
Se tiene f(4) = 2, 8421787   y f(4.5) = - 0, 1373321 0
ITERACIÓN N°1:
a 1= a = 4  f(a 1) = f(a) = f(4) = 2, 8421787
b 1= b = 4.5  f(b1) = f(b) = f(4.5) = - 0, 1373321
a1 +b1 4 +4,5
x 1= = =4.25 f ( x 1 )=2 ,243691
2 2
ITERACIÓN N°2:
a 2=x1=4,25  f(a2) = f(x1) = f(4.25) = 2 , 243691
b 2=b1=4,5  f(b2) = f(b1) = f(4.5) = - 0, 1373321
a 2+b 2 4,25+4,5
x 2= = =4.375 f ( x 2 )=1.5243879
2 2
ITERACIÓN N°3:
a 3 = x2 = 4.375  f(a3) = f(x2) = f(4.375) = 1.5243879
b 3 = b2 = 4,5  f(b3) = f(b2) = f(4.5) = - 0, 1373321
a 3+b 3 4,375+ 4,5
x 3= = =4.4375 f ( x 3 ) =0,8917623
2 2
ITERACIÓN N°4:
a 4 = x3 = 4,4375  f(a4) = f(x3) = f(4.4375) = 0 , 8917623
b 4 = b3 = 4,5  f(b4) = f(b3) = f(4.5) = −0 , 1373321
a 4 +b 4 4,4375+4,5
x 4= = =4,46875 f ( x 4 ) =0,4458527
2 2
ITERACIÓN N°5:
a 5 = x4 = 4,46875  f(a5) = f(x4) = f(4.46875) = 0 , 4458527
b 5 = b4 = 4,5  f(b5) = f(b4) = f(4,5) = −0,1373321
a 5+b 5 4,46875+ 4,5
x 5= = =4,484375 f ( x 5 ) =0,1749484
2 2
ITERACIÓN N°6:
a 6 = x5 = 4,484375  f(a6) = f(x5) = f(4.484375) = 0 , 1749484
b 6 = b5 = 4,5  f(b6) = f(b5) = f(4,5) = −0,1373321
a 6+b 6 4,484375+ 4,5
x 6= = =4,4921875 f ( x 6 )=0,0245308
2 2
ITERACIÓN N°7:
a 7 = x6 = 4,4921875  f(a7) = f(x6) = f(4.4921875) = 0 , 0,0245308
b 7 = b6 =4,5  f(b7) = f(b6) = f(4,5)= −0,1373321
a 7+b 7 4,4921875+ 4,5
x7 = = =4,4960938 f ( x7 ) =0,0548924
2 2
x 7−x 6
ERROR:  =  0,001
x7
4,4960938−4,4921875
= 0,001
4 , 4960938
= 0,0008688 0 , 001
Como error = 0, 0008688 0 , 001, termina la iteración y la raíz aproximada de f(x) es: X 7 = 4, 4960938.
) N°6: Use el método de bisección para encontrar una solución exacta dentro de 10−3 para
2+cos ( e x −2 )−e x =0 en [0.5, 1.5]
SOLUCIÓN
Se sabe que 2 es continua para x ϵ R; cos (¿ e x −2) ¿es continua para todo x ϵ R; y e x es continua para
todo x ϵ R: Luego, la función f es continua en R
Además tenemos que encontrar una raíz exacta 10−3 , para eso tenemos que encontrar un ERROR <
0.001.
2+cos ( e x −2 )−e x
Figura 1.1 Gráfica de la función f ( x )=2+ cos ( e x −2 ) −e x =0
Iteración 1: Buscamos a 1=a y b1=b tal que f ( a1 ) . f ( b1 ) <0
Por lo tanto: [a 1 ; b1] = [a; b] = [0.5; 1.5] y se tiene.

f ( a1 )=1.2902122 y f ( b1 )=−3.2717404
a1 +b1
Para x 1= por lo tanto x 1 = 1.00 y f ( x 1 ) =0.0346557
2
Iteración 2: a 2=¿ x 1=1.00 y f ( a2 )=0.0346557
b 2=b1=1.5 y f ( b2 )=−3.2717404
x 2 = 1.25 y f ( x 2 ) =−1.4099764
Iteración 3: a 3=¿ a 2=1.00 y f ( a3 ) =0.0346557
b 3=x 2=1.25 y f ( b3 ) =−1.4099764
x 3=1.125 y f ( x 3 )=−0.6090797
Iteración 4: a 4=¿ a 3=1.00 y f ( a4 )=0.0346557
b 4=¿ x 3=1.125 y f ( b 4 )=−0.6090797
x 4 =1.0625 y f ( x 4 )=−0.2669823
Iteración 5: a 5=¿ a 4=1.00 y f ( a 5 )=0.0346557
b 5=¿ x 4 =1.0625 y f ( b 5 )=−0.2669823
x 5=¿ 1.03125 y f ( x 5 )=−0.1111478
Iteración 6: a 6=¿ a 5=1.00 y f ( a6 ) =0.0346557
b 6=¿ x 5=1.03125 y f ( b6 ) =−0.1111478
x 6=¿ 1.015625 y f ( x 6 )=−0.0370029
Iteración 7: a 7=a6 =¿ 1.00 y f ( a 7 )=0.0346557
b 7=¿ x 6=1.015625 y f ( b7 ) =−0.0370029
x 7=1.0078125 y f ( x 7 )=−0.0008644
ERROR ¿∨x7 −x 6∨¿ = |1.0078125−1.015625|=0.0078125 todavía no es menor que 0.001 así
que sigue las iteraciones.
Iteración 8: a 8=¿ a 7=1.00 y f ( a8 ) =0.0346557
b 8=¿ x 7=1.0078125 y f ( b8 ) =−0.0008644
x 8=1.0039063 y f ( x 8 )=0.0169725
Iteración 9: a 9=¿ x 8=1.0039063 y f ( a 9) =0.0169725
b 9=¿ b 8=1.0078125 y f ( b9 ) =−0.0008644
x 9=1.0058594 y f ( x 9 )=0.0080733
Iteración 10: a 10=¿ x 9=1.0058594 y f ( a10 )=0.0080733
b 10=¿ b 9=1.0078125 y f ( b10 )=−0.0008644
x 10=1.0068360 y f ( x 10 )=0.0036090
EROROR = | x 10−x 9∨¿ = |1.006836−1.0058594∨¿ = 0.0009766
Por lo tanto 0.0009766< 0.001; entonces dejamos de hacer más iteraciones.
la solución aproximada es x 10=1.006836 con una exactitud de 10−3 , el cual está bien próximo a la raíz
exacta x = 1.00762
EJERCICIO N° 7. Aplique el método bisección para encontrar soluciones exactas dentro de 10−5 para
los siguientes problemas
a) x−2−x =0 para 0 ≤ x ≥1
Solución
Error< E=0.00001=10−5
Intervalo [ a , b ] =[ 0,1 ] donde f
se tiene f ( 0 )=−1<0 y f ( 1 )=0.5>0
f ( x )=x−2−x Iteracion 1
a 1=a=0=¿ f ( a1 ) =f ( a ) =f ( 0 ) =−1
b 1=b=1=¿ f ( b 1 )=f ( b )=f ( 1 )=0.5>0

a1 +b1 0+1
x 1= = =0.50=¿ f ( x 1 )=f ( 0.5 )=−0.20710678< 0
2 2
Iteracion 2
a 2=x1 =0.5=¿ f ( a2 ) =−0.20710678<0
b 2=b1=1=¿ f ( b 2 )=0.5
a2 +b2
x 2= =0.75=¿ f ( x 2 )=0.15539644>0
2
Error=|x 2−x 1|=|0.75−0.5|=0.25 ≠ 0.00001
Iteracion3
a 3=a2=0.5=¿ f ( a3 ) =−0.20710678
b 3=x 2=0.75=¿ f ( b3 ) =0.15539644> 0
a3 +b 3
x 3= =0.625=¿ f ( x 3 ) =−0.023441978<0
2
Error=|x 3−x 2|=|0.625−0.75|=0.125 ≠ 0.00001
Iteracion 4
a 4=x 3=0.625=¿ f ( a4 ) =−0.02341978<0
b 4=b 3=0.75=¿ f ( b 4 ) =0.15539644
a 4 +b 4
x4 = =0.6875=¿ f ( x 4 ) =0.06657109>0
2
Error=|x 4 −x 3|=|0.6875−0.625|=0.0625 ≠0.00001
Iteracion 5
a 5=a 4=0.625=¿ f ( a 5 )=−0.02341978< 0
b 5=x 4=0.6875=¿ f ( b5 )=0.06657109
a5 +b 5
x 5= =0.65625=¿ f ( x 5 ) =0.02172452> 0
2
Error=|x 5−x 4|=|0.65625−0.6875|=0.03125 ≠0.00001
Iteracion6
a 6=a5 =0.625=¿ f ( a6 ) =−0.02341978
b 6=x 5=0.65625=¿ f ( b 6 )=0.02172452>0

a6 +b 6
x 6= =0.640625=¿ f ( x 6 )=−0.00081001<0
2
Error=|x 6−x 5|=|0.640625−0.65625|=0.0156625≠ 0.00001
Iteracion 7
a 7=x 6=0.640625=¿ f ( a 7 )=−0.00081001<0
b 7=b6 =0.65625=¿ f ( b7 ) =0.02172452
a7 +b 7
x 7= =0.6484375=¿ f ( x7 ) =0.01046661>0
2
Error=|x 7−x 6|=|0.6484375−0.640625|=0.0078125≠ 0.00001
Iteracion 8
a 8=a7 =0.640625=¿ f ( a8 ) =−0.00081001<0
b 8=x 7=0.6484375=¿ f ( b 8 )=0.01046661
a8 +b 8
x 8= =0.64453125=¿ f ( x8 ) =0.00483064> 0
2
Error=|x 8−x 7|=|0.64453125−0.6484375|=0.00390625 ≠ 0.00001
Iteracion9
a 9=a8 =0.640625=¿ f ( a9 ) =−0.00081001<0
b 9=x 8=0.64453125=¿ f ( b 9 )=0.00483064
a9 +b 9
x 9= =0.64257813=¿ f ( x 9 )=0.00201091>0
2
Error=|x 9−x 8|=|0.64257813−0.64453125|=0.00195312 ≠ 0.00001
Iteracion10
a 10=a9=0.640625=¿ f ( a10 )=−0.00081001< 0
b 10=x 9=0.64257813=¿ f ( b10 )=0.00201091
a10+ b10
x 10= =0.64160157=¿ f ( x 10) =0.00060061>0
2
Error=|x 10−x 9|=|0.64160157−0.64257813|=0.00097656 ≠ 0.00001
Iteracion11
a 11=a 10=0.640625=¿ f ( a11 ) =−0.00081001
b 11=x 10=0.64160157=¿ f ( b 11 )=0.00060061> 0
a11 + b11
x 11= =0.64111329=¿ f ( x 11 ) =−0.00010466<0
2
Error=|x 11 −x10|=|0.64111329−0.64160157|=0.00048828 ≠ 0.00001
Iteracion 12
a 12=x 11 =0.64111329=¿ f ( a12 )=−0.00010466< 0
b 12=b11 =0.64160157=¿ f ( b12 )=0.00060061
a12+ b12
x 12= =0.64135733=¿ f ( x 12 )=0.00024784 >0
2
Error=|x 12−x 11|=|0.64135733−0.64111329|=0.00024404 ≠ 0.00001
Iteracion 13
a 13=a12=0.64111329=¿ f ( a13 )=−0.00010466<0
b 13=x12=0.64135733=¿ f ( b 13) =0.00024784
a13+ b13
x 13= =0.64123531=¿ f ( x 13 )=0.00007159> 0
2
Error=|x 13−x 12|=|0.64123531−0.64135733|=0.00012202 ≠ 0.00001
Iteracion14
a 14=a13=0.64111329=¿ f ( a 14 )=−0.00010466
b 14=x 13=0.64123531=¿ f ( b14 )=0.00007159> 0
a14 +b 14
x 14= =0.6411743=¿ f ( x 14) =−0.00001653< 0
2
Error=|x 14−x 13|=|0.6411743−0.64123531|=0.00006101 ≠0.00001
Iteracion 15
a 15=x14 =0.6411743=¿ f ( a15 ) =−0.00001653<0
b 15=b14=0.64123531=¿ f ( b 15) =0.00007159
a15+ b15
x 15= =0.64120481=¿ f ( x 15 )=0.00002754>0
2
Error=|x 15−x 14|=|0.64120481−0.6411743|=0.00003051 ≠0.00001
Iteracion 16
a 16=a15=0.6411743=¿ f ( a16 )=−0.00001653<0
b 16=x15=0.64120481=¿ f ( b 16 )=0.00002754> 0
a16 +b16
x 16= =0.64118956=¿ f ( x16 ) =0.00000551> 0
2
Error=|x 16−x 15|=|0.64118956−0.64120481|=0.00001=0.00001
b)
e x  x 2  3x  2  0 ; f   0,1
iteración 1.
a1  0b1  1
a1  0  f  a1   e 0   0   3  0   2  1
2
b1  1  f  b1   e1   1  3  1  2  2.7182818
2
a1  b1 0 1
x1    0.5
2 2
f  x1   e 0.5   0.5   3  0.5   2  0.8987213
2
a1 +b1
iteración2. a 2=a1=0⇒ f ( a 2) =−1 b 2=x1 =0.5 ⇒ f ( b 2 )=0.8987213 x 2= =0.25
2
f ( x 2 ) =−0.0284746 iteración3. a 3=x 2=0.25 ⇒f ( a3 )=−0.0284746 b 3=b2=0.5⇒ f ( b 3 )=0.8987213
a3 +b 3
x 3= =0.375 f ( x 3 ) =0.4393664
2
a 4 +b 4
iteración 4. a 4=a3=0.25 ⇒ f ( a4 )=−0.0284746 b 4=x 3=0.375⇒ f ( b 4 )=0.4393664 x 4 = =0.3125
2
f ( x 4 )=0.2066817 iteración5. a 5=a 4=0.25 ⇒ f ( a5 ) =−0.0284746 b 5=x 4=0.3125⇒ f ( b5 ) =0.2066817
a5 +b 5
x 5= =0.28125 f ( x 5 ) =0.0894332 iteración6. a 6=a5 =0.25 ⇒f ( a6 )=−0.0284746
2
a +b
b 6=x 5=0.28125 ⇒ f ( b6 ) =0.0894332 x 6= 6 6 =0.265625 f ( x 6 ) =0.305642
2
iteración7. a 7=a6 =0.25 ⇒ f ( a7 )=−0.0284746 b 7=x 6=0.265625 ⇒ f ( b7 ) =0.265625
a7 +b 7
x 7= =0.2578125 f ( x 7 ) =0.0010664 iteración 8. a 8=a7 =0.25 ⇒f ( a8 )=−0.0284746
2
a +b
b 8=x 7=0.2578125 ⇒ f ( b8 )=0.0010664 x 8= 8 8 =0.2539063 f ( x 8 ) =−0.0136985 iteración 9.
2
a 9=x 8=0.2539063 ⇒ f ( a9 ) =−0.0284746 b 9=b8 =0.2578125 ⇒f ( b 9 )=0.2539063
a9 +b 9
x 9= =0.2558594 f ( x 9 ) =−0.00627 iteración10. a 10=x 9=0.2558594 ⇒ f ( a10 )=−0.00627
2
a +b
b 10=b9=0.2578125⇒ f ( b10 ) =0.2539063 x 10= 10 10 =0.2568359 f ( x 10 )=−0.0026239
2
iteración11. a 11=x 10=0.2568359 ⇒ f ( a11 ) =−0.00627 b 11=b 10=0.2578125 ⇒f ( b 11 )=0.2539063
a11 + b11
x 11= =0.2573242 f ( x 11 )=−0.0007787 iteración12. a 12=x 11 =0.2573242⇒ f ( a 12 ) =−0.0007787
2
a +b
b 12=b11 =0.2578125⇒ f ( b 12) =0.2539063 x 12= 12 12 =0.2575684 f ( x 12 )=0.000144 iteración13.
2
a 13=a12=0.2573242 ⇒f ( a13) =−0.0007787b 13=x12=0.2575684 ⇒ f ( b 13) =0.000144
a13 + b13
x 13= =0.2574463 f ( x 13 )=−0.00003174iteración14.
2
a 14=x 13=0.2574463⇒ f ( a 14 )=−0.00003174b 14=b13=0.2575684 ⇒ f ( b 14 )=0.000144
a14 +b 14
x 14= =0.2575073 f ( x 14 ) =−0.0000869iteración15.a 15=x14 =0.2575073⇒ f ( a 15) =−0.0000869
2
a +b
b 15=b14=0.2575684 ⇒ f ( b 15) =0.000144 x 15= 15 15 =0.2575379 f ( x 15 )=0.0000288iteración16.
2
a 16=a15=0.2575073 ⇒ f ( a16 ) =−0.0000869b 16=x15=0.2575379⇒ f ( b16 ) =0.0000288
a16 +b16
x 16= =0.2575226 f ( x 16 ) =−0.000029iteración17.a 17=x16 =0.2575226 ⇒ f ( a17 )=−0.000029
2
a +b
b 17=b16=0.2575379⇒ f ( b17 ) =0.0000288 x 17= 17 17 =0.2575303 f ( x 17 ) =0.00000005
2
∴ error :| x17− x16|<1 0 ⇒|0.2575303−0.2575226|=0.0000077<1 0−5
−5
C)
2 xcos 2 x−( x+1 )2=0 para−3≤ x ≤−2 y para−1 ≤ x ≤ 0

f ( x )=2 x cos 2 x−(x +1)2
f [ a , b ] → R continua y f ( a )∗f ( b ) <0 tal que f ( r )=0
Consideremos el intervalo [ a , b ]= [−3 ,−2 ] donde se define la función
Se tiene f (−3 )=−9.7610217< 0 f (−2 )=1.6145745> 0
Solución
b−a −2−(−3)
n
<ϵ ⇒ n
<10−5
2 2
2−n <10−5 ⇒ log 2−n < log10−5
5
n> ≈ 16.6096405 ⇒n=17 iteraciones
log 2
Por lo tanto, se necesita como mínimo 17 iteraciones para lograr una aproximación exacta dentro de
la tolerancia 10-5
Consideremos a 1=¿ a ,b 1=¿b ¿ ¿
a1 x1
b1
a2 x2
b2
Iteración: 1
a1 +b1 −3+(−2)
a 1=a=−3 → f ( a1 )=−9.7610217<0 x 1= = =−2.5
2 2
b 1=b=−2→ f ( b1 )=1.6145745>0 f ( x 1 ) =−3.6683109<0
Iteración: 2
a2 +b1 −2.5+(−2)
a 2=x1 =−2.5 → f ( a2 )=−3.6683109<0 x 2= = =−2.25
2 2
b 2=b1=−2→ f ( b 2 )=1.6145745>0 f ( x 2 ) =−0.6139189<0
n an bn xn f (x n) |x n−x n−1|
1 -3 -2 -2.5 -3.6683109 -
2 -2.5 -2 -2.25 -0.6139189 0.25
3 -2.25 -2 -2.125 0.6302468
4 -2.25 -2.125 -2.1875 0.0380755
5 -2.25 -2.1875 -2.21875 -0.2808362
6 -2.21875 -2.1875 -2.203125 -0.1195568
7 -2.203125 -2.1875 -2.1953125 -0.0402785
8 -2.1953125 -2.1875 -2.1914063 -0.0009857
9 -2.1914063 -2.1875 -2.1894532 0.0185736
10 -2.1914063 -2.1894532 -2.1904298 0.0088007
11 -2.1914063 -2.1904298 -2.1909181 0.0039088
12 -2.1914063 -2.1909181 -2.1911622 0.0014627
13 -2.1914063 -2.1911622 -2.1912843 0.0002378
14 -2.1914063 -2.1912843 -2.1913453 -0.0003739
15 -2.1913453 -2.1912843 -2.1913148 -0.0000681
16 -2.1913148 -2.1912843 -2.1912996 0.0000844
17 -2.1913148 -2.1912996 -2.1913072 0.0000081 0.0000076
Como error 0.0000076<0000.1 termina la iteración, y la raíz aproximada de f ( x ) es

x=x 17=−2.1913072
Error=|x 17−x 16|=0.0000076
Consideremos el intervalo [ a , b ]= [−1,0 ] donde se define la función

2
f ( x )=2 x cos 2 x− ( x +1 )
Se tiene f (−1 ) =0.8322937>0 f ( 0 )=−1
Solución
b−a 0−(−1)
n
<ϵ ⇒ n
<10−5
2 2
2−n <10−5 ⇒ log2−n <log 10−5
5
n> ≈ 16.6096405 n=17iteraciones
log 2
Consideremos a1=a ,b 1=b
Iteración 1
a1 +b1 −1+0
a 1=a=−1→ f ( a1 )=0.8322937> 0 x 1= = =−0.5
2 2
b 1=b=0 → f ( b1 )=−1< 0 f ( x 1 ) =f (−0.5 ) =−0.7903023<0

Iteración 2
a2 +b2 −1+(−0.5)
a 2=a1=−1→ f ( a 2) =0.8322937> 0 x 2= = =−0.75
2 2
b 2=x1 =−0.5 → f ( b2 ) =−0.7903023<0 f ( x 2 ) =−1.1686058<0
n an bn xn f (x n) |x n−x n−1|
1 -1 0 -0.5 -0.7903023
2 -1 -0.5 -0.75 -1.1686058
3 -1 -0.75 -0.875 0.2963056
4 -0.8125 -0.75 -0.8125 0.0528816
5 -0.8125 -0.75 -0.78125 -0.0608144
6 -0.8125 -0.78125 -0.796875 -0.0046806
7 -0.8125 -0.796875 -0.8046875 0.0239252
8 -0.8046875 -0.796875 -0.8007813 0.0095782
9 -0.8007813 -0.796875 -0.7988282 0.0024379
10 -0.7988282 -0.796875 -0.7978516 -0.0011241
11 -0.7988282 -0.7978516 -0.7983399 0.0006562
12 -0.7983399 -0.7978516 -0.7980958 -0.0002339
13 -0.7983399 -0.7980958 -0.7982179 0.0002113
14 -0.7982179 -0.7980958 -0.7981569 -0.0000112
15 -0.7982179 -0.7981569 -0.7981874 0.0001001
16 -0.7981874 -0.7981569 -0.7981722 0.0000446
17 -0.7981722 -0.7981569 -0.7981646 0.0000169 0.0000076
Como error 0.0000076<0.00001, termina la iteración, y la raíz aproximada f ( x ) es
x=x 17=−0.7981646
Error=|x 17−x 16|=0.0000076

d)
SOLUCIÓN
f ( x )=x∗cosx−2. x 2+ 3∗x−1, PARA [a, b]= [0.2, 0.3]
b−a 0.3−0.2
<ϵ <10−5 2−n <10−4 log 2−n < log 10−4
2n n
2
n<13
N=13 significa que se realizarán 13 iteraciones
ITERACIÓN 1
a 1=a=0.2 , remplazamos en la ecuación. f ( a1 )=x∗cosx−2. x 2+ 3∗x−1
f ( a1 )=0.2∗cos 0.2−2∗0.22 +3∗0.2−1= -0.283986684
b 1=b=0.3 , remplazamos en la ecuación. f ( b1 )=x∗cosx−2∗x 2+3∗x−1
f ( b1 )=0.3∗cos 0.3−2∗0.32 +3∗0.3−1=0.00660094
a1 +b1 0.2+0.3 2
x 1= = =0.25 , remplazo en. f ( x 1 ) =x∗cosx−2. x +3∗x −1
2 2
f ( x 1 ) =0.25∗cos 0.25−2∗0.252 +3∗0.25−1=−0.132771895
1. ITERACIÓN 2
a 2=x1 =0.25, donde. f ( x 1 ) =f ( a 2) =−0.132771895
b 2=b1=0.3, donde. f ( b1 )=f ( b2 ) =0.00660094
a2 +b2 0.25+0.3
x 2= = =0.275, remplazando en la ecuación tenemos un resultado de.
2 2
f ( x 2 ) =−0.061583071.
error =|x 2−x 1|=|0.275−0.25|=0.025
Realizamos el mismo procedimiento de las iteraciones anteriores hasta llegar a la iteración 14. A
continuación, en la siguiente tabla se presenta los resultados de las 14 iteraciones.
n an bn xn f(xn) |xn-xn-1|
-
1 0.2 0.3 0.25 0.132771895 0
-
2 0.25 0.3 0.275 0.061583071 0.025
-
3 0.275 0.3 0.2875 0.027112719 0.0125
-
4 0.2875 0.3 0.29375 0.010160959 0.00625
-
5 0.29375 0.3 0.296875 0.001756232 0.003125
6 0.296875 0.3 0.2984375 0.002428306 0.0015625
0.2976562
7 0.296875 0.2984375 5 0.000337524 0.00078125
0.2976562 0.2972656 - 0.00039062
8 0.296875 5 3 0.000708983 5
0.2972656 0.2976562 0.2974609 0.00019531
9 3 5 4 -0.00018563 5
0.2974609 0.2976562 0.00009765
10 4 5 0.2975586 0.000075970 5
0.2974609 0.2975097 - 0.00004882
11 4 0.2975586 7 0.000054817 5
0.2975097 0.2975341 0.00002441
12 7 0.2975586 9 0.000010584 5
0.2975097 0.2975341 0.2975219 - 0.00001220
13 7 9 8 0.000022109 5
0.2975219 0.2975341 0.2975280 - 0.00000610
14 8 9 9 0.000005756 5
SOLUCIÓN
f ( x )=x∗cosx−2. x 2+ 3∗x−1, Para [a, b]= [1.2, 1.3]
b−a 1.3−1.2
<ϵ < 10−5 2−n <10−4 log 2−n < log10−4
2n n
2
n<13
N=13 significa que se realizarán 13 iteraciones
2. ITERACIÓN 1
a 1=a=1.2 , remplazamos en la ecuación. f ( a1 )=x∗cosx−2. x 2+ 3∗x−1
f ( a1 )=1.2∗cos 1.2−2∗1.22+ 3∗1.2−1=0.154829305
b 1=a=1.3 , remplazamos en la ecuación. f ( b1 )=x∗cosx−2∗x 2+3∗x−1

f ( b1 )=1.3∗cos 1.3−2∗1.32 +3∗1.3−1=−0.132251523
a1 +b1 1.2+ 1.3 2

x 1= = =1.25, remplazo en. f ( x 1 ) =x∗cosx−2. x +3∗x −1
2 2
f ( x 1 ) =1.25∗cos 1.25−2∗1.25 2+3∗1.25−1=0.019152953
3. ITERACIÓN 2
a 2=x1 =1.25, donde. f ( x 1 ) =f ( a 2) =0.019152953
b 2=b1=1.3 , donde. f ( b1 )=f ( b2 ) =−0.132251523
a2 +b2 1.25+1.3
x 2= = =1.275, remplazando en la ecuación tenemos un resultado de.
2 2
f ( x 2 ) =−0.054585352
error =|x 2−x 1|=|1.275−1.25|=0.025
Realizamos el mismo procedimiento de las iteraciones anteriores hasta llegar a la iteración 14. A
continuación, en la siguiente tabla se presenta los resultados de las 14 iteraciones.
n an bn xn f(xn) |xn-xn-1|
0.01915295
1 1.2 1.3 1.25 3 0
-
0.05458535
2 1.25 1.3 1.275 2 0.025
-
0.01722489
3 1.25 1.275 1.2625 2 0.0125
0.00108689
4 1.25 1.2625 1.25625 2 0.00625
-
0.00803828
5 1.25625 1.2625 1.259375 8 0.003125
6 1.25625 1.259375 1.2578125 -0.00346802 0.0015625
-
1.2570312 0.00118864
7 1.25625 1.2578125 5 4 0.00078125
-
1.2566406 0.00005039
8 1.25625 1.25703125 3 6 0.00039062
1.2564453 0.00051836
9 1.25625 1.25664063 2 1 0.00019531
10 1.25644532 1.25664063 1.2565429 0.00023399 0.00009766
8 8 0
1.2565918 0.00009179 0.00004883
11 1.25654298 1.25664063 1 4 0
1.2566162 0.00002068 0.00002441
12 1.25659181 1.25664063 2 6 5
-
1.2566284 0.00001486 0.00001220
13 1.25661622 1.25664063 3 1 5
1.2566223 0.00000290 0.00000610
14 1.25661622 1.25662843 3 5 0
EJERCICIO 8. Sea f ( x )=( x+ 2 )( x +1 )2 (x) ( x−1 )3 ( x−2 ) .

¿ A c ú al cero de f converge el mé todo de bisecci ó n en los siguientes intervalos
a) [ −1.5 , 2.5 ]. a 1=−1.2∧ b1=2.5
Para aplicar el método de bisección se debe aplicar la siguiente formula

ITERACION 01
a1 +b1
x 1= f ( a1 )=(−1.5+ 2 )(−1.5+1 )2 (−1.5 ) (−1.5−1 )3 (−1.5−2 ) =−10.2539063
2
−1.5+2.5
x 1= f ( b1 )=( 2.5+ 2 )( 2.5+1 )2 ( 2.5 )( 2.5−1 )3 ( 2.5−2 )=232.5585938
2
x 1=0.5
f ( x 1 ) =( 0.5+2 ) ( 0.5+1 )2 ( 0.5 ) ( 0.5−1 )3 ( 0.5−2 )=0.5273438
Para seguir con lasiguiente iteracion debemos fijarnos en el signo opuesto para para poder
obtener los siguientes nodos en tanto :
ITERACION 02
a 2=−1.5 ∧b2 =x1=0.5
a2 +b2
x 2= f ( a2 )=(−1.5+ 2 )(−1.5+1 )2 (−1.5 ) (−1.5−1 )3 (−1.5−2 ) =−10.2539063
2
−1.5+0.5
x 2= f ( b2 )=( 0.5+ 2 )( 0.5+ 1 )2 ( 0.5 ) ( 0.5−1 )3 ( 0.5−2 )=0.5273438
2
x 2=−0.5
f ( x 2 ) =(−0.5+2 ) (−0.5+1 )2 (−0.5 ) (−0.5−1 )3 (−0.5−2 )=−1.5820313
ITERACION 03
a 3=−0.5 ∧b 3=x 1=0.5
a3 +b 3
x 3= f ( a3 )= (−0.5+2 ) (−0.5+1 )2 (−0.5 )(−0.5−1 )3 (−0.5−2 ) =−1.5820313
2
−0.5+0.5
x 3= f ( b3 )= ( 0.5+2 )( 0.5+ 1 )2 ( 0.5 ) ( 0.5−1 )3 ( 0.5−2 )=0.5273438
2
x 3=0
f ( x 3 ) =( 0+2 ) ( 0+1 )2 ( 0 )( 0−1 )3 ( 0−2 ) =0
Si converge con el cero en esteintervalo [ −1.5 , 2.5 ]
8. Sea f ( x )=( x +2 ) ( x+1 )2 x ( x−1 )3 ( x−2 ). ¿A cuál cero de converge el método de bisección en el
siguiente intervalo?
C. [-0.5,3]
Considerando el intervalo dado. Donde se define .
Se tiene a=−0.5 (a 1) =-1.5820313 <0
b=3 (b 1) =1920.000000 >0

ITERACIÒN 1.
a 1=a=−0.5 (a 1) =-1.5820313
b 1=b = 3 (b 1) =1920.0000000
a1 +b1
x 1= = 1.25
2
f¿
f ¿ = -0.2410126
ITERACIÒN 2.
a 2=x1 =1.25 (a 2) = -0.2410126
b 2=b1=¿3 f (b2 ) = 1920.0000000
a2 +b2
x 2= = 2.125
2
f¿
ITERACIÒN 3.
a 3=a2=1.25 (a 3) = -0.2410126
b 3=x 2=¿2.125 f (b3 ) = 15.23528248
a3 +b 3
x 3= = 1.6875
2
f ( x 3 ) =−4.4886248
ITERACIÒN 4.
a 4=x 3=1.6875 (a 4) = -4.4886248
b 4=b 3=¿2.125 f (b 4) = 15.23528248
a 4 +b 4
x4 = = 1.90625
2
f ( x 4 )=−4.3885511
ITERACIÒN 5.
a 5=x 4=1.90625 (a 5) = -4.3885511
b 5=b 4=¿2.125 f (b5 ) = 15.23528248
a5 +b 5
x 5= = 2.015625
2
f ( x 5 ) =1.2048631
ITERACIÒN 6.
a 6=a5 =1.90625 (a 6) = -4.3885511
b 6=x 5=¿2.015625 f (b6 ) = 1.2048631
a6 +b 6
x 6= = 1.960937
2
f ( x 6 ) =−2.3602917
ITERACIÒN 7.
a 7=x 6=1.960937 (a 7) = -2.3602917
b 7=b6 =¿2.015625 f (b7 ) = 1.2048631
a7 +b 7
x 7= = 1.9882821
2
f ( x 7 ) =−0.8010106
ITERACIÒN 8.
a 8=x 7=1.9882821 (a 8) = -0.8010106
b 8=b7 =¿2.015625 f (b8 ) = 1.2048631
a8 +b 8
x 8= =2.0019535
2
f ( x 8 ) =0.1418698
ITERACIÒN 9.
a 9=a8 =1.9882821 (a 9) = -0.8010106
b 9=x 8=¿2.0019535 f (b9 ) = 0.1418698
a9 +b 9
x 9= = 1.99511778
2
f ( x 9 ) =−0.3440051
ITERACIÒN 10.
a 10=x 9=1.9951178 (a 10) = -0.3440051
b 10=b9=¿2.0019535 f (b10 ) = 0.1418698
a10+ b10
x 10= = 1.9985356
2
f ( x 10 )=−0.1047566
ITERACIÒN 11.
a 11=x 10=1.9985356 (a 11) = −0.1047566
b 11=b 10=¿2.0019535 f (b11 ) = 0.1418698
a11 + b11
x 11= = 2.0002445
2
f ( x 11 )=0.0176230
ITERACIÒN 12.
a 12=a11 =1.9985356 (a 12) = −0.1047566
b 12=x 11 =¿2.0002445 f (b12 ) = 0.0176230
a12 + b12
x 12= = 1.9993900
2
f ( x 12 )=−0.0438026
ITERACIÒN 13.
a 13=x12=¿ 1.9993900 (a 13) =−0.0438026
b 13=b12=¿2.0002445 f (b13 ) = 0.0176230
a13+ b13
x 13= = 1.9998172
2
f ( x 13 )=−0.0131509
ITERACIÒN 14.
a 14=x 13=¿ 1.9998172 (a 14) =−0.0131509
b 14=b13=¿ 2.0002445 f (b14 ) = 0.0176230
a14 +b 14
x 14= =2.0000308
2
f ( x 14 ) =0.0022179
ITERACIÒN 15.
a 15=a14=¿ 1.9998172 (a 15) =−0.0131509
b 15=x14 =¿2.0000308 f (b15 ) = 0.0022179
a15+ b15
x 15= =1.999924
2
f ( x 15 )=−0.0054701
ITERACIÒN 16.
a 16=x15=¿ 1.999924 (a 15) =−0.0054701
b 16=b15=¿ 2.0000308 f (b15 ) = 0.0022179
a16 +b16
x 16= =1.9999264
2
f ( x 16 ) =−0.001627
ERROR. | X 16−X 15|= 0.00000

Por lo tanto, el intervalo, [-0.5;3] converge la raíz de ( X 16 =1.9999264)
ejercicio 8 B. sea f ( x )=(x+ 2)(x +1)2 x (x−1)3 ( x−2 ) . ¿a cuál cero de f converge el método de
bisección en el siguiente intervalo?[ −0.5 ; 2.4 ]
solución:
 Para empezar, tenemos que identificar si el f(a) y f(b) tienen signos opuestos consideramos el
intervalo [ −0.5 ; 2.4 ]=[ a ; b ].
 Definimos a=-05 y b=2.4
Interpolación 1
a 1=a=+ 0.5 → f ( a )=(−0.5+ 2 )(−0.5+ 2 )2 (−0.5 )(−0.5−1 )3 (−0.5−2 ) =
-1.5820313
b 1=b=2.4 → f ( b )=(2.4+ 2) ( 2.4+2 )2 (2.4) ( 2.4−1 )3 (2.4−2)=0.0013987
a+b −0.5+ 2.4

x 1= = =0.95
2 2
→ f ( 0.95 )= ( 0.95+2 )( 0.95+ 2 )2 ( 0.95 ) ( 0.95−1 )3 ( 0.95−2 )=0.001398
Interpolación 2
a 2=a1=0.5→ f (−0.5 )=−1.5820313
b 2=b1=x 1 → f (0.95)=0.001398
a1 +b1 −0.5+0.95
x 2= = =¿0.225 → f ( x 2 ) =0.6607092
2 2
Interpolación 3
a 3=a2=−0.5 → f (−0.5 )=−1.5820313
b 3=x 2 → f ( 0.225 )=0.6607092
a3 +b 3 −0.5+ 0.225
x 3= = =−0.1375 → f ( x3 ) =−0.5993459
2 2
Interpolación 4
a 4=¿ x =−0.1375→ f ( a )=−0.5993459 ¿
3 4
b 4=b 3=0.225 → f ( b 4 )=0.6607092
a 4 +b 4 −0.1375+0.225
x4 = = =0.04375 → f ( x 4 ) =0.0388517
2 2
r=¿ 0.0614
rpt. converge a la raíz de 0.0614
8. Sea f ( x )=( x +2 ) ( x+1 )2 x ( x−1 )3 ( x−2 ). ¿A cuál cero de converge el método de bisección en el
siguiente intervalo?
C. [-0.5,3]
Se tiene a=−0.5 (a 1) =-1.5820313 <0
b=3 (b 1) =1920.000000 >0

ITERACIÒN 1.
a 1=a=−0.5 (a 1) =-1.5820313
b 1=b = 3 (b 1) =1920.0000000
a1 +b1
x 1= = 1.25
2
f¿
f ¿ = -0.2410126
ITERACIÒN 2.
a 2=x1 =1.25 (a 2) = -0.2410126
b 2=b1=¿3 f (b2 ) = 1920.0000000
a2 +b2
x 2= = 2.125
2
f¿
ITERACIÒN 3.
a 3=a2=1.25 (a 3) = -0.2410126
b 3=x 2=¿2.125 f (b3 ) = 15.23528248
a3 +b 3
x 3= = 1.6875
2
f ( x 3 ) =−4.4886248
ITERACIÒN 4.
a 4=x 3=1.6875 (a 4) = -4.4886248
b 4=b 3=¿2.125 f (b 4) = 15.23528248
a 4 +b 4
x4 = = 1.90625
2
f ( x 4 )=−4.3885511
ITERACIÒN 5.
a 5=x 4=1.90625 (a 5) = -4.3885511
b 5=b 4=¿2.125 f (b5 ) = 15.23528248
a5 +b 5
x 5= = 2.015625
2
f ( x 5 ) =1.2048631
ITERACIÒN 6.
a 6=a5 =1.90625 (a 6) = -4.3885511
b 6=x 5=¿2.015625 f (b6 ) = 1.2048631
a6 +b 6
x 6= = 1.960937
2
f ( x 6 ) =−2.3602917
ITERACIÒN 7.
a 7=x 6=1.960937 (a 7) = -2.3602917
b 7=b6 =¿2.015625 f (b7 ) = 1.2048631
a7 +b 7
x 7= = 1.9882821
2
f ( x 7 ) =−0.8010106
ITERACIÒN 8.
a 8=x 7=1.9882821 (a 8) = -0.8010106
b 8=b7 =¿2.015625 f (b8 ) = 1.2048631
a8 +b 8
x 8= =2.0019535
2
f ( x 8 ) =0.1418698
ITERACIÒN 9.
a 9=a8 =1.9882821 (a 9) = -0.8010106
b 9=x 8=¿2.0019535 f (b9 ) = 0.1418698
a9 +b 9
x 9= = 1.99511778
2
f ( x 9 ) =−0.3440051
ITERACIÒN 10.
a 10=x 9=1.9951178 (a 10) = -0.3440051
b 10=b9=¿2.0019535 f (b10 ) = 0.1418698
a10+ b10
x 10= = 1.9985356
2
f ( x 10 )=−0.1047566
ITERACIÒN 11.
a 11=x 10=1.9985356 (a 11) = −0.1047566
b 11=b 10=¿2.0019535 f (b11 ) = 0.1418698
a11 + b11
x 11= = 2.0002445
2
f ( x 11 )=0.0176230
ITERACIÒN 12.
a 12=a11 =1.9985356 (a 12) = −0.1047566
b 12=x 11 =¿2.0002445 f (b12 ) = 0.0176230
a12 + b12
x 12= = 1.9993900
2
f ( x 12 )=−0.0438026
ITERACIÒN 13.
a 13=x12=¿ 1.9993900 (a 13) =−0.0438026
b 13=b12=¿2.0002445 f (b13 ) = 0.0176230
a13+ b13
x 13= = 1.9998172
2
f ( x 13 )=−0.0131509
ITERACIÒN 14.
a 14=x 13=¿ 1.9998172 (a 14) =−0.0131509
b 14=b13=¿ 2.0002445 f (b14 ) = 0.0176230
a14 +b 14
x 14= =2.0000308
2
f ( x 14 ) =0.0022179
ITERACIÒN 15.
a 15=a14=¿ 1.9998172 (a 15) =−0.0131509
b 15=x14 =¿2.0000308 f (b15 ) = 0.0022179
a15+ b15
x 15= =1.999924
2
f ( x 15 )=−0.0054701
ITERACIÒN 16.
a 16=x15=¿ 1.999924 (a 15) =−0.0054701
b 16=b15=¿ 2.0000308 f (b15 ) = 0.0022179
a16 +b16
x 16= =1.9999264
2
f ( x 16 ) =−0.001627
ERROR. | X 16−X 15|= 0.00000
Por lo tanto, el intervalo, [-0.5;3] converge la raíz de ( X 16 =1.9999264
EJERCICIO 8-D. Sea f ( x )=(x+ 2) ( x+ 1 )2 x ( x−1 )3 ( x−2). ¿A cuál cero de f converge el método de
bisección en los siguientes intervalos? d) [-3, -0.5]
SOLUCIÓN:
Para empezar tenemos que verificar si f(a) y f(b) tienen signos opuestos.
Consideremos el intervalo [a, b]= [-3, -0.5] donde se define f.
f ( x )=(x+ 2) ( x+ 1 )2 x ( x−1 )3 ( x−2).
a1=a=-3 ⇒ f(a1)=f(-3)=(-3+2)(−3+1 )2 (−3 ) (−3−1)3 (-3-2)= 3840 >0
b1=b=-0.5 ⇒ f(b1)=f(-0.5)=(-0.5+2)(−0.5+1 )2 (−0.5 ) (−0.5−1)3(-0.5-2)= -1.5820313 <0
Una vez que ya comprobamos que tienen signos opuestos reemplazamos en la fórmula de método de
a1−b 1
bisección. X =
2
 ITERACIÓN 1:
f ( x )=(x+ 2) ( x+ 1 )2 x ( x−1 )3 ( x−2)
a1=a=-3 ⇒ f(a1)=f(a)=f(-3)=3840
b1 =b=-0.5 ⇒ f(b1)=f(b)=f(-0.5)= --1.5820313
−3+(−0.5)
x1 = = -1.75 ⇒ f(x1)= f(-1.75)= -19.1924286
2
 ITERACIÓN 2:
a1=a= -3 ⇒ f(a1)=f(-3)=3840
b2 =x1= -1.75 ⇒ f(b2)=f(x1)= -19.1924286
−3+(−1.75)
x2 = =-2.375  f(x2)=f(-2.375)= 283.2041851
2
 Si el nuevo intervalo es: [-3, -1.75]; entonces la raíz que la converge es -2
EJERCICIO 9. Sea f ( x )=¿ ( x +2 )( x +1 ) x ( x−1 )3 ( x −2 ) . ¿A cuál cero de f converge el método de

bisección en el siguiente intervalo?
a) (-3,2.5)
SOLUCIÓN
 Gráfica de la función
−3+2.5
a 1=−3 ; b1=2,5 x 1= =−0.25
2
f ( x )=¿ ( x +2 )( x +1 ) x ( x−1 )3 ( x −2 )
Iteración 1
 f (−3 )=−1920
 f ( 2.5 )=66.4453125
 f (−0.25 )=−1.4419556
Iteración 2
−0.25+2.5
x 2= =1.125
2
f ( x 2 ) =f ( 1.125 )=−0.0127673
Iteración 3
1.125+2.5
x 3= =1.8125
2
f ( x 3 ) =f ( 1.8125 )=−1.9545725
Iteración 4
1.8125+2.5
x4= =2.15625
2
f ( x 4 )=f ( 2.15625 )=6.8319933
Iteración 5
1.8125+2.15625
x 5= =1.984375
2
f ( x 5 ) =f ( 1.984375 )=−0.3516731
Iteración 6
1.984375+2.15625
x 6= =2.0703125
2
f ( x 6 ) =f ( 2.0703125 ) =2.2305429
Iteración 7
1.984375+2.0703125
x 7= =2.0273438
2
f ( x 7 ) =f ( 2.0273438 )=0.7328484
Iteración 8
1.984375+2.0273438
x 8= =2.0058594
2
f ( x 8 ) =f ( 2.0058594 )=0.1440223
Iteración 9
1.984375+2.0058594
x 9= =1.9951172
2
f ( x 9 ) =f ( 1.9951172 ) =−0.1148691
Iteración 10
1.9951172+ 2.0058594
x 10= =2.0004883
2
f ( x 10 )=f ( 2.0004883 )=0.0117426
Error=⃒ 2.0004883−1.9951172⃒ =0.0053711
Entonces podemos decir que al realizar las iteraciones respectivas nos aproximamos a la raíz real de
r=2.0004883
En ese intervalo converge la raíz 2.0004883
EJERCICIO 9.B.- Sea f(X) = (x+2)(x+1)2x(x-1)3(x-2). ¿A que cero de f converge el método de bisección
cuando se aplica en el siguiente intervalo?
[ −2.5 , 3 ]
SOLUCIÓN.
Primero encontramos los ceros en la función f(X) = (x+2) (x+1)x(x-1)3(x-2). Para ello
remplazamos.
- f(-2) = 0
- f(-1) = 0
- f(0) = 0
- f(1) = 0
- f(2) = 0
Por lo tanto, -2, -1,0,1,2 son los ceros de f(X) = (x+2) (x+1)2x(x-1)3(x-2).
Ahora necesitamos encontrar, a que cero de f(X) converge el método de bisección cuando se
aplica en el intervalo [ −2.5 , 3 ] ; en este intervalo tenemos los cinco ceros (-2, -1,0,1,2).
INTERACCIÓN 1.
a(1) = a = -2.5 → f(-2.5) =- 361.7578125 <0
b(1) = b = 3 → f(3) = 480
a(1)+b(1) −2. 5+3
X(1) = = = 0.25 → f(0.25) = 0.519104004
2 2
Por lo tanto la raíz se encuentra entre a (1) y X(1) , la raíz se encuentra en el intervalo [ −2.5 , 0.25 ] , en
este intervalo tenemos tres ceros (-2,-1,0), por lo tanto el método de bisección no converge.
INTERACCIÓN 2
a(1) = a = -2.5 → f(-2.5) =- 361.7578125 <0
b(2) = X(1) = 0.25 → f(3) = 480
a(1)+ X (1) −2. 5+0 . 25
X(2) = = = -1.125 → f(-1.125) = 3.689754009 >0
2 2
La raíz se encuentra entre a(1) y X(2) , es decir la raíz se encuentra en el intervalo [ −2.5 ,−1.125 ], en
este intervalo tenemos solamente un cero (-2), por lo tanto el método de bisección converge al cero
(-2) en el intervalo [ −2.5 ,−1.125 ].
EJERCICIO 0 9: Sea f(x) = (x+2)(x+1)x¿(x-2). ¿A cuál cero de f converge el método de bisección en los
siguientes intervalos?
a. [-3,2.5] b. [-2.5,3] c. [-1.75,1.5] d. [-1.5,1.75]
Solución:
c. [-1.75,1.5]
 ITERACIÓN N° 01
3
f ( x )=( x +2 ) ( x+1 ) ( x )( x−1 ) ( x−2 )
a 1=−1.75 f ( a1 )=(−1.75+ 2 )(−1.75+1 ) (−1.75 ) (−1.75−1 )3 (−1.75−2 ) =25.5899048
b 1=1.5 f ( a1 )=( 1.5+2 )( 1.5+1 ) ( 1.5 )( 1.5−1 )3 ( 1.5−2 )=−0.8203125
−1.75+1.5
x 1= x 1=−0.1250000
2
f ( x 1 ) =(−0.125+2 ) (−0.125+1 ) (−0.125 )(−0.125−1 )3 (−0.125−2 ) =−0.6204915
a 2=−1.75 f ( a2 )=25.5899048
b 2=−0.125 f ( b2 )=−0.6204915
−1.75−0.125
x 2= x 2=−0.9375000
2
f ( x 2 ) =−1.3300968
a 3=−1.75 f ( a3 )=25.5899048
b 3=−0.9375 f ( b3 )=−1.3300968
−1.75−0.9375
x 3= x 3=−1.34375
2
f ( x 3 ) =13.0496287
a 4=−1.34375 f ( a4 ) =13.0496287
b 4=−0.9375 f ( b4 ) =−1.3300968
−1.34375−0.9375
x4= x 4 =−1.140625
2
f ( x 4 )=4.2464499
a 5=−1.140625 f ( a5 )=4.2464499
b 5=−0.9375 f ( b5 )=−1.3300968
−1.140625−0.9375
x 5= x 5=−1.0390625
2
f ( x 5 ) =1.0048080
a 6=−1.0390625 f ( a6 ) =1.0048080
b 6=−0.9375 f ( b6 ) =−1.3300968
−1.0390625−0.9375
x 6= x 6=−0.9882813
2
f ( x 6 ) =−0.2752167
a 7=−1.0390625 f ( a7 )=1.0048080
b 7=−0.9882813 f ( b7 )=−0.2752167
−1.0390625−0.9882813
x 7= x 7=−1.0136719
2
f ( x 7 ) =0.3363642
a 8=−1.0136719 f ( a8 )=0.3363642
b 8=−0.9882813 f ( b8 )=−0.2752167
−1.0136719−0.9882813
x 8= x 8=−1.0009766
2
f ( x 8 ) =0.0234804
a 9=−1.0009766 f ( a9 ) =0.0234804
b 9=−0.9882813 f ( b9 ) =−0.2752167
−1.0009766−0.9882813
x 9= x 9=−0.994629
2
f ( x 9 ) =−0.1276357
• e=| (−0.994629 ) −(1.0009766)

(−0.994629) |
∗100
e=0.64 %
Para este ejercicio al ya que tenemos una raíz de 0.994629 entonces al cero que converge seria a 0
(Tito Zamora)
EJERCICIO 9: Sea f(x) = (x+2)(x+1)x¿(x-2). ¿A cuál cero de f converge el método de bisección en los
siguientes intervalos?
a. [-3,2.5] b. [-2.5,3] c. [-1.75,1.5] d. [-1.5,1.75]
Solución:
c. [-1.75,1.5]
3
f ( x )=( x +2 ) ( x+1 ) ( x )( x−1 ) ( x−2 )
a 1=−1.75 f ( a1 )=(−1.75+ 2 )(−1.75+1 ) (−1.75 ) (−1.75−1 )3 (−1.75−2 ) =25.5899048
b 1=1.5 f ( a1 )=( 1.5+2 )( 1.5+1 ) ( 1.5 )( 1.5−1 )3 ( 1.5−2 )=−0.8203125
−1.75+1.5
x 1= x 1=−0.1250000
2
f ( x 1 ) =(−0.125+2 ) (−0.125+1 ) (−0.125 )(−0.125−1 )3 (−0.125−2 ) =−0.6204915
a 2=−1.75 f ( a2 )=25.5899048
b 2=−0.125 f ( b2 )=−0.6204915
−1.75−0.125
x 2= x 2=−0.9375000
2
f ( x 2 ) =−1.3300968
a 3=−1.75 f ( a3 )=25.5899048
b 3=−0.9375 f ( b3 )=−1.3300968
−1.75−0.9375
x 3= x 3=−1.34375
2
f ( x 3 ) =13.0496287
a 4=−1.34375 f ( a4 ) =13.0496287
b 4=−0.9375 f ( b4 ) =−1.3300968
−1.34375−0.9375
x4= x 4 =−1.140625
2
f ( x 4 )=4.2464499
a 5=−1.140625 f ( a5 )=4.2464499
b 5=−0.9375 f ( b5 )=−1.3300968
−1.140625−0.9375
x 5= x 5=−1.0390625
2
f ( x 5 ) =1.0048080
a 6=−1.0390625 f ( a6 ) =1.0048080
b 6=−0.9375 f ( b6 ) =−1.3300968
−1.0390625−0.9375
x 6= x 6=−0.9882813
2
f ( x 6 ) =−0.2752167
a 7=−1.0390625 f ( a7 )=1.0048080
b 7=−0.9882813 f ( b7 )=−0.2752167
−1.0390625−0.9882813
x 7= x 7=−1.0136719
2
f ( x 7 ) =0.3363642
a 8=−1.0136719 f ( a8 )=0.3363642
b 8=−0.9882813 f ( b8 )=−0.2752167
−1.0136719−0.9882813
x 8= x 8=−1.0009766
2
f ( x 8 ) =0.0234804
a 9=−1.0009766 f ( a9 ) =0.0234804
b 9=−0.9882813 f ( b9 ) =−0.2752167
−1.0009766−0.9882813
x 9= x 9=−0.994629
2
f ( x 9 ) =−0.1276357
a 10=−1.0009766 f ( a10 )=0.0234804
b 10=−0.994629 f ( b10 )=−0.1276357
−1.0009766−0.994629
x 10= x 10=−0.9978028
2
f ( x 10 )=−0.0525204
a 11=−1.0009766 f ( a11 ) =0.0234804
b 11=−0.9978028 f ( b11 ) =−0.0525204
−1.0009766−0.9978028
x 11= x 11=−0.9993897
2
f ( x 11 )=−0.0146308
a 12=−1.0009766 f ( a12 )=0.0234804
b 12=−0.9993897 f ( b12 )=−0.0146308
−1.0009766−0.9993897
x 12= x 12=−1.0001832
2
f ( x 12 )=0.0043983
a 13=−1.0001832 f ( a13 )=0.0043983
b 13=−0.9993897 f ( b13 )=−0.0146308
−1.0001832−0.9993897
x 13= x 13=−0.9997865
2
f ( x 13 )=−0.0051220
a 14=−1.0001832 f ( a14 )=0.0043983
b 14=−0.9997865 f ( b14 )=−0.0051220
−1.0001832−0.9997865
x 14= x 14=−0.9999849
2
f ( x 14 ) =−0.0003624
a 15=−1.0001832 f ( a15 )=0.0043983
b 15=−0.9999849 f ( b15 )=−0.0003624
−1.0001832−0.9999849
x 15= x 15=−1.0000841
2
f ( x 15 )=0.0020187
a 16=−1.0000841 f ( a16 )=0.0020187
b 16=−0.9999849 f ( b16 )=−0.0003624

−1.0000841−0.9999849
x 16= x 16=−1.0000345
2
f ( x 16 ) =0.0008281
3
EJERCICIO 9. Sea f ( x )=( x +2 ) ( x +1) x ( x−1 ) ( x−2 ) . ¿A cuál cero de converge el método de
bisección en el siguiente intervalo?
d. [-1.5,1.75]
Se tiene a 1=−1.5 (a 1) =20.5078125 >0

b 1=1.75 (b 1) =-1.9033813 <0
ITERACIÒN 1.
a 1=−1.5 (a 1) = 20.5078125
b 1=1.75 (b 1) = -1.9033813
a1 +b1
x 1= = 0.125
2
f¿
f ¿ = 0.3753591
ITERACIÒN 2.
a 2=x1 =0.125 (a 2) = 0.3753591
b 2=b1=¿1.75 f (b2 ) =-1.9033813
a2 +b2
x 2= = 0.9375
2
f¿
ITERACIÒN 3.
a 3=x 2=0.9375 a
º ( 3) = 0.0013841
b 3=b2=¿1.75 f (b3 ) = -1.9033813
a3 +b 3
x 3= = 1.34375
2
f ( x 3 ) =−0.2807120
ITERACIÒN 4.
a 4=a3=¿ 0.9375 (a 4) = 0.0013841
b 4=x 3=1.34375 f (b 4) = -0.2807120
a 4 +b 4
x4 = = 1.140625
2
f ( x 4 )=−0.0183261
ITERACIÒN 5.
a 5=a 4=0.9375 (a 5) = 0.0013841
b 5=x 4=1.140625 f (b5 ) = -0.0183261
a5 +b 5
x 5= = 1.0390625
2
f ( x 5 ) =−0.0003688
ITERACIÒN 6.
a 6=a5 =0.9375 (a 6) = 0.0013841
b 6=x 5=1.0390625 f (b6 ) = -0.0003688
a6 +b 6
x 6= = 0.9882813
2
f ( x 6 ) =0.0000096
ITERACIÒN 7.
a 7=x 6=0.9882813 (a 7) = 0.0000096
b 7=b6 =¿1.0390625 f (b7 ) = -0.0003688
a7 +b 7
x 7= = 1.0136719
2
f ( x 7 ) =−0.0000155
ITERACIÒN 8.
a 8=a7 =¿ 0.9882813 (a 8) = 0.0000096
b 8=x 7=¿1.0136719 f (b8 ) = -0.0000155
a8 +b 8
x 8= =1.0009766
2
f ( x 8 ) =−0.000000005
ITERACIÒN 9.
a 9=a8 =0.9882813 (a 9) = 0.0000096
b 9=x 8=¿1.0009766 f (b9 ) = −0.000000005
a9 +b 9
x 9= = 0.9946289
2
f ( x 6 ) =0.0000009
EJERCICIO 10
(2.1)
Consideramos el intervalo [1,2]; f(x) = x2 -3
Xa+ Xb
Xr=
2
Se tiene F ( a )=F ( 1 )= (−2 ) y F ( b ) =F ( 2 )=1

 Iteración 1
Xa=1 Xb=2
1+2
Xr= =1.5
2
F ( XR )=1,52−3=−0,75
F ( Xa )∗F ( XR ) =(−2 )∗(−0,75 )=1,5>0entonces reemplazamos Xr en Xa
 Iteración 2
Xa=Xr=1.5 Xb=2
1.5+2
Xr= =1.75
2
F ( XR )=1.752−3=0.0625
F ( Xa )∗F ( XR ) =(−0.75 )∗( 0.0625 )=−0.046875< 0entonces reemplazamos Xr en Xb
 Iteración 3
Xb=Xr=1.75 Xa=1.5
1.5+1.75
Xr= =1.625
2
F ( XR )=1.6252−3=−0.359375
F ( Xa )∗F ( XR ) =(−0.75 )∗(−0.359375 )=0.26953125> 0entonces reemplazamos Xr en Xa
Así continuamos con las iteraciones hasta aproximarnos a la raíz los resultados de todas las
iteraciones se muestran en la siguiente tabla.
F(x)= X^2-3; [1,2]

Iteració
n Xa Xb Xr F(Xa) F(Xr) F(Xa)F(XR)
1 1 2 1.5 -2 -0.75 1.5

2 1.5 2 1.75 -0.75 0.0625 -0.046875
0.2695312
3 1.5 1.75 1.625 -0.75 -0.359375 5
-
0.1523437 0.0547485
4 1.625 1.75 1.6875 -0.359375 5 4
- -
0.1523437 0.0458984 0.0069923
5 1.6875 1.75 1.71875 5 4 4
- -
0.0458984 0.0080566 0.0003697
6 1.71875 1.75 1.734375 4 4 9
7 1.71875 1.734375 1.7265625 - - 0.0008712
0.0458984 0.0189819 4
4 3
- -
1.7304687 0.0189819 0.0054779 0.0001039
8 1.7265625 1.734375 5 3 1 8
-
1.7304687 1.7324218 0.0054779 0.0012855 -7.0421E-
9 5 1.734375 8 1 5 06
- -
1.7304687 1.7324218 1.7314453 0.0054779 0.0020971
10 5 8 1 1 3 1.1488E-05
- -
1.7314453 1.7324218 1.7319335 0.0020971 0.0004060
11 1 8 9 3 3 8.5149E-07
-
1.7319335 1.7324218 1.7321777 0.0004060 -1.7853E-
12 9 8 3 3 0.0004397 07
-
1.7319335 1.7321777 1.7320556 0.0004060 1.6823E- -6.8308E-
13 9 3 6 3 05 09
- -
1.7319335 1.7320556 1.7319946 0.0004060 0.0001946
14 9 6 3 3 1 7.9015E-08
EJERCICIO 11. Encuentre una aproximación a √3 25 correcta en 10−4 por medio de algoritmo de
bisección.
5
f ( x )=
√x
Iteración 1
a 1=a=0
b 1=b=2.9240
a1 +b1 0+2.940
x 1= = =1.4620
2 2
5
f ( 1.4620 ) = 1
=1.3679
2
1.4620
Iteración 2
x 1=a2=¿ 1.3679¿-
b 1=b2=¿2.9240 ¿
1.3679+ 2.9240
x 2= =2.15395
2
5
f ( 2.15395 )= 1
=0.6363
2
2.15395
Iteración 3
x 2=a3 =¿ 0.6363¿
b 2=b3=¿ 2.9240¿
0.6363+2.9240
x 3= =1.7771
2
5
f ( 1.7771 )= 1
=0.9258
2
1.7771
Iteración 4
x 3=a 4=¿0.9258 ¿
b 3=b 4=¿2.9240 ¿
0.9258+2.9240
x4 = =1.9249
2
3
√ 25
f ( 1.9249 ) = 2
=0.7898
1.9249
−4
Error | X 5−X 4|=|0.7898−0.7898|≥ 10
12. use el teorema 2.1 para obtener una cota del número de iteraciones que se requiere para
alcanzar una aproximación con exactitud de 10-3 la solución de x 3+ x−4=0 que se encuentra en el
intervalo [ 1 , 4 ]. Obtenga una aproximación de la raíz con este grado de exactitud.
f ( x )=x 3 + x−4=0
a=1 b=4
Número de Iteraciones = n
b−a
=E
2n
4−1
n
=10−3
2
3
−3
=2n
10
3∗103=2n
log ( 3∗103 )=log 2n
log 3+ log 103 =log 2n

0.4771213+3∗log 10=n∗log 2
0.4771213+3
=n
log 2
n=11.5507469
n = 12 es el mínimo número de iteraciones
ITERACIÓN 1
a 1=1 b 1= 4
an +b n
x n=
an +b n2
x n=
2
a1 +b1 1+ 4
x 1= x 1=
2 2
x 1=2.5
f ( a1 )=( 1 )3 +(1)−4
f ( a1 )=−2
f ( b1 )=( 4 )3 +(4)−4
f ( b1 )=64
f ( x 1 ) =( 2.5 )3+(2.5)−4
f ( x 1 ) =14.1250000
ITERACIÓN 2
a 2=a1=1 b 2=x1 =2.5
a2 +b2 1+ 2.5
x 2= x 2=
2 2
x 2=1.75
f ( a2 )=( 1 )3 +(1)−4
f ( a2 )=−2
f ( b2 )=f ( x 1) ¿ ( 2.5 )3 +(2.5)−4
f ( b2 )=14.1250000
f ( x 2 ) =( 1.75 )3+(1.75)−4
f ( x 2 ) =3.1093750
ITERACIÓN 3
a 3=a2=1 b 3=x 2=1.75
a3 +b 3 1+1.75
x 3= f ( a3 )=f ( a2 ) =−2 x3 = f ( b3 )=f ( x 2 )=3.1093750
2 2
x 3=1.375
f ( x 3 ) =f ( 1.375 ) ¿ ( 1.375 )3+(1.375)−4
f ( x 3 ) =−0.0253906
ITERACIÓN 4
a 4=x 3=1.375 b 4=b 3=1.75
a 4 +b 4 1.375+1.75
x4 = f ( a4 ) =f ( x 3 ) =−0.0253906 x 4= f ( b4 ) =f ( b3 )=3.1093750
2 2
x 4 =1.5625
f ( x 4 )=f (1.5625 ) ¿ ( 1.5625 )3 +(1.5625)−4
f ( x 4 )=1.3771973
ITERACIÓN 5
a 5=a 4=1.375 b 5=x 4=1.5625
1.375+1.5625
x 5= f ( a5 )=f ( a 4 )=−0.0253906
2
x 5=1.46875 f ( b5 )=f ( x 4 ) =1.3771973 f ( x 5 ) =f ( 1.46875 ) ¿ ( 1.46875 )3+(1.46875)−4
f ( x 5 ) =0.6371765
ITERACIÓN 6
a 6=a5 =1.375 b 6=x 5=1.46875
1.375+1.46875
x 6= f ( a6 ) =f ( a 5) =−0.0253906
2
x 6=1.421875 f ( b6 ) =f ( x 5 )=0.6371765 f ( x 6 ) =f ( 1.421875 ) ¿ ( 1.421875 )3+(1.421875)−4
f ( x 6 ) =0.2965202
ITERACIÓN 7
a 7=a6 =1.375 b 7=x 6=1.421875
1.375+1.421875
x 7= f ( a7 )=f ( a 6 )=−0.0253906
2
x 7=1.3984375 f ( b7 )=f ( x 6 )=0.2965202
f ( x 7 ) =f ( 1.3984375 ) ¿ ( 1.3984375 )3+(1.3984375)−4
f ( x 7 ) =0.1332603
ITERACIÓN 8
a 8=a7 =1.375 b 8=x 7=1.3984375
1.375+1.3984375
x 8= f ( a8 )=f ( a7 )=−0.0253906
2
x 8=1.3867188 f ( b8 )=f ( x 7 )=0.1332603
f ( x 8 ) =f ( 1.3867188 ) ¿ ( 1.3867188 )3+(1.3867188)−4
f ( x 8 ) =0.0533638
ITERACIÓN 9
a 9=a8 =1.375 b 9=x 8=1.3867188
1.375+1.3867188
x 9= f ( a9 ) =f ( a 8 )=−0.0253906
2
x 9=1.3808594 f ( b9 ) =f ( x 8 )=0.0533638
f ( x 9 ) =f ( 1.3808594 ) ¿ ( 1.3808594 )3 +(1.3808594)−4
f ( x 9 ) =0.00138444
ITERACIÓN 10
a 10=a9=1.375 b 10=x 9=1.3808594
1.375+ 1.3808594
x 10= f ( a10 )=f ( a9 ) =−0.0253906
2
x 10=1.3779297 f ( b10 )=f ( x 9 )=0.0138444
f ( x 10 )=f ( 1.3779297 ) ¿ (1.3779297 )3+(1.3779297)−4
f ( x 10 )=−0.0058086
ITERACIÓN 11
a 11=x 10 =1.3779297 b 11=b 10 =1.3808594
1.3779297+1.3808594
x 11= f ( a11 ) =f ( x 10 )=−0.0058086
2
x 11=1.3793946 f ( b11 ) =f ( b 10) =0.0138444
f ( x 11 )=f ( 1.3793946 ) ¿ ( 1.3793946 )3 +(11.3793946 )−4
f ( x 11 )=0.0040093
ITERACIÓN 12
a 12=a11 =1.3779297 b 12=x 11 =1.3793946
1.3779297+1.3793946
x 12= f ( a11 ) =f ( x 10 )=−0.0058086
2
x 12=1.3786622 f ( b12 )=f ( x11 )=0.0040093
f ( x 12 )=f ( 1.3786622 ) ¿ ( 1.3786622 )3+(1.3786622)−4
f ( x 12 )=−0.0009015
Error
|x 12−x 11|=|1.3786622−1.3793946|
¿ 0.0007324< 10−3
∴ x12 =1.3786622 es la raiz aproximada.
EJERCICIO 13. use el teorema 2.1 para obtener una cota del número de iteraciones que se requiere
para alcanzar una exactitud de 10-4 a la solución de x3-x-1=0 que se encuentra en el intervalo [1,2].
Obtenga una aproximación de la raíz con este grado de exactitud.
solución
Debemos encontrar un entero n que satisfaga la inecuación
b−a
n
< 10−4
2
Del enunciado del problema, tenemos a = 1 y b = 2, luego
1
= n
<10−4=2−n <10−4
2
Aplicamos logaritmo en base 10 a esta última desigualdad
log 2-n < log 10-4
Despejando n, obtenemos
n≈ 13.2878
Por lo tanto, se necesitan como mínimo 14 iteraciones para lograr una aproximación exacta dentro de
la tolerancia 10-4
Para dar con la solución aproximada de la función f (x) = x3-x-1 con una exactitud de
10-4 debemos realizar 14 iteraciones
Iteración 1: Dado que la función f es continua en [1; 2], tomamos a1 = 1 y b1 = 2, luego
f (a1) = −1 y f (b1) = 5
5−1
x1= =2 f(x1) =5
2
iteración 2:
tomamos
a2 = 1; f (a2) = -1
b2 = 2; f(b2) =5
1+ 2
x 2= =1.5 ; f ( x 2 ) =0.875
2
Iteración 3:
Tomamos
a3 = 1; f (a3) = -1
b3 = 1.5; f(b3) =0.875
1+ 1.5
x 3= =1.25 ; f ( x 3 ) =−0.296875
2
Iteracion 4
Tomamos
a4= 1.25; f (a4) = -0.296875
b4 = 1.5; f(b4) =0.875
1.25+1.5
x4= =1.375 ; f ( x 4 )=0.2246094
2
Iteración 5
Tomamos
a5= 1.25; f (a5) = -0.296875
b5 = 1.375; f(b5) =0.2246094
1.25+1.375
x 5= =1.3125 ; f ( x 5 ) =−0.0515137
2
Iteración 6
Tomamos
a6 = 1.3125; f (a6) = -0.0515137
b6 = 1.375; f(b6) =0.2246094
1.3125+1.375
x 6= =1.34375 ; f ( x 6 ) =0.0826111
2
Iteración 7
Tomamos
a7= 1.3125; f (a7) = -0.0515137
b7 = 1.34375; f(b7) =0.0826111
1.3125+1.34375
x 7= =1.328125 ; f ( x 5 ) =0.014576
2
Iteración 8
Tomamos:
a8= 1.3125; f (a8) = -0.0515137
b8 = 1.328125; f(b8) =0.014576
1.3125+1.328125
x 8= =1.3203125 ; f ( x 8 ) =−0.0187106
2
Iteración 9
Tomamos:
a9= 1.3203125; f (a9) = -0.0187106
b9 = 1.328125; f(b9) =0.014576
1.3203125+1.328125
x 9= =1.3242188 ; f ( x 9 ) =−0.0021277
2
Iteración 10
Tomamos:
a10= 1.3242188; f (a10) = -0.0021277
b10 = 1.328125; f(b10) =0.014576
1.3242188+1.328125
x 10= =1.3261719 ; f ( x 10 )=0.0062089
2
Iteración 11
Tomamos:
a11= 1.3242188; f (a11) = -0.0021277
b11 = 1.3261719; f(b11) =0.0062089
1.3242188+1.3261719
x 10= =1.3251954 ; f ( x 11 )=0.002037
2
Iteración 12
Tomamos:
a12= 1.3242188; f (a12) = -0.0021277
b12 = 1.3251954; f(b12) =0.002037
1.3242188+1.3251954
x 12= =1.3247071 ; f ( x 12 )=¿ -0.0000463
2
Iteración 13
Tomamos:
a13= 1.3247071; f (a13) = -0.0000463
b13 = 1.3251954; f(b13) =0.002037
1.3247071+1.3251954
x 13= =1.3249513 ; f ( x 13 )=¿0.0009953
2
Iteración 14
Tomamos:
a14= 1.3247071; f (a14) = -0.0000463
b14 = 1.3249513; f(b14) =0.0009953
1.3247071+1.3249513
x 14= =1.3248292 ; f ( x 14 ) =¿0.0004745
2
Calculamos el error |1.3248292−1.3249513|=0.0001210
Iteración 15
Tomamos:
a15= 1.3247071; f (a15) = -0.0000463
b15 = 1.3248292; f(b15) =0.0004745
1.3247071+1.3248292
x 15= =1.3247682 ; f ( x 15 )=¿0.0002143
2
Calculamos el error |1.3247682−1.3248292|=0.00006

Vemos que 0.00006<0.0001 entonces la raíz aproximada seria x=1.3247682
1
EJERCICIO 14. Sea f ( x )=( x−1 )10 , p=1 , y pn=1+
−3
. Demuestre que |f ( p n )|<10 siempre
n
−3
que, n>1, pero que, | p−p n|<10 , requiere que n>1000.
Tenemos,
1
|
|f ( p n )|= f ( 1+ n ) | reemplazamos pn
10
1
|(
¿ 1+ −1
n )| evaluamos f en pn
1
¿
n10
1
Ya que es una función de decreciente para n>1, tenemos para n ∈ Z ,n> 1
n10
1 1 1
|f ( p n )|= n10 ≤ 210 = 1024 <10−3
Porque n ∈ Z ,n> 1⇔ n ≥2 , n ∈ Z . Por lo tanto, tenemos
|f ( p n )|<10−3
Por otro lado,

1
|
| p−p n|= 1−1− n = | |−1n |= 1n
Por lo tanto,
1
| p−p n|<10−3 ⇔ n <10−3 ⇔n>(10¿¿ 3=1000)¿
EJERCICIO 16.b . La función definida por f ( x ) =sen π x tiene ceros en todos los enteros.
Muestre que cuando -1<a<0 y 2<b<3, el método de bisección converge a 2, si a+b>2
*Metodo de biseccion f(x)=sen(  x)
*Mostrar que cuando -1 < a < 0 y 2 < b < 3
el metodo de biseccion converge en 2, si a + b > 2
 Los números a y b toman
infinitos valores, empezaremos por unos extremos como intervalos.
a  0.98
b  2.99
 3.14159265
Iteracion X a Xb Xr f (Xa) f (Xr ) f (Xa) f (Xr )
1 0.98 2.99 1.005 0.0627905 0.0157073 0.00098627
2 1.005 2.99 1.9975 0.0157073 0.0078539 0.00012336
3 1.9975 2.99 2.49375 0.0078539 0.9998072 0.00785239
4 1.9975 2.49375 2.245625 0.0078539 0.6973215 0.00547669
5 1.9975 2.245625 2.1215625 0.0078539 0.3726841 0.00292702
6 1.9975 2.1215625 2.05953125 0.0078539 0.1859346 0.00146031
7 1.9975 2.05953125 2.02851563 0.0078539 0.0894647 0.00070265
8 1.9975 2.02851563 2.01300781 0.0078539 0.0408539 0.00032086
9 1.9975 2.01300781 2.00525391 0.0078539 0.0165049 0.00012963
10 1.9975 2.00525391 2.00137695 0.0078539 0.0043258 3.3975 E  05
11 1.9975 2.00137695 1.99943848 0.0078539 0.0017641 1.3855 E  05
12 1.99943848 2.00137695 2.00040771 0.0017641 0.0012809 2.2596 E  06
Por lo que podemos observar, converge a 2 por izquierda y por derecha
EJERCICIO 16.c. La función definida por f (x)=Sen(πx ) tiene ceros en todos los enteros. Muestre
que cuando -1 < a < 0 y 2 < b < 3. El método de bisección converge a.
c. 1. Si a + b = 2
Cuando n > 1
10 10
1 11
|f ( x n)|= ( ) ( ) = 1024
n
≤
2
<0.001
1
|x n−x n−1|= n <0.001 ↔1000< n
Conjuntos de ejercicios 2.1 (José Silva)

Ejercicio 17: Un abrevadero de longitud “L” tiene una sección transversal en forma de semicírculo con
radio “r” (véase la figura anexa) Cuando se llena de agua hasta una distancia de “h” de la parte
superior, el volumen “V” de agua es:
[
V =L 0.5 π r 2−r 2 arcsen () h
r
−h ( r 2−h2 ) 2
]
Suponga que L=10 pies, r=1pie, y que V =12.4 pies3 . Determine la profundidad del agua del
abrevadero hasta 0.01 pies.
Solución
1º reemplazamos los valores dados en la función
1
[
V =L 0.5 π r −r arcsen2h
r
2
()
−h ( r 2−h2 ) 2 ]
1
[
12.4=10 0.5 π (1) −(1) arcsen
h
1
2 2 2 2
−h ( (1) −h ) 2 () ]
1
2 2 2 2
1.24=0.5 π (1) −(1)arcsen ( h )−h ( (1) −h )
1
2 2
0.7894085=−arcsen ( h )−h ( 1−h )
1
2 2
h ( 1−h ) + arcsen ( h ) +0.7894085=0
x=h
1
2 2
f x =x ( 1−x ) + arcsen ( x ) + 0.7894085=0
Se observa que nuestra función es continua en (-1; 1), ahora procedemos a graficar nuestra función y
luego a iterar para encontrar la raíz más aproximada ≤ 0.01
Consideremos el intervalo [ a , b ]= [−1 , 0 ] donde se define nuestra función f
Se tiene que f (−1 )< 0 y =−0.7894085 y f (0 )=0.7894 085
Iteración 1:
a 1=a=−1→ f (a 1)=f ( a)=f (−1 )=−0.7894085
b 1=b=0 → f (b 1 )=f ( b)=f ( 0)=0.7894085
a1 +b1 −1+0
x 1= = =−0.5 → f ( x 1)=−0.1672030
2 2
Iteración 2:
a 2=x1 =−0.5 → f (a 2 )=−0.1672030
b 2=b1=0→ f (b 2)=0.7894085
a2 +b2 −0.5+0
x 2= = =−0.25 → f ( x2 )=0.2946668
2 2
Iteración 3:
a 3=a2=−0.5 → f (a 3 )=−0.1672030
b 3=x 2=−0.25 → f (b 3 )=0.2946668
−0.5+(−0.25)
x 3= =−0.375 → f ( x3 )=0.0573774
2
Iteración 4:
a 4=a3=−0.5 → f ( a 4 )=−0.1672030
b 4=x 3=−0.375→ f (b 4 )=0.0573774
−0.5+(−0.375)
x4 = =−0.4375 → f ( x 4 )=−0.0568161
2
Iteración 5:
a 5=x 4=−0.4375→ f (a 5)=−0.0568161
b 5=b 4=−0.375 → f ( b 5)=0.0573774
−0.4375+(−0.375)
x 5= =−0.40625→ f ( x5 )=−0.0001537
2
Iteración 6:
a 6=x 5=−0.40625 → f ( a 6)=−0.0001537
b 6=b5 =−0.375 → f (b 6 )=0.0573774
−040625+(−0.375)
x 6= =−0.396625 → f ( x6 )=0.0174770
2
Error = |x 6−x 5|=|−0.396625−(−0.40625)|=0.0096250
Podemos observamos que después de 6 iteraciones, la solución aproximada es

x 6=−0.396625 Con una exactitud de 0.01; el cual está bien próximo a la solución exacta.
Respuesta: el valor de la incógnita h = 0.396625 por lo tanto el abrevadero estará lleno 0.603375 de
profundidad.
EJERCICIO 17. Un abrevadero de longitud L tiene una sección transversal en forma de semicírculo
con radio r (véase la figura anexa) Cuando se llena de agua hasta una distancia h de la parte
superior, el volumen V de agua es
1
[
V =L 0.5 π r 2−r 2 arcsen
h
()
r
−h ( r 2−h2 ) 2
]
Suponga queL=10 pies ,r =1 pie , y que V =12.4 pies3 . Determine la profundidad del agua en el
abrevadero hasta 0.01pies
SOLUCIÓN:
Plantearemos una ecuación en función de “h” sabiendo que:
L=10 pies ,r =1 pie , V =12.4 pies3
12.4=10 [ 0.5 π −sen−1 (h)−h(1−h 2)1 /2 ]
f ( h )=12.4−10 [ 0.5 π −sen−1 (h)−h(1−h 2)1 /2 ]
Obtenemos una aproximación de la raíz de f(h) mediante el método de bisección donde:

Precisión = 0.01; intervalo =[ 0,1 ] en este rango se encuentra la raíz
prof .=r−h=1−h≠de donde podemos obtener : H= ( a+b2 )

 Método de bisección:
1 ¿ si f ( a)∗f (b)<0 en cada contrario no hay raiz

a) sea H= ( a+b2 )
b) sib−c ≤0.01 ; aceptar h comola raíz y terminar lasiteraciones
c) si f (b)∗f (h) ≤ 0 ; entonces a=h. por el contrario b=c
APLICANDO EL MÉTODO DE LA BISECCIÓN
ITERACIÓN a B a+b f(h) b-h¿0.01

H= ( )
2
1 0 1 0.5 6.258 0.5
2 0 0.5 0.25 1.6394 0.25
3 0 0.25 0.125 -0.814 0.125
4 0.125 0.25 0.1875 0.42 0.0625
5 0.125 0.1875 0.156 0.196 0.0315
6 0.156 0.1875 0.1718825 0.113 0.015625
7 0.156 0.152 0.164063 -0.0414 0.0079
En la iteración 7 obtenemos: H ≈ 0.164063; por lo tanto, la profundidad será:
Prof . 1−0.164063 Prof .0.836 pies
EJERCICIO 18 (BAUTISTA C JESUS)
Una partícula parte de reposo sobre un plano inclinado uniforme cuyo ángulo ɵ cambia con una

 0
rapidez de t , al final de t segundos la posición del objeto esta dada por
g et  e t
x(t )   *(  sen(t ))
2 2 , suponga que la partícula se desplazó 1.7 pies en 1 segundo.
la rapidez ω con la que ɵ cambia. Suponga g  32.17 pies/ s .

−5 2
Encuentre con una exactitud de 10
Reemplazando:
32.17 e (1)  e  (1)

1.7   (  sen  (1))
2 2 2
32.17 e  e
f ( )   (  sen  )  1.7
2 2 2
Iteración 01
a1  a  0.31
f (a1 )  f ( 0.31)  0.0378651
b1  b  0.32
f (b1 )  f ( 0.32)  0.0157548
a1  b1 ( 0.31)  (0.32)
1    0.315
2 2
f (1 )  f (0.315)  0.0110552
Iteración 02
a2  1  0.315
f (a2 )  0.011055
b2  b1  0.32
f (b2 )  0.01575
2  0.3175
f (2 )  0.00234
Iteración 03
a3  a2  0.315
f (a3 )  0.011055
b3  2  0.3175
f (b3 )  0.0023498
3  0.31625
f (3 )  0.00435272
Iteración 09
a9  a8  0.31703125
f (a9 )  0.0000589472
b9  8  0.317070313
f (b9 )  0.00004578318
9  0.317050781
f (9 )  0.000059
Iteración 10
a10  9  0.317050781
f (a10 )  0.000006582
b10  b9  0.317070313
f (b10 )  0.00004578318
10  0.317060547
f (10 )  0.00000658233
Iteración 11
a11  10  0.317060547

b11  b10  0.317070313
11  0.31706543
ERROR
0.31706543  0.317060547  10 5
EJERCICIO 18. Una partícula parte del reposo sobre un plano inclinado uniforme, cuyo Angulo 𝞱
dθ
cambia con una rapidez constante de =ω <0.
dt
Al final de t segundos, la posición del objeto esta dado por:
−g eωt −e−ωt
x ( t )= (
2 ω2 2
−sen ωt )
Suponga que la partícula se desplazó 1.7 pies en 1s. encuentre, con una exactitud de 10−5 , la rapidez
ω con la que 𝞱 cambia. Suponga que g = 32.17 pies/ s2.
Solución
−g eωt −e−ωt
Datos iniciales: x ( t )=
2ω2 ( 2 )
−sen ωt , t=1 seg , g=32.17 pies /Seg2
−−32.17 eω (1) −e−ω(1)

Sustituyendo: 1.7=
2ω 2 (2
−sen ω( 1) )
−−32.17 e ω−e−ω
f w=
( )
2 ω2 2 ( −sen ω −1.7 )
Luego graficamos la función f ( w ), se puede observar que hay una raíz en el intervalo [-0.31, -0.32],
−−32.17 e(−0.31) −e−(−0.31)

Evaluando: f (−0.31 )=
2(−0.31)2 ( 2 )
−sen(−0.31) −1.7
f ( 0.31 ) =−0.0378651
−−32.17 e(−0.32) −e−(−0.32)

f (−0.32 )=
2(−0.32)2 ( 2 )
−sen(−0.32) −1.7
f ( 0.32 ) =0.0157548
Se cumple el teorema de Bolzano, pues. f (−0.31 )∗f (−0.32 )< 0
ITERACIÓN 1:
a 1=¿ a=−0.31 → f (a )=f (−0.31)=−0.0378651 ¿
1
b 1=¿ b=−0.32 → f (b )=f (−0.32)=0.0157548 ¿

1
a1 +b1 (−0.31 )+(−0.32)

ω 1= → =−0.315
2 2
f ( ω1 )=f (−0.315 )=−0.0110552
ITERACIÓN 2:
a 2=¿ b =−0.32 → f (a )=f (−0.32)=0.0157548 ¿
1 2
b 2=¿ ω =−0.315→ f ( b )= f (−0.315 )=−0.0110552¿

1 2
a2 +b2 (−0.32 )+(−0.315)

ω 2= → =−0.3175
2 2
f ( ω2 )=f (−0.3175 )=0.0023498
ITERACIÓN 3:
a 3=¿ b =−0.315 → f (a )=f (−0.315)=−0.0110552¿
2 3
b 3=¿ ω =−0.3175→ f ( b )= f (−0.315 )=0.0157548 ¿

2 3
a3 +b3 (−0.315 ) +(−0.3175)

ω 3= → =−0.31625
2 2
f ( ω3 ) =f (−0.31625 ) =−0.0043527
ITERACIÓN 4:
a 4=¿b =−0.3175→ f ( a )= f (−0.3175 )=0.0157548 ¿
3 4
b 4=¿ω =−0.31625 → f (b )=f (−0.31625 )=−0.0043527 ¿

3 4
a 4 +b 4 (−0.3175 )+(−0.31625)
ω 4= → =−0.3168750
2 2
f ( ω4 )=f (−0.3168750 )=−0.0010015
ITERACIÓN 5:
a 5=¿ a =−0.3175 → f (a )=f (−0.3175 )=0.0157548 ¿
4 5
b 5=¿ ω =−0.3168750 → f ( b )=f (−0.3168750 )=−0.0010015¿

4 5
a5 +b5 (−0.3175 ) +(−0.3168750)

ω 5= → =−0.3171875
2 2
f ( ω5 ) =f (−0.3171875 ) =0.0006741
ITERACIÓN 6:
a 6=¿b =−0.3168750 → f ( a )=f (−0.3168750 )=−0.0010015¿
5 6
b 6=¿ω =−0.3171875 → f (b )=f (−0.3171875)=0.0006741 ¿

5 6
a6 +b 6 (−0.3168750 ) +(−0.3171875)
ω 6= → =−0.3170313
2 2
f ( ω6 ) =f (−0.3170313 ) =−0.0001637
ITERACIÓN 7:
a 7=¿b =−0.3171875 → f ( a )=f (− 0.3171875 )=0.0006741 ¿
6 7
b 7=¿ω =−0.3170313 → f (b )=f (−0.3170313)=−0.0001637¿

6 7
a7 +b 7 (−0.3171875 ) +(−0.3170313)
ω 7= → =−0.3171094
2 2
f ( ω7 ) =f (−0.3171094 )=0.0002552
ITERACIÓN 8:
a 8=¿b =−0.3170313 → f ( a )=f (−0.3170313 )=−0.0001637 ¿
7 8
b 8=¿ω =−0.3171094 → f ( b )=f (− 0.3171094 )=0.0002552¿

7 8
a8 +b 8 (−0.3170313 ) +(−0.3171094)
ω 8= → =−0.3170703
2 2
f ( ω8 ) =f (−0.3170703 ) =0.0000458
ITERACIÓN 9:
a 9=¿a =−0.3170313 → f ( a )=f (−0.3170313 )=−0.0001637 ¿
8 9
b 9=¿ω =−0.3170703 → f (b )=f (−0.3170703)=0.0000458 ¿

8 9
a9 +b 9 (−0.3170313 ) +(−0.3170703)
ω 9= → =−0.3170508
2 2
f ( ω9 ) =f (−0.3170508 ) =−0.0000589
ITERACIÓN 10:
a 10=¿ b =−0.3170703 → f (a
9 10 )=f ( −0.3170703) =0.0000458 ¿
b 10=¿ ω =−0.3170508 →f (b
9 10 )=f ( −0.3170508) =−0.0000589 ¿
a10+ b10 (−0.3170703 ) +(−0.3170508)

ω 10= → =−0.3170605
2 2
f ( ω9 ) =f (−0.3170605 ) =−0.0000066
Error :0.0000458−0.0000589<10−5
La rapidez con la que 𝞱 cambia es = −0.3170605 pies/s

EJERCICIOS 2.2
EJERCICIO 1. Use el manejo algebraico para demostrar que las siguientes funciones tienen un punto
fijo en p exactamente cuándo𝒇(𝒑) = 𝟎, donde 𝒇(𝒙)= 𝒙4 + 𝟐𝒙2−𝒙−𝟑.
a ). x 4  2 x 2  x  3  0
x 4  2 x 2  x  3
1
2 4
x = (3+x-2x )
1
g1 ( x)  (3+x-2x ) 2 4
Solución
a) hallamos el intervalo de confianza.
X ϵ [0,- 1] y x ϵ [1,1.5]
b) Hallamos el punto medio
en el intervalo X ϵ [0,-
1]
−1+0
x 0= =−0.5
2
d 1−4∗x 3
g x =(
( ) )∗¿
dx 2 4
d
c) Remplazamos el punto medio del intervalo de confianza en g ( x ) , aquel que cumpla lo
dx 2
d
siguiente −1 ≤ g ( x ) ≤ 1 será apto para iteración
dx 2
1−4∗−0.53
-1≤ ( )∗¿ ≤1
4
-1≤ 0.3396≤1 si es apto para la iteración
d) iteramos. x n=¿ g2 ( x n−1 )
n=1: x 1=g ( x 0 )=¿
n=2: x 2=g ( x 1 )=¿
Error=1.1442505-1.1039701= 0.04028042
n=3: x 3=g ( x 2 )=¿
Error=1.1022613−1.1442505=¿-0.04198927
n=4: x 4 =g ( x 3 ) =¿
Error=1.1458807−1.1022613=¿0.04361944
 Observamos que es convergente
a) Hallamos el punto medio para el intervalo x ϵ [1,1.5]
1+ 1.5
x n=g(x n−1 ), xϵ[1,1.5], x 0= =1.25
2
d 1−4∗x 3
g x =(
( ) )∗¿
dx 2 4
d
b) Remplazamos el punto medio del intervalo de confianza en g ( x ) , aquel que cumpla lo
dx 2
d
siguiente −1 ≤ g ( x ) ≤ 1 será apto para iteración
dx 2
1−4∗1.253
-1≤ ( )∗¿ ≤1
4
-1≤ -1.7909811≤1 no es apto para la iteración
1. Use el manejo algebraico para demostrar que la siguiente función tiene punto fijo en p
exactamente cuando f(p) = 0, donde f(x) = x 2 +2x 2  x  3.
1/2
 x3 
c. g 3 ( x )   2 
 x 2
Primero
se halla el punto medio del intervalo x  [0;-1]

1  0
x0   0.5
2
d x2  6x  2
g3 ( x)  
dx 2 x  3 ( x 2  2)3/ 2
Re emplazando en :
x2  6 x  2
1   1
2 x  3 ( x 2  2)3/ 2
0.52  6( 0.5)  2
1   1
2 (0.5)  3 ( 0.5) 2  2) 3/ 2
1  0.44506  1
... Se puede iterar
Comenzando iteraciones
xn  g 2 ( xn 1 )
Para n:
0.5  3 1/ 2
=1 x1  g ( x0 )  (
)  1.05409
0.52  2
E  1.14154  1.05409  0.08745
1.05409  3 1/ 2
=2 x2  g ( x1 )  ( )  1.14154
1.054092  2
E  1.11975  1.14154  0.02179
1.14154  3 1/ 2
=3 x3  g ( x2 )  ( )  1.11975
1.141542  2
E  1.12522  1.11975  0.00547
1.11975  3 1/ 2
=4 x4  g ( x3 )  ( )  1.12522
1.119752  2
hacia el punto fijo.
*Se observa que converge
EJERCICIO 1 d.
d) f ( x )=x 4 + 2 x 2−x−3=0 4 x 4 +4 x 2−x −3=0+ 3 x 4 + 2 x 24 x 4 +4 x 2−x =3 x 4 + 2 x 2 +3

x ( 4 x 3 +4 x −1 )=3 x 4 +2 x 2+3
3 x 4 +2 x 2+3
x=
( 4 x3 + 4 x−1 )
3 x 4 + 2 x 2+ 3
x=g 4 ( x )=
( 4 x 3+ 4 x−1 )
3 x 4 +2 x 2+ 3
g4 x =
( )
( 4 x3 + 4 x−1 )
EJERCICIO 2. . Efectué cuatro iteraciones, si es posible hacerlo en las funciones g definidas en el

ejercicio 1 f ( x )=x 4 + 2 x 2-x-3 tal P0=1 y Pn+ 1=g ( Pn), para n=0,1,2,3
a)
x 4 +2 x 2−x−3=0
0=-( x 4 +2 x 2−x−3 )
x=x−x 4 −2 x 2 + x +3
g1 ( x ) =x−x 4−2 x 2+ x+3
b) x 4 =3+ x−2 x2
x 2 . x 2=3+ x−2 x 2
1
3 1 2
x=( + −2)
x2 2
1
3
(
g2 ( x ) =
x2
−1.5 ) 2
c) 2 x2 =−x 4 + x+ 3
2 −x 4 x 3
x= + +
2 2 2
−x 4 x 3 12
x=( + + )
2 2 2
−x 4 x 3 12
g3 ( x ) =( + + )
2 2 2
d) x=x 4 +2 x 2−3
g4 ( x )=x 4 +2 x 2−3
a) g1 ( x ) =x−x 4−2 x 2+ x+3
n=0 g1 ( x ) =g 1=4
n=1 g1 ( x1 ) =¿-87
n=2 g1 ( x2 ) =¿-57304896
n=3 g1 ( x3 ) =¿-63246398563
Observamos que hay una divergencia de modo que no existe punto fijo en g1.
b)
1
3
g2 ( x ) =( x2
−1.5 ) 2
n=0 g2 ( x ) =g 1=1.22474
n=1 g2 ( x1 ) =¿0.707111
n=2 g2 ( x 2) =¿2.12134
n=3 g2 ( x3 ) =¿6.36254
Observamos que hay una divergencia de modo que no existe punto de g2
−x 4 x 3 12
c) g3 ( x ) =( + + )
2 2 2
n=0 g3 ( x ) =1.22474
n=1 g3 ( x 1) =¿0.99367
n=2 g3 ( x 2) =¿1.2747
n=3 g3 ( x 3 )=¿4.3246
d) g4 ( x )=x 4 +2 x 2−3
n=0 g4 ( x )=g1 =−4
n=1 g4 ( x 1 )=¿221
n=2 g4 ( x 2 )=¿-97429
n=3 g4 ( x 3 ) =¿2385435596
EJERCICIO 2 b. Efectué cuatro iteraciones, si es posible hacerlo, en las funciones g definidas en el

ejercicio 1. Sea Po=1 y Pn+1=g(pn) para n=0, 1, 2, 3.
¿Cuál función, a su juicio, dará la mejor aproximación a la solución?
SOLUCIÓN
1
a) g ( x ) =(3+ x−2 x 2) 4
1
Para:
n=0 → p0 =1
n=1→ p1=g1 ( p0 )=1.18920712
n=2→ p2=g1 ( p1 )=1.08005775
n=3 → p3=g 1 ( p2 ) =1.14967143
x+ 3−x 4 12
b)g2 ( x ) =( )
2
Para:
n=0 → p0 =1
n=1→ p1=g2 ( p0 )=1.22474487
n=2→ p2=g2 ( p1 )=0.999361975
n=3 → p3=g 2 ( p2 ) =1.22513502
x +3 12
c)g3 x =( 2 )
( )
x +2
Para:
n=0 → p0 =1
n=1→ p1=g3 ( p0 )=1.15470054
n=2→ p2=g3 ( p1 )=1.11642742
n=3 → p3=g 3 ( p2 ) =1.12605223
3 x 4 +2 x 2 +3
d) g4 ( x )=
4 x 3 +4 x −1
Para:
n=0 → p0 =1
n=1→ p1=g 4 ( p 0) =1.14285714
n=2→ p2=g 4 ( p 1) =1.12448169
n=3 → p3=g 4 ( p2 )=1.12428734

La función que nos brinda la mejor aproximación para la solución es la función d (g 4) ya que las tres
iteraciones tienen semejanza hasta 3 decimales y si seguimos iterando se tendrá una solución más
exacta.
EJERCICIO 3. Se proponen los 3 métodos siguientes para calcular 211/3 Clasifíquelos por orden,
basándose para ello en la rapidez de convergencia y suponiendo que
a)
p0=1.
20 pn−1+ 21/P 2n−1

P n=
21
Para “n” =1
20 p 0+ 21/ P 20 20∗1+21/12
P 1= ¿ =1.9523810
21 21
Para “n” =2
20 p 1+ 21/P21 20∗1.9523810+21/1.95238102
P 2= ¿ =2.1217543
21 21
Para “n” =3
20 p 2+ 21/P 22 20∗2.1217543+21 /2.12175432

P 3= ¿ =2.2428497
21 21
Para “n” =4
20 p3 +21/ P23 20∗2.2428497+ 21/2.2428497 2

P4 = ¿ =2.3348397
21 21
Para “n” =5
20 p 4 +21/ P24 20∗2.3348397+ 21/2.3348397 2

P 5= ¿ =2.4070934
21 21
Para “n” =6
20 p5 +21/ P25 20∗2.4070934 +21/2.40709342

P 6= ¿ =2.4650593
21 21
Para “n” =7
20 p6 +21/ P26 20∗2.4650593+21 /2.46505932

P 7= ¿ =2.5122435
21 21
Para “n” =8
20 p7 +21/ P27 20∗2.5122435+21 /2.51224352

P 8= ¿ =2.5510571
21 21
Para “n” =9
20 p8 +21/ P28 20∗2.5510571+21/2.55105712

P 9= ¿ =2.5832378
21 21
Para “n” =10
20 p 9+ 21/P 29 20∗2.5832378+21 /2.58323782

P10= ¿ =2.6100814
21 21
Para “n” =11
20 p10 +21/ P210 20∗2.6100814 +21/2.61008142

P11 = ¿ =2.6325803
21 21
Para “n” =12
20 p11 + 21/P 211 20∗2.6325803+21 /2.63258032

P12= ¿ =2.6515095
21 21
Para “n” =13
20 p 12+21/ P212 20∗2.6515095+21 /2.65150952

P13= ¿ =2.6674845
21 21
Para “n” =14
20 p 13 + 21/P213 20∗2.6674845+21 /2.66748452

P14= ¿ =2.6810002
21 21
Para “n” =15
20 p 14+ 21/P214 20∗2.6810002+21/2.68100022

P15= ¿ =2.6924589
21 21
Para “n” =16
20 p 15 +21 /P215 20∗2.6924589+21/2.69245892

P16= ¿ =2.7021902
21 21
Para “n” =17
20 p 16+ 21/P216 20∗2.7021902+21/2.70219022

P17= ¿ =2.7104665
21 21
Para “n” =18
20 p 17 +21 /P217 20∗2.7104665+21 /2.71046652
P18= ¿ =2.7175135
21 21
Para “n” =19
20 p 18+21/ P218 20∗2.7175135+21 /2.71751352

P19= ¿ =2.7235199
21 21
Para “n” =20
20 p 19+21 /P219 20∗2.7235199+21/2.72351992

P20= ¿ =2.7286437
21 21
Para “n” =21
20 p 20+21/ P220 20∗2.7286437+ 21/2.7286437 2

P21= ¿ =2.7330177
21 21
Para “n” =22
20 p 21+21/ P221 20∗2.7330177+ 21/2.7330177 2

P22= ¿ =2.7367538
21 21
Para “n” =23
20 p 22+21/ P222 20∗2.7367538+21 /2.73675382

P23= ¿ =2.7399467
21 21
Para “n” =24
20 p23+ 21/P223 20∗2.7399467+ 21/2.7399467 2

P24= ¿ =2.7426766
21 21
Para “n” =25
20 p 24+ 21/ P224 20∗2.7426766+ 21/2.7426766 2

P25= ¿ =2.7450115
21 21
Para “n” =26
20 p 25 +21 /P225 20∗2.7450115 +21/2.74501152

P26= ¿ =2.7470091
21 21
Para “n” =27
20 p 26+ 21/P226 20∗2.7470091+21/2.74700912

P27= ¿ =2.7487186
21 21
Para “n” =28
20 p 27 + 21/P227 20∗2.7487186+ 21/2.7487186 2
P28= ¿ =2.7501820
21 21
EJERCICIO 3 b. Se proponen los 3 métodos siguientes para calcular 211/3. Clasifíquelos por orden,
basándose para ello en la rapidez de convergencia y suponiendo que P0=1.
Solución:
P3n−1−21
Pn=P n−1 − 2
3 Pn−1
P0=1
 Para: n=1
P30 −21 13−21

P1=P0 − ⟹ P1=1− =7.6666667
3 P20 3∗12
 Para: n=2
P31−21 7.673−21
P2=P1− 2 ⟹ P2=7.67− =5.2302038
3 P1 3∗7.672
 Para: n=3
P32−21 5.23 3−21

P3=P2 − ⟹ P3=5.23− =3.7426970
3 P22 3∗5.23 2
 Para: n=4
P33−21 3.74 3−21

P4 =P3− 2 ⟹ P4 =3.74− =2.9948536
3 P3 3∗3.74 2
 Para: n=5
P34 −21 2.993−21

P5=P 4− ⟹ P5=2.99− =2.7770222
3 P24 3∗2.992
 Para: n=6
P35 −21 2.783−21

P6=P5 − 2 ⟹ P6=2.78− =2.7590419
3 P5 3∗2.782
 Para: n=7
P36−21 2.763−21
P7=P6 − ⟹ P7=2.76− =2.7589242
3 P26 3∗2.762
√3 21=2.7589242
A B C D
n=1 1.9523810 7.6666667 0 4.5825757 El orden de la
n=2 2.1217543 5.2302038 0 2.1406951 rigidez
n=3 2.2428497 3.7426970 3.1320756 descendente
n=4 2.3348397 2.9948536 2.5893665 de la
n=5 2.4070934 2.7770222 2.8478223 convergencia
n=6 2.4650593 2.7590419 2.7155212 es (b), (d), (a);
n=7 2.5122435 2.7589242 2.7808851 la sucesión en
n=8 2.5510571 2.7480088 (c) no
n=9 2.5832378 2.7643981 converge.
n = 10 2.6100815 2.7561913
n = 11 2.6325803 2.7602916
n = 12 2.6515095 2.7582407 EJERCICIO 3c.
n = 13 2.6674845 Se proponen
n = 14 2.6810002 los 3 métodos
n = 15 2.6924589 siguientes
n = 16 2.7021903 para calcular
n = 17 2.7104665
n = 18 2.7175135 211 /3.
n = 19 2.7235199 Clasifíquelos
n = 20 2.7286437 por orden,
basándose
para ello en la rapidez de convergencia y suponiendo que P0=1
Pn−14 −21 P n−1

Pn=P n−1 −
Pn−1−21
P0=1
Para n =1
Pn−14−21 P1−1
P1=P1−1−
P1−1−21
P04 −21 P 0
P1=P0 −
P0−21
P1=0
Para n =2
P2−14−21 P2−1
P2=P2−1−
P2−1−21
P14 −21 P1
P2=P1−
P 1−21
P1=0
EJERCICIO 3 d. Se suponen los tres métodos siguientes para calcular 2 11/ 3. Clasifíquelos por orden,
basándose para ello en la rapidez de convergencia y suponiendo que P0=1
21 12
Pn=( )
P n−1
P0=1
 Para :n=1
P1=¿
P1=¿
 Para :n=2
P2=¿
P2=¿
 Para :n=3
P3=¿
P3=¿
 Para :n=4
P4 =¿
P4 =¿
 Para :n=5
P5=¿
P5=¿
 Para :n=6
P6=¿
P6=¿
 Para :n=7
P7=¿
P7=¿
 Para :n=8
P8=¿
P8=¿
 Para :n=9
P9=¿
P9=¿
 Para :n=10
P10=¿
P10=¿
El orden de la rigidez descendente de la convergencia es (b), (d), (a), la sucesión (c) no converge.
1
EJERCICIO 4. Los cuatro siguientes métodos tienen por objetivo calcular 7 5 , clasifíquelos por orden,
tomando como base su rapidez de convergencia y suponiendo que p0=1
a)
1
7− p3n −1
(
pn= 1+
p 2n−1 ) 2
Solución
p0=1
Para n=1
1
7− p30 7−13 2
1
(
p1= 1+
p20 ) 2
(
→ p1= 1+ 2
1 ) =2.64575513
Para n=2
1
7− p31 1
7−( 2.64575513 )3 2
(
p2= 1+
p21 ) 2
(
→ p2= 1+
( 2.64575513 )2 ) =∄ R
b)
p5n−1−7
pn= p n−1 − 2
pn−1
Solución
p0=1
Para n=1
p50 −7 15−7
p1= p0 − 2 → p 1=1− 2 =7
p0 1
Para n=2
p51−7 75 −7
p2= p1− 2 → p 2=7− 2 =−335.857
p1 7
Para n=3
p52 −7 5
(−335.857 ) −7
p3= p2 − 2 → p 3=−335.857− =−37884980.08
p2 (−335.857 )2
Para n=4
p53−7 5
(−37884980.08 ) −7
p4 = p3− 2 → p 4=−37884980.08− =∄ R
p3 (−37884980.08 )2
C)
p5n−1−7
pn= p n−1 −
5 p6n−1
Solución
p0=1
Para n=1
p50 −7 15−7
p1 = p0 − → p 1 =1− =2.2
5 p60 5∗16
Para n=2
p51−7 2.25−7
p2 = p1 − → p 2 =2.2− =2.121
5 p61 5∗2.26
Para n=3 → p3=2.042
Paran=4 → p4 =1.963
Paran=5 → p5=1.886
Paran=6 → p6=1.811
Paran=7 → p7=1.717
Paran=8 → p8=1.655
Paran=9 → p9=1.602
Paran=10 → p10=1.560
Paran=11 → p11 =1.529
Paran=12 → p12=1.508
Paran=13 → p13=1.494
Paran=14 → p14=1.486
Paran=15 → p15=1.481
Paran=16 → p16=1.479
D)
p5n−1−7
pn= p n−1 −
12
Solución
p0=1
Para n=1
p50 −7 15−7
p1 = p0 − → p 1=1− =1.5
12 12
Para n=2
p51−7 1.55−7
p2 = p1 − → p 2=1.5− =1.451
12 12
1
El orden de rigidez de convergencia es descendente C; D y A;B no convergen para 7 5 ,
1
EJERCICIO 4b. Los cuatro siguientes métodos tienen por objetivo calcular 7 5 , clasifíquelos por orden,
tomando como base su rapidez de convergencia y suponiendo que:
po = 1,
p 5n−1−7
B). pn = pn−1 - 2
p n−1
p 5n−1−7
pn= pn−1 - 2 2.2
p n−1
p0=1
Para ‘n’=1
p 50−7 15−7
p1 = p 0 - = 1 - =7
p 20 12
Para ‘n’=2
p 51−7 75−7
p 2 = p1 - =7- = - 341.85
p 21 72
Para ‘n’ = 3
p 52−7 −341.855−7
p 3 = p2 - = -341.85 - = ∄R
p 22 −341.852
Nos damos cuenta que estamos llegando a una respuesta absurda en donde es difícil de calcular
EJERCICIO 4 c. Los cuatro siguientes métodos tienen por objetivo calcular 71 /5 . Clasifíquelos por
orden tomando como base su rapidez de convergencia y suponiendo que P0 = 1.
SOLUCION
Primero calculamos el resultado de 71 /5= 1.475773162
Con Po =1 los resultados se enumeran para el tercer método de cálculo.
n= 1
P 50−7
P1=Po -
5 P4o
Sustituyendo 1 en PO en la ecuación para obtener P1.
15−7
P1=1 - 4
5(1)
P1= 2.2
Sustituyendo 2.2 por P1 en la ecuación para obtener P2.
(2.2)5−7
P2=2.2 -
5 (2.2)4
P2 = 1.819763677
(1.819763677)5−7
P3 =1.819763677 -
5 (1.819763677) 4
P3 = 1.5834 74829
Sustituyendo 1.5834 74829 por P3 en la ecuación para obtener P4.
(1.5834 74829)5−7
P4 =1.5834 74829 -
5 (1.5834 74829) 4
P4 = 1 .489460973
(1.489460973)5−7
P5 =1.489460973-
5 (1.489460973)4
P5 = 1 .4 76022436
(1.476022436)5−7
P6 =1.476022436 -
5 (1.476022436) 4
P6 = 1.475773245
(1.475773245)5−7
P7 =1.475773245 -
5 (1.475773245)4
P7 = 1.475773161
La solución real es aproximadamente 1.475773161 es el resultado que más se aproxima a 71 /5 =
1.475773162.
EJERCICIO 4 d. Los cuatro siguientes métodos tienen por objeto calcular 71 ∕ 5. Clasifíquelos por
orden, tomando como base su rapidez de convergencia y suponiendo que p0=1.
p5n−1−7
d. pn= p n−1 −
12
p5n−1−7
pn= p n−1 −
12
p0=1
Para n=1
p50 −7
p1= p0 −
12
1−7
p1=1−
12
p1=1,5
Para n=2
p51−7
p2 = p1 −
12
( 1,5 )5 −7
p2=1,5−
12
p2=1,45052083
Para n=3
p52 −7
p3= p2 −
12
1,45052083−7
p3=1,45052083−
12
P3=1,49874966
Para n=4
p53−7
p4 = p3 −
12
1,49874966−7
p4 =1,49874966−
12
p4 =1,45190353
Para n=5
p54 −7
p5 = p 4 −
12
1,45190353−7
p5=1,45190353−
12
p5=¿ 1,49757707
Para n=6
p55 −7
p6 = p 5 −
12
1,49757707−7
p6=1,49757707−
12
p6=1,45319228

Para n=7
p 56−7
p7 = p 6 −
12
1,45319228−7
p7=1,45319228−
12
p7=1 , 49 647537
Para determinar el orden de la convergencia, calculamos los demás enunciados en Excel:

n a b c
1 343 7 2.2
2 -2.25393E+25 -335.8571429 1.81976368
3 -3.3838E+253 37884356.711 1.58347483
4 #NUM! -5.43726E+22 1.48946097
5 #NUM! 1.607457E+68 1.47602244
6 #NUM! #NUM! 1.47577325
7 #NUM! #NUM! 1.47577316
Si tenemos que 71 ∕ 5=1 , 47577316
El orden es:
c d b a
Ejercicio 5: Aplique el método del punto fijo para determinar una solución con una exactitud de 10−2
para x 4 −3 x 2−3=0 en [ 1; 2 ]. Utilice P0=1.
Solución
4 2
f =[ 1 ;2 ] → R , f ( x )=x −3 x −3 , x ∈ [ 1; 2 ]
Con una exactitud de 10−2 lacual seriaigual a 0.01 y con un valor inicial
P0=x 0 =1.
Existen varias formas para convertirla en forma x=g( x ) mediante un simple manejo algebraico
a) x 4 −3 x 2−3=0
0=−(x 4 −3 x 2−3)
x=x−( x 4−3 x 2−3)
x=x−( x 4−3 x 2−3)

g1 (x)=x−x 4 +3 x 2 +3 ¿
b) x 2∗x 2=3 x 2+3
x 2=3+3 x−2
1
−2 2
x=( 3+ 3 x )
1
g2 (x)=( 3+ 3 x −2 ) 2
c) −3 x 2=3−x 4
2 x4
x =−1+
3
1
x4
x= −1
3 ( ) 2
1
x4
g3 (x)= ( 3
−1 ) 2
d) x 4 −3 x 2=3
x 2 ( x 2−3 )=3
3
x 2= 2
x −3
1
3
x= ( 2
x −3 ) 2
1
3
g4 (x) = ( 2
x −3 ) 2
e) x 4 −3 x 2−3=0
0=−(x 4 −3 x 2−3)
0 x 4 −3 x2 −3
=−( )
4 x 3−6 x 4 x 3−6 x
x 4 −3 x 2−3
0=−( )
4 x3 −6 x
x 4 −3 x 2−3
x=x−( )
4 x 3−6 x
x 4−3 x 2−3
g5 (x)=x−( )
4 x 3−6 x
f) x 4 −3 x 2−3=0
0=−(x 4 −3 x 2−3)
x=x−( x 4−3 x 2−3)
x=x−( x 4−3 x 2−3)
g1 (x)=x−x 4 +3 x 2 +3 ¿
g) x 2∗x 2=3 x 2+3
x 2=3+3 x−2
1
−2 2
x=( 3+ 3 x )
1
g2 (x)=( 3+ 3 x −2 ) 2
h) −3 x 2=3−x 4
2 x4
x =−1+
3
1
x4
x= ( 3
−1) 2
1
x4
g3 (x)=
3 (−1 ) 2
i) x 4 −3 x 2=3
x 2 ( x 2−3 )=3
3
x 2= 2
x −3
1
3
x= ( 2
x −3 ) 2
1
3
g4 (x) = ( 2
x −3 ) 2
j) x 4 −3 x 2−3=0
0=−(x 4 −3 x 2−3)
0 x 4 −3 x2 −3
=−( )
4 x 3−6 x 4 x 3−6 x
x 4 −3 x 2−3
0=−( )
4 x3 −6 x
x 4 −3 x 2−3
x=x−( )
4 x 3−6 x
x 4−3 x 2−3
g5 (x)=x−( )
4 x 3−6 x
k) x 4 −3 x 2−3=0
0=−(x 4 −3 x 2−3)
x=x−( x 4−3 x 2−3)
x=x−( x 4−3 x 2−3)

g1 (x)=x−x 4 +3 x 2 +3 ¿
l) x 2∗x 2=3 x 2+3
x 2=3+3 x−2
1
−2 2
x=( 3+ 3 x )
1
g2 (x)=( 3+ 3 x −2 ) 2
m) −3 x 2=3−x 4
2 x4
x =−1+
3
1
x4
x= −1
3 ( ) 2
1
x4
g3 (x)= ( 3
−1 ) 2
n) x 4 −3 x 2=3
x 2 ( x 2−3 )=3
3
x 2= 2
x −3
1
3
x= ( 2
x −3 ) 2
1
3
g4 (x) = ( 2
x −3 ) 2
o) x 4 −3 x 2−3=0
0=−(x 4 −3 x 2−3)
0 x 4 −3 x2 −3
=−( )
4 x 3−6 x 4 x 3−6 x
x 4 −3 x 2−3
0=−( )
4 x3 −6 x
x 4 −3 x 2−3
x=x−( )
4 x 3−6 x
x 4−3 x 2−3
g5 (x)=x−( )
4 x 3−6 x
p) x 4 −3 x 2−3=0
0=−(x 4 −3 x 2−3)
x=x−( x 4−3 x 2−3)
x=x−( x 4−3 x 2−3)
g1 (x)=x−x 4 +3 x 2 +3 ¿
q) x 2∗x 2=3 x 2+3
x 2=3+3 x−2
1
−2 2
x=( 3+ 3 x )
1
g2 (x)=( 3+ 3 x −2 ) 2
r) −3 x 2=3−x 4
2 x4
x =−1+
3
1
x4
x= ( 3
−1) 2
1
x4
g3 (x)=
3 (−1 ) 2
s) x 4 −3 x 2=3
x 2 ( x 2−3 )=3
3
x 2= 2
x −3
1
3
x= ( 2
x −3 ) 2
1
3
g4 (x) = ( 2
x −3 ) 2
t) x 4 −3 x 2−3=0
0=−(x 4 −3 x 2−3)
0 x 4 −3 x2 −3
=−( )
4 x 3−6 x 4 x 3−6 x
x 4 −3 x 2−3
0=−( )
4 x3 −6 x
x 4 −3 x 2−3
x=x−( )
4 x 3−6 x
x 4−3 x 2−3
g5 (x)=x−( )
4 x 3−6 x
u) x 4 −3 x 2−3=0
0=−(x 4 −3 x 2−3)
x=x−( x 4−3 x 2−3)
x=x−( x 4−3 x 2−3)

g1 (x)=x−x 4 +3 x 2 +3 ¿
v) x 2∗x 2=3 x 2+3
x 2=3+3 x−2
1
−2 2
x=( 3+ 3 x )
1
g2 (x)=( 3+ 3 x −2 ) 2
w) −3 x 2=3−x 4
2 x4
x =−1+
3
1
x4
x= −1
3 ( ) 2
1
x4
g3 (x)= ( 3
−1 ) 2
x) x 4 −3 x 2=3
x 2 ( x 2−3 )=3
3
x 2= 2
x −3
1
3
x= ( 2
x −3 ) 2
1
3
g4 (x) = ( 2
x −3 ) 2
y) x 4 −3 x 2−3=0
0=−(x 4 −3 x 2−3)
0 x 4 −3 x2 −3
=−( )
4 x 3−6 x 4 x 3−6 x
x 4 −3 x 2−3
0=−( )
4 x3 −6 x
x 4 −3 x 2−3
x=x−( )
4 x 3−6 x
x 4−3 x 2−3
g5 (x)=x−( )
4 x 3−6 x
z) x 4 −3 x 2−3=0
0=−(x 4 −3 x 2−3)
x=x−( x 4−3 x 2−3)
x=x−( x 4−3 x 2−3)
g1 (x)=x−x 4 +3 x 2 +3 ¿
aa) x 2∗x 2=3 x 2+3
x 2=3+3 x−2
1
−2 2
x=( 3+ 3 x )
1
−2 2
g2 (x)=( 3+ 3 x )
bb) −3 x 2=3−x 4
2 x4
x =−1+
3
1
x4
x= −1
3 ( ) 2
1
x4
g3 (x)= ( 3
−1 ) 2
cc) x 4 −3 x 2=3
x 2 ( x 2−3 )=3
3
x 2= 2
x −3
1
3
x= ( 2
x −3 ) 2
1
3
g4 (x) = ( 2
x −3 ) 2
dd) x 4 −3 x 2−3=0
0=−(x 4 −3 x 2−3)
0 x 4 −3 x2 −3
=−( )
4 x 3−6 x 4 x 3−6 x
x 4 −3 x 2−3
0=−( )
4 x3 −6 x
x 4 −3 x 2−3
x=x−( )
4 x 3−6 x
x 4−3 x 2−3
g5 (x)=x−( )
4 x 3−6 x
ee) x 4 −3 x 2−3=0
0=−(x 4 −3 x 2−3)
x=x−( x 4−3 x 2−3)
x=x−( x 4−3 x 2−3)
g1 (x)=x−x 4 +3 x 2 +3 ¿
ff) x 2∗x 2=3 x 2+3

x 2=3+3 x−2
1
−2 2
x=( 3+ 3 x )
1
g2 (x)=( 3+ 3 x −2 ) 2
gg) −3 x 2=3−x 4
2 x4
x =−1+
3
1
x4
x= ( 3
−1 ) 2
1
x4
g3 (x)=
3 (−1 ) 2
hh) x 4 −3 x 2=3
x 2 ( x 2−3 )=3
3
x 2= 2
x −3
1
3
x= ( 2
x −3 ) 2
1
3
g4 (x) = ( 2
x −3 ) 2
ii) x 4 −3 x 2−3=0
0=−(x 4 −3 x 2−3)
0 x 4 −3 x2 −3
=−( )
4 x 3−6 x 4 x 3−6 x
x 4 −3 x 2−3
0=−( )
4 x3 −6 x
x 4 −3 x 2−3
x=x−( )
4 x 3−6 x
x 4−3 x 2−3
g5 (x)=x−( )
4 x 3−6 x
jj) x 4 −3 x 2−3=0
0=−(x 4 −3 x 2−3)
x=x−( x 4−3 x 2−3)
x=x−( x 4−3 x 2−3)
g1 (x)=x−x 4 +3 x 2 +3 ¿
kk) x 2∗x 2=3 x 2+3
x 2=3+3 x−2
1
−2 2
x=( 3+ 3 x )
1
−2 2
g2 (x)=( 3+ 3 x )
ll) −3 x 2=3−x 4
2 x4
x =−1+
3
1
x4
x= −1
3 ( ) 2
1
x4
g3 (x)= ( 3
−1 ) 2
mm) x 4 −3 x 2=3
x 2 ( x 2−3 )=3
3
x 2= 2
x −3
1
3
x= 2(
x −3 ) 2
1
3
g4 (x) = ( 2
x −3 ) 2
nn) x 4 −3 x 2−3=0
0=−(x 4 −3 x 2−3)
0 x 4 −3 x2 −3
=−( )
4 x 3−6 x 4 x 3−6 x
x 4 −3 x 2−3
0=−( )
4 x3 −6 x
x 4 −3 x 2−3
x=x−( )
4 x 3−6 x
x 4−3 x 2−3
g5 (x)=x−( )
4 x 3−6 x
oo) x 4 −3 x 2−3=0
0=−(x 4 −3 x 2−3)
x=x−( x 4−3 x 2−3)
x=x−( x 4−3 x 2−3)
g1 (x)=x−x 4 +3 x 2 +3 ¿
pp) x 2∗x 2=3 x 2+3
x 2=3+3 x−2
1
−2 2
x=( 3+ 3 x )
1
g2 (x)=( 3+ 3 x −2 ) 2
qq) −3 x 2=3−x 4
2 x4
x =−1+
3
1
x4
x= ( 3
−1 ) 2
1
x4
g3 (x)=
3 (−1 ) 2
rr) x 4 −3 x 2=3
x 2 ( x 2−3 )=3
3
x 2= 2
x −3
1
3
x= ( 2
x −3 ) 2
1
3
g4 (x) = ( 2
x −3 ) 2
ss) x 4 −3 x 2−3=0
0=−(x 4 −3 x 2−3)
0 x 4 −3 x2 −3
=−( )
4 x 3−6 x 4 x 3−6 x
x 4 −3 x 2−3
0=−( )
4 x3 −6 x
x 4 −3 x 2−3
x=x−( )
4 x 3−6 x
x 4−3 x 2−3
g5 (x)=x−( )
4 x 3−6 x
tt) x 4 −3 x 2−3=0
0=−(x 4 −3 x 2−3)
x=x−( x 4−3 x 2−3)
x=x−( x 4−3 x 2−3)
g1 (x)=x−x 4 +3 x 2 +3 ¿
uu) x 2∗x 2=3 x 2+3
x 2=3+3 x−2
1
−2 2
x=( 3+ 3 x )
1
−2 2
g2 (x)=( 3+ 3 x )
vv) −3 x 2=3−x 4
2 x4
x =−1+
3
1
x4
x= −1
3 ( ) 2
1
x4
g3 (x)= ( 3
−1 ) 2
ww) x 4 −3 x 2=3
x 2 ( x 2−3 )=3
3
x 2= 2
x −3
1
3
x= ( 2
x −3 ) 2
1
3
g4 (x) = ( 2
x −3 ) 2
xx) x 4 −3 x 2−3=0
0=−(x 4 −3 x 2−3)
0 x 4 −3 x2 −3
=−( )
4 x 3−6 x 4 x 3−6 x
x 4 −3 x 2−3
0=−( )
4 x3 −6 x
x 4 −3 x 2−3
x=x−( )
4 x 3−6 x
g5 (x)=x−¿
yy) x 4 −3 x 2−3=0
4 2
0=−(x −3 x −3)
x=x−( x 4−3 x 2−3)
x=x−( x 4−3 x 2−3)
g1 (x)=x−x 4 +3 x 2 +3 ¿
zz) x 2∗x 2=3 x 2+3
x 2=3+3 x−2
1
−2 2
x=( 3+ 3 x )
1
−2 2
g2 (x)=( 3+ 3 x )
aaa) −3 x 2=3−x 4
2 x4
x =−1+
3
1
x4
x= ( 3
−1 ) 2
1
x4
g3 (x)=
3
−1( ) 2
bbb) x 4 −3 x 2=3
x 2 ( x 2−3 )=3
3
x 2= 2
x −3
1
3
x= ( 2
x −3 ) 2
1
3
g4 (x) = ( 2
x −3 ) 2
ccc) x 4 −3 x 2−3=0
0=−(x 4 −3 x 2−3)
0 x 4 −3 x2 −3
=−( )
4 x 3−6 x 4 x 3−6 x
x 4 −3 x 2−3
0=−( )
4 x3 −6 x
x 4 −3 x 2−3
x=x−( )
4 x 3−6 x
x 4−3 x 2−3
g5 (x)=x−( )
4 x 3−6 x
ddd) x 4 −3 x 2−3=0
0=−(x 4 −3 x 2−3)
x=x−( x 4−3 x 2−3)
x=x−( x 4−3 x 2−3)
g1 (x)=x−x 4 +3 x 2 +3 ¿
eee) x 2∗x 2=3 x 2+3
x 2=3+3 x−2
1
−2 2
x=( 3+ 3 x )
1
g2 (x)=( 3+ 3 x −2 ) 2
fff) −3 x 2=3−x 4
2 x4
x =−1+
3
1
x4
x= −1
3 ( ) 2
1
x4
g3 (x)=
3 (
−1 ) 2
ggg) x 4 −3 x 2=3
x 2 ( x 2−3 )=3
3
x 2= 2
x −3
1
3
x= ( 2
x −3 ) 2
1
3
g4 (x) = ( 2
x −3 ) 2
hhh) x 4 −3 x 2−3=0
0=−(x 4 −3 x 2−3)
0 x 4 −3 x2 −3
=−( )
4 x 3−6 x 4 x 3−6 x
x 4 −3 x 2−3
0=−( )
4 x3 −6 x
x 4 −3 x 2−3
x=x−( )
4 x 3−6 x
x 4−3 x 2−3
g5 (x)=x−( )
4 x 3−6 x
iii) x 4 −3 x 2−3=0
0=−(x 4 −3 x 2−3)
x=x−( x 4−3 x 2−3)
x=x−( x 4−3 x 2−3)
g1 (x)=x−x 4 +3 x 2 +3 ¿
jjj) x 2∗x 2=3 x 2+3
x 2=3+3 x−2
1
−2 2
x=( 3+ 3 x )
1
−2 2
g2 (x)=( 3+ 3 x )
kkk) −3 x 2=3−x 4
2 x4
x =−1+
3
1
x4
x= ( 3
−1 ) 2
1
x4
g3 (x)=
3 (
−1 ) 2
lll) x 4 −3 x 2=3
x 2 ( x 2−3 )=3
3
x 2= 2
x −3
1
3
x= ( 2
x −3 ) 2
1
3
g4 (x) = ( 2
x −3 ) 2
mmm) x 4 −3 x 2−3=0
0=−(x 4 −3 x 2−3)
0 x 4 −3 x2 −3
=−( )
4 x 3−6 x 4 x 3−6 x
x 4 −3 x 2−3
0=−( )
4 x3 −6 x
x 4 −3 x 2−3
x=x−( )
4 x 3−6 x
g5 (x)=x−¿
nnn) x 4 −3 x 2−3=0
0=−(x 4 −3 x 2−3)
x=x−( x 4−3 x 2−3)
x=x−( x 4−3 x 2−3)
g1 (x)=x−x 4 +3 x 2 +3 ¿
ooo) x 2∗x 2=3 x 2+3
x 2=3+3 x−2
1
−2 2
x=( 3+ 3 x )
1
−2 2
g2 (x)=( 3+ 3 x )
ppp) −3 x 2=3−x 4
2 x4
x =−1+
3
1
x4
x= −1
3 ( ) 2
1
x4
g3 (x)= ( 3
−1 ) 2
qqq) x 4 −3 x 2=3
x 2 ( x 2−3 )=3
3
x 2= 2
x −3
1
3
x= ( 2
x −3 ) 2
1
3
g4 (x) = ( 2
x −3 ) 2
rrr) x 4 −3 x 2−3=0
0=−(x 4 −3 x 2−3)
0 x 4 −3 x2 −3
=−( )
4 x 3−6 x 4 x 3−6 x
x 4 −3 x 2−3
0=−( )
4 x3 −6 x
x 4 −3 x 2−3
x=x−( )
4 x 3−6 x
x 4−3 x 2−3
g5 (x)=x−( )
4 x 3−6 x
sss) x 4 −3 x 2−3=0
0=−(x 4 −3 x 2−3)
x=x−( x 4−3 x 2−3)
x=x−( x 4−3 x 2−3)
g1 (x)=x−x 4 +3 x 2 +3 ¿
ttt) x 2∗x 2=3 x 2+3
x 2=3+3 x−2
1
−2 2
x=( 3+ 3 x )
1
g2 (x)=( 3+ 3 x −2 ) 2
uuu) −3 x 2=3−x 4
2 x4
x =−1+
3
1
x4
x= ( 3
−1 ) 2
1
x4
g3 (x)=
3
−1( ) 2
vvv) x 4 −3 x 2=3
x 2 ( x 2−3 )=3
3
x 2= 2
x −3
1
3
x= ( 2
x −3 ) 2
1
3
g4 (x) = ( 2
x −3 ) 2
www) x 4 −3 x 2−3=0
0=−(x 4 −3 x 2−3)
0 x 4 −3 x2 −3
=−( )
4 x 3−6 x 4 x 3−6 x
x 4 −3 x 2−3
0=−( )
4 x3 −6 x
x 4 −3 x 2−3
x=x−( )
4 x 3−6 x
x 4−3 x 2−3
g5 (x)=x−( )
4 x 3−6 x
xxx) x 4 −3 x 2−3=0
0=−(x 4 −3 x 2−3)
x=x−( x 4−3 x 2−3)
x=x−( x 4−3 x 2−3)
g1 (x)=x−x 4 +3 x 2 +3 ¿
yyy) x 2∗x 2=3 x 2+3
x 2=3+3 x−2
1
−2 2
x=( 3+ 3 x )
1
−2 2
g2 (x)=( 3+ 3 x )
zzz) −3 x 2=3−x 4
2 x4
x =−1+
3
1
x4
x= −1
3 ( ) 2
1
x4
g3 (x)= ( 3
−1 ) 2
aaaa) x 4 −3 x 2=3
x 2 ( x 2−3 )=3
3
x 2= 2
x −3
1
3
x= 2(
x −3 ) 2
1
3
g4 (x) = ( 2
x −3 ) 2
bbbb) x 4 −3 x 2−3=0
0=−(x 4 −3 x 2−3)
0 x 4 −3 x2 −3
=−( )
4 x 3−6 x 4 x 3−6 x
x 4 −3 x 2−3
0=−( )
4 x3 −6 x
x 4 −3 x 2−3
x=x−( )
4 x 3−6 x
x 4−3 x 2−3
g5 (x)=x−( )
4 x 3−6 x
cccc) x 4 −3 x 2−3=0
0=−(x 4 −3 x 2−3)
x=x−( x 4−3 x 2−3)
x=x−( x 4−3 x 2−3)
g1 (x)=x−x 4 +3 x 2 +3 ¿
dddd) x 2∗x 2=3 x 2+3
x 2=3+3 x−2
1
−2 2
x=( 3+ 3 x )
1
−2 2
g2 (x)=( 3+ 3 x )
eeee) −3 x 2=3−x 4
2 x4
x =−1+
3
1
x4
x= −1
3 ( ) 2
1
x4
g3 (x)= ( 3
−1 ) 2
ffff) x 4 −3 x 2=3
x 2 ( x 2−3 )=3
3
x 2= 2
x −3
1
3
x= ( 2
x −3 ) 2
1
3
(
g4 (x) = 2
x −3 ) 2
gggg) x 4 −3 x 2−3=0
0=−(x 4 −3 x 2−3)
0 x 4 −3 x2 −3
=−( )
4 x 3−6 x 4 x 3−6 x
x 4 −3 x 2−3
0=−( )
4 x3 −6 x
x 4 −3 x 2−3
x=x−( )
4 x 3−6 x
x 4−3 x 2−3
g5 (x)=x−( )
4 x 3−6 x
Ahora procedemos a itinerar cada función obtenida
x n=g ( x n−1 ); n ≥1; f ( x )=x 4−3 x 2−3 , x ∈ [ 1; 2 ]
P0=x 0 =1
4 2
a) g1 (x)=x−x +3 x +3 ¿
n=1: x 1=g1 ( x 0 )=g1 ( 1 )=6
n=2: x 2=g 1 ( x 1 )=g1 ( 6 )=−1179
n=3 : x3 =g 1 ( x 2 ) =g 1 (−1179 )=−1.9322∗10 12
Observamos que hay una divergencia de modo que no existe un punto fijo de
g1 (x)=x−x 4 +3 x 2 +3 ¿ En el intervalo [ 1; 2 ]
1
b) g =( 3+ 3 x −2 ) 2 P0=x 0 =1
2 (x)
n=1: x 1=g2 ( x 0 )=g 2 ( 1 )=2.4494897
n=2: x 2=g 2 ( x 1 )=g2 ( 2.4494897 )=1.8708287
n=3 : x3 =g 2 ( x 2 ) =g 2 ( 1.8708287 ) =1.9639610
n=4 : x 4 =g2 ( x3 ) =g2 ( 1.9639610 )=1.9436506
n=5 : x5 =g 2 ( x 4 )=g2 ( 1.9436506 )=1.9478495
n=6 : x 6=g2 ( x5 ) =g2 (1.9478495 )=1.9469714
n=7 : x7 =g2 ( x6 ) =g2 (1.9469714 )=1.9471546
n=8 : x 8=g2 ( x7 ) =g2 (1.9471546 )=1.9471164
n=9 : x 9=g1 ( x 8) =g2 ( 1.9471164 ) =1.9471243

n=10 : x10=g 2 ( x 9 )=g 2 ( 1.9471243 )=1.9471227
n=11 : x11 =g2 ( x 10) =g2 (1.9471227 )=1.9471230
n=12: x 12=g2 ( x 11 )=g 2 ( 1.9471230 )=1.9471230
Se obtiene la raíz exacta r = 1.9471230 de la función f ( x)
1
x4
c) g3 (x)=(3
−1 ) 2
P0=x 0 =1
n=1: x 1=g3 ( x 0 )=g 3 ( 1 )=no existe en R
1
3
(
d) g4 (x) = 2
x −3 ) 2
P0=x 0 =1
n=1: x 1=g 4 ( x0 ) =g4 ( 1 )=no existe en R
Como podemos observar las funciones g3 (x) y g4 (x) , no se obtiene nada; por lo que es imposible
determinar un punto fijo de estas funciones en el intervalo [ 1; 2 ]
x 4−3 x 2−3
e) g5 (x)=x−( )
4 x 3−6 x
n=1: x 1=g5 ( x 0 )=g 5 ( 1 )=−1.5
n=2: x 2=g 5 ( x 1 )=g5 (−1.5 ) =−2.5416667
n=3 : x3 =g 5 ( x 2 ) =g 5 (−2.5416667 )=−2.1579011
n=4 : x 4 =g5 ( x 3 )=g5 (−2.1579011 )=−1.9840868
n=5 : x5 =g 5 ( x 4 )=g5 (−1.9840868 )=−1.9490293
n=6 : x 6=g5 ( x 5 )=g5 (−1.9490293 )=−1.9471270
Se observa que en g5 (x) todos los valores que se obtienen se aproximan al punto fijo de la función en
el eje negativo f ( x) por lo que no se podría calcular un punto fijo en el intervalo [ 1; 2 ]

Respuesta: como nos piden el puto fijo con una exactitud de 10−2 =0.01 entonces esta se encuentra
de la siguiente forma: x 5−x 4 =1.9478495−1.9436506=0.0041989 la cual es menor a la que nos
piden, dicho punto fijo se encuentra en el x 5=1.9478495
EJERCICIO 6: Aplique el método de interacción de punto fijo para determinar una solución exacta
dentro de10−2 para x 3-x-1=0 en [ 1; 2 ] utilice p0=1
Solución:
 f =[ 1 ;2 ] → R ; f ( x )= x3 -x-1=0 ; Xϵ [ 1 ; 2 ]
 Con exactitud de 10−2 que es igual a 0.01 y con valor inicial a p0=x 0 =1
Existen varias formas para convertirla en forma x=g( x ) mediante un simple manejo algebraico
f =[ 1 ;2 ] → R , F ( X )=X 3 −X−1=0 ; X ϵ [ 1; 2 ]
a) x 3−x−1=0
0=−( x 3−x−1 )
x=x−x 3 + x +1
x=2 x−x 3+ 1
g1 ( x ) =2 x −x 3+1
b) x 3−x−1=0
x . x 2=x +1
x+1
x= 2
x
x +1
g2 (x )=
x2
c) x 3−x−1=0
x 3−x=1
x ( x 2−1 )=1
1
x= 2
x +1
1
g3 ( x ) = 2
x +1
d) x 3−x−1=0
x 3=x +1
1
x=( x+1)3
1
3
g4 ( x )=(x+1)
e) x 3−x−1=0
0=−(x 3−x −1)
0 x3 −x−1
=−( )
3 x 2−1 3 x2 −1
x 3−x−1
0=− (
3 x 2−1 )
x 3 −x−1
x=x− (
3 x2−1 )
x 3−x−1
g5 ( x ) =x− ( 3 x 2−1 )
Ahora comenzamos a remplazar en cada función obtenida teniendo en cuenta
p0=x 0 =1 luego procedemos a generar una secuencia de puntos.
g x n=g ( x n−1) ; n ≥1; f ( x )=x 3−x−1 , x ∈ [ 1 ; 2 ]
a) g1 ( x ) =2 x −x 3+1
n=1: x 1=g ( x )=g1 ( 1 )=2

1 0
n=2: x 2=g1 ( x1 ) =−3
Rpt. observamos que hay una divergencia de modo, de modo no hay un punto fijo en g1 ( x ) en [ 1; 2 ]
x +1
b) g2 ( x ) = en [ 1; 2 ] cando p0=1
x2
n=1 x 1=g2 ( x 0) =2
n=2 x 2=g2 ( x1 ) =0.75
Rta. observamos que hay una divergencia de modo que no existe un punto fijo en [ 1; 2 ]
1
c) g3 ( x ) = 2 en [ 1; 2 ] ; p0=1
x +1
N=1 x 1=g3 ( x 0 )=0.5
Concluimos que no hay punto fijo en la funcion g3 ( x ) en[ 1; 2 ]
1
d) g ( x )=(x+1) 3 en [ 1; 2 ] ; p0=1
4
n=1 x 1=g4 ( x 0 ) =1.25992010
n=2 x 2=g4 ( x 1 )=1.3122937
n=3 x 3=g4 ( x 2 )=1.3221509
n=4 x 4 =g 4 ( x 3 )=1.3242302
n=5 x 5=g4 ( x 4 )=1.3246253
n=6 x 6=g 4 ( x 5 ) =1.3247004

n=7 x 7=g 4 ( x 6 ) =1.3247146
n=8 x 8=g 4 ( x 7 ) =1.3247173
n=9 x 9=g 4 ( x 8 ) =1.3247178
n=10 x 10=g4 ( x 9 )=1.3247180
n=11 x 11=g 4 ( x10 ) =1.3247180
Se obtiene la raíz exacta r = 1. 3247180 de la función F ( X )=X 3 −X−1=0 ; X ϵ [ 1; 2 ]
x 3−x−1
e) g5 ( x ) =x−( 3 x 2−1 )
n=1: x 1=g5 ( x 0 )=g ( 1 )=1.5
n=2: x 2=g5 ( x 1) =1.3478261
n=3: x 3=g5 ( x 2 )=1.3252004
n=4: x 4 =g 5 ( x 3 ) =1.3247190
n=5: x 5=g5 ( x 4 ) =1.3247180
n=6: x 6=g5 ( x 5 )=1.3247180
Se observa que en g5 (x) y g4 (x) todos los valores que se obtienen se aproximan a la raíz exacta de
r =1.3247180
Respuesta: como nos piden el puto fijo con una exactitud de 10−2 =0.01 entonces esta se encuentra
de la siguiente forma: |x 4 −x3| ¿ 1.3247190−1.3252004=0.0040104 la cual es menor a la que nos
piden, dicho punto fijo se encuentra en el : x 4 =g 5 ( x 3 ) =1.3247190

x
g ( x)    0.5sin  
EJERCICIO 7. Aplique el teorema 2.2 para demostrar que  2  tiene un único punto
fijo en
 0, 2  . Use la iteración de punto fijo para obtener una aproximación al punto fijo con una
exactitud de 10-2 Use el corolario 2.4 para estimar la exactitud de iteraciones necesarias para lograr
una exactitud de 10-4 luego compare esta estimación teórica con la cantidad que realmente se
requiere.
Solución:
A. Utilizamos el Teorema 2.2
 x
g ( x)    0.5sin  
 2  Es continua en  0, 2 
x
g , ( x)  0.25 cos  
 2  Existe en el intervalo  0, 2 
g , ( x)  0 Cunado x  
1
g (0)  g (2 )    g ( x )  g ( )    0.5 y g , ( x) 
Para que 4 = k cuando
0  x  2
Dado que existe una sola raíz implica que el punto fijo existe en
 0, 2 
1
k 
Cuando 4 y x0   tenemos que
x1    0.5
B. Utilizamos iteración en punto fijo.
 x
g ( x)    0.5sin  
 2  Tómanos x0  
Nos pide el ejercicio con un erro de 0.001
Para n = 1 y
x0  
x1  g ( x0 )
x1    0.5sin(0.5 )  x1  3.641593
Para n = 2
x1  3.641593
x2  g ( x1 )
x2    0.5sin(0.5*3.641593)  x2  3.626049
Para n = 3
x2  3.626049
x3  g ( x2 )
x3    0.5sin(0.5*3.626049)  x3  3.626996
x3  x2  3.626996  3.626049  0.000947

Error
C. use el corolario 2.5
n
kn 21
xn  x  x1  x0   
1 k 34
Para tener un erro de 0.0001 n tomara el valor de  4
Entonces el
x4  3.626939 con un erro de = 0.000057
1
EJERCICIO 8. Aplique el teorema 2.2para demostrar que g(x)=2-x, tiene un punto fijo en [ , 1]. Utilice
3
la iteración de punto fijo para obtener una aproximación del punto fijo exacto 10-4, use el colorario
2.4 para estimar las iteraciones necesarias para alcanzar una exactitud 10-4 y luego compare esta
estimación teórica con la cantidad que realmente se necesita.
1
Notamos que la función g(x) si es continua en el intervalo [ , 1]
3
Ahora consideramos g(x)=2-x
cuando x1=1/3
g(x1) =2-x1 =0.7937005
cuando x2=1
g(x2) =2-x2=0.5
1
vemos que x1 y x2, si se encuentran en el intervalo [ , 1]
3
ahora probamos la condición de la derivada.
|g(x)´|=| -2-xln2|=2-xln2
1
Cuando x= , 2-xln2= 0.5501513 y cuando x= 1, 2-xln2=0.3465736
3
Notamos que |g(x)´|<= 0.5501513<=1. K=0.5501513
1
Concluimos que g(x) si tiene un punto fijo en el intervalo en [ , 1 ¿
3
Calculamos la aproximación de g(x) con una aproximación de 10 -4

n=1: x1=g1(x0) =g1(1) =2-x =2-1 =0.5000000
n=2: x2=g2(x1 ) =g2(0.5000000) =2-x =2-0.5000000=0.7071068 error= |x2-x1|=0.207107
n=3: x3=g2(x2) =g3(0.7071068) =2-x =2-0.7071068 =0.6125473 error= |x3-x2|=0.094559
n=4: x4=g4(x) =g4(0.6125473 ) =2-x =2- 0.6125473 =0.6540409 error= |x4-n3|= 0.041494
n=5: x5=g5(x) =g5(0.6540409) =2-x =2-0.6540409 =0.6354978 error= |x5-x4|= 0.018543
n=6: x6=g6(x) =g6(0.6354978) =2-x =2-0.6354978 =0.6437186 error= |x6-x5|= 0.008221
n=7: x7=g7(x) =g7(0.6437186) =2-x =2-0.6437186 =0.6400610 error= |x7-x6|= 0.003658
n=8: x=g8(x) =g8(0.6400610) =2-x =2-0.6400610 =0.6416858 error= |x8-x7|= 0.001625
n=9: x=g9(x) =g90.6416858 () =2-x =2-0.6416858 =0.6409635 error= |x9-x8|= 0.000722
n=10: x=g10(x) =g10(0.6409635) =2-x =2-0.6409635 =0.6412845 error= |x10-x9|= 0.000321
n=11: x=g11(x) =g11(0.6412845) =2-x =2-0.6412845 =0.6411419 error= |x11-x10|= 0.000143
n=12: x=g12(x) =g12(0.6411419) =2-x =2-0.6411419 =0.6412053 error= |x12-11|= 0.000063
I x error
0 1.000000
1 0.5000000 0.500000
2 0.7071068 0.207107
3 0.6125473 0.094559
4 0.6540409 0.041494
5 0.6354978 0.018543
6 0.6437186 0.008221
7 0.6400610 0.003658
8 0.6416858 0.001625
9 0.6409635 0.000722
10 0.6412845 0.000321
11 0.6411419 0.000143
12 0.6412053 0.000063
La aproximación es: 0.6412053 con un error de: 0.000063
Calculamos las iteraciones necesarias para alcanzar una exactitud de 10 -4 utilizando la siguiente
fórmula. Tomamos k=0.5501513
lg ( 0.0001 )
|xn-x|<=kn =0.0001<=0.5501513n =lg0.0001<=lg0.5501513n = <=n
lg ( 0.5501513 )
15.41319759<=n
Se necesita como mínimo 16 iteraciones.
EJERCICIO 9. Aplique el un método de iteración de punto fijo para obtener una aproximación a con
una exactitud de .Compare su resultado con el número de interacciones que requiere la
respuesta obtenida en el ejercicio 10 de la sección 2.1.
f (x)  x 2  3
x2  3  0
x2  3  x2  x2
2x2  x2  3
x2 3
2x  
x x
3
2x  x 
x
1 3
x  (x  )
2 x
entonces
1 3
g ( x)  x  ( x  )
2 x
x0  1
Para n=1:
x1  g ( x0 )  g(1)
1 3
x1  (1  )
2 1
x1  2
Para n=2:
x2  g ( x1 )  g (2)
1 3
x2  (2  )
2 2
x 2  1.75
Para n=3:
x3  g ( x2 )
1 3
x3  (1.75  )
2 1.75
x 3  1.732143
Para n=4:
x4  g ( x3 )
1 3
x4  (1.732143  )
2 1.732143
x4  1.732051
x4  1.732051 es un aproximado de y a diferencia del ejercicio 10 de la sección 2.1 solo se

realizó 4 iteraciones con el método de punto fijo con respecto a las 14 realizadas con el método de
bisección.
EJERCICIO 10). Use un método de iteración de punto fijo para obtener una aproximación a √3 25
con una exactitud de 10-4.
Aplicando en la definición de punto fijo.
FUNCION = f ( x )= √3 25
Definimos una funcióng ( x ) con punto fijo en X

g ( x )=x−f ( x )
 x−√3 25=0
 0=√3 25
 x 3=25
 x=√3 25
5
 x= x 0=2.5
√x
Para n=1
x n=g ( x n−1 ) ; n≥ 1
5
x 0=¿ g ( x 0 )=g ( 2.5 )= =3.162277660
√ 2.5
Error: |3.162277660−2.5|=0.6622776601>0.0001
Para n=2
5
x 2=¿ g ( x 1 )=g ( 3.162277601 )= =2.811706625
√3.162277601
Error: |2.811706625 .−3.162277660|=0.35057103> 0.0001
Para n=3
5
x 3=¿ g ( x 2 )=g ( 2.811706625 ) = =2.981844572
√ 2.811706625
Error: |2.981844572−2.811706625|=0.170137947>0.0001
Para n=4
5
x 4 =¿ g ( x 3 )=g ( 2.981844572 )= =2.89552622
√ 2.981844572
Error: |2.895526228−2.981844572|=0.086318343>0.0001
Para n=5
5
x 5=¿ g ( x 4 ) =g ( 2.895526228 ) = =2.938368453
√ 2.895526228
Error: |2.938368453−2.893740342|=0.044628111>0.0001
Para n=6
5
x 6=¿ g ( x 5 )=g ( 2.938368453 )= =2.916868685
√ 2.938368453
Error: |2.916868685−2.938368453|=0.021499767> 0.0001
Para n=7
5
x 7=¿ g ( x 6 )=g ( 2.916868685 )= =2.927598833
√ 2.916868685
Error: |2.927598833−2.916868685|=0.010730147> 0.0001
Para n=8
5
x 8=¿ g ( x 7 )=g ( 2.927598833 )= =2.922228834
√ 2.927598833
Error: |2.922228834−2.927598833|=0.00536999>0.0001
Para n=9
5
x 9=¿ g ( x 8 )=g ( 2.922228834 ) = =2.924912601
√ 2.922228834
Error: |2.924912601−2.922228834|=0.00268376>0.0001
Para n=10
5
x 10=¿ g ( x 9 )=g ( 2.924912601 )= =2.923570409
√ 2.924912601
Error: |2.923570409−2.924912601|=0.001342191>0.0001
Para n=11
5
x 11=¿ g ( x 10) =g ( 2.923570409 )= =2.924241428
√2.923570409
Error: |2.924241428−2.923570409|=0.000067101>0.0001
Para n=12
5
x 12=¿ g ( x 11 )=g ( 2.924241428 ) = =2.9239059
√ 2.924241428
Error: |2.9239059−2.924241428|=0.000033552>0.0001
Para n=13
5
x 13=¿ g ( x 12) =g ( 2.9239059 )= =2.924073659
√2.9239059
Error: |2.924073659−2.9239059|=0.000016775> 0.0001
Para n=14
5
x 14=¿ g ( x 13) =g ( 2.924073659 )= =2.923989778
√2.924073659
Error: |2.923989778−2.924073659|=0.000008388> 0.0001
Comparando el resultado con el ejercicio 10 de la sección 2.1
Nuestra aproximación con una exactitud de 10-4 lo obtenemos en la
Iteración número 14.
EJERCICIO 11a. En cada una de las siguientes ecuaciones, determine un intervalo de confianza [a, b]
en que converge la iteración de punto fijo. Estime la cantidad de iteraciones necesarias para obtener
aproximaciones con una exactitud de 10−5 y realice los cálculos.
2−e x + x 2
x=
3
2−e x + x 2
f ( x )= −x
3
Intervalo de confianza
2−e 0.2+ 0.22

f 0.2 =
( ) −0.2=0.07287
3
2−e0.4 + 0.42
f ( 0.4 )= −0.4=−0.17727
3
Ay cambio de signo entonces podemos
Decir que ay una raíz entre 0.2 y 0.4
Lo cual vendría a ser nuestro intervalo de confianza
x 0=10−5
Hallando g(x)
2−e x + x 2
0= −x
3
2−e x + x 2
x= −x+ x
3
2−e x + x 2
g ( x )=
3
Comprobando si converge
|g' (x 0)|<1
1
g' (x)= ¿)
3
Evaluando tenemos
|g' (x 0)|=0.3333<1
Desarrollo
n=1: x 1=g ( x 0 )=g ( 10−5 )=0.33333
n=2: x 2=g ( x 1 )=g ( 0.33333 )=0.23850
n=3 : x3 =g ( x2 ) =g ( 0.23850 )=0.26251
n=4 : x 4 =g ( x 3 )=g ( 0.26251 )=0.25624
n=5 : x5 =g ( x 4 )=g ( 0.25624 )=0.25787
n=6 : x 6=g ( x 5 )=g ( 0.25787 ) =0.25744
n=7 : x7 =g ( x 6 )=g ( 0.25744 )=0.25755

n=8 : x 8=g ( x 7 )=g ( 0.25755 )=0.25753
n=9 : x 9=g ( x 8 )=g ( 0.25753 )=0.25753
Raíz exacta =0.25753
EJERCICO 11 B. En la siguiente función determine un intervalo [a, b] en que convergerá la iteración de

punto fijo. Estime la cantidad de iteraciones necesarias para obtener unas aproximaciones con una
exactitud de 10-5 y realice los cálculos.
5 5
B) x= 2
+2 ≈ g ( x )= 2 + 2 ; X ɛ [ 1,5 ; 2,5 ] ; Error = 0,00001 ; x 0=2
x x
FORMULA : g ( x ) =g ( x n−1 ) ; n ≥1
N = 1 x 1=g ( x 0 )=g ( 2 )=3.25
N = 2 x 2=g ( x 1 )=g ( 3.25 )=2.4733728
Error = │ x 2−x 1│= │= │2.4733728 – 3.25│= 0.777 ≠ 0.00001
N = 3 x 3=g ( x 2 )=g ( 2.4733728 )=2.8173176
Error= │ x 3−x 2│= │2.817376 – 2.4733728│= 0.344 ≠ 0.00001
N=4 x 4 =g ( x 3 ) =g (2.8173176 )=2.6299388

Error = │ x 4 −x3 │= │2.6299388 – 2.8173176│= 0.187 ≠ 0.00001
N = 5 x 5=g ( x 4 ) =g (2.6299388 )=2.7229008
Error = │ x 5−x 4 │= │2.7229008 – 2.6299388│= 0.093 ≠ 0.00001
N = 6 x 6=g ( x 5 )=g ( 2.7229008 )=2.6743826
Error = │ x 6−x 5│= │2.6743826 – 2.7229008│= 0.049 ≠ 0.00001
N = 7 x 7=g ( x 6 )=g ( 2.6743826 ) =2.6990736
Error = │ x 7−x 6│= │2.6990736 – 2.6743826│= 0.0.025 ≠ 0.00001
N = 8 x 8=g ( x 7 )=g ( 2.6990736 ) =2.6863420
Error = │ x 8−x 7│= │2.6863420 – 2.6990736│= 0.013 ≠ 0.00001
N = 9 x 9=g ( x 8 )=g ( 2.6863420 ) =2.6928630
Error = │ x 9−x 8│= │2.6928630 – 2.6863420│= 0.007 ≠ 0.00001
N = 10 x 10=g ( x 9 )=g ( 2.6928630 )=2.6895115
Error = │ x 10−x 9│= │2.6895115 – 2.6928630│= 0.003 ≠ 0.00001
N = 11 x 11=g ( x 9 ) =g ( 2.6895115 )=2.6912310
Error = │ x 11−x 10│= │2.6912310 – 2.6895115│= 0.002 ≠ 0.00001
N = 12 x 12=g ( x11 )=g ( 2.6912310 )=2.6903480
Error = │ x 12−x11 │= │2.6903480 – 2.6912310│= 0.001 ≠ 0.00001
N = 13 x 13=g ( x12 ) =g ( 2.6903480 )=2.6908012
Error = │ x 13−x 12│= │2.6908012 – 2.6903480│= 0.0004532 ≠ 0.00001
N = 14 x 14=g ( x 13) =g ( 2.6908012 )=2.6905685
Error = │ x 14−x 13│= │2.6905685 – 2.6908012│= 0.0002327 ≠ 0.00001
N = 15 x 15=g ( x14 ) =g ( 2.6905685 )=2.6906880
Error = │ x 15−x 14│= │2.6906880 – 2.6905685│= 0.0001195 ≠ 0.00001
N = 16 x 16=g ( x 15) =g ( 2.6906880 )=2.6906266
Error = │ x 16−x 15│= │2.6906266 – 2.6906880│= 0.0002386 ≠ 0.00001
N = 17 x 17=g ( x 16) =g ( 2.6906266 )=2.6906582

Error = │ x 17−x 16│= │2.6906582 – 2.6906266│= 0.0000316 ≠ 0.00001
N = 18 x 18=g ( x 17) =g ( 2.6906582 )=2.6906503
Error = │ x 18−x 17│= │2.6906503 – 2.6906582│= 0.0000079 ≠ 0.00001
Por lo tanto, la raíz aproximada será. r≈ x18= 2,6906503.

Ejercicio 11c. En la siguiente ecuación, determine un intervalo [a, b] en la que convergerá la iteración
del punto fijo. Estime la cantidad necesarias de iteraciones para obtener aproximaciones con una
exactitud de 10−5 y realice los cálculos.
c). x=¿
Solución:
Teorema: sea g ∈C [ a , b] tal que g ( x ) ∈[a , b] para todo x en [a , b]
Además supongamos que existe g' en[a , b] y una constante 0< k <1 tal que
|g' ( x )|≤ k para todo x ∈(a ,b)

Entonces, para cualquier número x o en [a , b], la sucesión definida por
x n=g ( x n−1 ) , n ≥1 converge al único punto fijo x en [ a ,b ]
Por lo tanto:
g ( x )=¿ ∈[a , b] = [0 ,1]; porque elegimos esos puntos como posible intervalo seguimos viendo si
cumple:
Ahora seguimos viendo si cumple con el teorema.
Cuando x = 0 tenemos; ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Cuando x = 1 tenemos; ¿ ¿ ¿ ¿
Entonces: 0< ¿
' 1
Además: |g ( x )|= ¿
2
Ahora realizamos las iteraciones:
Vamos a decir que: x 0=0.5
Para n=1: x 1=g ( x 0 )=g ( 0.5 )=0.7413324
Para n=2: x 2=g ( x 1 )=0.8364070
Para n=3 : x3 =g ( x2 ) =0.8771277
Para n=4 : x 4 =g ( x 3 )=0.8951694
Para n=5 : x5 =g ( x 4 )=0.9032811
Para n=6 : x 6=g ( x 5 )=0.9069522
Para n=7 : x 8=g ( x 6 )=0.9086184
Para n=8 : x 8=g ( x 7 )=0.9093757

Para n=9 : x 9=g ( x 8 )=0.9097201
Para n=10 : x10=g ( x 9 ) =0.9098768
Para n=11 : x11 =g ( x 10 )=0.9099481
Para n=12: x 12=g ( x 11 )=0.9099805
Para n=13 : x13=g ( x 12 )=0.9099953
Para n=14 : x 14=g ( x 13) =0.9100020
Para n=15 : x15=g ( x 14 )=0.9100050
Para n=16 : x16 =g ( x15 ) =0.9100064
Para n=17 : x17 =g ( x16 ) =0.9100070
Para n=18 : x18=g ( x 17 )=0.9100073
 n=19: x 19=g ( x 18 )=0.9100075
n=20 : x20=g ( x 19 )=0.9100075
Concluimos que en 19 iteraciones podemos encontrar la raíz exacta que es 0.9100075; y el intervalo
que en el cual se encuentra sería [0, 1]
e x 12
g ( x )=( )
3
EJERCICIO 11d. En cada una de las siguientes ecuaciones, determine un intervalo { a , b } en que
convergerá las iteraciones de punto fijo estime la cantidad de iteraciones necesarias para obtener
aproximaciones con una exactitud de 10−5
x=5 x Error= 10−5 =0.00001

x n=g(x n−1 )
x 0=0
0=5 x −x
1
0= −x
5x
0=1−x ¿) -----------(5 x + x (5 x )ln 5)
1−x( 5x )
0= ……….¿
5 x + x (5x )ln 5
1−x (5 x )
x=x +
5 x (1+ x ln 5)
1−x (5x )
g( x )=x +
5 x (1+ x ln 5)
Para n =1
x 0=0
x 1=g( x 0 )
g ( x 0 )=g ( 0 ) =0+1−¿ ¿
g ( x 0 )=1
x 1=1
Para n =2
x 2=g( x 1)
g ( x 1 )=g ( 1 )=1+1−¿ ¿
g ( x 1 )=0.6934206
x 2=0.6934206
Para n =3
x 3=g( x 2 )
g ( x 2 )=0.6934206+1−¿ ¿
g ( x 2 )=0.5205275
x 3=0.5205275
Para n =4
x 4 =g (x 3)
g ( x 3 )=0.5205275+1−¿ ¿
g ( x 3 )=0.4727261
x 4 =0.4727261
Para n =5
x 5=g( x 4 )
g ( x 4 ) =0.4727261+ 1−¿ ¿
g ¿) =0.4696341
x 5=0.4696341
Para n =6
x 6=g( x 5 )
g ( x 5 )=0.4696341+1−¿¿
g ( x 5 )=0.4696219
x 6=0.4696219
Para n =7
x 7=g(x 6 )
g ( x 6 )=0.4696219+1−¿ ¿
g ( x 6 )=0.4696219
x 6=0.4696219
x 7=x 6=0.4696219
La raíz aproximada de la ecuación es x 7=0.4696219
Está en intervalo [ 0 ; 0.7 ]

EJERCICIO 11e. x=6−x
Error=10−5 =0.00001
x n=g ( x n )
x 0=0
x=6−x
1
0= −x
6− x
0=1−x 6− x … … . … . ( ÷ x 6 x + x 6−x ln 6 )
1−x 6− x
0= … ….(+ x)
6 x + x 6 x ln 6
1−x 6−x
g( x )=x +
6 x (1+ln 6)
Para n=1
x 0=0
x 1=g( x 0 )
1−(0)6(−0 )
g ( x 0 )=g ( 0 ) =(0)+
6(0 ) (1+(0) ln 6)
g ( x 0 )=1
x 1=1
Para n=2
x 2=g ( x 1 )
1−(1)6(−1)
g ( x 1 )=g ( 1 )=( 0)+ (1)
6 (1+(1) ln 6)
g( x ¿¿ 1)=0.701502¿
x 2=0.701502
Para n=3
x 3=g( x ¿¿ 2)¿
1−( 0.701502)6(0.701502)
g( x ¿¿ 2)=g(0.701502)=( 1)+ ¿
6(0.701502 ) (1+(0.701502)ln 6)
g( x ¿¿ 2)=0.516747 ¿
x 3=0.516747
Para n=4
x 4 =g ( x¿ ¿3) ¿
1−(0.516747) 6(0.516747 )
g( x ¿¿ 3)=g(0.516747)=(1)+ (0.516747 ) ¿
6 ( 1+(0.516747) ln 6)
g( x ¿¿ 3)=0.454144 ¿
x 4 =0.454144
Para n=5
x 5=g(x ¿¿ 4 )¿
1−(0.454144) 6(0.454144)
g( x ¿¿ 4 )=g(0.454144)=(1)+ ¿
6 (0.454144 ) (1+(0.454144)ln 6)
g( x ¿¿ 4 )=0.448114 ¿
x 5=0.448114
Para n=6
x 6=g( x ¿¿ 5)¿
1−( 0.448114)6(0.448114)
g( x ¿¿ 5)=g(0.448114 )=(1)+ ¿
6( 0.448114 ) (1+(0.448114)ln 6)
g( x ¿¿ 5)=0.448063 ¿
x 6=448063
Para n=7
x 7=g(x ¿¿ 6) ¿
1−(0.448063) 6(0.448063 )
g( x ¿¿ 6)=g( 0.448063)=(1)+ ¿
6 (0.448063 )(1+(0.448063) ln 6)
g( x ¿¿ 6)=0.448063 ¿
x 7=x 6=0.448063
La raíz aproximada de la ecuación es x 7=0.448063
El Intervalo está entre[0 ; 0.7]
EJERCICIO 11f. En cada una de las siguientes ecuaciones, determine un intervalo [a,b] en que
convergerá la iteración de punto fijo. Estime la cantidad de iteraciones necesarias para obtener
aproximaciones con una exactitud de 10-5 y realice los cálculos.
f) x=0.5 ( sin ( x ) +cos ( x ) )
De la gráfica podemos observar que el valor aproximado de x=0.704812
x=0.5 ( sin ( x ) +cos ( x ) )=g( x)
Iteración = 1
x 1=g ( x 0 )=g(0.704812)
x 1=0.5061127
Iteración = 2
x 2=g ( x 1 )=g(0.5061127 )
x 2=0.5043971
Iteración = 3
x 3=g ( x 2 )=g( 0.5043971)
x 3=0.5043823
Iteración = 4
x 4 =g ( x 3 ) =g (0.5043823)
x 4 =0.5043821
Error
|x 4 −x3|=|0.5043821−0.5043823|
¿ 0.0000002<10−5
Para resolver el ejercicio se necesita únicamente 4 iteraciones.
A = 0.7048 b = 0.70482
EJERCICIO 12 a. En cada una de las siguientes ecuaciones, determine una función g y un intervalo [a,b]
donde la iteración de punto fijo convergerá
en una solución positiva de la ecuación. Obtenga las soluciones con una exactitud de 10−5 .
2 x
a  3x  e  0 a  x  cos(x)  0
Solución
2 x
a  3x  e  0
Para obtener el intervalo de convergencia de la solución graficamos la ecuación:

El intervalo es [0,1] y el punto de aproximación será 0.8 como se observa en la gráfica.
Despejando la ecuación se tiene que:
❑ e x 12
G ( x ) =X=( )
3
ITERACIÓN 1:
n=1 X1 = X 1=¿ X1= 0.8613053
ITERACIÓN 2:
e 0.8613053 12
n=2 x2 ¿( ) x2 = 0.8881154
3
Error: [x2-x1] = [0.8881154 - 0.8613053] = 0.0268101
ITERACIÓN 3:
e 0.8881154 12
n= 3 x3 ¿( ) x3 = 0.9001008
3
Error: [x3-x2] = [0.9001008- 0.8881154] = 0.0119854
ITERACIÓN 4:
e 0.9001008 12
n=4 x4 ¿( ) x4 = 0.9055110
3
Error: [x4-x3] = [0.9055110- 0.9001008] = 0.005410

ITERACIÓN 5:
e 0.9055110 12
n=5 x5 ¿( ) x5 = 0.9079639
3
Error: [x5-x4] = [0.9079639 - 0.9055110] = 0.0024529
ITERACIÓN 6:
e 0.9079639 12
n=6 x6 ¿( ) x6 = 0.9090781
3
Error: [x6-x5] = [0.9090781 - 0.9079639] = 0.0011142
ITERACIÓN 7:
e 0.9090781 12
n=7 x7 ¿( ) x7 = 0.9095847
3
Error: [x7-x6] = [0.9095847 - 0.9090781] = 0.0005066
ITERACIÓN 8:
e 0.9095847 12
n=8 x8 ¿( ) x8 = 0.9098151
3
Error: [x8-x7] = [0.9098151- 0.9095847] = 0.0002304
ITERACIÓN 9:
e 0.9098151 12
n=9 x9 ¿( ) x9 = 0.9099200
3
Error: [x9-x8] = [0.9099200- 0.9098151] = 0.0001049
ITERACIÓN 10:
e 0.9099200 12
n=10 x10 ¿( ) x10 = 0.9099677
3
Error: [x10-x9] = [0.9099677 - 0.9099200] = 0.0000477
ITERACIÓN 11:
e 0.9099677 12
n=11 x11 ¿( ) x11 = 0.9099894
3
Error: [x11-x10] = [0.9099894 - 0.9099677] = 0.0000217
ITERACIÓN 12:
e 0.9099894 12
n=12 x12 ¿( ) x12 = 0.9099993
3
Error: [x12-x11] = [0.9099993 - 0.9099894] = 0.0000099
RESPUESTA; ya que el error es menor a 0.00001, la solución de la ecuación es 0.9099993.

EJERCICIO 12 b. En cada una de las siguientes ecuaciones, determine una función g y un intervalo [a,
b] done la iteración de punto fijo convergerá en una solución positiva de la ecuación.
b. x-cos x=0
Obtenga las soluciones con una exactitud de 10−5
SOLUCIÓN:
El intervalo [0, 1] y el punto de aproximación será 0.73 como se observa en la figura.
Despejando la ecuación se tiene que:

G(x)=x=cos ¿)
ITERACIÓN 1:
n=1 x1 = cos (0.73) x1 = 0.7451744
ITERACIÓN 2:
n=2 x2 = cos (0.7451744) x2 = 0.7349696
ERROR: |x 2 - x 1|= |0.73 49696- 0.7451744|= 0.0102047
ITERACIÓN 3:
n=3 x3 = cos (0.73496967) x3 = 0.7418511
ERROR: |x 3 - x 2|= |0.7 418511-0.7 349696|= 0.0068815
 ITERACIÓN 4:
n=4 x4 = cos (0.7418511) x4 = 0.7372191
ERROR: |x 4 - x 3|= |0.73 72191- 0.7 418511|= 0.0046319
 ITERACIÓN 5:
n=5 x5 = cos (0.7372191 ) x5 = 0.7403408
ERROR: |x 5 - x 4|= |0.7403408 - 0.7372191|= 0.0031217
 ITERACIÓN 6:
n=6 x6 = cos (0.7403408) x6 = 0.7382387
ERROR: |x 6 - x 5|= |0.7382387 - 0.7403408|= 0.0021020
 ITERACIÓN 7:
n=7 x7 = cos (0.7382387) x7 = 0.7396550
ERROR: |x 7 - x 6|= |0.7396550 - 0.7382387|= 0.0014163
 ITERACIÓN 8:
n=8 x8 = cos ¿ ¿) x8 = 0.7387011
ERROR: |x 8 - x 7|= |0.7387011 - 0.7396550 |= 0.0009538
 ITERACIÓN 9:
n=9 x9 = cos (0.7387011) x9 = 0.7393437
ERROR: |x 9−x 8 |= |0.7393437 - 0.7387011|= 0.0006426
 ITERACIÓN 10:
n=10 x10 = cos (0.7387011) x10 = 0.7389109
ERROR: |x 10−x 9|= |0.7389109 - 0.7393437|= 0.0004328
 ITERACIÓN 11:
n=11 x11 = cos (0.73 89109) x11 = 0.7392025
ERROR: |x 11−x 10|= |0.7392025-0.7389109|= 0.0002916
 ITERACIÓN 12:
n=12 x12 = cos (0.7392025) x12 = 0.7390061
ERROR: |x 12−x 11|= |0.7390061-20.7392025|= 0.0001964
 ITERACIÓN 13:
n=13 x13 = cos (0.7390061) x13 = 0.7391384
ERROR: |x 13−x 12|= |0.7391384 -0.739006 1|= 0.0001323
 ITERACIÓN 14:
n=14 x14 = cos (0.7391384) x14 = 0.7390493
ERROR: |x 14−x 13|= |0.7390493 -0.7391384|= 0.0000891
 ITERACIÓN 15:
n=15 x15 = cos (0.7390493) x15 = 0.7391093
ERROR: |x 15−x 14|= |0.7391093 -0.7390493 |= 0.0000600
 ITERACIÓN 16:
n=16 x16 = cos (0.7391093) x16 = 0.7390689
ERROR: |x 16−x 15|= |0.7390689-0.7391093 |= 0.0000404
 ITERACIÓN 17:
n=17 x17 = cos (0.7390689) x17 = 0.7390961
ERROR: |x 17−x 16|= |0.7390961-0.7390689 |= 0.0000272
 ITERACIÓN 18:
n=18 x18 = cos (0.7390 961) x18 = 0.7390777
ERROR: |x 18−x 17|= |0.7390777 -0.7390961|= 0.0000184
 ITERACIÓN 19:
n=19 x19 = cos (0.7390777 ) x19 = 0.7390901
ERROR: |x 19−x 18|= |0.7390901 -0.7390777| = 0.0000124
 ITERACIÓN 20:
n=20 x20 = cos (0.7390901) x20 = 0.7390818
ERROR: |x 20−x 19| = |0.7390818 -0.7390901|= 0.0000083 < 10−5
 Luego de realizar 20 iteraciones tenemos que el error es menor a 10−5 =¿ 0.0000100 por lo
tanto, determinamos que la solución de la ecuación es 0.7390818
EJERCICIO 13. Encuentre todos los ceros de f(x) = x2 +10 cosx aplicando el método de iteración de
punto fijo para una función de iteración apropiada g. encuentre los ceros con una exactitud de 10-4.
f ( x)  x 2  10 cos x
Esta en loa intervalos

 1, 2
A)
0  x 2  10 cos x
x 2  10 cos x
1
x  (10 cos x) 2
1
g1 ( x)  (10 cos x) 2
B)
0  x 2  10 cos x
10
x   cos x
x
10
g 2 ( x )   cos x
x
C)
0  x 2  10 cos x
 x 2  10 cos x
0.1* x 2  cos x
cos 1 (0.1* x 2 )  x
g3 ( x)  cos 1 (0.1* x 2 )
A)
1
g1 ( x)  (10 cos x) 2
Indefinido.
B)
10
g 2 ( x)   cos x
x
Para n  1: supongamos que la aproximación inicial es : x0  1.5
x1  g1 ( x0 )  g1 (1.5)  0.471581 3
Para n  2
x2  g 2 ( x1 )  g 2 ( 0.4715813)  18.8907199
Para n  3 :
x3  g3 ( x2 )  g 3 (18.8907199)  0.528912
Observamos que hay una divirgencia.

C)
g3 ( x)  cos 1 (0.1* x 2 )
Para n  1:
x1  g1 ( x0 )  g1 (1.5)  1.3438533
Para n  2
x2  g 2 ( x1 )  g 2 (1.3438533)  1.38892058
Para n  3 :
x3  g3 ( x2 )  g3 (1.38892058)  1.3765885
Para n  4 :
x4  g 4 ( x3 )  g 4 (1.3765885)  1.3801438
Para n  5 :
x5  g 5 ( x4 )  g 5 (1.3801438)  1.3791456
Para n  6 :
x6  g 6 ( x5 )  g 6 (1.3791456)  1.3794261
Para n  7 :
x7  g 7 ( x6 )  g 7 (1.3794261)  1.3793473
Para n  8 :
x8  g8 ( x7 )  g8 (1.3793473)  1.3793695
Error : x8  x7  1.3793695  1.3793473  0.0000222  10 4

 x8  1.3793695 Es la raíz aproximada.
Es la raíz aproximada.
EJERCICIO 14. Aplique el método de iteración de punto fijo para determinar una solución con
exactitud de 10−4 con x=tan x para x en { 4,5 }
0=tan(x)- 1
Formula
x n=g(x ¿¿ n−1)¿ N≥ 0
Para n= 1
x 1=g(x ¿¿ 0)¿ p0=4
x 1=g(4)
0 x−tan( x )
=
tan (x ) tan ( x ) ( x )
x 1=4.6136910
Para n =2
x 2=g(x ¿¿ 1) ¿
x 2=g(4.6136910)
x−tan ( x)
0=
tan ( x ) ( x)
1 1
x= − +x
tan ( x ) x
1 1
g( x )= − +x
tan ( x ) x
x 2=4.4959645
Para n =3
x 3=g( x ¿¿ 2)¿
x 3=g(4.4959645)
1 1
g( x )= − +x
tan ( x ) x
x 3=4.4934109
Para n=4
x 4 =g ( x¿ ¿3) ¿
x 4 =g (4.4934109)
1 1
g( x )= − +x
tan ( x ) x
x 4 =4.4934095
Para n= 5
x 5=g(x ¿¿ 4 )¿
x 5=g(4.4934095)
1 1
g( x )= − +x
tan ( x ) x
x 5=4.4934095
|x 4 −x3|=|4.4934095−4.4934109|=0.0000014 <10−2
EJERCICIO 15. Aplique el método de iteración punto fijo para determinar una solución con una
exactitud de 10-2 para 2 senπx + x=0 en [1;2]. Use P0=1
Solución:sen(πx)=sen (πx −2 π )
2 senπx + x=0
2 sen ( πx−2 π )=−x
−x
sen ( πx−2 π )=
2
−x
( )
( πx−2 π ) =arcsen
2
1 −x
( x−2 )= arcsen ( )
π 2
1 −x
x= arcsen
π 2( )
+2
1 −x
g ( x )= arcsen (
2 )
-2
+210
π
Ahora definimos:
1 −x
g ( x )= arcsen
π 2( )
+2 P0 =1=x 0 x n =g ( n−1 ) n ≥1 r ∈ [ 1,2 ] ε=10−2
Para n=1
1 −1
π ( )
x 1=g ( x 0 )=g ( 1 )= arcsen
2
+2=1,8333333
Para n=2
1 −1,8333333
x 2=g ( x 1 )=g ( 1,8333333 )= arcsen
π ( 2 )
+2=1,6308693
1 −1,6308693
x 3=g ( x 2 )=g ( 1,6308693 )= arcsen
π ( 2 )
+2=1,696498
Para n=4
1 −1,696498
π (
x 4 =g ( x 3 ) =g (1,696498 )= arcsen
2 )
+2=1,6776571
→ Error= |x 5−x 4|=|1,6776571−1,696498|=0,0188409
Para n=5
1 −1,6776571
x 5=g ( x 4 ) =g (1,6776571 ) = arcsen
π ( 2 )
+ 2=1,683241
→ Error= |x 5−x 4|=|1,683241−1,6776571|=0,0055839<ε =10−2
→ Se tiene como solución x 5=1,683241
EJERCICIO 16 b. Sea A una constante positiva y g ( x )=2 x −A x 2
Encuentre un intervalo alrededor de 1/A donde converja una iteración de punto fijo, a condición de
que Po se encuentre en ese intervalo.
g ( x )=2 x −A x 2 o x=2 x− A x 2
SOLUCIÓN
Derivando
g ´ ( x )=2−2 Ax
Por lo tanto, g(x) es continua y g ´ ( x ) existe

g ´ ( x )=0
1
0=2−2 Ax ; 1= Ax ; =x
A
1
=x
A
g ( x )=2 x −A x 2
1 2∗1 1 2 1
 g ( )
A
=
A
−A¿
A ( )
=
A
1
Escogemos un intervalo en el cual se encuentre
A
: ( 0.5A , 1.5A )
( a , b )=
0.5 2∗0.5 0.5 2 0.75

 g ( )
A
=
A
−A¿
A ( )
=
A
1.5 2∗1.5 1.5 2 0.75

 g ( )
A
=
A
−A¿
A ( )
=
A
Del resultado obtenido se tiene que:

0.75 1
≤ g (x ) ≤
A A
Para x en el siguiente intervalo ( 0.5A , 1.5A ) ; se tiene

1 0.5
x−
⃒ ⃒<
A A
Así factorizando se tiene:
1
g ´ ( x )=2−2 Ax=2 A( −x )
A
1 0.5
⃒ x−
g ´ ( x ) ⃒ =2 A⃒ ⃒< 2A = 1
A A
EJERCICIO 17. Encuentre una función g definida en [0, 1] que satisfaga ninguna de las hipótesis del
teorema 2.2, pero que siga teniendo un punto fijo único en [0, 1].
Teorema 2.2. El siguiente teorema contiene suficientes condiciones para la existencia y unicidad del
punto fijo.
a) Si g  C [a, b], para toda x  [a, b], entonces g tiene un punto fijo en [a, b].
b) Y si además g´(x) existe en [a, b], y existe una constante positiva k  1 con |g´(x)|  k para
toda x  [a, b].
x 1= g ( x 1-1)
x0
(x 2−1)
g (x)=
2
x 0=0.5
Para n=1
x 1=g ( x 0)
2
x 1= (0.5) −1
2
x 1= -0.375 no se encuentra en el intervalo
g (x) = √ 2 x−1
x 0=0.5
Para n = 1
x 1=g ( x 0)
x 1=√ 2(0.5)−1
x 1= 0 (único punto fijo)
 La función buscada será g= √ 2 x−1

EJERCICIO 18.a. Demuestre que el teorema 2.2 es verdadero si la desigualdad |g’(x)| ≤ K se reemplaza
con g’(x) ≤ K para todo x ε ( a , b ) . Sugerencia: solo se pone en tela de juicio la unidad.
SOLUCIÓN
Teorema 2.2
a. si g ϵ C [a , b] y g( x ) ϵ [a , b]. para toda x ϵ [a ,b ]. entonces g tiene un punto fijo en [a , b ]
b. y ademas g ´ ( x ) existe en ( a ,b ) y existe una constante positiva k <1 con :

¿ g ´ ( x ) /≤ k para toda xϵ (a , b)
Entonces el punto fijo en [ a , b ] es único.
DEMOSTRACION:
g ´ ( x ) ≤ k <1 y que p y q son puntos fijosen [ a , b ] tal que q ≠ p . Según el teorema
del Valor medio, existe un numero entero ξ en p y q y, por tanto, en [a, b] tal que:
g ( p ) −g (q)
=g '( ξ)
p−q
Por lo tanto:
p−q=g ( p ) −g ( q )=g' ( ξ )( p−q ) ≤ k ( p−q )< p−q
Lo cual es una contradicción. Esta contradicción se debe solamente a la suposición, q ≠ p. por lo tanto,
p=q y el punto fijo en [ a , b ] es único.
EJERCICIO 19 a.
x 1
a) g ( x )= +
2 x
Para x ≠ 0 ,tenemos
1 1
g ' ( x )= − 2
2 x
1 1
Si x > √ 2, luego < , entonces g ´ ( x )> 0
x2 2
Además g √ 2=√ 2
s X ( 0 ) > √2 tenemos
X 1− √ 2=g ( Xo )−√ 2=g ' ( ε )( Xo−√ 2)
Donde √ 2<ε < Xo . Así X 1− √ 2>0 y X 1> √ 2
Xo 1 Xo 1 Xo+ √ 2
X 1= + < + =
2 Xo 2 √ 2 2
Así √ 2<¿ X 1< Xo . Luego tenemos
√ 2< X ( m+ 1 )< Xm< …< Xo
Por lo tanto, {Xm} es una secuencia decreciente que tiene un límite inferior y por lo tanto debe
converger.
Suponer p= mlim
→∞
Xm entonces
Xm−1 1 p p
p= lim ( + )= +
m →∞ 2 Xm−1 2 2
Entonces
p p
+ =p lo que implica que p2=2
2 2
Entonces p=± √ 2 . ya que Xm> √ 2 para todo m. mlim

→∞
Xm=√ 2
EJERCICIOS 2.3
EJERCICIO 1. Sea
f ( x)  x 2  6  P0  1 , aplique el método de Newton para encontrar
P 2.
f ( xn 1 )
xn  xn 1 
f ( x)  x 2 - 6 f ´( xn 1 )
f ´( x)  2 x
Para n=1
f ( x0 )
x1  x0 
f ´( x0 )
f ( x0 )  x 2 - 6  (1) 2  6   5  f ´( x0 )  2 x  2(1)  2
(5)
x1  1   3.5
2
Para n=2
f ( x1 )
x2  x1 
f ´( x1 )
f ( x1 )  x 2 - 6  (3.5) 2  6  6.25  f ´( x1 )  2 x  2(3.5)  7
6.25
x2  3.5   2.607143
7
Entonces el valor para P2es 2.607143
EJERCICIO 2. Sea f(x) = - x3 – cos x y p0 = -1 apliquen el método de newton para encontrar p2.
¿podríamos utilizar p0 = 0?
f ( x)   x 3  cos x
f ( x)  3 x 2  senx
f ( xn 1 )
xn  xn 1 
f ( xn 1 )
f ( p0 )  0.4596977
f ( p0 )  3.8414710
Para n  1
f ( p0 )
p1  p0 
f ( p0 )
0.4596977
p1  1 
3.8414710
p1  0.8803329
f ( p1 )  0.0453512
f ( p1 )  3.0959090
Para n  2
f ( p1 )
p2  p1 
f ( p1 )
0.0453512
p2  0.8803329 
3.0959090
p2  0.8656841
SI
p0  0
f (0)  1
f ( p0 )  0
Para n  1
f ( p0 )
p1  p0 
f ( p0 )
1
p1  0 
0
p1  No se puede.
EJERCICIO 3a .Sea f ( x )=x 2−6 con p0=3 y p1=2 encuentre p y.
A) Aplique el método de la secante.
x ( x n−1)∗x n−1−x n−2

Formula: n=¿ xn−1−f ¿
f ( x n−1)−f ( x n−2)
x 1= p0=3 → f ( x 0 )=f ( 3 )=3 2−6=3
x 2= p1=2 → f ( x 1) =f ( 2 ) =22−6=−2
x ( x 1)∗x 1−x 0
Para n = 2 : 2=¿ x1−f ¿
f ( x 1)−f ( x0 )
X2 = 1.6 → f(x2) = -3.44

x ( x 2)∗x 2−x 1
Para n = 3 : 3=¿ x2− f ¿
f ( x 2)−f ( x1 )
X3 = 2.55555556 → f(x3) = 0.53086422

x ( x 3)∗x3 −x 2
Para n = 4 : 4=¿ x 3−f ¿
f ( x3 )−f ( x 2)
X2 = 2.42780749 → f(x2) = -0.105750749

x ( x4 )∗ x 4−x 3
Para n = 5 : 5=¿ x4 −f ¿
f ( x 4 )−f ( x 3 )
X2 = 2.44902826 → f(x2) = -0.00226058

x ( x5 )∗x 5− x4
Para n = 6 : 6=¿ x5 −f ¿
f ( x 5 )−f ( x 4)
X6 = 2.44949179 → f(x6) = 0.00001003

x ( x 6 )∗x 6− x5
Para n = 7 : 7=¿ x6 −f ¿
f ( x 6 )−f ( x 5)
X7 = 2.44948974 → f(x7) = -0.00000001

x ( x 7 )∗x 7− x6
Para n = 8 : 8=¿ x7 −f ¿
f ( x 7 )−f ( x 6)
X2 = 2.44948974 → f(x2) = -0.00000001

 Observamos que la raíz aproximada es x7 = 2.44948974, ya que a partir de la iteración siete
hacia delante ya coincidirán todas las iteraciones.
EJERCICIO 3b. Sea f (x)= x2−6 .Con P0=3 y P1=2 obtenga P y
b) aplique le método de la posición falsa
f ( x )=x 2−6=0 ; f ϵ ∁ [ 3,2 ] ; P3 =?
Para n=1:
b1−¿ a 2−3
P1=b 1−f ( b1 ) .
f ( b1)−f (a1 )
1
=3−f (2).
f (2)−f (3) [
=2.4 ¿
]
a 1=3 f (a1)=f (3)=32 −6=3
a 1=2 f (b 1)=f (2 )=22−6=−2
2−3
P1=2−(−2). =2.4
−2−3
f (P¿¿ 1)=2. 42−6=−0.24 ¿

Para n=2:
b 2−¿a 2−3
P2=b 2−f ( b2 ) .
f ( b 2 )−f ( a2 )
2
¿ ¿ 3−f (2.4 ).
[ f ( 2.4)−f (3)]=2.4
a 2=a1=3 f (a 1)=f (3 )=32−6=3
b 2=p 1=2.4 f (b2 )=f (2.4 )=2.4 2−6=−0.24
2.4−3
p2=2.4−(−0.24). =2.444444
−0.24−3
f ( p2)=2.4444442−6=−0.024694
Para n=3:
b3−¿a 2−3
P3=b3−f ( b3 ) . 3
f ( b3 )−f ( a3 )
=3−f ( 2.444444 ) .
[ ]
f ( 2.444444 )−f (3 )
¿
P3=2.4
a 3=a2=3 f (a 3)=f (3)=32 −6=3
b 3= p2=2.444444 f ( b3 ) =f ( 2.444444 )
¿ 2.4444442 −6=−0.24694
2.444444−3
P3=2.444444−(−0.024694). =2.448980
−0.024694−3
Ejercicio 3c. Sea f(x) = x - 6, con p0 =3 y p1= 2 encuentre p3
c. ¿Esta (a) o (b) más cerca de 6?
 A) = 2.45456
 b) = 2.448980
Comparando respuestas (a) está más cerca que 6 = 2.4494897
EJERCICIO 3D. Se suponen los tres métodos siguientes para calcular 2 11/ 3. Clasifíquelos por orden,
basándose para ello en la rapidez de convergencia y suponiendo que P0=1
21 12
Pn=( )
P n−1
P0=1
 Para :n=1
P1=¿
P1=¿
 Para :n=2
P2=¿
P2=¿
 Para :n=3
P3=¿
P3=¿
 Para :n=4
P4 =¿
P4 =¿
 Para :n=5
P5=¿
P5=¿
 Para :n=6
P6=¿
P6=¿
 Para :n=7
P7=¿
P7=¿
 Para :n=8
P8=¿
P8=¿
 Para :n=9
P9=¿
P9=¿
 Para :n=10
P10=¿
P10=¿
El orden de la rigidez descendente de la convergencia es (b), (d), (a), la sucesión (c) no converge.
EJERCICIO 4a.
Sea f (x)=−x3 −cos( ¿ x )¿ Con X0 = −𝟏 y X1 = 𝟎 obtenga X3
a) Método de la secante b) Método de la posición falsa

Solución
a) Método de la secante
Se sabe que
( x n−1 )∗x n−1−x n−2

{ [
x n= x n−1− f
f ( x n−1 )−f ( x n−2 ) ]}
x 0=−1 → f (x 0 )=f (−1)=−¿
x 1=0 → f ( x 1)=f (0)=¿
Para n=2
( x1 )∗x 1−x 0
x 2=x 1− f
[ f ( x1 ) −f ( x 0 ) ]
x 2=0− [ (−1)∗0−(−1)
(−1)−0.459698
=−0.685073 ]
→ f ( x 2 )=f (−0.685073 )=−¿
Para n=3
( x 2)∗x 2−x 1
x 3=x 2− f
[ f ( x2 ) −f ( x 1 ) ]
(−0.452851 )∗−0.685073−( 0 )
x 3=−0.685073−
[ (−0.452851) −(−1 ) ] =−1.252078
→ f ( x 3 )=f (−1.252078 )=−¿
EJERCICIO 4.b. sea f ( x )=−x 3 −cosx .con p0=−1 y p 1=0 obtenga p 3. Aplique el método de la posición
falsa.
SOLUCIÓN
( bn )∗bn−an
X n=bn−f
f ( bn )−f (an)
( b1 )∗b 1−a1
Para n=1 : X 1=b 1−f
f ( b 1 ) −f (a1)
a 1=¿−1=→f (a )=0.4596977 ¿
1
b 1=¿ 0=→f (b )=−1 ¿ 1
(−1 )∗0−(−1 )
X 1 =0− =0.6850734
−1−0.4596977
f ( x )=−0.4528502
( b 2 )∗b 2−a 2
Para n=2 : X 2 =b 2−f
f ( b2 )−f (a 2)
a 2=¿ a 1=¿−1=→f ( a 2 )=0.4596977 ¿
¿
b 2=¿ x 1=¿0.6850734=→ f (b2 )=−0.4528502 ¿

¿
(−0.4528502)∗−0.6850734−(−1 )
X 2 =0.6850734− =−0.8413551
−0.4528502−0.4596977
f ( x )=−0.0708760
( b 3 )∗b 3−a 3
Para n=3 : X 3=b 3−f
f ( b 3 )−f ( a3)
a 3=¿ a 2=¿−1=→f ( a2 )=0.4596977 ¿
¿
b 3=¿ x 2=¿−0.8413551 =→ f (b3 ) =−0.0708760 ¿

¿
(−0.0708760 )∗−0.8413551−(−1 )
X 3 =−0.8413551− =−0.8625475
−0.0708760−0.4596977
f ( x )=−0.0087796
Por lo tanto:= p3 −0.8625475
EJERCICIO 5a. Aplique el método de newton para obtener soluciones con una exactitud de 10−4 para
los siguientes problemas.
a. x 3 − 𝟐 x 2 − 𝟓 = 𝟎, [𝟏, 𝟒]
Solución.
f ( x )=x 3−2 x 2−5 𝜀 = 10−4 = 0.0001
f ( x)=3 x2−4 x
X
n=X n−1−
f (x n−1 )
; como “x”  [𝟏, 𝟒]  X 0=2.5
f (x n−1)
Para n = 1
3 2
f ( x0 ) ( 2.5 ) − (2.5 ) −5
X 1 =X 0− 2.5− 2
=2.714285714
f ( x0 ) 3 ( 2.5 ) −4 ( 2.5 )
Para n = 2
f ( x1 )
X 2 =X 1−
f ( x1 )
( 2.714285714 )3 −( 2.714285714 )2−5

X 2 =2.714285714− 2
=2.690951517
3 ( 2.714285714 ) −4 ( 2.714285714 )
Para n = 3
f ( x2)
X 3 =X 2−
f ( x2 )
( 2.690951517 )3−( 2.690951517 )2−5

X 3 =2.690951517− 2
=2.690647499
3 ( 2.690951517 ) −4 ( 2.690951517 )
Para n = 4
f ( x3 )
X 4= X 3 −
f ( x3 )
( 2.690647499 )3− (2.690647499 )2 −5

X 4=2.690647499− 2
=2.690647448
3 ( 2.690647499 ) −4 ( 2.690647499 )
Error = [ X 4- X 3 ] = 0.00000005 < 0.0001
Por lo tanto, la raíz aproximada es: 2.690647448

EJERCICIO 5 b.
SOLUCIÓN
f (x) ¿ x3 +3∗x 2−1 , f , (x )¿ 3∗x 2+ 6∗x

x ( −3) +(−2)
0=¿ =−2.5¿
2
x
Para n=1:Remplazamos en la formula n=¿ xn−1−
f (x n−1)
,
¿ , para n≥1
f (x n−1 )
x f ( x0 ) 3
(−2.5 ) +3∗( −2.5) −1
2
1=¿x 0− ,
=−2.5 − 2
=−3.066666667 ¿
f ( x 0) 3∗( −2.5) +6∗(−2.5 )
x
Para n=2: 2=¿ x1−
f ( x 1)
,
¿ , remplazando tenemos: x 2=¿−2.900975604 ¿
f ( x 1)
x
Para n=3: 3=¿ x2−
f ( x 2)
,
¿ , remplazando tenemos: x 3=¿¿-2.879719904
f ( x 2)
x
Para n=4: 4=¿ x 3−
f ( x 3)
,
¿ , remplazando tenemos: x 4=¿ ¿-2.879385325
f ( x3 )
x
Para n=5: 5=¿ x4 −
f ( x 4)
,
¿ , remplazando tenemos: x 5=¿¿-2.879385242
f ( x4 )
Observamos que x 5=¿¿-2.879385242 es una raíz aproximada de f (x) ¿ x3 +3∗x 2−1
Error = | x 4- x 3| = 0.0003346
EJERCICIO 5c. Aplique el método de newton para obtener soluciones con una exactitud 10−4 para los
siguientes problemas.
π
x−cos ( x )=0[0 ; ]
2
Definamos f ( x )=x−cos ( x )=0 y aplicamos el método de newton- raphson con x 0=10−4
f ( x n−1 ) '
x n=x n−1− , n ≥1 f ( x )=1+sen (x)
f ' ( x n−1)
f ( x0 )
para n=1 : x 1=x 0− =1
f ' ( x0)
f ( x1 )
para n=2: x 2=x 1− =0.99985
f ' ( x 1)
f ( x 2)
para n=3 : x 3=x 2− =0.99985
f ' ( x2 )
Observamos que x 3 es una raíz aproximada de f ( x )=x−cos ( x )=0 así también es punto fijo de
g ( x )=cos ⁡(x)
EJERCICIO 5 d. Aplique el método de Newton para obtener soluciones con una exactitud de 10-4 para
los siguientes problemas.
d) x−0.8−0.2 sin x=0 [ 0 , π /2 ]
π
Aproximación a =0.7853982
4
 f ( x 0 ) =x−0.8−0.2 sin x
 f ´ ( x 0 ) =1−0.2 cos x
Iteración = 1
f ( x0)
x 1=x 0−
f ´ ( x0)
π
π
x= −
( 4)
f
1
4 π
f ( ) ´
4
π π
π 4
x 1= −
−0.8−0.2 sin
4 ()
4 π
1−0.2 cos
4 ()
x 1=0.9671208
Iteración = 2
f ( x1)
x 2=x 1−
f ´ ( x 1)
f ( 0.9671208 )
x 2=0.9671208−
f ´ ( 0.9671208 )
0.9671208−0.8−0.2sin ( 0.9671208 )
x 2=0.9671208−
1−0.2cos ( 0.9671208 )
x 2=0.9643346
Iteración = 3
f ( x2 )
x 3=x 2−
f ´ ( x2 )
f ( 0.9643346 )
x 3=0.9643346−
f ´ ( 0.9643346 )
0.9643346−0.8−0.2 sin ( 0.9643346 )
x 3=0.9643346−
1−0.2 cos ( 0.9643346 )
x 3=0.9643339
Iteración = 4
f ( x3 )
x 4 =x3 −
f ´ ( x3)
f ( 0.9643339 )
x 4 =0.9643339−
f ´ ( 0.9643339 )
0.9643339−0.8−0.2 sin ( 0.9643339 )
x 4 =0.9643339−
1−0.2 cos ( 0.9643339 )
x 4 =0.9643339
Error
|x 3−x 2|=|0.9643339−0.9643346|
¿ 0.0000007<10−4
Respuesta aproximada. x 3=0.9643339
Ejercicio 6a. Aplique el método de Newton para obtener soluciones con exactitud 10−5 para los
siguientes problemas:
a ¿ e x +2−x + 2∗cosx−6=0 Para 1≤ x ≤ 2
f ( x )=e x + 2−x +2∗cosx−6=0 f ( x )=e x + 2−x +2∗cosx−6

f ' ( x )=(e ¿¿ x) ' +( 2−x )' +(2)'∗cosx+ 2∗(cosx )'−( 6)' ¿
E=10−5=0.00001
ln 2
Formula de Newton: x n=x n−1−f ¿ ¿ f ' ( x )=e x − −2∗senx
2x
x 0=1 ° f ( x )=2− x
f ( x )=e x + 2−x +2∗cosx−6 Formula :
 Para :n=1
f ( x0) f ( 1 ) =e1 +2−1+2∗cos ⁡(1)−6 f ( x )=au
x 1=x 0−
f ' ( x0 ) f ( 1 ) =−0.78202278 f ' ( x )=u'∗au∗lna
−0.78202278
x 1=1− f ( x )=2−x
2.33680343 ln 2
f ' ( x )=e x − −2∗senx f ' ( x )=(−x )' ∗2−x ∗ln 2
x 1=1.33465493 2x
ln 2
f ' ( 1 ) =e1 − −2∗sen (1)
21
f ' (1)=2.33680343
 Para n=2 f ( 1.33465493 ) =e1.33465493 +2−1.33465493 +2∗cos ⁡(1.33465493)−6
f (x 1 ) f ( 1.33465493 ) =0.19462921
x 2=x 1−
f '( x 1 )
0.19462921 ln 2
x 2=1.33465493− f ' ( 1.33465493 ) =e 1.33465493− −2∗sen(1.33465493)
3.47727711 1.33465493
2
x 2=1.27868320
f ' ( 1.33465493 )=3.47727711
Error = |x 2−x 1|=¿ 1 . 27868320−1 .33465493∨¿ = 0.05597173
f ( 1.27868320 ) =e1.27868320 +2−1.27868320 +2∗cos ⁡(1.27868320)−6

Para n=3
f ( 1.27868320 ) =0.00358029
f ( x2 )
x 3=x 2−
f ' (x 2 )
0.00358029 ln 2
x 3=1.27868320− f ' ( 1.27868320 ) =e 1.27868320− 1.27868320
−2∗sen(1.27868320)
3.26158049 2
f ' ( 1.27868320 )=3.26158049
x 3=1.27758548
Error = |x 3−x 2|=¿1 . 27758548−1 .27868320∨¿ = 0.00109772
Para n=4
f ( 1.27758548 ) =e1.27758548 +2−1.27758548 +2∗cos ⁡(1.27758548)−6
f ( x 3)
x 4 =x3 − f ( 1.27758548 ) =−0.00004587
f ' (x 3)
−0.00004587
x 4 =1.27758548− ln 2
3.25746059 f ' ( 1.27758548 ) =e 1.27758548− −2∗sen(1.27758548)
1.27758548
2
x 4 =1.27759956
Error = |x 4 −x3|=¿ 1 .27759956−1 .27758548∨¿ = 0.00001408
 Para n=5 f ( 1.27759956 )=e 1.27759956+2−1.27759956+2∗cos ⁡(1.27759956)−6

f ( x4 ) f ( 1.27759956 )=0.00000062
x 5=x 4 −
f ' ( x4 )
0.00000062 ln 2
x 5=1.27759956− f ' ( 1.27759956 )=e 1.27759956− −2∗sen (1.27759956)
3.25751341 1.27759956
2
x 5=1.27759937
f ' ( 1.27759956 )=3.25751341
Error = |x 5−x 4|=¿ 1 .27759937−1 .27759956∨¿
Error = 0.00000019
EJERCICIO 6b. Aplique el método de Newton para obtener soluciones con una exactitud de 10−5 para
el siguiente problema:
ln ( x−1 ) +cos ( x−1 )=0 para1.3 ≤ x ≤ 2
Definimos f ( x )=ln ( x −1 )+ cos ( x−1 ) esto también es igual a: g ( x )=e−cos ⁡( x−1) +1

Para aplicar el método de Newton-Raphson necesitamos la derivada de f ' ( x ) entonces:
1
f ' ( x )= −sen ( x−1)
x−1
Para esto vamos a tomar como x 0=1.5 , n≥ 1
Para luego reemplazar en esta definición:
Para n = 1: x 1=x 0−f ¿ ¿
Para n = 2: x 2=x 1−f ¿ ¿
Para n = 3: x 3=x 2−f ¿ ¿
Para n = 4: x 4 =x3 −f ¿ ¿
Observamos que x 3=1.39775 es una raíz aproximada de f ( x )=ln ( x −1 )+ cos ( x−1 )=0, también es un
punto fijo.
g ( x )=e−cos ⁡( x−1) +1
Punto fijo real
EJERCICIO 6C . sea f ( x )=2 xcos 2 x −( x−2 )2=0 para 2≤ x ≤ 3 y para 3 ≤ x ≤ 4 ;
E=10−5
f ( x n−1 )
x n=x n−1− ' ( x n−1)
; n ≥ 1 x 0=3
f
f ' ( x )=2 cos 2 x−4 xsen 2 x−2 ( x−2 )
para :n=1
f ( x0 )
x 1=x 0−
f ' ( x0 )
f ( x 0 ) =f ( 3 ) =2 ( 3 ) cos 2 ( 3 )− ( 3−2 )2=¿ 4.967131372
f ' ( x 0 )=f ' (3 )=2 cos 2 ( 3 )−4 (3 ) sen 2 ( 3 )−2 ( 3−2 ) =−1. 265297768
f (3)
x 1=3−
f ' (3 )
( 4.967131372)
x 1=3− =6.925662004
(−1.265297768 )
para :n=2
f ( x1 )
x 2=x 1− f ( x 1 ) =f ( 6.925662004 ) =−10 .81361565
f ' ( x1 )
f ' ( x 1 )=f ' ( 6.925662004 )=−14 . 54158830
f (6.925662004)
x 2=6.925662004−
f ' ( 6.925662004 )
(−10.81361565 )
x 2=6.925662004− =6.182028267
(−14.54158830 )
para :n=3
f ( x2)
x 3=x 2− f ( x 2 ) =f ( 6.182028267 )=−5 . 412065972
f ' ( x 2)
f ' ( x 2 )=f ' ( 6.182028267 )=−11.70529049
f ( 6.182028267 )
x 3=6.18202 8267−
f ' ( 6.182028267 )
−5.412065972
x 3=6.182028267− =5.719667595
−11.70529049
para :n=4
f ( x3 )
x 4 =x3 − f ( x 3 ) =f ( 5.719667595 )=−2.623831404
f ' ( x3 )
f ' ( x 3 )=f ' (5.719667595 )=−10.01659775

f ( 5.719667595 )
x 4 =5.719667595−
f ' (5.719667595 )
−2.623831404
x 4 =5.719667595− =5.457719230
−10.01659775
para :n=5
f ( x4 )
x 5=x 4 − f ( x 4 )=f (5.457719230 )=−1.237868929
f ' ( x4 )
f ' ( x 4 ) =f ' ( 5.457719230 )=−8.485518449
f ( 5.457719230 )
x 5=5.457719230−
f ' ( 5.457719230 )
−1.237868929
x 5=5.457719230− =5.311839054
−8.485518449
para :n=6
f ( x5 )
x 6=x 5− f ( x 5 ) =f ( 5.311839054 )=−0.526697672
f ' ( x5)
f ' ( x 5 )=f ' ( 5.311839054 )=−8.575070019
f ( 5.311839054 )
x 6=5.311839054−
f ' ( 5.311839054 )
−0.526697672
x 6=5.311839054− =5.250417087
−8.575070019
para :n=7
f ( x6 )
x 7=x 6− f ( x 6 ) =f ( 5.250417087 ) =−0.240242366
f ' ( x6 )
f ' ( x 6 )=f ' (5.250417087 )=−8.361880378
f ( 5.250417087 )
x 7=5.250417087−
f ' ( 5.250417087 )
−0.240242366
x 7=5.250417087− =5.221686424
−8.361880378
para :n=8
f ( x7 )
x 8=x 7− f ( x 7 ) =f ( 5.221686424 )=−0.108889881
f ' ( x7)
f ' ( x 7 )=f ' (5.221686424 )=−8.262511664
f ( 5.221686424 )
x 8=5.221686424−
f ' (5.221686424 )
−0.108889881
x 8=5.221686424− =5.208507637
−8.262511664
para :n=9
f ( x 8)
x 9=x 8− f ( x 8 ) =f ( 5.208507637 )=−0.049201122
f ' ( x8 )
f ' ( x 8 )=f ' (5.208507637 )=−8.217006348
f ( 5.208507637 )
x 9=5.208507637−
f ' ( 5.208507637 )
−0.049201122
x 9=5.208507637− =5.202519918
−8.217006348
para :n=10
f ( x9)
x 10=x 9− f ( x 9 ) =f ( 5.202519918 )=−0.022198749
f ' ( x9)
f ' ( x 9 )=f ' (5.202519918 )=−8.196346858
f (5.202519918 )
x 10=5.202519918−
f ' ( 5.202519918 )
−0.022198749
x 10=5.202519918− =5.199811547
−8.196346858
para :n=11
f ( x10 )
x 11=x 10− f ( x 10 )=f ( 5.199811547 ) =−0.010009005
f ' ( x 10)
f ' ( x 10 )=f ' ( 5.199811547 )=−8.187005346
f (5.199811547 )
x 11=5.199811547−
f ' ( 5.199811547 )
−0.010009005
x 11=5.199811547− =5.198588999
−8.187005346
para :n=12
f ( x 11 )
x 12=x11 − f ( x 11 )=f ( 5.198588999 ) =−0.004511498
f ' ( x 11 )
f ' ( x 11 ) =f ' ( 5.198588999 )=−8.182789279
f ( 5.198588999 )
x 12=5.198588999−
f ' ( 5.198588999 )
−0.004511498
x 12=5.198588999− =5.198037659
−8.182789279
para :n=13
f ( x 12)
x 13=x 12− f ( x 12 )=f ( 5.198037659 )=−0.002033250
f ' ( x 12 )
f ' ( x 12 )=f ' ( 5.198037659 )=−8.180888067
f ( 5.198037659 )
x 13=5.198037659−
f ' ( 5.198037659 )
−0.002033250
x 13=5.198037659− =5.197789122
−8.180888067
para :n=14
f ( x 13 )
x 14=x 13− f ( x 13 )=f ( 5.197789122 )=−0.000916291
f ' ( x13 )
f ' ( x 13 )=f ' ( 5.197789122 )=−8.180031052
f (5.197789122 )
x 14=5.197789122−
f ' ( 5.197789122 )
−0.000916291
x 14=5.197789122− =5.197677106
−8.180031052
para :n=15
f ( x 14 )
x 15=x 14− f ( x 14 ) =f ( 5.197677106 )=−0.000412916
f ' ( x14 )
f ' ( x 14 )=f ' ( 5.197677106 )=−8.179644799
f ( 5.197677106 )
x 15=5.197677106−
f ' ( 5.197677106 )
−0.000412916
x 15=5.197677106− =5.197626625
−8.179644799
para :n=16
f ( x 15 )
x 16=x 15− f ( x 15 )=f ( 5.197626625 )=−0.000186075
f ' ( x 15 )
f ' ( x 15 )=f ' ( 5.197626625 )=−8.179470732
f ( 5.197626625 )
x 16=5.197626625−
f ' ( 5.197626625 )
−0.000186075
x 16=5.197626625− =5.197603876
−8.179470732
para :n=17
f ( x 16 )
x 17=x 16− f ( x 16 ) =f ( 5.197603876 )=−0.000083851
f ' ( x16 )
f ' ( x 16 )=f ' ( 5.197603876 ) =−8.179392290
f ( 5.197603876 )
x 17=5.197603876−
f ' ( 5.197603876 )
−0.000083851
x 17=5.197603876− =5.197593625
−8.179392290
para :n=18
f ( x 17 )
x 18=x 17− f ( x 17 ) =f ( 5.197593625 )=¿ 0.000037788
f ' ( x17 )
f ' ( x 17 )=f ' ( 5.197593625 ) =−8.179356943
f (5.197593625 )
x 18=5.197593625−
f ' ( 5.197593625 )
−0.000037788
x 18=5.197593625− =5.197589005
−8.179356943
ERROR=| X 18−X 17|=|5.197589005−5.197593625|=0.000004620
EJERCICIO 6 d. Aplique el método de Newton para obtener soluciones con una exactitud de 10−5 para
el siguiente problema.
d. ( x−2)2-ln x= 0 para 1≤ x ≤ 2 y e ≤x ≤4
SOLUCIÓN:
d.1) f(X)=( x−2)2-ln x= 0
f ( x n-1)
Para 1≤ x ≤ 2 xn= xn-1 - ; n≥ 1
f ' (x n-1)
 f(X)=( x−2)2-ln x= 0
1
 f’(x)= 2(x-2) - =0
x
X0= 1
 Para n=1
f(x0)= f(1)=(1−2)2-ln 1 ⇒ f(x0)= 1

1
f’(x0)=f’(1)=2(1-2)- ⇒ f’(x0)=-3
1
f ( x 0) 1
x1 =x0 - ⇒ x1 =1 - ⇒ x1 =1.3333333
f ' (x 0) −3
 Para n=2
f(x1)=f(1.3333333)=(1.3333333−2)2-ln (1.3333333) ⇒ f(x1)= 0.1567624
1
f’(x1)=f’(1.3333333)=2(1-1.3333333)- ⇒ f’(x1)=-2.08333344
1.3333333
f ( x 1) 0.1567624
x2 =x1 - ⇒ x2 =1.3333333 - ⇒ x2 = 1.4085789
f ' (x 1) −2.0833344
 Para n=3
f(x2)=(1.4085789−2)2-ln (1.4085789) ⇒ f(x2)= 0.0071970
1
f’(x2)=2(1.4085789-2)- ⇒ f ' (x 2) = -1.8927777
1.4085789
f ( x 2) 0.0071970
x3 =x2 - ⇒ x3 =1.4085789 - ⇒ x3 = 1.4123912
f ' (x 2) −1.8927777
 Para n=4
f(x3)=(1.4123912−2)2-ln (1.4123912) ⇒ f(x3)= -0.0000001

1
f’(x3)=2(1.4123912-2)- ⇒f ' (x 3) = -1.8832367
1.4123912
f ( x 3) −0.0000001
x4 =x3 - ⇒ x4 =1.4123912 - ⇒ x4 = 1.4123911
f ' (x 3) −1.8832367
ERROR: |x 4 - x 3|= |1.4123911 - 1.4123912|= 0.0000001 < 10−5
 Ya que el error es menor a 0.0000100, la solución de la ecuación es 1.4123911
d.2) f(X)=( x−2)2-ln x= 0
f ( x n-1)
Parae ≤x ≤4 xn= xn-1 - ; n≥ 1
f ' (x n-1)
 f(X)=( x−2)2-ln x = 0
1
 f’(x)= 2(x-2) - =0
x
x0=e
 Para n=1
f(x0)=f(e)=(e−2)2-ln e ⇒ f(x0)=-0.4840712
1
f’(x0)=f’(e)=2(e-2)- ⇒f’(x0)=1.0686843
e
f ( x 0) −0.4840712
x1= x0 - ⇒ x1= e - x1= 3.1712423
f ' (x 0) 1.0686843
 Para n=2
f(x1)=(3.1712423−2)2-ln (3.1712423) ⇒ f(x1)=0.2176854

1
f’(x1)=2(3.1712423-2)- ⇒ f’(x1)=2.0271502
3.1712423
f ( x 1) 0.2176854
x2 = x 1 - ⇒ x2= 3.1712423 - ⇒ x2= 3.0638574
f ' (x 1) 2.0271502
Para n=3
f(x2)=( x−2)2-ln x ⇒f(x2)=0.0121176

1
f’(x2)= 2(x-2) - ⇒ f’(x2)=1.8013286
x
f ( x 2) 0.0121176
x3 = x 2 - ⇒ x3= 3.0638574 - ⇒ x3= 3.0571304
f ' (x 2) 1.8013286
 Para n=4
f(x3)=( x−2)2-ln x ⇒ f(x3)=0.0000476

1
f’( x 3 )= 2(x-2) - ⇒ f’(x3) =1.7871566
x
f ( x 3) 0.0000476
x4 = x 3 - ⇒x4= 3.0571304 - ⇒ x4= 3.0571038
f ' (x 3) 1.7871566
 Para n=5
f(x4)=( x−2)2-ln x ⇒ f(x4)=0.0000004

1
f’( x 4 )= 2(x-2) - ⇒ f’(x4) =1.7871006
x
f ( x 4) 0.0000004
x5 = x 4 - ⇒x5= 3.0571038 - ⇒ x5= 3.0571036
f ' (x 4) 1.7871006
ERROR: |x 5 - x 4|= |3.0571036 - 3.0571038|= 0.000002 < 10−5

 Ya que el error es menor a 0.0000100, la solución de la ecuación es 3.0571036
EJERCICIO 6e. Aplique el método de Newton para obtener soluciones con una exactitud de 10−5 para
los siguientes problemas:
e. ⅇ x −3 x 2=0 para 0 ≤ x ≤ 1 y 3 ≤ x ≤5
Para el primer intervalo:
 f ( x )=ⅇ x −3 x 2, para 0 ≤ x ≤ 1
x ∈ [ 0,1 ] , Error=10−5 =0,00001

f ( x n−1)
x n=x n−1− ; n≥ 1
f ' ( x n−1 )
f ' ( x )=ⅇ x −6 x
• Para n = 1: Supongamos la aproximación inicial x 0=0,5
f ( x 0 ) =ⅇ 0.5−3 ( 0,5 )2
f ' ( x 0 )=ⅇ0,5 −6 ( 0,5 )

f ( x0 )
x 1=x 0−
f ' ( x0 )
ⅇ0,5 −3 ( 0,5 )2
x 1=0,5− 0,5
ⅇ −6 ( 0,5 )
x1 =1,165089

Para n= 2:
f ( x1 )
x 2=x 2−
f ' ( x1 )
ⅇ 1,165089−3 ( 1,165089 )2
x 2=1,165089−
ⅇ1,165089 −6 ( 1,165089 )
x 2=0,936227

• Para n = 3:
f ( x2 )
x 3=x 2−
f ' ( x 2)
ⅇ0,936227 −3 ( 0,936227 )2
x 3=0,936227−
ⅇ 0,936227−6 ( 0,936227 )
x 3=¿0,910397

• Para n = 4:

f ( x3)
x 4 =x2−
f ' ( x3 )
ⅇ 0,910397−3 ( 0,910397 )2
x 4 =0,910397−
ⅇ0,910397 −6 ( 0,910397 )
x 4 =0,910008
Para n = 5:

f ( x4 )
x 5=x 4 −
f ' ( x4 )
ⅇ0,910008 −3 ( 0,910008 )2
x 5=0,910008− 0,910008
ⅇ −6 ( 0,910008 )
x 5=0,910008

−5
Error: |x 5−x 4|=|0,910008−0,910008|< ε=10 =0,00001
x 5=0,910008 , es la raíz aproximada.
Para el segundo intervalo:
 f ( x )=ⅇ x −3 x 2, para 3 ≤ x ≤5
x ∈ [ 3,5 ] , Error=10−5 =0,00001

f ( x n−1)
x n=x n−1− ; n≥ 1
f ' ( x n−1 )
f ' ( x )=ⅇ x −6 x
• Para n = 1: Supongamos la aproximación inicial x 0=4
f ( x 0 ) =ⅇ 4−3 ( 4 )2
'
f ( x 0 )=ⅇ 4−6 ( 4 )

f ( x0 )
x 1=x 0−
f ' ( x0 )
ⅇ 4 −3 ( 4 )2
x 1=4−
ⅇ4 −6 ( 4 )
x 1=3.784361
Para n= 2:

f ( x1)
x 2=x 1−
f ' ( x1 )
ⅇ 3.784361−3 ( 3.784361 )2
x 2=3.784361−
ⅇ 3.784361−6 ( 3.784361 )
x 2=3.735379

Para n = 3:
f ( x2)
x 3=x 2−
f ' ( x 2)
ⅇ 3.735379−3 ( 3.735379 )2
x 3=3.735379−
ⅇ3.735379 −6 ( 3.735379 )
x 3=3.733084
• Para n = 4:

f ( x3 )
x 4 =x3 −
f ' ( x3 )
e 3.733084−3 ( 3.733084 )2
x 4 =3.733084− 3.733084
e −6 ( 3.733084 )
x 4 =3.733079

• Para n = 5:

f ( x4 )
x 5=x 4 −
f ' ( x4 )
e 3.733079−3 ( 3.733079 )2
x 5=3.733079−
e3.733079 −6 ( 3.733079 )
x 5=3.733079
−5
Error: |x 5−x 4|=|3.733079−3.733079|<ε =10 =0,00001
x 5=3.733079, es la raíz aproximada.
EJERCICIO 6f. Aplique el método de newton para obtener soluciones con una exactitud de 10-5
F(x)=sen(x)-e-x
a)
Para 0<=x<=1.
f ( xi )
x i+1=x i−
f ' ( xi )
para x0 = 0.5
s ⅇ n ( x 0 )−ⅇ(
−x 0 )
s ⅇ n ( 0.5 )−ⅇ (−0.5)
x 1=x 0− − x0 ) =0.5− = 0.5856438
cos ( x 0 )+ ⅇ ( cos ( 0.5 )+ ⅇ(−0.5 )
x i+1−x i x −x 0.5856438−0.5
ⅇ= | x i+1 || ||
= 1 0=
x1 0.5856438
=¿ | 0.1462387
para x1 =0.5856438
s ⅇ n ( x 1) −ⅇ (
−x 1)
s ⅇ n ( 0.5856438 )−ⅇ (0.5856438 )
x 2=x 1− =0.5856438− = 0.5885294
cos ( x1 ) + ⅇ(
−x 1 )
cos ( 0.5856438 )+ ⅇ(−0.5856438 )
x i+1−x i x 2−x 1 0.5885294−0.5856438

ⅇ= | x i+1 || ||
=
x2
=
0.5885294
=¿0.0049031 |
para x2 = 0.5885294
s ⅇ n ( x 2 )−ⅇ (
−x 2)
s ⅇ n ( 0.5885294 ) −ⅇ (−0.5885294 )
x 3=x 2− − x2 ) =0.5885294− = 0.5885327 ;
cos ( x 2) + ⅇ( cos ( 0.5885294 ) +ⅇ (−0.5885294 )
x i+1−x i x −x 0.5885327−0.5885294
ⅇ= | x i+1 || ||
= 3 2=
x3 0.5885327
=¿0.0000057 |
X=0.5885327
b)
Para 3<=x<=4.
f ( xi )
x i+1=x i−
f ' ( xi )
para x0 = 3.5
s ⅇ n ( x 0 )−ⅇ(
−x 0 )
s ⅇ n ( 3.5 )−ⅇ (−3.5 )
x 1=x 0− − x0 ) =3.5− = 3.0796119
cos ( x 0 )+ ⅇ ( cos ( 3.5 ) +ⅇ ( −3.5)
x i+1−x i x 1−x 0 3.0796119−3.5
ⅇ= | x i+1 || ||
=
x1
=
3.0796119
=¿ | 0.1365068
para x1 =3.0796119
s ⅇ n ( x 1) −ⅇ (
−x 1)
s ⅇ n ( 3.0796119 )−ⅇ(−3.0796119 )
x 2=x 1− =3.0796119− = 3.0963790
cos ( x1 ) + ⅇ(
−x 1 )
cos ( 3.0796119 )+ ⅇ (−3.0796119 )
x i+1−x i x −x 3.0963790−3.0796119
ⅇ= | x i+1 || ||
= 2 1=
x2 3.0963790
=¿0.0054151 |
para x2 = 3.0963790
s ⅇ n ( x 2 )−ⅇ (
−x 2)
s ⅇ n ( 3.0963790 ) −ⅇ(−3.0963790)
x 3=x 2− − x2 ) =3.0963790− = 3.0963639
cos ( x 2) + ⅇ( cos ( 3.0963790 ) +ⅇ ( −3.0963790 )
x i+1−x i x 3−x 2 3.0963639−3.0963790

ⅇ= | x i+1 || ||
=
x3
=
3.0963639
=¿0.0000049 |
X=3.0963639
C)
Para 6<=x<=7.
f ( xi )
x i+1=x i−
f ' ( xi )
para x0 = 3.5
s ⅇ n ( x 0 )−ⅇ(
−x 0 )
s ⅇ n ( 6.5 )−ⅇ (−6.5 )
x 1=x 0− − x0 ) =3.5− = 6.2815985
cos ( x 0 )+ ⅇ ( cos ( 6.5 ) + ⅇ(−6.5)
x i+1−x i x −x 6.2815985−6 .5
ⅇ= | x i+1 || ||
= 1 0=
x1 6.2815985
=¿ 0.0347685 |
para x1 =6.2815985
s ⅇ n ( x 1) −ⅇ (
−x 1)
s ⅇ n ( 6.2815985 ) −ⅇ (−6.2815985 )
x 2=x 1− =6.2815985− = 6.2850493
cos ( x1 ) + ⅇ(
−x 1 )
cos ( 6.2815985 ) +ⅇ (−6.2815985)
x i+1−x i x 2−x 1 6.2850493−6.2815985
ⅇ= | x i+1 || ||
=
x2
=
6.2850493
=¿0.0005490 |
para x2 = 6.2850493
s ⅇ n ( x 2 )−ⅇ (
−x 2)
s ⅇ n ( 6.2850493 ) −ⅇ (−6.2850493 )
x 3=x 2− − x2 ) =3.0963790− = 6.2850493
cos ( x 2) + ⅇ( cos ( 6.2850493 ) +ⅇ (−6.2850493 )
x i+1−x i x −x 6.2850493−6.2850493
ⅇ= | x i+1 || ||
= 3 2=
x3 6.2850493
= ¿0.000000001 |
X=6.2850493
EJERCICIO 7). - Repita el ejercicio 5. (I) el método de la secante y (II) el método de la posición falsa.
I). MÉTODO DE LA SECANTE.
Aplique el método de la secante para obtener soluciones con una exactitud de 10-4 para el
siguiente problema.
b). x3 + 3x2 – 1 = 0; [-3,-2]
Valores para. x 0) = -3 ˄ x 1) = -2
x n=x n−1−f ( xn−1 ) . ¿
SOLUCIÓN
PARA N.º 1
f ( 0 )=¿ (−3 )3 +3∗(−3 )2−1=−1
f ( 1 ) =(−2 )3+ 3∗(−2 )2 −1=3
PARA N.º 2
x 2=x 1−f ( x 1 ) . ¿
X ( 2 )=¿-2.75
f (x¿ ¿2)=0.890625¿
PARA N.º 3
x 3=x 2−f ( x 2 ) . ¿
X ( 3 ) =¿-3.066666667
f (x¿ ¿3)=−1.626962963¿
PARA N.º 4
x 4 =x3 −f ( x 3 ) .¿
X ( 4 )=¿-2.862024387
f (x¿ ¿ 4)=0.130183577¿
PARA N.º 5
x 5=x 4 −f ( x 4 ) . ¿
X ( 5 ) =¿-2.877185936
f (x¿ ¿5)=0.01667925¿
PARA N.º 6
x 6=x 5−f ( x5 ) . ¿
X ( 6 )=¿-2.879413897
f (x¿ ¿ 6)=0.000217678 ¿
PARA N.º 7
x 7=x 6−f ( x 6 ) . ¿
X ( 7 ) =¿-2.879443358
f (x¿ ¿7)=0.00044144 ¿
Para x 7 el valor aproximado a los que nos piden en la condición.
II) MÉTODO DE FALSA POSICIÓN.

Ejercicio 5. Aplique el método de falsa posición para obtener soluciones con una exactitud
de 10-4 para el siguiente problema.
d). x-0.8-0.2senx=0, [ 0 , π /2]
Valores para. a) = 0 ˄ b) =π /2.

Formula a utilizar para el método de falsa posición.
x n=b n−f ( bn ) . ¿
SOLUCION.
PARA N=1
x n=b n−f ( bn ) . ¿ ; n ≥1; n ϵ Z
a 1=0 f ( a1 )= -0.8 < 0
b 1=¿ π /2 f ( b1 ) = 0.5707963 > 0
PARA X 1
x 1=b1 −f ( b 1) . ¿
x 1 = 0.9167204
f (x 1)=-0.0420016.
PARA N=2
a 2=a1=0 f ( a2 )= -0.8 < 0
b 2=x1 =¿ 0.9167204
f ( b2 )=f ( x 1)= - 0.0420016
PARA X 2
x 2=b 2−f ( b 2 ) . ¿
x 2= 0.9675169
f ( x 2)=0.002821
PARA N=3
a 3=a2=0 f ( a3 )= -0.8 < 0
b 3=x 2=¿ 0.9675169
f ( b3 )=f ( x 2 )= 0.002821
PARA X 3
x 3=b 3−f ( b3 ) .¿
x 3=¿¿ 0.9641171
f (x 3)= 0.00019207
PARA N=4
a 4=a3=0 f ( a4 ) = -0.8 < 0
b 4=x 3=¿ 0.9641171
f ( b4 ) =f ( x 3)= 0.00019207
PARA X 4
x 4 =b4 −f ( b 4 ) . ¿
x 4=¿ ¿0.9638856
f (x 4 )= 0.0003971
PARA N=5
a 5=a 4=0 f ( a5 )= -0.8 < 0
b 5=x 4=¿ 0.9638856
f ( b5 )=f ( x 4 )= f (x 4 )= 0.0003971
PARA X 5
x 5=b 5−f ( b5 ) .¿
x 5=¿¿0.9631206
f (x 5)= 0.0000107
Para x 5 el valor aproximado a los que nos piden en la condición.
Ejercicio 8. Repita el ejercicio 6 usando (i) el método de la secante y (ii) el método de la posición falsa.
b) e x +2−x + 2cos x −6=0 para 1 ≤ x ≤2
i) Método de la secante
Solución
( x n−1−x n−2)
x n=x n−1−f ( x n−1)
f ( x n−1 ) −f ( x n−2 )
Consideremos x 0=1 ; x1 =2
Iteración 1
x 0=1 → f ( x 0 )=f ( 1 ) =−1.7011136
x 1=2 → f ( x1 ) =f ( 2 )=0.8067624
( x 1−x 0 )
x 2=x 1−f ( x 1 )
f ( x 1) −f ( x 0 )
2−1
x 2=2−0.8067624 =¿ 1.6783085
0.8067624−(−1.7011136 )
Iteración 2
x 1=2 → f ( x2 ) =0.8067624
x 2=1.6783085 → f ( x2 ) =−0.5456738
( x 2−x 1)
x 3=x 2−f (x 2)
f ( x2 ) −f (x1 )
(1.6783085−2 )
x 3=1.6783085− (−0.5456738 ) =1.8081029
−0.5456738−0.8067624
Iteración 3
x 2=1.6783085 → f ( x2 ) =−0.5456738
x 3=1.8081029 → f ( x3 ) =−0.0857386
( x 3−x 2 )
x 4 =x3 −f (x 3 )
f ( x 3 ) −f ( x 2 )
( 1.8081029−1.6783085 )
x 4 =1.8081029−(−0.0857386 ) =1.8322985
−0.0857386− (−0.5456738 )
Iteración 4
x 3=1.8081029 → f ( x3 ) =−0.0857386
x 4 =1.8322985→ f ( x 4 ) =0.0119847
( x 4 −x 3 )
x 5=x 4 −f (x 4 )
f ( x 4 )−f (x 3 )
( 1.8322985−1.8081029 )
x 5=1.8322985−0.0119847 =1.8293312
0.0119847−(−0.0857386 )
Iteración 5
x 4 =1.8322985→ f ( x 4 ) =¿0.0119847
x 5=1.8293312→ f ( x 5 ) =−0.0002149
( x 5− x 4 )
x 6=x 5−f ( x 5)
f ( x 5 )−f ( x 4 )
( 1.8293312−1.8322985 )
x 6=1.8293312−(−0.0002149 ) =1.8293835
−0.0002149−0.0119847
Iteración 6
x 5=1.8293312→ f ( x 5 ) =−0.0002149
x 6=1.8293835 → f ( x 6 )=−0.0000004
( x6 −x 5 )
x 7=x 6−f (x 6 )
f ( x 6 )−f ( x 5 )
( 1.8293835−1.8293312 )
x 7=1.8293835−(−0.0000004 ) =1.8293836
−0.0000004− (−0.0002149 )
ii) Método de la posición falsa
f [ a , b ] → IR continua y f ( a )∗f (b)<0
Solución
b n−an
x n=b n−f ( bn ) ;n≥1
f ( bn ) −f ( an )
Para n=1
Consideremos a 1=1; b 1=2
a 1=1→ f ( a1 )=−1.7011136<0
b 1=2→ f ( b1 )=0.8067624 >0
2−1
x 1=2−0.8067624 =1.6783085
0.8067624−(−1.7011136 )
f ( x 1 ) =−0.5456738<0
Para n=2
a 2=x1 =1.6783085→ f ( a2 )=−0.5456738< 0
b 2=b1=2 → f ( b 2) =0.8067624> 0
2−1.6783085
x 2=2−0.8067624 =1.8081029
0.8067624−(−0.5456738 )
f ( x 2 ) =−0.0857386<0
Para n=3
a 3=x 2=1.8081029→ f ( a3 )=−0.0857386<0
b 3=b2=2→ f ( b 3 )=0.8067624 >0
2−1.8081029
x 3=2−0.8067624 =1.8265376
0.8067624−(−0.0857386 )
f ( x 3 ) =−0.0116451<0
Para n=4
a 4=x 3=1.8265376 → f ( a 4 ) =−0.0116451<0
b 4=b 3=2 → f ( b4 )=0.8067624 >0
2−1.8265376
x 4 =2−0.8067624 =1.8290058
0.8067624−(−0.0116451 )
f ( x 4 )=−0.0015491< 0
Para n=5
a 5=x 4=1.8290058 → f ( a5 ) =−0.0015491<0
b 5=b 4=2 → f ( b5 ) =0.8067624>0
2−1.8290058
x 5=2−0.8067624 =1.8293335
0.8067624−(−0.0015491)
f ( x 5 ) =−0.0002055<0
Para n=6
a 6=x 5=1.8293335 → f ( a6 ) =−0.0002055<0
b 6=b5 =2→ f ( b6 )=0.8067624>0
2−1.8293335
x 6=2−0.8067624 =1.8293770
0.8067624−(−0.0002055 )
f ( x 6 ) =−0.0000271<0
Para n=7
a 7=x 6=1.8293770 → f ( a7 ) =−0.0000271<0
b 7=b6 =2→ f ( b7 )=0.8067624>0
2−1.8293770
x 7=2−0.8067624 =1.8293827
0.8067624−(−0.0000271 )
f ( x 7 ) =−0.0000037<0
Como |f ( x 7)|=0.0000037<0.00001 terminala iteracióncon
La raíz aproximada x 7=1.8293827
EJERCICIO 9. Use el método de Newton para aproximar con una exactitud de 10−4el valor de x que en
la gráfica de y= x 2 reduce el punto más cercano a (1,0).
f ( x n)
x n+1=x n −
f ´ (x n)
y= x 2
f ( x n ) =x 2
f ´ ( x n ) =2 x
Para x 1=1
f (x n)
x n+1=x 1−
f ´ (x n)
f ( x1)
x 2=x 1−
f ´ ( x1 )
1
x 2=x 1−
2
1
x 2=1−
2
x 2=0.5
f ( x2)
x 3=x 2−
f ´ ( x2 )
0.25
x 3=0.5−
1
x 3=0.25
0.625
x 4 =0.25−
0.5
x 4 =−1
1
x 5=−1−
−2
x 5=−0.5
0.25
x 6=−0.5−
1
x 6=−0.75
0.5625
x 7=−0.75−
1.5
x 7=−1.125
1.25
x 8=−1.125−
2.531
x 8=−1.625
−4
Error | X 8−X 7|=|−1.6250+1.6250|≥ 10
EJERCICIO 10. Con el método de neutrón aproxime, con un grado de exactitud de 10−4; el valor de x
1
en la gráfica de y= produce el punto más cercano a (2;1).
x
Solución
1
Definimos f ( x )= aplicamos el método de neutrón con x 0=1
x
f (x n−1 ) −1
x n=x n−1− n ≥ 1 f ' ( x )=
f '( xn−1 ) x2
1
f (x ) 1
n=1: x 1=x 0− ' 0 =1− =2
f ( x0 ) −1
1
f ( x 1)
n=2: x 2=x 1− =4
f ' ( x1 )
EJERCICIO 11. Lo siguiente describe gráficamente el método de Newton: supongamos que existe
f´ (x ) y que no se anula en (a, b). Supongamos, además que existe una p ∈ [ a ,b ] tal que f ( p ) =0, y sea
P0 ϵ [ a , b ] arbitrario. Sea P1 el punto donde la tangente a f en (P0,f ( Po ) ¿ ) cruza el eje x. Para cada n ≥
1 sea Pn la intersección en x de la tangente a f en (Pn-1; f (Pn-1 )). Derive la fórmula que describe
este método.
SOLUCIÓN
La ecuación de la tangente se puede representar como:
y−f ( pn−1 )=f ' ( p n−1) ( x−P n−1 )
Al utilizar y = 0, x = pn en la ecuación se tiene:
0−f ( pn−1 ) =f ' ( pn−1 )( p n−Pn−1 )
f ( pn−1 )
pn= p n−1 −
f ' ( p n−1 )
f ( p0 )
Para n = 1 ⇒ p1= p0 −
f ' ( p 0)
pn−1=a
f (a) u (a )
u (a)= Pn=a− ……I
f ' (a ) u' ( a )
 Derivando se tiene
2
' [ f ' ( a ) ] −f ( a ) ⋅ f ' ' ( a )
u ( a )= 2
[ f ' ( a) ]
 Reemplazando
f (a)
f ' ( a)
pn=a− 2
[ f ' ( a ) ] −f ( a ) ⋅f ' ' ( a )
2
[ f ' ( a) ]
f (a ). f ' (a)
pn=a− 2
[ f ' ( a ) ] −f ( a ) ⋅ f ' ' ( a )
 Regresando a la variable original se tiene
f ( p n−1 ) . f ' ( pn−1 ) FÓRMULA DE NEWTON

pn= p n−1 − 2 RAPHSON MODIFICADO
' ''
[ f ( p ) ] −f ( p
n−1 n−1 ) ⋅ f ( pn−1 )
EJERCICIO 12. Con el método de Newton resuelva la ecuación:

1 1 1 π
0= + x 2−x sin x− cos 2 x ; con P0=
2 4 2 2
itere hasta lograr una exactitud de 10-3. Explique por qué el resultado es poco usual para el método
de Newton.
SOLUCIÓN
Analizamos la función y observamos que es posible reducirla y la llamamos g(x):
1 1 1 1 1
g ( x )= x2 −x sin x+ − − cos 2 x+
4 2 2 2 2
1 1+cos 2 x
g ( x )= x2 −x sin x−
4 2 ( +1 )
1
g ( x )= x2 −x sin x+ 1−cos x 2
4
1
g ( x )= x2 −x sin x+ sin x2 =0
4
Definimos nuestra función f:
1
 f ( x )= x 2−x sin x +sin x 2
4
1
 f ´ ( x )= x−sin x−x cos x +sin 2 x
2
f ( x n−1 )
 x n=x n−1−
f ´ ( x n−1 )
π
Con P0= =1.5707963
2
Para:
n=0 → P0 =1.5707963
f ( P0) 0.0460540
n=1→ P1=P0− =1.5707963− =1.7853984
f ´ ( P0) −0.2146018
f ( P1 ) 0.0071169
n=2→ P2=P1− =1.7853984− =1.8445614
f ´ ( P1 ) −0.1202933
f ( P2 ) 0.0016386
n=3 → P3=P 2− =1.8445614− =1.8708350
f ´ ( P2 ) −0.0623668
f ( P3 ) 0.0003963
n=4 → P4 =P3− =1.8708350− =1.8833464
f ´ ( P3 ) −0.0316752
f ( P4) 0.0000976
n=5 → P5=P 4− =1.8833464− =1.8917658
f ´ ( P4) −0.0159233
f ( P5 ) 0.0000093
n=6 → P6 =P5− =1.8917658− =1.8936371
f ´ ( P5 ) −0.0049698
f ( P6 ) 0.0000023
n=7 → P7 =P6− =1.8936371− =1.8945632
f ´ ( P6 ) −0.0024835
f ( P7 ) 0.0000006
n=8 → P8 =P7− =1.8945632− =1.8950443
f ´ ( P7 ) −0.0012471
f ( P8 ) 0.0000001
n=9 → P 9=P8− =1.8950443− =1.8952101
f ´ ( P8 ) −0.0006032
Error=P9−P 8=1.8952101−1.8950443=0.0001658> 10−3
El resultado no indica la rápida convergencia generalmente asociada con el método de Newton.
EJERCICIOS 13a. El polinomio de cuarto grado f(X) = 230X4 +18X3 + 9X2 -221X – 9, tiene dos ceros
reales en el intervalo [ −1 , 0 ] y [ 0 ,1 ]. Aproximar estos ceros con la ayuda del método de la posición
falsa y dentro de 10-6.
SOLUCION
METODO DE LA POSICION FALSA
bn−an
X(n) =b n−f ( bn ) .
f ( bn )−f ( an )
Para encontrar los ceros en el intervalo [ −1 , 0 ], y con la tolerancia 10-6

 Para n = 1
a 1=-1 → f(a¿ ¿1)¿ = 433 >0
b 1= 0 → f(b¿ ¿1) ¿ = -9
0−(−1)
X(1) =0−(−9). = -0.02036199
−9−433
f( x ¿¿ 1) ¿ = -4.49638114 < 0
 Para n = 2
a 2=-1 → f(a¿ ¿ 2)¿ = 433 >0
b 2=x1 = -0.02036199 → f(b¿ ¿ 2)¿ = -4.49638114
−0 . 02036199−(−1)
X(2) =−0.02036199−(−4.49638114) . = -0.03043024
−4.49638114−433
f( x ¿¿ 2)¿ = -2.26689137 < 0
 Para n = 3
a 3=-1 → f(a¿ ¿3) ¿ = 433 >0
b 3=x 2= -0.03043024 → f(b¿ ¿3) ¿ = -2.26689137
−0 .03043024−(−1)
X(3)= -0.03043024 −(−2.26689137). = -0.0354798
−2.26689137−433
f( x ¿¿ 3)¿ = -1.14807119< 0
 Para n = 4
a 4=-1 → f(a¿ ¿ 4)¿ = 433 >0
b 4=x 3= -0.03547981 → f(b¿ ¿ 4)¿ = -1.14807119
−0.03547981−(−1)
X(4)= -0.03547981 −(−1.14807119). = -0.0380304
−1.14807119−433
f( x ¿¿ 4)¿ = -0.58277074 < 0
 Para n = 5
a 5=-1 → f(a¿ ¿5)¿ = 433 >0
b 5=x 4= -0.0380304 → f(b¿ ¿5)¿ = -0.58277074
−0.03547981−(−1)
X(5)= -0.0380304−(−0.58277074). = -0.0393234
−0.0380304−433
f( x ¿¿ 5)¿ = -0.29616075< 0
 Para n = 6
a 6=-1 → f(a¿ ¿ 6) ¿ = 433 >0
b 6=x 5= -0.0393234 → f(b¿ ¿5)¿ = -0.29616075
−0.29616075−(−1)
X(6)= -0.0393234−(−0.29616075). = -0.0399800
−0.0380304−433
f( x ¿¿ 6)¿ = -0.15059523< 0
 Para n = 7
a 7=-1 → f(a¿ ¿7)¿ = 433 >0
b 7=x 6= -0.0399800 → f(b¿ ¿5)¿ = -0.15059523
−0.0399800−(−1)
X(7)= -0.0399800−(−0.15059523). = -0.0399800
−0.15059523−433
f( x ¿¿ 7)¿ = -0.0403138< 0
 Para n = 8
X(8) = -0.040483
f( x ¿¿ 8)¿ = -0.03896747
 Para n = 9
X(9) = -0.040569
f( x ¿¿ 9)¿ = -0.01982503
 Para n = 10
X(10) = -0.040613
f( x ¿¿ 10)¿ = -0.01008654
 Para n = 11
X(11) = -0.0406361
f( x ¿¿ 11)¿ = -0.0051319
 Para n = 12
X(12) = -0.0406475
f( x ¿¿ 12) ¿ = -0.00261109
 Para n = 13
X(13) = -0.0406533
f( x ¿¿ 13)¿ = -0.00132851
 Para n = 14
X(14) = -0.0406562
f( x ¿¿ 14)¿ = -0.00067594
 Para n = 15
X(15) = -0.0406577
f( x ¿¿ 15)¿ = -0.00034392
 Para n = 16
X(16) = -0.0406585
f( x ¿¿ 16)¿ = -0.00017499
 Para n = 17
X(17) = -0.0406589
f( x ¿¿ 17)¿ = -0.000086
 Para n = 18
X(18) = -0.0406593
f( x ¿¿ 18)¿ = -0.000046
 Por lo tanto, el cero |f ( x18 )|=¿0.000046 > 10-6 = 0.000001.
Para encontrar los ceros en el intervalo [ 0 , 1 ] y con la tolerancia 10-6
bn−an
X(n) =b n−f ( bn ) .
f ( bn )−f ( an )
 Para n =1
a 1=0 → f(a¿ ¿1)¿ = -9
b 1= 1 → f(b¿ ¿1)¿ = 27 >0
1−(0)
X(1) =1−(27) . =0.25
27−(−9)
f( x ¿¿ 1)¿ = -62.5078125 <0

 Para n =2
a 2= X(1)= 0.25 → f(a¿ ¿ 2)¿ = -62.5078125
b 2= 1 → f(b¿ ¿ 2)¿ = 27
1−(0.25)
X(2) =1−(27) . =0.7737628
27−(−62.5078125)
f( x ¿¿ 2)¿ = -83.8305115
 Para n =3
a 3= X(2)= 0.7737628→ f(a¿ ¿3)¿ = -83.8305115
b 3= 1 → f(b¿ ¿3) ¿ = 27
1−( 0.7737628)
X(3) =1−(27) . =0.9448852
27−(−83.8305115)
f( x ¿¿ 3)¿ = -11.265113
 Para n =4
a 4= X(3)= 0.9448852 → f(a¿ ¿ 4)¿ = -11.265113
b 4= 1 → f(b¿ ¿ 4)¿ = 27
1−(0.9448852)
X(4) =1−(27) . =0.9611108
27−(−11.265113)
f( x ¿¿ 4)¿ = - 0.8558657
 Para n =5
a 5= X(4)= 0.9611108 → f(a¿ ¿5)¿ = - 0.8558657
b 5= 1 → f(b¿ ¿5)¿ = 27
1−(0.9611108)
X(5) =1−(27) . =0.9623057
27−(−0.8558657)
f( x ¿¿ 5)¿ = - 0.061773.
 Para n =6
a 6= X(5)= 0.9623057 → f(a¿ ¿ 6) ¿ = - 0.061773
b 6= 1 → f(b¿ ¿ 6) ¿ = 27
1−(0.9623057)
X(6) =1−(27) . =0.9623917
27−(−0.061773)
f( x ¿¿ 6)¿ = - 0.0044774
 Para n =7
a 7= X(6)= 0.9623917 → f(a¿ ¿7) ¿ = - 0.0044774
b 7= 1 → f(b¿ ¿7)¿ = 27
1−(0.9623917)
X(7) =1−(27) . =0.9623979
27−(−0.0044774)
f( x ¿¿ 7)¿ = - 0.0003457
 Para n =8
a 8= X(8)= 0.9623979 → f(a¿ ¿ 8) ¿ = - 0.0003457
b 8= 1 → f(b¿ ¿ 8) ¿ = 27
1−(0.9623979)
X(8) =1−(27) . =0.9623984
27−(−0.0003457)
f( x ¿¿ 8)¿ = - 0.0003457
Por lo tanto, el cero |f ( x8 )|=¿ 0.000345 > 10-6 = 0.000001 pero está en el intervalo
[ 0 , 1]
Ejercicio 13b. El polinomio de cuarto grado.

𝒇(𝒙) = 𝟐𝟑𝟎𝒙𝟒 + 𝟏𝟖𝒙𝟑 + 𝟗𝒙𝟐 − 𝟐𝟐𝟏𝒙 − 𝟗
Tiene dos ceros reales, uno en [-1,0] y el otro en [0,1]. Trate de aproximar estos ceros
con una exactitud de 10--6 por medio de
a) El método de posición falsa
b) El método de secante
c) El método de Newton
Utilice los extremos de cada intervalo como
aproximaciones iniciales en (a) y en (b) y los
intermedios como aproximaciones iniciales en
(c).
Solución
b. Método de la secante
Para la solución se usa la siguiente
fórmula utilizada por el método de la
Secante:
x n−1−x n−2
Xn = xn-1 –f(Xn-1) , n≥2
f ( x n−1 )−f ( x n−2 )
X0X1
La función es: 𝒇(𝒙) = 𝟐𝟑𝟎𝒙𝟒 + 𝟏𝟖𝒙𝟑 + 𝟗𝒙𝟐 − 𝟐𝟐𝟏𝒙 – 𝟗

Se tomará X0  0.5  X1  1
Para n  2 :
x 1−x 0
X2=X1 – f(X1)
f ( x 1 )−f ( x0 )
X0  0.5  X1  1
f(x0)= -100.625 f(x1)=27

X2 = 0.894221 f(x2)= -39.491002
Para n  3 :
x 2−x 1
X3=X2 – f(X3)
f ( x 2 )−f ( x1 )
X1  1  X2  0.894221
f(x1)= 27 f(x2)= -39.491002

X3 = 0.957046 f(x3)= -3.528688
Para n  4 :
x 3−x 2
X4=X3 – f(X3)
f ( x 3 )−f ( x 2)
X2  0.894221  X3  0.957046
f(x2)= -39.491002 f(x3)= -3.528688

X4 = 0.963211 f(x4)= 0.542398
Para n  5:
x 4 −x 3
X5=X4 – f(X4)
f ( x 4 ) −f ( x 3 )
X3  0.957046 X4  0.963211
f(x3)= -3.528688f(x4)= 0.542398

X5 = 0.96239 f(x5)= -0.00561
Para n  6:
x 5−x 4
X6=X5 – f(X5)
f ( x 5 )−f ( x 4 )
X4  0.963211 X5  0.96239
f(x4)= 0.542398 f(x5)= -0.00561

X6 = 0.962398 f(x6)= -0.000279
Error = [X0 – Xn-1] = [X6 – X5] = 0.000008
Para n  7:
x 6−x 5
X7=X6 – f(X6)
f ( x 6 )−f ( x 5 )
X5  0.96239 X6  0.962398
f(x5)= -0.00561f(x6)= -0.000279

X7 = 0.962398 f(x7)= -0.000279
Error = [X0 – Xn-1] = [X7 – X6] = 0
Como [X 7 – X6] = 0<10-6, terminamos con las iteraciones

obteniendo una raíz aproximada
de X8 = 0.962398
1
EJERCICIO 14a. La función f(x) = tan πx – 6 tiene un cero en( )arctan6
π
≈0.1447431543; sean Po = 0 y P1 = 0.48 , use 10 interacciones cada uno de los
siguientes métodos para aproximar esta raíz
A) METODO DE BISECCIÓN.
F(x)= tan πx – 6 = 0
F(0) =tanπ0 – 6 = 0 ^ f(0.48) = tanπ(0.48) – 6 = 9.394545 ⸫F(0) . F(0.24) ˂ 0
Interacción 1
P 0+ P
r1 = 1
= 0.24
2
F(r 1) . F( p0) ≥ 0 ⸫ P0 = r 1
Interacción 2
0.24+0.48
r2 = = 0.36
2
F(r 2) . F( p0) ≥ 0 ⸫ P0 = r 2
Interacción 3
0.36+0.48
r3 = = 0.42
2
F(r 3) . F( p0) ≥ 0 ⸫ P0 = r 3
Interacción 4
0.42+0.48
r4 = = 0.45
2
F(r 4 ) . F( p0) ≤ 0 ⸫ P0 = r 4
Interacción 5
0.45+0.42
r5 = = 0.435
2
F(r 5) . F( p0) ≥ 0 ⸫ P0 = r 5
Interacción 6
0.435+0.45
r6 = = 0.4425
2
F(r 6 ) . F( p0) ≥ 0 ⸫ P0 = r 6
Interacción 7
0.4425+0.45
r7 = = 0.44625
2
F(r 7 ) . F( p0) ≥ 0 ⸫ P0 = r 7
Interacción 8
0.44625+0.45
r8 = = 0.448125
2
F(r 8 ) . F( p0) ≤ 0 ⸫ P0 = r 8
Interacción 9
0.44625+0.448125
r9 = = 0.4471875
2
F(r 9 ) . F( p0) ≥ 0 ⸫ P0 = r 9
Interacción 10
0.4471875+0.448125
r 10 = = 0.4476563
2
⸫ la raíz buscada es 0.4476563
Ejercicio 14b. Método de la Falsa Posición.
bn −an
x n=b n−f (bn )
[ f (b n)−f ( an) ]
Integraciones.
Para n = 1; pn=x n
a 1=0 f (0)=tan (π (0))−6=6
b 1=0. 48 f (0. 48)=tan(π (0.48))−6=9.894587

b 1−a1
x 1=b1 −f ( b1)
[ f ( b1)−f (a1 ) ]
0.48−0
x 1=0.48−f (0.48)
[ f (0.48)−f (0) ]
x 1=0.181194
Para n = 2; a 2=x1 =0.181194 ; b2 =b1=0,48
b 2−a2
x 2=b 2−f ( b2 )
[ f (b2 )−f (a2 ) ]
0.48−0.181194
x 2=0.48−f ( 0.48 )
[ f ( 0.48 ) −f ( 0.181194 ) ]
x 2=0.286187
Para n = 3; a 3=x 2=0. 286187 ; b3=b 2=0,48
b3−a3
x 3=b 3−f (b3 )
[ f (b3 )−f (a 3) ]
0.48−0. 286187
x 3=0.48−f ( 0.48 )
[ f ( 0.48 )−f ( 0.286187 ) ]
x 3=0.348981
para n =4; a 4=x 3=0.348981 ; b4 =b3 =0.48

f ( x 1 ) =f ( 0.181194 )=−5.360107
b 4−a4
x 4 =b4 −f (b4 )
[ f ( b4 )−f (a 4 ) ]
0.48−( 0.348981 )
x 4 =0.48−f ( 0.48 )
[ f ( 0.48 )−f ( 0.348981 ) ]
x 4 =0.387057
EJERCICICO 14c. La función f(X)= tan x-6 tiene un cero en (1/) arctan 6 =
0,447431543. Sean p0= 0 y p1= 0.48, use diez iteraciones de cada uno de los siguientes
métodos para aproximar esta raíz. ¿Cuál de ellos es más eficaz y por qué? Método de
la secante.
X n−X n−1
X n+1= X n- f (X ¿¿ n)[ ]¿
f ( X n ) −f ( X n−1 )
Iteraciones
Para n=1; X n= pn
p1= 0.48 f ( 0.48 )=tan ((0.48))-6=9.894545
p0= 0  f ( 0 )= tan ((0))-6 = -6
p1− p 1−1
p1+1= p1- f ( p1) [ ¿
f ( p1 )−f ( p1−1 )
p1 − p 0
p2= p1- f ( p¿¿ 1)[ ]¿
f ( p1 )−f ( p0 )
0.48−0
p2=0.48 – f ( 0.48 ) [ ]
f ( 0.48 )−f ( 0 )
p2=181194 f ¿ ¿5.360107
Para n=2
p2 − p 1
p3= p2- f ¿ ¿)[ ¿
f ( p2 )−f ( p1 )
0.181194−0.48
p3=0.181194-f ( 0.181194 ) [ ¿
f ( 0.181194 )−f ( 0.48 )
p3=0.286187 f ¿ ¿)=f ( 0.286187 )=-4.742215
Para n=3
p3 −p 2
p4 = p3- f ¿) [ ¿
f ( p3 ) −f ( p2 )
0.286187−0.181194
p4 =0.286187-f ( 0.286187 ) [ ¿
f ( 0.286187 ) −f ( 0.181194 )
p4 =1.091989 f ¿ ¿)=f ( 1.091989 ) = -5.702685
Para n=4
p 4 − p3
p5= p4 - f ¿) [ ¿
f ( p4 )−f ( p 3 )
1.091989−0.286187
p5=1.091989 -f ( 1.091989 ) [ ¿
f ( 1.091989 )−f ( 0.286187 )
p5=-3.692372 f ¿) =f (−3.692372 ) = -4.551883
Para n=5
p5 −p 4
p6= p5- f ¿ ¿) [ ¿
f ( p5 ) −f ( p4 )
−3.692372−1.091989
p6= -3.692372-f (−3.692372 ) [ ¿
f (−3.692372 )−f (1.091989 )
p6=-22.616435 f ¿)=f (−22.616435 )=¿-3.389305
Para n=6
p6 −p 5
p7= p6- f ¿) [ ¿
f ( p6 ) −f ( p5 )
−22.616435−(−3.692372)
p7=-22.616435-f (−22.616435 ) [ ¿
f (−22.616435 )−f (−3.692372 )
p7=-77.786385 f ¿ ¿)=f (−77.786385 )= -5.206011
Para n=7
p7 −p 6
p8= p7- f ¿) [ ¿
f ( p7 ) −f ( p6 )
−77.786385−(−22.616435)
p8=-77.786385-f (−77.786385 ) [ ¿
f (−77.786385 )−f (−22.616435 )
p8=80.310352 f ¿)=f ( 80.310352 ) = -4.524955
Para n=8
p8 −p 7
p9= p8- f ¿ ¿) [ ¿
f ( p8 ) −f ( p7 )
80.310352−(−77.786385)
p9=80.310352-f ( 80.310352 ) [ ¿
f ( 80.310352 )−f (−77.786385 )
p9=1130.7092 f ¿)=f ( 1130.7092 )= -7.2950275
Para n=9
p9 −p 8
p10= p9- f ¿) [ ¿
f ( p9 ) −f ( p8 )
1130.7092−80.310352
p10=1130.7092-f ( 1130.7092 ) [ ¿
f ( 1130.7092 )−f ( 80.310352 )
p10=-1635.532 f ¿ ¿)=f ( 1635.532 )= 3.940061
Ejercicio 16 a. La ecuación x 2−10 cos x=0 tiene dos soluciones ± 1.3793646. Con el
método de newton aproxime las soluciones con grado de exactitud de 10−5 para la
siguientes valores de P0.
a). P0=−100
Solución
2
Definamos f ( x )=x −10 cos x=0 y aplicamos el método de Newton-Raphson con un
valor inicial P0=−100 y con un grado de exactitud de 10−5 =0.00001
Utilizaremos la formula general:
( x¿¿ n−1)
x n=x n−1−f '
¿
f n≥1¿
(x¿¿ n−1)
f ( x )=x 2−10 cos x

'
f ( x )=2 x +10 sin x
X 0=−100
para n=1 x 1=x 0−¿
f (x¿ ¿ 0)=9991.376811 ¿
f '(x ¿ ¿ 0)=−194.9363436 ¿
9991.376811
x 1=(−100 ) − ( −194.9363436 )=−48.7454385
para n=2 x 2=x 1−¿
f (x¿ ¿1)=¿ ¿2375.610469
f '(x ¿ ¿ 1)=¿¿-87.5037533
2375.610469
x 2=(−48.7454385 )− ( −87.5037533 )=−21.5967691
para n=3 x 3=x 2−¿
f (x¿ ¿2)=¿¿475.6527873
f '(x ¿ ¿ 2)=¿¿-47.0358919
475.6526697
x 3=(−21.5967666 ) − ( −47.0359100 )=−11.4842196
para n=4 x 4 =x3 −¿
f (x¿ ¿3)=¿ ¿127.1929981
f '(x ¿ ¿ 3)=¿¿-14.1387432
127.1929981
x 4 =(−11.4842196 ) − ( −14.1387432 )=−2.4881585
para n=5 x 5=x 4 −¿
f (x¿ ¿ 4)=¿¿14.1309408
f '(x ¿ ¿ 4)=¿ ¿-11.0554841

14.1309408
x 5=(−2.4881585 ) − ( −11.0554841 )=−1.2099747
para n=6 x 6 =x5 −¿
f (x¿ ¿5)=¿ ¿-2.0663919
f '(x ¿ ¿ 5)=¿¿-11.7760201
2375.610469
x 6=(−100 )− ( −87.50375325 )=−1.3854493
para n=7 x 7= x6 −¿
f (x¿ ¿ 6)=¿ ¿0.0765935
f '(x ¿ ¿ 6)=¿¿-12.5996222
0.0765935
x 7=(−1.3854493 ) − ( −12.5996222 )=−1.3793703
para n=8 x 8 =x7 −¿
f (x¿ ¿7)=¿ ¿0.0000718
f '(x ¿ ¿ 7)=¿¿-12.5760798
0.0000718
x 8=(−1.3793703 ) − ( −12.5760798 )=−1.3793646
Respuesta: como nos piden el punto fijo con exactitud de ≤ 10−5=0.00001
|1.3793646−1.3793703|=0.0000057 ; por lo tanto nuestro punto fijo se encuentra en
x 7=−1.3793703
EJERCICIO 16 b.
p0=−50
f ( x )=x 2−10 cos ( x )=0

f ´ ( x )=2 x +10 sin ( x )=0
f ( x0 )
x 1=x 0−
f ´ ( x0 )
(−50)2−10 cos (−50)

x 1=(−50 ) − { 2 (−50 ) +10 sin(−50) }
x 1=−73.2808613
f ( x1 )
x 2=x 1−
f ´ ( x 1)
(−73.2808613)2−10 cos (−73.2808613)

x 2=(−73.2808613 )− {
2 (−73.2808613 ) +10 sin(−73.2808613) }
x 2=−38.9063087
Error|x 2−x 1|=|−38 . 9063087−−73 .2808613|=34 . 3745526
f (x 2 )
x 3=x 2−
f ´ (x 2 )
(−38.9063087)2 −10cos (−38.9063087)

x 3=(−38.9063087 ) − {
2 (−38.9063087 )+10 sin(−38.9063087) }
x 3=−20.9985490
Error |x 3−x 2|=|−20 . 9985490−−38 .9063087|=17 . 9077597
f (x 3)
x 4 =x3 −
f ´ (x 3)
(−20.9985490)2−10 cos(−20.9985490)
x 4 =(−20.9985490 )− {
2 (−20.9985490 )+ 10 sin(−20.9985490) }
x 4 =−11.5295266
Error|x 4 −x3|=|−11. 5295266−(−20 . 9985490)|=9 . 4690224
f (x 4 )
x 5=x 4 −
f ´ ( x4 )
(−11.5295266 )2−10 cos(−11.5295266 )

x 4 =(−11.5295266 ) − {
2 (−11.5295266 )+ 10sin (−11.5295266) }
x 5=−6.6155772
Error|x 5−x 4|=|−6 . 6155772−−11.5295266|=4 . 9139494
f (x5 )
x 6=x 5−
f ´ ( x5 )
(−6.6155772)2−10 cos (−6.6155772)
x 6=(−6.6155772 ) − {
2 (−6.6155772 ) +10 sin(−6.6155772) }
x 6=−4.2633618
error |x 6−x 5|=|−4.2633618−(−6.6155772)|=2.3522154
f ( x6 )
x 7=x 6−
f ´ ( x6 )
(−4.2633618)2−10 cos (−4.2633618)

x 7=(−4.2633618 )− {
2 (−4.2633618 ) +10 sin(−4.2633618) }
x 7=−3.3783773
error |x 7−x 6|=|−3.3783773−−4.2633618|=0.8849845
f (x7 )
x 8=x 7−
f ´ (x7 )
(−3.3783773)2−10 cos (−3.3783773)

x 8=(−3.3783773 ) − {
2 (−3.3783773 ) +10 sin(−3.3783773) }
x 8=−3.1836044
error |x 8−x 7|=|−3.1836044−(−3.3783773)|=0.1947729
f (x 8)
x 9=x 8−
f ´ ( x8 )
(−3.1836044)2−10 cos (−3.1836044)

x 9=(−3.1836044 )− { 2 (−3.1836044 ) +10 sin(−3.1836044) }
x 9=¿ -3.1618249
error |x 9−x 8|=|−3.1618249−(−3.1836044)|=0.0218355
f (x 9 )
x 10=x 9−
f ´ (x 9 )
(3.1618249)2−10 cos(3.1618249)
x 10=( 3.1618249 )− {
2 ( 3.1618249 )+ 10sin (3.1618249) }
x 10=¿-3.1600272
error |x 10−x 9|=|−3.1600272−(−3.1618249)|=0.0017977
f (x10 )
x 11=x 10−
f ´ ( x10 )
(−3.1600272)2−10 cos (−3.1600272)

x 11=(−3.1600272) − {
2 (−3.1600272 ) +10 sin(−3.1600272) }
x 11=−3.1598850
error |x 11−x 10|=|3.1598850−(−3.1600272)|=¿0.0001422
La raíz aproximada es: x 11=−3. 1598850
EJERCICIO 16 c. La ecuación f ( x )=x 2−10 cos ( x ) tiene 2 soluciones ± 1.3793646 con el

método de newton aproxime las soluciones con un grado de exactitud de 10−5 para los
siguientes valores de x 0 .
c) P0=−25
f ( x )=x 2−10 cos ⁡( x )=0

f ´ ( x )=2 x +10 sen ( x)
f (x) (−252 ) −10 cos ⁡( −25)

x 1=x 0−
f ´ (x) (
x 1=(−25 ) −
2 ( 25 )−sen(−25) )
x 1=−12.3637547
f (x)
x 2=x 1−
f ´ (x)
−12.3637547 ) −10 cos ⁡(−12.3637547)
x 2=(−12.3637547)− (( 2(−12.3637547)−sen(−12.3637547) )
x 2=−6.0654572
ERROR :|x 2−x 1|=|−6.0654572−(−12.3637547 )|=6.2982975
f (x) (−6.0654572 )−10 cos ⁡(−6.0654572)

x 3=x 2−
f ´ (x)
x 3=(−6.0654572)− ( 2(−6.0654572)−sen (−6.0654572) )
x 3=−3.3549548
ERROR :|x 3−x 2|=|−3.3549548−(−6.0654572 )|=2.7105024
f (x) (−3.3549548 )−10 cos ⁡(−3.3549548)

x 4 =x3 −
f ´ (x )
x 4 =(−3.3549548)− ( 2(−3.3549548)−sen (−3.3549548) )
x 4 =1.2240857
ERROR :|x 4−x 3|=|−1.2240857−(−3.3549548 )|=4.5790405
f (x) −1.2240857 ) −10 cos ⁡( −1.2240857)

x 5=x 4 −
f ´ (x )
x 5=(−1.2240857)− (( 2(−1.2240857)−sen(−1.2240857) )
x 5=1.3843535
ERROR :|x 5−x 4|=|−1.3843535−1.2240857|=0.1602678

f (x) ( 1.3843535 )−10 cos ⁡(1.3843535)
x 6=x 5−
f ´ (x)
x 6=(1.3843535)− ( 2(1.3843535)−sen(1.3843535) )
x 6=1.3793684
ERROR :|x 6−x 5|=|1.3793684−1.3843535|=0.0049851
f (x) 1.3793684 )−10 cos ⁡(1.3793684)

x 7=x 5−
f ´ (x)
x 7=(1.3793684)− (( 2(1.3793684)−sen (1.3793684) )
x 7=1.3793646
ERROR :|x 7−x 6|=|1.3793646−1.3793684|=0.0000038
La raiz aproximada es : x 7=1.3793646
16. La ecuación x 2  10 cos x  0 Tiene dos soluciones  1.3793646. Con el método de Newton aproxime
las soluciones con un grado de exactitud de 10 5 para los siguientes valores
a. x0  100 c. x0  25 e. x0  50
b. x0  50 d. x0  25 f. x0  100
...
Sabemos
Para x1  25
f ( xn )
xn1  xn 
f '( xn )
Tenemos la función:
f(x)= x 2  10cos x  0
f'(x)= 2 x  10 senx
...
primera iteración:
252  10 cos 25
x2  25 
2* 25  10 sen25
x2  12.36375
Segunda iteración:
12.363752  10 cos12.36375
x3  12.36375 
2*12.36375  10 sen12.36375
x3  6.06546
Tercera iteración:
6.065462  10 cos 6.06546
x4  6.06546 
2* 6.06546  10 sen6.06546
x4  3.35496
...
x5  1.22409
x6  1.38435
x7  1.37937
x8  1.37936
usando una tabla de exel observamos que las iteraciones para

cada uno los items...
Para -100; -25; 50; 100

Por lo tanto concluimos que para cualquiera de los
valores que se tome, a partir de la 6ta, 7ma u octava
iteración, se aproxima con un grado de exactitud de 5
decimales a las raíces originales .
Ejercicio 16e.
p0=50
f ( x )=x 2−10 cos ( x )=0

f ´ ( x )=2 x +10 sin ( x )=0
f ( x0 )
x 1=x 0−
f ´ ( x0 )
(50)2−10 cos (50)

x 1=( 50 )− {
2 ( 50 ) +10 sin(50) }
x 1=26.8385489
f ( x1 )
x 2=x 1−
f ´ ( x 1)
(26.8385489)2−10 cos(26.8385489)
x 2=( 26.8385489 )− { 2 ( 26.8385489 ) +10 sin(26.8385489) }
x 2=14.6137348
Error|x 2−x 1|=|14 . 6137348−26 .8385489|=12 .2248141
f (x 2 )
x 3=x 2−
f ´ (x 2 )
(14.6137348)2−10 cos(14.6137348)
x 3=( 14.6137348 )− { 2 ( 14.6137348 ) +10 sin(14.6137348) }
x 3=8.1922653
Error |x 3−x 2|=|8 . 1922653−14 .6137348|=6 . 4214695
f (x 3)
x 4 =x3 −
f ´ (x 3)
(8.1922653)2−10 cos( 8.1922653)

x 4 =( 8.1922653 )− {
2 ( 8.1922653 )+ 10 sin(8.1922653) }
x 4 =4.9796368
Error|x 4 −x3|=|4 . 9796368−8 . 1922653|=3 .2126285
f (x 4 )
x 5=x 4 −
f ´ ( x4 )
( 4.9796368)2−10 cos (4.9796368)

x 4 =( 4.9796368 )− {
2 ( 4.9796368 ) +10 sin( 4.9796368) }
x 5=3.6095316
Error|x 5−x 4|=|3 . 6095316−4 . 9796368|=1. 3701052

f (x5 )
x 6=x 5−
f ´ ( x5 )
(3.6095316)2−10 cos (3.6095316)

x 6=( 3.6095316 ) − { 2 ( 3.6095316 ) +10 sin(3.6095316) }
x 6=3.2211127
error |x 6−x 5|=|3.2211127−3.6095316|=0.3884189
f ( x6 )
x 7=x 6−
f ´ ( x6 )
(3.2211127)2−10 cos( 3.2211127)

x 7=( 3.2211127 )− {
2 ( 3.2211127 ) +10 sin(3.2211127) }
x 7=3.1652362
error |x 7−x 6|=|3.1652362−3.2211127|=0.0558765
f (x7 )
x 8=x 7−
f ´ (x7 )
(3.1652362)2 −10 cos(3.1652362)

x 8=( 3.1652362 )− { 2 ( 3.1652362 )+10 sin (3.1652362) }
x 8=3.1602998
error |x 8−x 7|=|3.1602998−3.1652362|=0.0049364
f (x 8)
x 9=x 8−
f ´ ( x8 )
(3.1602998)2−10 cos (3.1602998)

x 9=( 3.1602998 ) − { 2 ( 3.1602998 ) +10 sin(3.1602998) }
x 8=¿ 3.1599065
error |x 9−x 8|=|3.1599065−3.1602998|=0.0003933
f (x 9 )
x 10=x 9−
f ´ (x 9 )
(3.1599065)2−10 cos(3.1599065)
x 10=( 3.1599065 )− {
2 ( 3.1599065 )+ 10 sin(3.1599065) }
x 10=¿3.1598755
error |x 10−x 9|=|3.1598755−3.1599065|=0.000310
La raíz aproximada es: x 10=3 .1598755
EJERCICIO 16f. la ecuación f ( x )  x  10 cos( x) tiene 2 soluciones ± 1.3793646 con

2
el método de Newton aproxime las soluciones con un grado de exactitud de 10-5 para
los siguientes valores de x0
f ) P0  100
f ( x)  x 2  10 cos( x)  0
f '( x)  2 x  10 sen( x)
f ( x0 )   100  2  10 cos(100) 
x1  x0  x1  (100)   
f '( x0 )  2(100)  10 sen(100) 
 
x1  52.338203
f ( x1 )   52.338203 2  10 cos(52.338203) 
x2  x1  x2  (52.338203)   
f '( x1 )  2(52.338203)  10 sen(52.338203) 
 
x2  28.063298
ERROR : x2  x1  28.063298  52.338203  24.274905

f ( x2 )   28.063298  2  10 cos(28.063298) 
x3  x2  x3  (28.063298)   
f '( x2 )  2(28.063298)  10 sen(28.063298) 
 
x3  15.261871
ERROR : x3  x2  15.261871  28.063298  12.801427
f ( x3 )   15.261871 2  10 cos(15.261871) 
x4  x3  x4  (15.261871)   
f '( x3 )  2(15.261871)  10 sen(15.261871) 
 
x4  8.527735
ERROR : x4  x3  8.527735  15.261871  6.734136
f ( x4 )   8.527735  2  10 cos(8.527735) 
x5  x4  x5  (8.527735)   
f '( x4 )  2(8.527735)  10sen(8.527735) 
 
x5  5.138393
ERROR : x5  x4  5.138393  8.527735  3.389342
f ( x5 )   5.138393 2  10 cos(5.138393) 
x6  x5  x6  (5.138393)   
f '( x5 )  2(5.138393)  10sen(5.138393) 
 
x6  3.666617
ERROR : x6  x5  3.666617  5.138393  1.471776
f ( x6 )   3.666617  2  10 cos(3.666617) 
x7  x6  x7  (3.666617)   
f '( x6 )  2(3.666617)  10sen(3.666617) 
 
x7  3.232068
ERROR : x7  x6  3.232068  3.666617  0.434549
f ( x7 )   3.232068  2  10 cos(3.232068) 
x8  x7  x8  (3.232068)   
f '( x7 )  2(3.232068)  10 sen(3.232068) 
 
x8  3.166306
ERROR : x8  x7  3.166306  3.232068  0.065762
f ( x8 )   3.164277  2  10 cos(3.164277) 
9  x8  x9  (3.164277)   
f '( x8 )  2(3.164277)  10sen(3.164277) 
 
x9  3.160223
ERROR : x7  x6  3.160223  3.164277  000405
f ( x9 )   3.160223 2  10 cos(3.160223) 
x10  x9  x10  (3.160223)   
f '( x9 )  2(3.160223)  10 sen(3.160223) 
 
x10  3.1599
ERROR : x10  x9  3.1599  3.160223  0000323
f ( x10 )   3.1599  2  10 cos(3.1599) 

 x10  x11  (3.1599)   
f '( x10 )  2(3.1599)  10 sen(3.1599) 
 
x11  3.159875
ERROR : x11  x10  3.159875  3.1599  0000025
La raiz aproximada es : x11  3.159875

π
EJERCICIO 17. Determinar cuántas iteraciones del método de Newton con P0= se
4
necesitan para encontrar un cero de f ( x )=cos x−x.
Solución:
π
f ( x )=cos x−x f ´ ( x )=−senx−1 , ε =10−100 , P 0=
4
Mediante el método de Newton:
f ( x n−1 )
x n=x n −−1
f ' ( x n−1 )
Para n: 1
π π
x =x −
f (x ) π
= −
0
( 4 )−
4
cos
=0.739536134
1 0 '
f (x ) 4 π
−sen ( )−1
0
4
Para n: 2
f ( x1 ) π cos ( 0.739536134 ) −0.739536134
x 2=x 1− '
= − =0.739085178
f ( x1 ) 4 −sen ( 0.739536134 )−1
Para n: 3
f ( x2 ) π cos ( 0.739085178 )−0.739085178
x 3=x 2− '
= − =0.739085133
f ( x 2) 4 −sen ( 0.739085178 ) −1
Para n: 4
f ( x3 ) π cos ( 0.739085133 )−0.739085133
x 4 =x3 − '
= − =0.739085133
f ( x3 ) 4 −sen ( 0.739085133 )−1
→ Error= |x 4 −x3|=|0.739085133−0.739085133|=0<ε =10−100
→ Por lo tanto, se necesitan de 4 iteraciones.
EJERCICIO 21. La suma de dos números es 20. Si cada uno se agrega su raíz cuadrada,
el producto de las dos sumas es 155.55. Determine los dos números con una exactitud
de 10-4.
Solución:
Datos:
x + y = 20 ; x=20-y
( x + √ x ) ( y + √ y )=155 ⋅55
Ahora reemplazamos:
f ( y ) =( 20− y + √ 20− y ) ( y+ √ y ) −155.55=0
f ( y ) =20 y+ 20 √ y − y 2− y √ y + y √ 20− y + √20 y− y 2
10 3 y y 10− y
f ' ( y )=20+ −2 y− √ + √ 20− y − +
√y 2 2 √ 20− y √ 20 y− y2
f ( pn )
→ p n+1= pn −
f ' ( pn)
( 20− pn + √ 20− pn )( p n+ √ pn ) −155.55

→ p n+1= pn −
10 3 √ pn pn 10− p n
20+ −2 p n− + √ 20− pn− +
√ pn 2 2 √ 20− pn √ 20 pn− pn2
Elegimos p0=8
11,90189739
Para n: 1 → p1=8− =5,950217073
5,806418441
6,232526934
Para n: 2 → p 2=5,950217073+ =6,47230747
11,93763947
0,416919307
Para n: 3 → p3=6,47230747− =6,432006413
10,34512090
0,836296097
Para n: 4 → p4 =6,432006413+ =6,511903994
10,46710157
0,009658928
Para n: 5 → p5=6,511903994 + =6,512848594
10,22541381
0,00000135
Para n: 6 → p 6=6,512848594+ =6,512848726
10,2225981
→ Error= | p6 −p 5|=|6,512848726−6,512848594|=0,000000132<ε =10−4
→ Finalmente llegamos al resultado que los números son:

y=6,512848726
x=20−6,512848726=13,48715127
EJERCICIOS
2.4
1. Use el método de Newton para encontrar soluciones de los siguientes problemas
con una exactitud de 10-5
a . x 2−2 x ⅇ−x +ⅇ−2 x =0 , Para 0 ≤ X ≤1

Solución:
Entonces definimos:
f ( x )=x 2−2 x ⅇ−x +ⅇ−2 x , x ∈ [ 0,1 ] , ε =10−5 , x 0=0,5
f ' ( x )=2 x−2 ⅇ−x +2 x ⅇ− x −2 ⅇ−2 x → f ' ( x )=2 ⅇ−x ( x−1 ) +2 ( x −ⅇ−2 x )
Por el método de Newton.

f ( xn)
→ xn +1=x n−
f ' ( xn)
x n2−2 x n ⅇ− x + ⅇ−2 x
n n
→ xn +1=x n−¿ −x n −2 x n
2ⅇ ( x n−1 ) + 2 ( xn −ⅇ )
f ( p0)
Para n: 1 → p 1= p0− =0.5−¿ 0.52 −2¿ ¿
f ' ( p0 )
0,0113488
p1=0,5− =0,5331556
−0,3422895
f ( p1 )
Para n: 2 → p 2= p1− '
=0,5331556−0,53315562−2 ¿ ¿
f ( p1 )
0,0028724
p2=0,5331556− =0,5500438
−0,1700835
f ( p 2) 2
Para n: 3 → p 3= p2− '
=0,5500438−0,5500438 −2 ¿ ¿
f ( p2 )
0,0007226
p3=0,5500438− =0,5585672
−0,0847779
f ( p3 )
Para n: 4 → p 4= p3 − '
=0,5585672−0,55856722−2 ¿ ¿
f ( p 3)
0,0001812
p4 =0,5585672− =0,5628486
−0,0423216
f ( p4 ) 2
Para n: 5 → p 5= p4 − '
=0,5628486−0,5628486 −2 ¿ ¿
f ( p4)
0,0000454
p5=0,5628486− =0,5649958
−0,0211443
f ( p5)
Para n: 6 → p 6= p5− '
=0,5649958−0,56499582−2 ¿ ¿
f ( p5 )
0,0000113
p6=0,5649958− =0,5660658
−0,0105608
f ( p6 ) 2
Para n: 7 → p 7= p6− '
=0,5660658−0,5660658 −2¿ ¿
f ( p6 )
0,0000029
p7=0,5660658− =0,5666134
−0,0052956
f ( p7)
Para n: 8→ p 8= p7− '
=0,5666134−0,5666134 2−2 ¿ ¿
f ( p7 )
0,0000007
p8=0,5666134− =0,5668823
−0,0026034
f ( p8 ) 2
Para n: 9→ p 9= p8− '
=0,5668823−0,5668823 −2 ¿ ¿
f ( p8 )
0,0000002
p9=0,5668823− =0,5670383
−0,0012821
f ( p9)
Para n: 10→ p 10=p 9− =0,5670383−0,56703832−2 ¿ ¿
f ' ( p9 )
0,000000027
p10=0,5670383− =0,5670907
−0,0005157
f ( p 10 ) 2
Para n: 11→ p 11= p10− '
=0,5670907−0,5670907 −2 ¿ ¿
f ( p10 )
0,00000007
p11 =0,5670907− =0,5671178
−0,0002583
f ( p 11 )
Para n: 12→ p 12= p 11− '
=0,5671178−0,56711782−2 ¿ ¿
f ( p11 )
0,000000002
p12=0,5671178− =0,5671338
−0,0001252
→ Error= |x 12−x 11|=|0,5671338−0,5671178|=0,000016>ε =10−5
f ( p12 )
Para n: 13→ p 13=p 12− '
=0,5671338−0,56713382−2 ¿ ¿
f ( p12 )
0,0000000001
p13=0,5671338− =0,5671358
0,0000466
→ Error= |x 13−x 12|=|0,5671358−0,5671338|=0,000002< ε=10−5
→ x13=0,5671358con una exactitud de ε =10−5
Ejercicio 1b. Use el método de Newton para encontrar las soluciones de los
siguientes problemas con una exactitud de 10-5.
b) cos ( x + √ 2 ) + x ( x2 +√ 2)=0 para−2 ≤ x ≤−1

Solución
f ( x n−1 )
x n=x n−1− n≥1
f ´ ( x n−1 )
f ( x )=cos ( x+ √2 ) + x ( 2x +√ 2 )=0 f ( x )=−sin ( x +√ 2 )+ x+ √2

´
Supongamosque una aproximación inicial sea x 0=−1.5
Para n=1
f ( x0 )
x 1=x 0−
f ´ ( x0 )
f ( x 0 ) =0.000002256 f ¨ ( x 0 )=−0.000105183
0.000002256
x 1=−1.5− → x 1=−1.478551667
−0.000105183
Para n=2
f ( x1 )
x 2=x 1−
f ( x1 )
f ( x 1 ) =0.000000714 f ¨ ( x 1 )=−0.000044378
0.000000714
x 2=−1.478551667− → x 2=−1.462462614
−0.000044378
Para n=3
f ( x2 )
x 3=x 2−
f ( x2 )
f ( x 2 ) =0.000000226 f ¨ ( x 2 )=−0.000018718
0.000000226
x 3=−1.462462614− → x3 =−1.450388674
−0.000018718
Para n=4
f ( x3 )
x 4 =x3 −
f ¨ ( x3 )
f ( x 3 ) =0.000000071 f , ( x 3 )=−0.000007890
0.000000071
x 4 =−1.450388674− → x 4 =−1.441389941
−0.000007890
Para n= 5
f (x 4 )
x 5=x 4 − ,
f ( x 4)
f ( x 4 )=0.000000023 f , ( x 4 ) =−0.000003345
0.000000023
x 5=−1.441389941− → x 5=−1.434514007
−0.000003345
Para n=6
f ( x 5)
x 6=x 5− ,
f ( x 5)
f ( x 5 ) =0.000000007 f , ( x5 ) =−0.000001394
0.000000007
x 6=−1.434514007− → x 6=−1.429492486
−0.000001394
Para n=7
f ( x6 )
x 7=x 6−
f , ( x6 )
f ( x 6 ) =0.000000002 f , ( x 6 ) =−0.000000594
0.000000002
x 7=−1.429492486− → x 7=−1.426125483
−0.000000594
Para n=8
f ( x7 )
x 8=x 7−
f , ( x7 )
f ( x 7 ) =0.000000001 f , ( x 7 ) =−0.000000282
0.000000001
x 8=−1.426125483− → x 8=−1.422579384
−0.000000282
Paran n=9
f ( x8 )
x 9=x 8−
f , ( x8 )
f ( x 8 ) =0.0000000001 f , ( x 8 ) =−0.000000098
0.0000000001
x 9=−1.422579384− → x 9=−1.421558976
−0.000000098
Para n=10
f ( x9 )
x 10=x 9−
f , ( x 9)
f ( x 9 ) =0.000000001 f , ( x 9 ) =−0.000000066
0.00000000001
x 10=−1.421558976− → x10 =−1.421553824
−0.000000066
→ Error|x 10−x 9|=|1.421553824−1.421558976|=0.000005152<ε =10−5
Raíz aproximada es x 10=−1.421553824
EJERCICIO 1. Usa el método de Newton para encontrar las soluciones de los

siguientes problemas con una exactitud de 10−5
x x x
c. x  3 x (2 )  3 x(4 )  8  0
3 2
f ( x)  x3  3x 2 (2 x )  3x(4 x )  8 x
f ' ( x)  3 x 2  2 x (6 x)  2 x *3x 2 ln 2  3* 4  x  3* 4 x * xln 4  8 x *ln 8
x0  0.5
x1  0.5463286
x2  0.5776203
x3  0.5986
x4  0.6127722
x5  0.62221449
x6  0.62852538
x7  0.63273979
x8  0.63555258
x9  0.63742917
x10  0.63868085
x11  0.63951557
x12  0.64007226
x13  0.64044348
x14  0.640690734
x15  0.640857263
x16  0.640964883
x17  0.641030635
x18  0.64114429
x19  0.641272957
x20  0.641272957
Error
X 6  X 5  0.641272957  0.641272957  0.00000000

EJERCICIO 1 D
∈=10−5 x ∈ {−1,0 }
f (x n−1 )
x n=x n−1− nn ≥ 1
f ´ (x n−1 )
x 0=−0.5
f ( x )=e6 x +3 ln (2)2 e 2 x −ln ( 8 ) e 4 x −3 ln ( 2 )2=0
f´(x)=6 e 6 x +6 ln(2)2 e 2 x −4 ln ( 8 ) e 4 x =0
ahora
f ( x 0 ) =e 6 x +3 ln (2)2 e2 x −ln ( 8 ) e 4 x −3 ln ( 2 )2=−1.1427474
Derivar la función
f´ ( x 0)=6 e 6 x +6 ln(2)2 e 2 x −4 ln ( 8 ) e 4 x =0.2335279
para n=1
f ( x0 )
x 1=x 0−
f ´ ( x0 )
−1.1427474
x 1=−0.5−
0.2335279
x 1=4.3934085
para n=2
f ( x 1 ) =e6 x + 3 ln (2)2 e 2 x −ln ( 8 ) e 4 x −3 ln ( 2 )2=2.80582429
f´ ( x 1)=6 e 6 x +6 ln(2)2 e 2 x −4 ln ( 8 ) e 4 x =1.683672819
f ( x1 )
x 2=x 1−
f ´ ( x 1)
2.80582429
x 2=4.3934085−
1.683672819
x 2=¿2.7269183
error |x 2−x 1|=|2.7269183−4.3934085|=−.1 .6664902

para n=3
f (x 2 )
x 3=x 2−
f ´ (x 2 )
12642779.01
x 3=2.7269183−
76082384.30
x 3=2.5607461
error |x 3−x 2|=|2.5607461−2.7269183|=−0.1661722
para n=4
f (x 3)
x 4 =x3 −
f ´ (x 3)
4648440.611
x 4 =( 2.5607461) − {28006487.59 }
x 4 =2.3947688
error |x 4 −x3|=|2.3947688−2.5607461|=−0.1659773
para n=5
f (x 4 )
x 5=x 4 −
f ´ ( x4 )
x 5=( 2.3947688 )− {1708743.482

10311909.73 }
x 5=2.2290630
error |x 5−x 4|=|2.2290630−2.3947688|=−0.1657058
para n=6
f (x5 )
x 6=x 5−
f ´ ( x5 )
x 6=( 2.2290630 ) − {627934.1907
3798108.527 }
x 6=2.0637349
error |x 6−x 5|=|2.0637349−2.2290630|=−0.1653281
para n=7
f ( x6 )
x 7=x 6−
f ´ ( x6 )
x 7=( 2.0637349 )− {230657.1526

1399591.462 }
x 7=1.8989317
error |x 7−x 6|=|1.8989317−2.0637349|=−0.1648132
para n=8
f (x7 )
x 8=x 7−
f ´ (x7 )
x 8=( 1.8989317 ) − {84676.45783

516085.0509 }
x 8=1.7348571
error |x 8−x 7|=|1.7348571−1.8989317|=−0.1640746
para n=9
f (x 8)
x 9=x 8−
f ´ ( x8 )
x 9=( 1.7348571 )− { 31059.93351

190475.7360 }
x 9=1.5717921
error |x 9−x 8|=|1.5717921−1.7348571|=−0.1630650
para n=10
f (x 9 )
x 10=x 9−
f ´ (x 9 )
11379.91652
x 10=( 1.5717921 )− {70390.40051 }
x 10=1.4101235
error |x 10−x 9|=|1.4101235−1.5717921|=−0.1616686
para n=11
f (x10 )
x 11=x 10−
f ´ ( x10 )
x 11=( 1.4101235 ) − {4162.729948

26059.42703 }
x 11=1.4120522
para n=12
f (x 11 )
x 12=x11 −
f ´ (x 11 )
4213.291111
x 12=( 1.4120522 )− {26371.49021 }
x 12=1.2522853
error |x 12−x 11|=|1.2522853−1.4120522|=−0.1597669
para n=13
f ( x 12)
x 13=x 12−
f ´ ( x 12)
1537.752560
x 13=( 1.2522853 )− { 9787.50545457 }
x 13=1.0951715
error |x 13−x 12|=|1.0951715−1.2522853|=−0.1571138
La raíz aproximada es : x 13=1.0951715

d)
∈=10−5 x ∈ {−1,0 }
f (x n−1 )
x n=x n−1− nn ≥ 1
f ´ (x n−1 )
x 0=−0.5
f ( x )=e6 x +3 ln (2)2 e 2 x −ln ( 8 ) e 4 x −3 ln ( 2 )2=0
f´(x)=6 e 6 x +6 ln(2)2 e 2 x −4 ln ( 8 ) e 4 x =0
ahora
f ( x 0 ) =e 6 x +3 ln (2)2 e2 x −ln ( 8 ) e 4 x −3 ln ( 2 )2=−1.1427474
Derivar la función
f´ ( x 0)=6 e 6 x +6 ln(2)2 e 2 x −4 ln ( 8 ) e 4 x =0.2335279
para n=1
f ( x0 )
x 1=x 0−
f ´ ( x0 )
−1.1427474
x 1=−0.5−
0.2335279
x 1=4.3934085
para n=2
f ( x 1 ) =e6 x + 3 ln (2)2 e 2 x −ln ( 8 ) e 4 x −3 ln ( 2 )2=2.80582429
f´ ( x 1)=6 e 6 x +6 ln(2)2 e 2 x −4 ln ( 8 ) e 4 x =1.683672819
f ( x1 )
x 2=x 1−
f ´ ( x 1)
2.80582429
x 2=4.3934085−
1.683672819
x 2=¿2.7269183
error |x 2−x 1|=|2.7269183−4.3934085|=−.1 .6664902

para n=3
f (x 2 )
x 3=x 2−
f ´ (x 2 )
12642779.01
x 3=2.7269183−
76082384.30
x 3=2.5607461
error |x 3−x 2|=|2.5607461−2.7269183|=−0.1661722
para n=4
f (x 3)
x 4 =x3 −
f ´ (x 3)
4648440.611
x 4 =( 2.5607461) − {28006487.59 }
x 4 =2.3947688
error |x 4 −x3|=|2.3947688−2.5607461|=−0.1659773
para n=5
f (x 4 )
x 5=x 4 −
f ´ ( x4 )
x 5=( 2.3947688 )− {1708743.482

10311909.73 }
x 5=2.2290630
error |x 5−x 4|=|2.2290630−2.3947688|=−0.1657058
para n=6
f (x5 )
x 6=x 5−
f ´ ( x5 )
x 6=( 2.2290630 ) − {627934.1907

3798108.527 }
x 6=2.0637349
error |x 6−x 5|=|2.0637349−2.2290630|=−0.1653281
para n=7
f ( x6 )
x 7=x 6−
f ´ ( x6 )
x 7=( 2.0637349 )− {230657.1526

1399591.462 }
x 7=1.8989317
error |x 7−x 6|=|1.8989317−2.0637349|=−0.1648132
para n=8
f (x7 )
x 8=x 7−
f ´ (x7 )
x 8=( 1.8989317 ) − {84676.45783

516085.0509 }
x 8=1.7348571
error |x 8−x 7|=|1.7348571−1.8989317|=−0.1640746
para n=9
f (x 8)
x 9=x 8−
f ´ ( x8 )
x 9=( 1.7348571 )− { 31059.93351

190475.7360 }
x 9=1.5717921
error |x 9−x 8|=|1.5717921−1.7348571|=−0.1630650
para n=10
f (x 9 )
x 10=x 9−
f ´ (x 9 )
11379.91652
x 10=( 1.5717921 )− {70390.40051 }
x 10=1.4101235
error |x 10−x 9|=|1.4101235−1.5717921|=−0.1616686
para n=11
f (x10 )
x 11=x 10−
f ´ ( x10 )
x 11=( 1.4101235 ) − {4162.729948

26059.42703 }
x 11=1.4120522
para n=12
f (x 11 )
x 12=x11 −
f ´ (x 11 )
4213.291111
x 12=( 1.4120522 )− {26371.49021 }
x 12=1.2522853
error |x 12−x 11|=|1.2522853−1.4120522|=−0.1597669
para n=13
f ( x 12)
x 13=x 12−
f ´ ( x 12)
1537.752560
x 13=( 1.2522853 )− { 9787.50545457 }
x 13=1.0951715
error |x 13−x 12|=|1.0951715−1.2522853|=−0.1571138
La raíz aproximada es : x 13=1.0951715
EJERCICIO 2. Aplique el método de Newton y el método modificado de Newton-

Raphson descrito en la ecuación (2.11) para encontrar una solución del siguiente
problema con una exactitud de 10−5 .
a. x 2−2 x e− x + e−2 x =0 , Para: 0≤ x ≤ 1

Solución:
Formula:
f ( x n−1 )∗f ´ ( x n−1 )
x n=x n−1− 2
[f ´ ( x n−1 ) ] −f ( x n−1)∗f ´ ´ ( x n−1)
A. Aplicamos el método estándar de Newton – Raphson:
f ( x)=x 2−2 x e− x + e−2 x
f ' ( x)=2 x−2(e− x −x e− x )−2 e−2 x
x 0=10−5
f (x n−1 )
x n=x n−1−
f ´ (x n−1 )
Para n=1:
f ( x0 )
x 1=x 0−
f ´ ( x0 )
x 1=10−5 −¿ ¿ ¿
x 1=0.25000
Para n=2:
f ( x1 )
x 2=x 1−
f ´ ( x 1)
x 2=0.39863
Para n=3:
f (x 2 )
x 3=x 2−
f ´ (x 2 )
x 3=0.48018
Para n=4:
f (x 3)
x 4 =x3 −
f ´ (x 3)
x 4 =0.52295
Para n=5:
f (x 4 )
x 5=x 4 −
f ´ ( x4 )
x 5=0.54486
Para n=6:
f (x5 )
x 6=x 5−
f ´ ( x5 )
x 6=0.55595
Para n=7:
f ( x6 )
x 7=x 6−
f ´ ( x6 )
x 7=0.56153
Para n=8:
f (x7 )
x 8=x 7−
f ´ (x7 )
x 8=0.56433
Para n=9:
f (x 8)
x 9=x 8−
f ´ ( x8 )
x 9=0.56573
Para n=10:
f (x 9 )
x 10=x 9−
f ´ (x 9 )
x 10=0.56643
Para n=11:
f (x10 )
x 11=x 10−
f ´ ( x10 )
x 11=0.56678
Para n=12:
f (x 11 )
x 12=x11 −
f ´ (x 11 )
x 12=0.56696
Para n=13:
f ( x 12)
x 13=x 12−
f ´ ( x 12)
x 13=0.56705
B. Aplicamos el método modificado de Newton – Raphson:
f ( x)=x 2−2 x e− x + e−2 x
f ' ( x)=2 x−2(e− x −x e− x )−2 e−2 x
f ´ ´ (x) =2+4 e−x −2 e− x x−4 e−2 x
x 0=10−5
f ( x n−1 )∗f ´ ( x n−1 )

x n=x n−1− 2
[f ´ ( x n−1 ) ] −f ( x n−1)∗f ´ ´ ( x n−1)
Para n=1:
x 0=10−5
−5 −5
f ( x 0 ) =(10−5)2−2¿ 10−5 e−10 +e−2∗10 =0.99996
f ´ ( x 0 ) =¿ 2∗10−5−2 ( e−10 −10−5 e−10 )−2 e−2 ¿10 =−3.99990

−5 −5 −5
f ´ ´ ( x 0 ) =¿ 2+ 4 e−10 −2 e−10 10−5−4 e−2∗10 =2.00002

−5 −5 −5
f ( x 0 )∗f ´ (x 0 )
x 1=x 0− 2
[f ´ ( x 0 ) ] −f ( x 0 )∗f ´ ´ (x 0 )
0.99996∗(−3.99994)
x 1=10−5 −
[−3.99990]2−(0.99996∗2.00002)
x 1=0.28572
Para n=2:
f ( x 1 ) =0.21693
f ´ ( x 1 )=−1.63151
f ´ ´ ( x 1 )=2.31762
f ( x 1)∗f ´ ( x 1)
x 2=x 1− 2
[f ´ ( x 1 ) ] −f ( x1 )∗f ´ ´ (x1 )
x 2=0.44964
Para n=3:
f ( x 2 ) =0.03543
f ´ ( x 2 ) =−0.61655
f ´ ´ ( x 2 )=2.35037
f ( x 2 )∗f ´ ( x2 )
x 3=x 2− 2
[ f ´ ( x 2 ) ] −f ( x 2)∗f ´ ´ ( x 2 )
x 3=0.52322
Para n=4:
f ( x 3 ) =0.00481
f ´ ( x 3 ) =−0.22102
f ´ ´ ( x 3 ) =2.34556
f ( x3 )∗f ´ (x3 )
x 4 =x3 − 2
[f ´ ( x 3 ) ] −f ( x 3 )∗f ´ ´ ( x3 )
x 4 =0.55152
Para n=5:
f ( x 4 )=0.00060
f ´ ( x 4 )=−0.07740
f ´ ´ ( x 4 )=2.34142
f ( x 4 )∗f ´ (x 4 )
x 5=x 4 − 2
[f ´ ( x 4 ) ] −f ( x 4 )∗f ´ ´ ( x 4)
x 5=0.56165
Para n=6:
f ( x 5 ) =−1.21993
f ´ ( x 5 ) =−0.02706
f ´ ´ ( x 5 ) =2.33967
f ( x 5 )∗f ´ ( x 5 )
x 6=x 5− 2
[ f ´ ( x 5 ) ] −f ( x 5 )∗f ´ ´ ( x 5)
x 6=0.55009
Para n=7:
f ( x 6 ) =0.00072
f ´ ( x 6 ) =−0.08455
f ´ ´ ( x 6 ) =2.34166
f ( x 6 )∗f ´ ( x 6 )
x 7=x 6− 2
[f ´ ( x 6 ) ] −f ( x 6 )∗f ´ ´ (x 6 )
x 7=0.56123
Para n=8:
f ( x 6 ) =0.00009
f ´ ( x 6 ) =−0.02914
f ´ ´ ( x 6 ) =2.33974
f ( x 6 )∗f ´ ( x 6 )
x 7=x 6− 2
[f ´ ( x 6 ) ] −f ( x 6 )∗f ´ ´ (x 6 )
x 7=0.56534
Para n=9:
f ( x 6 ) =0.00001
f ´ ( x 6 ) =−0.00887
f ´ ´ ( x 6 ) =2.61167
f ( x 6 )∗f ´ ( x 6 )
x 7=x 6− 2
[f ´ ( x 6 ) ] −f ( x 6 )∗f ´ ´ (x 6 )
x 7=0.56703
2b Repita el ejercicio 1 aplicando el método modificado de Newton Raphson. ¿Mejora

la rapidez o la exactitud en comparación con el ejercicio 1?
x
cos ( x + √ 2 ) + x ( 2 )
+ √ 2 =0 ; con −2 ≤ x ≤−1
SOLUCION
Definimos lo siguiente:
x2
 f ( x )=cos ( x+ √2 ) + + x √2
2
 f ´ ( x )=−sin ( x + √ 2 ) + x + √ 2
 f ´ ´ ( x )=−cos ( x+ √2 ) +1
f ( pn−1 )∗f ´ ( pn−1 )
 pn= p n−1 − 2
(f ´ ( pn−1 ) ) −f ( p n−1 )∗f ´ ´ ( pn −1 )
Con P0=−1.5
Para:
n=0 → P0 =−1.5
f ( p0 )∗f ´ ( p0 ) ( 0.000002256 )∗ (−0.000105183 )

n=1→ P1= p0− 2
=−1.5− =−1
( f ´ ( p0 ) ) −f ( p0 )∗f ´ ´ ( p0 ) (−0.000105183 )2−( 0.000002256 )∗( 0.003677400 )
Ejercicio (2c) Repita el ejercicio 1 aplicando el método modificado de Newton –
Raphson descrito en la ecuación 2.11. Mejora la rapidez o la exactitud en comparación
con el ejercicio 1
x 3−3 x 2 ( 2−x ) +3 x ( 4−x )−8− x =0 para 0 ≤ x ≤ 1
SOLUCIÓN: Definimos
f(x) = x−x 3−3 x 2 (2− x )+3 x ( 4−x )−8−x =0
x 0=0 f x 0=12
x 1=1 f x 1=-2
x n−1−x
x n=x n−1−f ( xn−1 )* n−2
f ( x n−1 )−f ( x n−2 )
Multiplicamos por x
f ( x )=x 2−x 4 −6 x 2+ 12 x−8=0
f ( x )=−x 4−5 x 2+12 x−8
f ( x )=−4 x 3−10 x +12
Para n=2
x1− x
x 2=x 1−f ( x 1 )* 2
f ( x 1 )−f ( x2 )
1−0
x 2=1−(−2)*
−2−12
x 2=¿0.21428 f( x 2)
Para n=3
f( x 2)=14.14069
−0 .21428+ 2
x 3=0 . 21428−14 .14069*
14 .14069+ 2
x 3=¿-1.5881
Observamos x 2= -1.5881 es una raíz aproximada de −x 4 −5 x 2 +12 x −8 tambien punto
de f(x)= x 3−3 x 2 ( 2−x ) +3 x ( 4−x )−8− xg

(2c) Repita el ejercicio 1 aplicando el método modificado de Newton – Raphson
descrito en la ecuación 2.11. Mejora la rapidez o la exactitud en comparación con el
ejercicio 1
x 3−3 x 2 ( 2−x ) +3 x ( 4−x )−8− x =0 para 0 ≤ x ≤ 1
SOLUCIÓN: Definimos
f(x) = x−x 3−3 x 2 (2− x )+3 x ( 4−x )−8−x =0
x 0=0 f x 0=12
x 1=1 f x 1=-2
x n−1−x
x n=x n−1−f ( xn−1 )* n−2
f ( x n−1 )−f ( x n−2 )
Multiplicamos por x
f ( x )=x 2−x 4 −6 x 2+ 12 x−8=0
f ( x )=−x 4−5 x 2+12 x−8
f ( x )=−4 x 3−10 x +12
Para n=2
x1− x
x 2=x 1−f ( x 1 )* 2
f ( x 1 )−f ( x2 )
1−0
x 2=1−(−2)*
−2−12
x 2=¿0.21428 f( x 2)
Para n=3
f( x 2)=14.14069
−0 .21428+ 2
x 3=0 . 21428−14 .14069*
14 .14069+ 2
x 3=¿-1.5881
Observamos x 2= -1.5881 es una raíz aproximada de −x 4 −5 x 2 +12 x −8 tambien punto
de f(x)= x 3−3 x 2 ( 2−x ) +3 x ( 4−x )−8− xg
3. aplique el método de Newton y el método modificado de Newton-Raphson

descrito en la ecuación (2.11) para encontrar una solución del siguiente problema
con una exactitud de 10−5 .
e 6 x +1.441 e2 x −2.079 e 4 x −0.3330=0 , para: −1 ≤ x ≤0
Este es el mismo problema que 1(d), solo que el coeficiente ha sido reemplazado por
sus aproximaciones de cuatro dígitos. Compare las soluciones con los resultados de
1(d) y de 2(d).
Solución:
Formula:
f ( x n−1 )∗f ´ ( x n−1 )
x n=x n−1− 2
[f ´ ( x n−1 ) ] −f ( x n−1)∗f ´ ´ ( x n−1)
C. Aplicamos el método estándar de Newton – Raphson:
f ( x)=e 6 x +1.441 e2 x −2.079 e 4 x −0.3330
f ' ( x)=6 e 6 x +2.882 e2 x −8.316 e 4 x
x 0=0
f (x n−1 )
x n=x n−1−
f ´ (x n−1 )
Para n=1:
f ( x0 )
x 1=x 0−
f ´ ( x0 )
e6 (0)+ 1.441e 2(0) −2.079 e 4 (0 )−0.3330
x 1=0−
6 e 6(0) +2.882 e 2(0)−8.316 e 4 (0 )
x 1=−0.0512291
Para n=2:
f ( x1 )
x 2=x 1−
f ´ ( x 1)
x 2=−0.0900318
Para n=3:
f (x 2 )
x 3=x 2−
f ´ (x 2 )
x 3=−0.1185277
Para n=4:
f (x 3)
x 4 =x3 −
f ´ (x 3)
x 4 =−0.1388893
Para n=5:
f (x 4 )
x 5=x 4 −
f ´ ( x4 )
x 5=−0.1530092
Para n=6:
f (x5 )
x 6=x 5−
f ´ ( x5 )
x 6=−0.1622735
Para n=7:
f ( x6 )
x 7=x 6−
f ´ ( x6 )
x 7=−0.1674842
Para n=8:
f (x7 )
x 8=x 7−
f ´ (x7 )
x 8=−0.1693676
Para n=9:
f (x 8)
x 9=x 8−
f ´ ( x8 )
x 9=−0.1696031
Para n=10:
f (x 9 )
x 10=x 9−
f ´ (x 9 )
x 10=−0.1696065
Para n=11:
f (x10 )
x 11=x 10−
f ´ ( x10 )
x 11=−0.1696065
D. Aplicamos el método modificado de Newton – Raphson:
f ( x)=e 6 x +1.441 e2 x −2.079 e 4 x −0.3330
f ' ( x)=6 e 6 x +2.882 e2 x −8.316 e 4 x
f ´ ´ (x) =36 e 6 x +5.764 e 2 x −33.264 e4 x
x 0=0
f ( x n−1 )∗f ´ ( x n−1 )

x n=x n−1− 2
[f ´ ( x n−1 ) ] −f ( x n−1)∗f ´ ´ ( x n−1)
Para n=1:
x 0=0
f ( x 0 ) =e 6 (0 )+1.441 e 2( 0)−2.079 e 4 ( 0)−0.3330=0.0290057
f ´ ( x 0 ) =6 e 6 (0) +2.882 e 2( 0)−8.316 e4 (0) =0.5660850
f ´ ´ ( x 0 ) =36 e 6( 0) +5.764 e 2 (0 )−33.264 e 4 (0 )=8.5009448

f ( x 0 )∗f ´ (x 0 )
x 1=x 0− 2
[f ´ ( x 0 ) ] −f ( x 0 )∗f ´ ´ (x 0 )
0.0290057∗0.5660850
x 1=10−5 −
[0.5660850]2−0.0290057∗8.5009448
x 1=−0.2222490
Para n=2:
f ( x 1 ) =0.0001647
f ´ ( x 1 )=0.0106680
f ´ ´ ( x 1 )=−0.4902363
f ( x 1)∗f ´ ( x 1)
x 2=x 1− 2
[f ´ ( x 1 ) ] −f ( x1 )∗f ´ ´ (x1 )
x 2=−0.2312803
Para n=3:
f ( x 2 ) =−0.0002821
f ´ ( x 2 ) =0.0154714
f ´ ´ ( x 2 )=−0.5716873
f ( x 2 )∗f ´ ( x 2)
x 3=x 2− 2
[f ´ ( x 2 ) ] −f ( x 2 )∗f ´ ´ ( x 2)
x 3=−0.1753908
Para n=4:
f ( x 3 ) =−0.0000079
f ´ ( x 3 ) =0.0008804
f ´ ´ ( x 3 ) =0.1342909
f ( x3 )∗f ´ (x3 )
x 4 =x3 − 2
[f ´ ( x 3 ) ] −f ( x 3 )∗f ´ ´ ( x3 )
x 4 =−0.1716026
Para n=5:
f ( x 4 )=−0.0000035
f ´ ( x 4 )=0.0015169
f ´ ´ ( x 4 )=0. 2022829
f ( x 4 )∗f ´ (x 4 )
x 5=x 4 − 2
[f ´ ( x 4 ) ] −f ( x 4 )∗f ´ ´ ( x 4)
x 5=−0.1698382
Para n=6:
f ( x 5 ) =−0.0000004
f ´ ( x 5 ) =0.0019026
f ´ ´ ( x 5 ) =0.2349804
f ( x 5 )∗f ´ ( x 5 )
x 6=x 5− 2
[ f ´ ( x 5 ) ] −f ( x 5 )∗f ´ ´ ( x 5)
x 6=−0.1696333
Para n=7:
f ( x 6 ) =−0.00000005
f ´ ( x 6 ) =0. 0019511
f ´ ´ ( x 6 ) =0.2388207
f ( x 6 )∗f ´ ( x 6 )
x 7=x 6− 2
[f ´ ( x 6 ) ] −f ( x 6 )∗f ´ ´ (x 6 )
x 7=−0.1696078
EJERCICIO 3. Aplique el método de Newton y el método modificado de Newton-

Raphson descrito en la ecuación (2.11) para encontrar una solución del siguiente
problema con una exactitud de 10-5.
f (x)=ⅇ6 x + 1.44 ⅇ 2 x −2.079 ⅇ 4 x −0.3330=0 para−1≤ x ≥ 0
Método de Newton
f (x)=ⅇ6 x + 1.44 ⅇ 2 x −2.079 ⅇ 4 x −0.3330=0
f ´ (x)=6 ⅇ6 x + 2.88 ⅇ2 x −8.316 ⅇ 4 x

La ecuación a utilizar será
f ( X n−1)
x n=x n−1−
f ´ ( X n−1)
Solución
Como −1 ≤ x ≥0 → X 0 =0
f (X 0 )=f (0)=ⅇ6 (0) +1.44 ⅇ 2(0)−2.079 ⅇ 4 (0)−0.3330=0.028000
f ´ (X 0 )=f ´ ( 0 )=6 ⅇ 6 (0 )+ 2.88 ⅇ2 (0 )−8.316 ⅇ 4 (0 )=0.564000
Para n=1
f ( X n−1)
x n=x n−1−
f ´ ( X n−1)
f ( X 0) 0.028000
x 1=x 0− =0−
f ´ ( X 0) 0.564000
x 1=−0.049645
Para n=2
f (X 1 )=f (−0.049645)=¿0.008729
f ´ (X 1 )=f ´ (−0.049645 )=¿0.243930
f ( X n−1)
x n=x n−1−
f ´ ( X n−1)
f ( X1) 0.008729
x 2=x 1− =−0.049645−
f ´ ( X1) 0.243930
x 2=−0.085430
Para n=3
f (X 2 )=f (−0.085430)=0.002554
f ´ (X 2 )=f ´ (−0.085430 )=¿0.112446
f ( X n−1)
x n=x n−1−
f ´ ( X n−1)
f ( X 2) 0.002554
x 3=x 2− =−0.085430−
f ´ ( X2) 0.112446
x 3=−0.108143
Para n=4
f (X 3 )=f (−0.108143)=0.000635
f ´ (X 3 )=f ´ (−0.108143 )=¿0.059970
f ( X n−1)
x n=x n−1−
f ´ ( X n−1)
f ( X3) 0.000635
x 4 =x3 − =−0.108143−
f ´ ( X3) 0.059970
x 4 =−0.118732
Para n=5
f (X 4)=f (−0.118732)=0.000098
f ´ (X 4 )=f ´ (−0.118732 ) =¿0.042090
f ( X n−1)
x n=x n−1−
f ´ ( X n−1)
f ( X4 ) 0.000098
x 5=x 4 − =−0.118732−
f ´ ( X4) 0.042090
x 5=−0.121060
Para n=6
f (X 5 )=f (−0.121060)=0.000004
f ´ (X 5 )=f ´ (−0.121060 )=¿0.038658
f ( X n−1)
x n=x n−1−
f ´ ( X n−1)
f ( X4) 0.000004
x 6=x 5− =−0.121060−
f ´ ( X4) 0.038658
x 6=−0.121163
Para n=7
f (X 6 )=f (−0.121163)=0
f ´ (X 6 )=f ´ (−0.12163 )=¿0.038510

f ( X n−1)
x n=x n−1−
f ´ ( X n−1)
f ( X4) 0
x 7=x 5− =−0.121163−
f ´ ( X4) 0.038510
x 7=−0.121163
Error = |x n−x n−1|=|−0.121163−(−0.12163)|=0

→ x7 =−0.121163 es la raíz aproximada
Método modificado de Newton-Raphson
f (x)=ⅇ6 x + 1.44 ⅇ 2 x −2.079 ⅇ 4 x −0.3330=0
f ´ (x)=6 ⅇ6 x + 2.88 ⅇ2 x −8.316 ⅇ 4 x
f ´ ´ (x)=36 ⅇ6 x +5.76 ⅇ2 x −33.266 ⅇ 4 x

La ecuación a utilizar será
f ( X n−1 )∗f ´ ( X n−1 )
x n=x n−1− 2
[ f ´ ( X n−1 ) ] −[ f ( X n−1 )∗f ´ ´ ( X n−1 ) ]
Solución
Como −1 ≤ x ≥0 → X 0 =0
f (X 0 )=f (0)=ⅇ6 (0) +1.44 ⅇ 2(0)−2.079 ⅇ 4 (0)−0.3330=0.028000
f ´ (X 0 )=f ´ ( 0 )=6 ⅇ 6 (0 )+ 2.88 ⅇ2 (0 )−8.316 ⅇ 4 (0 )=0.564000
f ´ ´ (X 0 )=f ´ ´ (0)=36 ⅇ 6 (0) +5.76 ⅇ2 (0) −33.26 ⅇ 4 (0 )=8.5
Para n=1
f ( X n−1 )∗f ´ ( X n−1 )
x n=x n−1− 2
[ f ´ ( X n−1 ) ] −[ f ( X n−1 )∗f ´ ´ ( X n−1 ) ]
f ( X 0 )∗f ´ ( X 0 )
x 1=x 0− 2
[ f ´ ( X 0 ) ] −[ f ( X 0 )∗f ´ ´ ( X 0 ) ]
0.028∗0.564
x 1=0− 2
=−0.19716
[ 0.564 ] −[ 0.028∗8.5 ]
Para n=2
f ( X n−1 )∗f ´ ( X n−1 )
x n=x n−1− 2
[ f ´ ( X n−1 ) ] −[ f ( X n−1 )∗f ´ ´ ( X n−1 ) ]
f ( X 1 )∗f ´ ( X 1 )
x 2=x 1− 2
[ f ´ ( X 1) ] −[ f ( X 1 )∗f ´ ´ ( X 1 ) ]
−0.0007∗0.00043
x 2=−0.19716− 2
=−0.19928
[ 0.00043 ] − [−0.0007∗−0.20304 ]
Para n=3
f ( X n−1 )∗f ´ ( X n−1 )
x n=x n−1− 2
[ f ´ ( X n−1 ) ] −[ f ( X n−1 )∗f ´ ´ ( X n−1 ) ]
f ( X 2 )∗f ´ ( X 2 )
x 3=x 2− 2
[ f ´ ( X 2 ) ] −[ f ( X 2 )∗f ´ ´ ( X 2 ) ]
−0.0007∗0.0009
x 3=−0.19928− =−0.19537
[ 0.0009 ]2− [−0.0007∗−0.23124 ]
Para n=4
f ( X n−1 )∗f ´ ( X n−1 )
x n=x n−1− 2
[ f ´ ( X n−1 ) ] −[ f ( X n−1 )∗f ´ ´ ( X n−1 ) ]
f ( X 3 )∗f ´ ( X 3 )
x 4 =x3 − 2
[ f ´ ( X 3 ) ] −[ f ( X 3 )∗f ´ ´ ( X 3 ) ]
0.0007∗0.00009
x 4 =−0.19537− 2
=−0.19487
[ 0.00009 ] −[ −0.007∗−0.17864 ]
Para n=5
f ( X n−1 )∗f ´ ( X n−1 )
x n=x n−1− 2
[ f ´ ( X n−1 ) ] −[ f ( X n−1 )∗f ´ ´ ( X n−1 ) ]
f ( X 4 )∗ f ´ ( X 4 )
x 5=x 4 − 2
[ f ´ ( X 4 ) ] −[ f ( X 4 )∗f ´ ´ ( X 4 ) ]
−0.007∗0.00000
x 5=−0.19487− =−0.19487
[ 0.00000 ]2 −[ −0.007∗−0.17172 ]
Error = |x n−x n−1|=|−0.19487−(−0.19487)|=0
3. Aplique el método de Newton y el método modificado de Newton-Raphson

descrito en la ecuación (2.11) para encontrar una solución del siguiente problema
con una exactitud de 10−5 .
e 6 x +1.441 e2 x −2.079 e 4 x −0.3330=0 , para: −1 ≤ x ≤0
Este es el mismo problema que 1(d), solo que el coeficiente ha sido reemplazado por
sus aproximaciones de cuatro dígitos. Compare las soluciones con los resultados de
1(d) y de 2(d).
Solución:
Formula:
f ( x n−1 )∗f ´ ( x n−1 )
x n=x n−1− 2
[f ´ ( x n−1 ) ] −f ( x n−1)∗f ´ ´ ( x n−1)
A. Aplicamos el método estándar de Newton – Raphson:
f ( x)=e 6 x +1.441 e2 x −2.079 e 4 x −0.3330
f ' ( x)=6 e 6 x +2.882 e2 x −8.316 e 4 x
x 0=10−5
f (x n−1 )
x n=x n−1−
f ´ (x n−1 )
Para n=1:
f ( x0 )
x 1=x 0−
f ´ ( x0 )
−5 −5
e6 (10 )+ 1.441e 2(10 ) −2.079 e 4 (10 )−0.3330

−5
−5
x 1=10 − −5 −5 −5
6 e 6(10 ) +2.882 e 2(10 )−8.316 e 4 (10 )

x 1=−0.0512291
Para n=2:
f ( x1 )
x 2=x 1−
f ´ ( x 1)
x 2=−0.0900318
Para n=3:
f (x 2 )
x 3=x 2−
f ´ (x 2 )
x 3=−0.1185277
Para n=4:
f (x 3)
x 4 =x3 −
f ´ (x 3)
x 4 =−0.1388893
Para n=5:
f (x 4 )
x 5=x 4 −
f ´ ( x4 )
x 5=−0.1530092
Para n=6:
f (x5 )
x 6=x 5−
f ´ ( x5 )
x 6=−0.1622735
Para n=7:
f ( x6 )
x 7=x 6−
f ´ ( x6 )
x 7=−0.1674842
Para n=8:
f (x7 )
x 8=x 7−
f ´ (x7 )
x 8=−0.1693676
Para n=9:
f (x 8)
x 9=x 8−
f ´ ( x8 )
x 9=−0.1696031
Para n=10:
f (x 9 )
x 10=x 9−
f ´ (x 9 )
x 10=−0.1696065
Para n=11:
f (x10 )
x 11=x 10−
f ´ ( x10 )
x 11=−0.1696065
B. Aplicamos el método modificado de Newton – Raphson:
f ( x)=e 6 x +1.441 e2 x −2.079 e 4 x −0.3330
f ' ( x)=6 e 6 x +2.882 e2 x −8.316 e 4 x
f ´ ´ (x) =36 e 6 x +5.764 e 2 x −33.264 e4 x
x 0=10−5
f ( x n−1 )∗f ´ ( x n−1 )

x n=x n−1− 2
[f ´ ( x n−1 ) ] −f ( x n−1)∗f ´ ´ ( x n−1)
Para n=1:
x 0=10−5
−5 −5 −5
f ( x 0 ) =e 6 (10 )+1.441 e 2 (10 )−2.079 e 4 (10 )−0.3330=0.0290057

−5 −5 −5
f ´ ( x 0 ) =6 e 6 (10 )+2.882 e 2 (10 )−8.316 e 4 (10 )=0.5660850

−5 −5 −5
f ´ ´ ( x 0 ) =36 e 6( 10 ) +5.764 e2 (10 )−33.264 e4 ( 10 ) =8.5009448
f ( x 0 )∗f ´ (x 0 )
x 1=x 0− 2
[f ´ ( x 0 ) ] −f ( x 0 )∗f ´ ´ (x 0 )
0.0290057∗0.5660850
x 1=10−5 −
[0.5660850]2−0.0290057∗8.5009448
x 1=−0.2222490
Para n=2:
f ( x 1 ) =0.0001647
f ´ ( x 1 )=0.0106680
f ´ ´ ( x 1 )=−0.4902363
f ( x 1)∗f ´ ( x 1)
x 2=x 1− 2
[f ´ ( x 1 ) ] −f ( x1 )∗f ´ ´ (x1 )
x 2=−0.2312803
Para n=3:
f ( x 2 ) =−0.0002821
f ´ ( x 2 ) =0.0154714
f ´ ´ ( x 2 )=−0.5716873
f ( x 2 )∗f ´ ( x 2)
x 3=x 2− 2
[f ´ ( x 2 ) ] −f ( x 2 )∗f ´ ´ ( x 2)
x 3=−0.1753908
Para n=4:
f ( x 3 ) =−0.0000079
f ´ ( x 3 ) =0.0008804
f ´ ´ ( x 3 ) =0.1342909
f ( x3 )∗f ´ (x3 )
x 4 =x3 − 2
[f ´ ( x 3 ) ] −f ( x 3 )∗f ´ ´ ( x3 )
x 4 =−0.1716026
Para n=5:
f ( x 4 )=−0.0000035
f ´ ( x 4 )=0.0015169
f ´ ´ ( x 4 )=0. 2022829
f ( x 4 )∗f ´ (x 4 )
x 5=x 4 − 2
[f ´ ( x 4 ) ] −f ( x 4 )∗f ´ ´ ( x 4)
x 5=−0.1698382
Para n=6:
f ( x 5 ) =−0.0000004
f ´ ( x 5 ) =0.0019026
f ´ ´ ( x 5 ) =0.2349804
f ( x 5 )∗f ´ ( x 5 )
x 6=x 5− 2
[ f ´ ( x 5 ) ] −f ( x 5 )∗f ´ ´ ( x 5)
x 6=−0.1696333
Para n=7:
f ( x 6 ) =−0.00000005
f ´ ( x 6 ) =0. 0019511
f ´ ´ ( x 6 ) =0.2388207
f ( x 6 )∗f ´ ( x 6 )
x 7=x 6− 2
[f ´ ( x 6 ) ] −f ( x 6 )∗f ´ ´ (x 6 )
x 7=−0.1696078
EJERCICIO 4. Demuestre que las sucesiones siguiente convergelinealmente a p=0.¿ que| p n− p|≤5 x 10−2 ?
1
a ¿ pn= . n≥ 1
n
Usando la definicion de límite de una sucesión
1 1
lim
n→∞ n
=0 ⇔ ∀ E>0 ∃ n0 ∈ N ,n ≥ n0 : −0 < E
n | |
|1n −0|<5 x 10 −2
Demostración : sea E>0 estrictamente pequeño , elija n0=
1
[ ]
E
+1
1
|| <5 x 10−2
de modo que n≥ n0 entonces |1n −0|=|1n|⇒ 1n ≤ n1 = 11+1 <¿
n 0
[E]
1
1 =E
< 0.05 1
n [ ]
E
1
<n
0.05
20<n
EJERCICIO 4. Demuestre que la sucesión siguiente converja linealmente a P=0 ¿qué

tan grande de ser “n” antes que |Pn – P| ≤ 5*10-2. (José Colunche)
a) Pn =1/n ; n ≥1
Entonces: Pn+1=1/(n+1), P=0
Aplicamos: definición de limite de una sucesión.
¿ ¿ 1 n n
lim ¿ Pn+1−P∨ = lim ¿ P −0∨ =lim ¿ ∨ ¿ =lim =lim ( ¿ )=
n→∞ ¿ Pn −P∨¿ n→ ∞ n +1 ¿ Pn−0∨¿ n→ ∞ n+1 1 n→∞ n+ 1 n →∞ n+1
¿ ∨¿
n
Además:
1 1
lim ( ¿ )=0 ; por lotanto P n= ; P=0(limite)¿
n→∞ n n
|Pn-P| ≤ 5*10-2
1
| – 0| ≤ 0.05
n
1
≤ 0.05
n
1 ≤ 0.05*n
n ≤ 1/0.05
n ≤ 20
Ejercicio 5: Demuestre que para cualquier entero positivo K, la sucesión definida por
1
pn= k converge linealmente a p=0.
n
Solución:
Supongamos que queremos encontrar una solución aproximada de g(x) = x, usando el
esquema de iteración de punto fijo pn=g (p ¿¿ n−1) para todo n ≥1 ¿ .Supongamos
también que g manda el intervalo [a, b] a sí mismo y que existe un número positivo k
tal que |g 0 (x)| ≤ k < 1 para todo x ∈ [a, b]. El Teorema VII.2 implica que g tiene un
punto fijo único p ∈ [a, b] y que si p0 ∈ [a, b] entonces la sucesión de punto fijo
lim pn=0 converge a p. Se mostrara que la convergencia es lineal, siempre que

n→∞
g ´ ( p)≠ 0 Si n es cualquier entero positivo, entonces
lim 1/nk
n→∞
Entonces al reemplazar el infinito en el valor de “n” tenemos lo siguiente

1
ꝏk
Lo cual este valor se obtiene cero
1
=0
ꝏk
Entonces se podría decir que cuando n → ꝏ , cualquier valor entero positivo que tome
“k” y cuando n ≠ 0 el valor que puede tomar k si puede ser 0
Por lo tanto la sucesión seguirá convergiendo a p=0
Ejercicio N°5.b (2.4)
1
lim
p
| n + 1− p| n →∞ (n+1)2 n 2
lim
n → ∞ | pn −p|
=
1
=lim ( )
n → ∞ n+1
=1 ,
n2
−2
Se tiene convergencia lineal. Tenemos | pn −p|<5 x 10 , nosotros tenemos N ≥ 5
4.b) demuestre que la sucesión converge linealmente a p=0 que tan grande tiene que
ser n antes que |pn-p|<=5x10-2
1
con Pn= ,n ≥ 1
n2
1
entonces Pn+ 1= 2 ,p=0
(n+1)
aplicamos el criterio
lim | p n+1− p|
n →∞
| pn− p|
lim | p n+1−0|
n→ ∞
¿
| pn−0|
1 n 2
lim
=
n →∞ ( n+1 )2
n
1
2
= lim
n 2
( )
n → ∞ n+1
=lim
n
n →∞ n 1
+
n n
( )
=lim
n→∞
1 2
( ) ( ) ()
1+
1
n
=lim
n→∞
1 2 1 2
1+
1
∞
=
1
=1
Cuando n → ∞, tenemos que pn converge linealmente a 0

Para saber que tan grande tiene que ser n antes que |pn−p | ≤5 · 10-2
Procedemos de la siguiente manera
hacemos que:
1
2
≤ 5⋅ 10−2
n
1
−2
≤10 2
5⋅10
100
n2 ≥
5
100
n≥
√ 5
10
n≥ ≥ 4 ⋅4721360
√5
Concluimos diciendo que n tiene que ser mayor que 5.
(Moises)
1
con Pn= ,n ≥ 1
n2
1
(n+1)
lim | p n+1− p|
n →∞
| pn− p|
lim | p n+1−0|
n→ ∞
¿
| pn−0|
1 n 2
lim
=
n →∞ ( n+1 )2
n
1
2
= lim
n 2
( )
n → ∞ n+1
=lim
n
n →∞ n 1
+
n n
( )
=lim
n→∞
1 2
( ) ( )
1+
1
n
=lim
n→∞
1 2 1 2
1+
1
∞
=
1
=1 ()
hacemos que:
1
2
≤ 5⋅ 10−2
n
1
−2
≤10 2
5⋅10
2 100
n ≥
5
100
n≥
√ 5
10
n≥ ≥ 4 ⋅4721360
√5
1
con Pn= ,n ≥ 1
n2
1
(n+1)
lim | p n+1− p|
n →∞
| pn− p|
lim | p n+1−0|
n→ ∞
¿
| pn−0|
1 n 2
lim
=
n →∞ ( n+1 )2
n
1
2
( )
= lim
n 2
n → ∞ n+1
( )
=lim
n
n →∞ n 1
+
n n
=lim
n→∞
1 2
( ) ( )
1+
1
n
=lim
n→∞
1 2 1 2
1+
1
∞
=
1
=1 ()
hacemos que:
1
2
≤ 5⋅ 10−2
n
1
−2
≤10 2
5⋅10
2 100
n ≥
5
100
n≥
√ 5
10
n≥ ≥ 4 ⋅4721360
√5
Ejercicio 5.a: Demuestre que para cualquier entero positivo K, la sucesión definida por
1
pn= k converge linealmente a p=0.
n
Solución:
Supongamos que queremos encontrar una solución aproximada de g(x) = x, usando el
esquema de iteración de punto fijo pn=g (p ¿¿ n−1) para todo n ≥1 ¿ .Supongamos
también que g manda el intervalo [a, b] a sí mismo y que existe un número positivo k
tal que |g 0 (x)| ≤ k < 1 para todo x ∈ [a, b]. El Teorema VII.2 implica que g tiene un
punto fijo único p ∈ [a, b] y que si p0 ∈ [a, b] entonces la sucesión de punto fijo
lim pn=0 converge a p. Se mostrara que la convergencia es lineal, siempre que

n→∞
g ´ ( p)≠ 0 Si n es cualquier entero positivo, entonces
lim 1/nk
n→∞
Entonces al reemplazar el infinito en el valor de “n” tenemos lo siguiente
1
ꝏk
Lo cual este valor se obtiene cero
1
=0
ꝏk
Entonces se podría decir que cuando n → ꝏ , cualquier valor entero positivo que tome
“k” y cuando n ≠ 0 el valor que puede tomar k si puede ser 0
Por lo tanto la sucesión seguirá convergiendo a p=0
n
2
EJERCICIO 6.a) demuestre que la sucesión Pn = 10 Converge cuadráticamente en
cero.
SOLUCIÓN
Dónde
p0
n1
pn 1  102
pn 1  0
lim 2 
x 
pn  0
n1
102
lim 2
x  n
102
n1
102
lim n1
102
x 
lim1  remplazamos
x 
n
1* x 0  1
La sucesión es cuadráticamente convergente
6. a. Demuestre que la sucesión pn=10−2 converge cuadráticamente en cero.

k
b. demuestre que la sucesión pn=10−n no converge cuadráticamente a cero sin

importar el tamaño del exponente k > 1.
Solución.
a).
| p n−1−0|
lim 2
n → ∞ |p
n−0|
n+ 1
10−2
lim n 2
n→∞ ( 10−2 )
n+1
10−2
lim 2∗2
¿ n
n → ∞ 10−¿
n+1
10−2
lim −2 = 1 n+1
n → ∞ 10
Podemos decir que la sucesión es cuadráticamente convergente

b). cuando k > 1.
| p n−1−0|
lim 2
n → ∞ |p
n−0|
10−(n +1)
lim k 2
n→∞ ( 10−n )
k
10−(n +1)
lim −2 n
k
n → ∞ 10
k k
lim 10−(n+1) ∗102 n

n→∞
k k
lim 102 n −(n +1)

n→∞
k k
lim 102 n −n −1
n→∞
k
lim 10n −1
n→∞
k k
10n −1 ≠ 10−n
Por deducción se puede afirmar que la sucesión no es cuadráticamente convergente
cuando k > 1.
6.a Demuestre que la sucesión pn=10−2 converge cuadráticamente en cero.

SOLUCION.
Desde:
P=0
n+ 1
pn+ 1=10−2
n+ 1 n+1
│ p n+1−0 │ │ 10−2 │ 10−2
lim 2=α
=lim −2 2
=lim
n n+1
n → ∞ │ p −0 │ n →∞ │10 │ n → ∞ 10−2
n
lim 1=→ remplazamos n→ ∞=1∗x 0=1

n→∞
La sucesión es cuadratucamente converguente .
6b. Aplique el método de Newton para obtener soluciones con una exactitud de 10-5
para los siguientes problemas:
f ( x )=ln ( x −1 )+ cos ⁡( x −1) (Victor Yanguir)
Para 1.3  x  2
f ( xi )
x i+1=x i−
f ' ( xi )
Para x 0 = 1.65
ln ( x−1 ) +cos ( x−1 ) ln ( 1.65−1 )+ cos ( 1.65−1 )
x 1=x 0− 1.65−
1 = 1 =1.2585818
−sin ( x−1 ) −sin ( 1.65−1 )
x−1 1.65−1
ln ( x−1 )+ cos ( x−1 ) ln ( 1.3654032−1 ) +cos (1.3654032−1 )

x 2=x 1− 1.2585818−
1 = 1
−sin ( x−1 ) −sin ( 1.3654032−1 )
x−1 1.3654032−1
=1.3654032
ln ( x−1 ) +cos ( x−1 ) ln ( 1.3654032−1 ) +cos ( 1.3654032−1 )

x 3=x 2− 1.3654032−
1 = 1
−sin ( x−1 ) −sin 1.3654032
x−1 1.3654032−1
=1.3959886
ln ( x−1 ) +cos ( x −1 ) ln ( 1.3959886−1 )+ cos ( 1.3959886−1 )
x 4 =x2− 1.3959886−
1 = 1
−sin ( x−1 ) −sin ( 1.3959886−1 )
x−1 1.3959886−1
=1.3977432
ln ( x−1 ) +cos ( x−1 ) ln ( 1.3977432−1 ) +cos ( 1.3977432−1 )

x 5=x 2− 1.3977432−
1 = 1
−sin ( x−1 ) −sin ( 1.3977432−1 )
x−1 1.3977432−1
=1.3977485
Iteración X Xn 
1 1.65 1.2585818 0.3109994
2 1.2585818 1.3654032 0.0782343
3 1.3654032 1.3959886 0.0219095
4 1.3959886 1.3977432 0.0012553
5 1.3977432 1.3977485 0.0000038
EJERCICIO 7.A.- construya una sucesión que converja a cero en el orden tres.
SOLUCION
∞
Por definición de convergencia supongamos que { Pn }n =0 es una secuencia que
converge hacia P, con Pn ≠ P, para todos n. Si γ , ∝ existen constantes positivas con
| Pn+1−P| ∞
lim ∝ = γ , entonces { Pn }n =0 converge a un P orden ∝ con constante de error
n → ∞ |P −P|
n
asintótica γ .
| Pn+1−P|
lim ∝
=λ
n → ∞ |P −P|
n
Definimos a la ecuación Pn=10−3 ,

comprovemos que converja cuando n ≥ 0 en el orden∝=3
n
10−3 .3
n+ 1
|10−3 −0| lim −3 .3 =1

lim n3 = n → ∞ 10
n
n→∞
|10−3 −0|
P¿ lo tanto Pn=10−3 converge en el orden3

Ejercicio 7.
a. construya una sucesión que converja a cero de orden 3.
∞
DEF. Supongamos que{ pn } n=0 es una sucesión que converge a p, con pn ≠ p para toda n .
Si existen constantes positivas λ y α con
lim | p n+1− p|
n →∞
α
=λ
| pn− p|
∞
Entonces { pn } n=0 converge a p con orden α y una constante de error asintóticaλ.
Burden, R. & Douglas, Análisis Numérico (7ma. ED.)

Dem.
n
• →Definimos la secuencia pn=10−3 , Para n ≥ 0

n+1
lim | p n+1− p| lim |10−3 −0|

n →∞
3
=n→∞ 3 n
|Pn− p| |10−3 −0|
n+1
lim 10−3
¿ n→ ∞ n 3
( 10−3 )
η
lim 10−3 3
¿ n→ ∞ −3 3 =1
η
10
• Conα =3 y λ=1, por lo tanto, la condición en la definición es satisfecha, y el
orden de convergencia es 3.
Ejercicio 7.b.
a) Para construir una secuencia que converja a 0 de orden 3.
(Gabriel)
Por definición para el orden de convergencia,

Suponer {Pn }∞n=0es una secuencia que converge a p, con Pn ≠ P para todos n. Si las
¿
constantes positivas son λ, existir con lim ¿n →∞ =¿ Pn+1−P∨ ¿ P −P∨¿ ∝= λ ¿ ¿ ¿
n
entonces, Pn }n∞=0 converge a de orden ∝con constante de error asintótica λ.
Aquí se requiere dar una secuencia de ejemplo que satisfaga la condición aquí y que
también demuestre lo mismo.
n
Un ejemplo aquí para este caso es cuando Pn=10−3
Para probar esto a modo de ejemplo, se sustituye en la condición indicada

anteriormente y se verifica a continuación:
|Pn+1−P| |Pn +1−0|

lim ¿n →∞ = ∝
=lim ¿ n→ ∞ = 3
¿¿
|Pn−P| |P n−0|
|Pn+1−P|
( n+1 )
10−3
lim ¿n →∞ = ∝
=lim ¿ n→ ∞= −3∗3 n ¿¿
|Pn−P| 10
|Pn+1−P|
( n+1)
10 3
lim ¿n →∞ = ∝
=lim ¿ n→ ∞ = (n +1 ) →1 ¿ ¿
|Pn−P| 1 03
n
Por tanto, la secuencia Pn=10−3 converge a 0 de orden 3
(b) Suponer ∝>1, para construir una secuencia que converja a 0 de orden 3
Aquí se requiere dar una secuencia de ejemplo que satisfaga la condición aquí y
también demuestre lo mismo.
n
Un ejemplo aquí para este caso es cuando Pn=10−∝
Para probar esto a modo de ejemplo, se sustituye en la condición indicada

anteriormente y se verifica a continuación:
|Pn+1−P|
(n+ 1)
10−∝
lim ¿n →∞ = ∝
=lim ¿ n→ ∞= −∝∗∝ n ¿¿
|Pn−P| 10
|Pn+1−P|
(n+ 1)
10 ∝
lim ¿n →∞ = ∝
=lim ¿ n→ ∞ = (n+ 1) → 1¿ ¿
|Pn−P| 1 0∝
n
Por tanto, la secuencia Pn=10−∝ converge a 0 de orden ∝
Por lo tanto, se encuentra el resultado requerido.

7.b. Suponga que α >1. Construya una sucesión que converja a Cero de orden α.
SOLUCIÓN
La sucesión que converja a cero de orden α es: Pn=10−α
Demostración: colocando (α =2)
n Pn
0 0.10
1 0.01
2 0.0001
3 0.000001
4 0.00000001
5 0.0000000001
6 0.000000000001
Se nota que la sucesión converge claramente a cero al dar valores a n.

EJERCICIO 8. suponga que p es una raíz multiplicidad m de f donde f es continua
en un intervalo abierto que contiene p, determine el siguiente método de punto
fijo tiene g (p) = 0:
f (x)
g ( x )=x−
f (x)
g ´ ( p )=0 g ´ ( p )=0 p=x
mf (x )
g ( x )=x−
f ´ (x)
f ´ ( x )∗f ´ ( x )−f ( x )∗f ´ ( x)
g ( x )=1−
¿¿
g ( p )=1−¿¿
¿¿
m¿
mf ´ ( p ) −m f ( p )=mf ´ ( p )
m(f ´ ( p ) −f ( p ) )=f ´ ( p )
f ´ (p) f (p)
m= f ´ ( p)=
f ´ ( p )−f ( p ) m−1
9. Demuestre que el algoritmo de bisección 2.1 da una sucesión con una cota de
error que converge linealmente a cero.
SOLUCIÓN:
Por el teorema 2.1, sabemos que el límite de error para el método de bisección es:
b−a
2n
entonces desde:
(b−a)
2n+1 2n 1
= n+1 =2−1 = =0.5
(b−a) 2 2
n
2
Por lo tanto, tenemos que este límite de error converge solo lineal.
4
10. Con el método de Newton Raphson aproxime, con un grado de exactitud de 10
1
El valor de x que en la gráfica de y = produce el punto más cercano a (2,1)
x
1 1
f ´( x )   , f ( x)  1
x x
f ( x5 )
x1  2 x6  x5   6 6  7
f ´( x5 ) 1
1 
6
f ( x1 ) 2
x2  x1   2 3 1
f ´( x1 ) 1
 f ( x6 )
2 x7  x6  7 7 8
f ´( x6 ) 1
1 
7
f ( x2 )
x3  x2   3 3  4 1
f ´( x2 ) 1
 f ( x7 )
3 x8  x7   8 8  9
f ´( x7 ) 1
1 
8
f ( x3 )
x4  x3   4 4  5 1
f ´( x3 ) 1 y   0.11111  aproximado
 9
4
1
f ( x4 )
x5  x4   5 5  6 (Zorrilla L)
f ´( x4 ) 1

5
Ejercicio 10. Supongamos que f tiene m derivadas continuas modifique la
demostración del teorema 2.10 para probar que f tiene una raíz de multiplicidad m
en p si solo si
0=f ( p )=f ¨ ( p )=f ( m−1) ( p ) , pero f (m ) ( p ) ≠ 0
f ( x )=( x− p )m q ( x ) para x ≠ p donde lim q ( x )=0

x→p
Por lo tanto
f ´ (x)=m ( x− p )m−1 q ( x )+ ( x−p )m q ´ ( x )

f ´ ( p ) =0
m−2 m−1 m
f ´ ´ ( p ) =m ( m−1 ) ( x− p ) q ( x )+ 2m ( x−p ) q ´ ( x ) + ( x− p ) q ´ ´ ( x )
f ´ ´ ( p ) =0
k≤m
k
d j ( x− p )m (k− j)
f k ( x ) =∑ k
i =O j
() d xj
q ( x)
k
= ∑ (kj ) m ( m−1 )( m− j+ 1 )( x− p )m − j q( k− j) ( x )
i=O
Por lo tanto para 0≤ k ≤ m−1 ; tenemos que f k ( p ) =0
f (m) ( p )=m! lim q ( x ) ≠ 0

x→ p
Supongamos que la inversa f ( p ) =f ´ ( p )=f (m −1 ) ( p )=0 y f (m ) ( p ) ≠ 0
f ( m−1) ( p )( x− p )m−1 f (m ) (ε ( x )) ( x− p )m
f ( x )=f ( p )+ f ´ ( p ) ( x −p )+ …+ +
( m−1 ) ! m!
f (m )(ε ( x ))
f ( x )=
m!
m f (m ) ( p)
Entonces f ( x )=( x− p ) q ( x ) y lim q ( x ) = ≠0
x→p m!
Entonces es un cero de multiplicidad de m
4
10. Con el método de Newton Raphson aproxime, con un grado de exactitud de 10
1
El valor de x que en la gráfica de y = produce el punto más cercano a (2,1)
x
1 1
f ´( x )   , f ( x)  1
x x
f ( x5 )
x1  2 x6  x5   6 6  7
f ´( x5 ) 1
1 
6
f ( x1 )
x2  x1   2 2  3 1
f ´( x1 ) 1
 f ( x6 )
2 x7  x6  7 7 8
f ´( x6 ) 1
1 
7
f ( x2 ) 3
x3  x2   3 4 1
f ´( x2 ) 1
 f ( x7 )
3 x8  x7   8 8  9
f ´( x7 ) 1
1 
8
f ( x3 ) 4
x4  x3   4 5 1
f ´( x3 ) 1 y   0.11111  aproximado
 9
4
1
f ( x4 )
x5  x4   5 5  6 (Zorrilla L.)
f ´( x4 ) 1

5
Solución
p n+1− p 3 −1
n
=0.75 y | p0 −p|=0.5 , luego | p −p|=0.75 2 ∗| p − p|3

n
p n− p n 0
−8
donde. | pn −p|≤ 10 requiere ser n ≥ 3
Ejercicio 12. Puede demostrarse (véase, por ejemplo, [DaB. Pp. 228-229]) que, si
∞
{ pn }n=0 son aproximaciones que convergen mediante el método de la secante a p, la
solución de f ( x )=0, entonces existe una constante C con
| pn +1− p|≈ C| pn −p|| p n−1− p| para valores suficientemente grandes de n. suponga
que { pn} converge a p con orden α, demuestre que α =(1+ √ 5)/2, (Nota: ello significa
que el orden de convergencia del método de la secante es aproximadamente 1.62.
Solución.
Sea a n= pn− p, para n ≥ 0, Sí pn− p es de orden α entonces ∃θ> 0
lim ¿ p n+1− p∨ ¿ =lim ¿ a n+1∨ ¿ α =θ>0 ¿ ¿ ¿ ¿

α
n→∞ ¿ p n− p∨¿ n → ∞ ¿ an ∨¿
Entonces para valores suficientemente grandes de n.
¿ a n+1∨≈ θ∨an∨¿ α ¿ por lo tanto:
−1
|a n| ≈θ ¿ an−1∨¿α o∨an +1∨≈ θ α ∨an∨¿1 /α ¿ ¿

Usando la hipótesis nos queda.
θ∨an∨¿α ≈∨a n+1∨≈ ∁|an|.∨an−1∨≈ ∁ θ−1 /α ∨an∨¿1 +1/ α ¿ ¿
Para los valores suficientemente grandes de n. entonces, tenemos:
¿ a n∨¿α ≈∁ θ−1/ α−1∨an∨¿ 1+1/ α ¿ ¿
Dado que los valores de ¿ a n∨¿ deben coincidir:
α =1+1/α: α 2−1=α :α 2 −α −1=¿

Tenemos que: α =1.62
12. Puede demostrarse que, si (Pn)∞n=0 son aproximaciones que convergen mediante
el método de la secante a p, la solución de f ( x )=0 , entonces existe una constante C
pn+1 - p ≈
con ⃒ ⃒ C ⃒pn - p ⃒⃒pn-1 - p ⃒para valores suficientemente grandes de n. Suponga
( 1+ √ 5 )
que (pn) converge a p con orden α, demuestre que α = . (Nota: ello significa
2
que el orden de convergencia del método de la secante es aproximadamente 1.62.
Sea r n =p n− p, para n ≥ 0, Sí pn → p de orden α ; entonces ∃ M >0
lim ¿ p n+1− p∨ ¿ =lim ¿ r n +1∨ ¿ α =M >0 ¿ ¿ ¿ ¿

α
n→∞ ¿ p n− p∨¿ n → ∞ ¿ r n∨¿
Luego para valores muy grandes de n.
¿ r n +1∨≈ M ∨r n∨¿α ¿ por lo tanto:

−1
|r n|≈ M ¿ r n−1∨¿α o ¿ ¿ r n−1∨≈∨r n ∨¿1/ α . M α ¿
Usando la hipótesis anterior se concluye que:

1
1+
α −1 /α α
¿ r n +1∨≈ M ∨r n∨¿ ≈ ∁|r n|.∨r n−1∨≈ ∁ M .∨r n∨¿ ¿¿
Para los valores grandes de n, se tiene:
¿ r n∨¿α ≈ ∁ M ¿¿¿ ¿
Los valores de ¿ r n∨¿ deben ser equivalentes, así que se igualan los exponentes:
1
α =1+
α
α 2−α −1=0
1 1
α 2−α + − −1=0
4 4
1 2 5
( )
α−
2
=
4
1 5
α− =
2 4 √
1 5
α= + √
2 2
1+ √ 5
α= =1.62
2
Demostrado.
EJERCICIOS
7.3
EJERCICIO 1. Obtenga las dos primeras iteraciones del método de Jacobí para los
siguientes sistemas lineales, usando x (0 )=0.
a)
3 x 1−x 2+ x 3=1
3 x 1+6 x 2 +2 x3 =0
3 x 1+3 x 2 +7 x3 =4
Solución
x (0 )=( x 1(0 ) , x 2( 0) , x 3(0 ) )= ( 0,0,0 ) 1 1 1

x 1(k )= x2( k−1)− x 3(k−1 )+
3 3 3
−3 ( k−1) 2 ( k−1 )
x 2( k ) = x − x3
1 1 1 6 1 6
x 1= x 2− x 3+
3 3 3
−3 ( k−1) 3 ( k−1 ) 4
x 3( k ) = x − x2 +
−3 2 7 1 7 7
x 2= x 1− x 3
6 6
−3 3 4
x 3= x 1− x 2 +
7 7 7
Iteración K= 1
1 1 1
x 1(1)= x 2(0 )− x 3(0 )+ =0.3333
3 3 3
−3 (0 ) 2 (0 )
x 2( 1 ) = x − x 3 =0
6 1 6
−3 ( 0) 3 (0 ) 4
x 3( 1 ) = x − x 2 + =¿0.5714
7 1 7 7
x (1) =( x 1(1) , x 2(1 ) , x 3(1) ) =( 0.3333 , 0 ,0.5714 )
Iteración K= 2
1 1 1
x 1(2)= x 2(1 )− x 3(1) + =0.1429
3 3 3
−3 (1 ) 2 (1 )
x 2( 2 ) = x − x 3 =−0.3571
6 1 6
−3 ( 1) 3 (1) 4
x 3( 2 ) = x − x 2 + =0.4286
7 1 7 7
x (2 )=( x 1(1) , x 2(1 ) , x 3(1) ) =( 0.1429 ,−0.3571 , 0.4286 )
b)
1 (k−1) 9
10x1 – x2 = 9 → x 1= x +
10 2 10
1 (k−1) 2 (k−1) 7
-x1 +10x2 - 2x3 = 7 → x 2= x + x3 +
10 1 10 10
2 (k−1) 6
-2x2 +10x3 = 6 → x 3= x +
10 2 10
K= 1
1 (0) 9
x(1)
1 ¿ x2 + → x(1)
1 =0.9
10 10
1 (0) 2 (0) 7
x(1)
2 = x + x + → x(1)
2 =0.7
10 1 10 3 10
2 (0) 6
x(1)
3 = x + → x(1)
3 =0.6
10 2 10
K=2
1 (1) 9
x(2)
1 ¿ x + → x(2)
1 =0.97
10 2 10
1 (1) 2 (1) 7
x(2)
2 = x + x + → x(2)
2 =0.91
10 1 10 3 10
2 (1) 6
x(2)
3 = x2 + → x(2)
3 =0.74
10 10
Respuesta: x(2) = (0.97, 0.91, 0.74)
c)
10x1 + 5x2 = 6.
5x1 + 10x2 – 4x3 = 25.
-4x2 + 8x3 – x4 = -11.
--x3 + 5x4 = -11.
SOLUCIÓN:
Para convertir Ax = b en la forma x = T x+c, resolvemos cada ecuación para xi con i =
1,2,3,4 y así obtenemos
−x2 3
• x 1= +
2 5
−x1 2 x 3 5
• x 2= + +
2 5 2
x2 x 4 11
• x 3= + −
2 8 8
x 3 11
• x4 = −
5 5
Con x0=0
El método se escribe en la forma xk = T x(k-1) + c.
−x2 3 −x (2k−1) 3
x 1= + ⇒ x(k)
1 = +
2 5 2 5
−x1 2 x 3 5 x (k−1)
1 2 x (k−1) 5
+ ⇒ x 2 = + 3 +
(k)
x 2= +
2 5 2 2 5 2
(k )
x2 x 4 11 x (k−1)
2 x(k−1) 11
x 3= + − ⇒ x = + 4 −
2 8 8 3 2 8 8
x 3 11 x(k−1) 11
x4 = − ⇒ x 4 = 3 −
( k)
5 5 5 5
En el caso de una aproximación inicial.
 ITERACIÓN K=1 hacemos x0 = (0,0,0,0)t, Entonces x(i)está dado por:
−x (20 ) 3
 x(1)
2 = + =0.6000000
2 5
x 1 2 x (03 ) 5
(0)
 (1)
x2 = + + =2.5000000
2 5 2
(0) (0)
x 2 x 4 11
 x(1)
3 = + − =−1.3750000
2 8 8
(0)
x 3 11
 (1)=¿=
x4 5
− =−2.2000000 ¿
5
Para x1 = (0.6000000,2.5000000,−1.3750000,−2.2000000)t
 ITERACIÓN K=2
(2)−x (21 ) 3
x =
1 + =−0.6500000
2 5
x (1)
1 2 x(1) 5
+ 3 + =1.4166667
(2)
x =
2
2 5 3
(2)x (1)
2 x (14 ) 11
x =
3 + − =−0.4000000
2 8 8
(1)
x 3 11
(2)=¿= − =−2.4750000 ¿
5 5
x4
Para x2 = (−0.6500000,1.4166667,−0.4000000,−2.4750000)t
∥ x2− x1 ∥∞ ∥−1.2500000 ,−1.0833333 ,0,9750000 ,−0.2750000∥ ∞

ERROR= =
∥ x2∥ ∞ ∥−0.6500000, 1.4166667 ,−0.4000000,−2.4750000 ∥∞
∥−1.2500000 ∥
Para el resultado elegimos la mayor expresión: : =0.5050505
∥−2.4750000 ∥
d)
(0)
Para x =0
4 x1 + x 2−x 3 + x 4=−2
x 1+ 4 x 2−x 3−x 4 =−1
−x 1−x 2+ 5 x 3 + x 4=0
x 1−x 2−x 3+ 3 x 4 =1
Despejamos la x1, x2, x3, x4 que queden en la derecha y los demás valores a la izquierda para
formar un sistema de ecuaciones de acuerdo a cada variable.
−1 1 1 1
x 1= x 2+ x 3− x 4 −
4 4 4 2
−1 1 1 1
x 2= x 1+ x 3 + x 4−
4 4 4 4
1 1 1
x 3 = x 1 + x2 − x 5
5 5 5
−1 1 1 1
x4 = x 1 + x 2− x 3+
3 3 3 3
 Aplicamos el método de JACOBI para la solución.
−1 (k−1) 1 (k−1) 1 (k−1) 1

x(k)
1 = x + x3 − x 4 −
4 2 4 4 2
−1 ( k−1) 1 (k−1) 1 (k−1) 1

x(k)
2 = x + x3 + x 4 −
4 1 4 4 4
1 (k−1) 1 (k−1) 1 (k−1)

x(k)
3 = x1 + x2 − x4
5 5 5
−1 ( k−1) 1 (k−1) 1 ( k−1) 1

x(k)
4 = x + x2 − x3 +
3 1 3 3 3
APROXIMACION INICIAL
x(0) =(0 ; 0 ; 0 ; 0)
ITERACION I: K=1
−1 ( 0) 1 ( 0) 1 (0 ) 1
x(1)
1 = x + x − x − =−0.5
4 2 4 3 4 4 2
−1 ( 0) 1 ( 0) 1 (0) 1
x(1)
2 = x + x + x − =−0.25
4 1 4 3 4 4 4
1 (0) 1 (0) 1 ( 0)
x(1)
3 = x + x − x =0
5 1 5 2 5 4
−1 ( 0) 1 (0) 1 ( 0) 1
x(1)
4 = x + x − x + =0.3333
3 1 3 2 3 3 3
(1)
x =(−0.5 ;−0.025 ; 0 ; 0.3333)
ITERACION II: K = 2
−1 ( 1) 1 ( 1 ) 1 (1) 1
x(2)
1 = x + x − x − =−0.5208
4 2 4 3 4 4 2
−1 ( 1) 1 (1 ) 1 (1 ) 1
x(2)
2 = x + x + x − =−0.0417
4 1 4 3 4 4 4
1 (1) 1 (1) 1 (1 )
x(2)
3 = x + x − x = -0.0167
5 1 5 2 5 4
−1 ( 1) 1 ( 1) 1 (1 ) 1
x(2)
4 = x + x − x + =0.4167
3 1 3 2 3 3 3
x(2) =(−0.5208 ;−0.0417 ;−0.0167 ; 0.4167)
e)
4 x1 + x 2 + x 3+ x 5−6=0
−x 1−3 x 2 + x3 + x 4 −6=0
2 x1 + x 2+5 x 3−x 4 −x 5−6=0
−x 1−x 2−x 3 +4 x 4−6=0

2 x2 −x3 + x 4 + 4 x 5−6=0
−1 1 1 3
x 1= x 2 − x3 − x5 +
4 4 4 2
−1 1 1
x 2= x 1+ x 3 + x 4 – 2
3 3 3
−2 1 1 1 6
x 3= x 1 − x 2 + x 4 + x5 +
5 5 5 5 5
1 1 1 3
x 4 = x 1 + x 2+ x 3 +
4 4 4 2
−1 1 1 3
x 5= x+ x− x +
2 2 4 3 4 4 2
Para la solución se utilizará la siguiente fórmula

1 1 k−1 1 k−1 3
x k1= x k−1
2 − x − x5 +
4 4 3 4 2
−1 k−1 1 k−1 1 k−1
x k2= x + x3 + x 5 −2
3 2 3 3
−2 k−1 1 k−1 1 k−1 1 k−1 6
x k3= x − x2 + x4 + x5 +
5 1 5 5 5 5
k 1 k−1 1 k−1 1 k−1 3
x4 = x1 + x2 + x3 +
4 4 4 2
−1 k−1 1 k −1 1 k−1 3
x k5= x + x3 + x 4 +
2 2 4 4 2
Para k = 1
1 1 1 3
x 11= x 02− x 03− x50+ =1.5
4 4 4 2
−1 0 1 0 1 0
x 12= x + x + x −2=−2
3 2 3 3 3 5
−2 0 1 0 1 0 1 0 6
x 13= x − x + x + x + =1.2
5 1 5 2 5 4 5 5 5
1 1 1 3
x 14 = x 01 + x 02+ x 03 + =1.5
4 4 4 2
−1 0 1 0 1 0 3
x 15= x + x + x + =1.5
2 2 4 3 4 4 2
t t
Entonces ( x (11 ) , x(1) (1) (1) (1)
2 , x3 , x 4 , x 5 ) =( 1.5 ,−2 ,1.2,1 .5 , 1.5)
Para k = 2
1 1 1 3
x 21= (−2)− (1.2)− (1.5)+ =1.325
4 4 4 2
−1 1 1
x 22= (−2)+ (1.2)+ (1.5)−2=−1.6
3 3 3
−2 1 1 1 6
x 23= (1.5)− (−2)+ (1.5)+ (1.5)+ =1.6
5 5 5 5 5
1 1 1 3
x 24 = (1.5)+ (−2)+ (1.2)+ =1.675
4 4 4 2
2 −1 1 1 3
x 5= (−2)+ (1.2)+ (1.5)+ =2.4250
2 4 4 2
t t
Entonces ( x (2) (2) (2) (2 ) (2)
1 , x 2 , x3 , x 4 , x 5 ) =(1.325 ,−1.6 , 1.6,1.675 , 2.4250)
Para k = 3
1 1 1 3
x 31= x 22− x32− x25 + =0.8938
4 4 4 2
−1 2 1 2 1 2
x 32= x + x + x −2=−1.35
3 2 3 3 3 5
−2 2 1 2 1 2 1 2 6
x 33= x − x + x + x + =1.81
5 1 5 2 5 4 5 5 5
1 1 1 3
x 34 = x 21 + x 22+ x 23 + =1.8313
4 4 4 2
−1 2 1 2 1 2 3
x 35= x + x + x + =2.2813
2 2 4 3 4 4 2
t t
Entonces ( x (31 ) , x (3) (3) (3) (3 )
2 , x 3 , x 4 , x 5 ) =(0.8938 ,−1.35 ,1.81 , 1.8313 ,2.2813)
Para k = 4
1 1 1 3
x 41 = x 32− x 33− x 35 + =0.8147
4 4 4 2
−1 3 1 3 1 3
x 42 = x + x + x −2=−1.0842
3 2 3 3 3 5
−2 3 1 3 1 3 1 3 6
x 43 = x − x + x + x + =−1.0842
5 1 5 2 5 4 5 5 5
1 1 1 3
x 44 = x 31 + x 32+ x 33 + =1.8385
4 4 4 2
−1 3 1 3 1 3 3
x 45 = x + x + x + =2.1697
2 2 4 3 4 4 2
t t
Entonces ( x (4) (4) (4 ) (4 ) (4)
1 , x2 , x 3 , x 4 , x 5 ) =(0.8147 ,−1.0842 ,−1.0842,1 .8385 ,2.1697)
Para k = 5
1 1 1 3
x 51= x 42− x 43 − x54 + =0.7449
4 4 4 2
−1 4 1 4 1 4
x 52= x + x + x −2=−1.0137
3 2 3 3 3 5
−2 4 1 4 1 4 1 4 6
x 53= x − x + x + x + =1.8926
5 1 5 2 5 4 5 5 5
5 1 4 1 4 1 4 3
x 4 = x 1 + x 2 + x 3 + =1.9164
4 4 4 2
−1 4 1 4 1 4 3
x 55= x + x + x + =2.0662
2 2 4 3 4 4 2
t t
Entonces ( x (4) (4) (4 ) (4 ) (4)
1 , x2 , x 3 , x 4 , x 5 ) =(0.7449 ,−1.0137 , 1.8926,1.9164 ,2.0662)
Para k = 6
1 1 1 3
x 61= x 52− x 53− x 55+ =0.7637
4 4 4 2
−1 5 1 5 1 5
x 62= x + x + x −2=−0.9786
3 2 3 3 3 5
−2 5 1 5 1 5 1 5 6
x 63= x − x + x + x + =1.9013
5 1 5 2 5 4 5 5 5
1 1 1 3
x 64 = x 51 + x 52+ x 53 + =1.9060
4 4 4 2
−1 5 1 5 1 5 3
x 65= x + x + x + =2.0009
2 2 4 3 4 4 2
t
Entonces ( x (16) , x (26 ) , x (36 ) , x (46 ) , x (56 )) =( 0.7637 ,−0.9786,1 .9013,1.9060,2 .0009 )t
Para k = 15
1 1 1 3
x 15
1 = (−0.0027)− (1.8669)− (1.9889)+ =0.7867
4 4 4 2
−1 1 1
x 15
2 = (0.7872)+ (1.8669)+ (1.9119 )−2=−1.0028
3 3 3
−2 1 1 1 6
x 15
3 = (0.7872)− (−1.0027)+ (1.9119)+ (1.9889)+ =1.8658
5 5 5 5 5
1 1 1 3
x 15
4 = (0.7872)+ (−1.0027)+ (1.8669)+ =1.9125
4 4 4 2
−1 1 1 3
x 15
5 = (−1.0027)+ (1.8669)+ (1.9119 )+ =1.9901
2 4 4 2
t
Entonces ( x (115 ) , x (215) , x (315 ) , x (415) , x (515 )) =( 0.7867 ,−1.0028,1 .8658,1.9125,1 .9901 )t
Para k = 16
1 1 1 3
x 16
1 = (−0.0028)− (1.8658)− (1.9901)+ =0.7867
4 4 4 2
−1 1 1
x 16
2 = ( 0.7867)+ (1.8658)+ (1.9125)−2=−1.0028
3 3 3
−2 1 1 1 6
x 15
3 = (0.7867)− (−1.0028)+ (1.9125)+ (1.9901)+ =1.8664
5 5 5 5 5
1 1 1 3
x 16
4 = (0.7867)+ (−1.0028)+ (1.8658)+ =1.9124
4 4 4 2
−1 1 1 3
x 16
5 = (−1.0028)+ (1.8658)+ (1.9125)+ =1.9899
2 4 4 2
t
Entonces ( x (116 ) , x (216 ) , x(316) , x (416 ) , x (516 ) ) =( 0.7867 ,−1.0028,1.8664,1 .9124,1.9899 )t
|x 16−x 15|=|0.0000; 0.0000 ; 0.0006 ; 0.0001 ; 0.0002|

|x 16−x 15|=0.0006
|x 16|=1.9899
|x 16−x 15| 0.0006
Error = = =0.0003
|x 16| 1.9899
a)
4 x1  x2  x4  0
 x1  4 x2  x3  x5  5  0
 x2  4 x3  x6  0
 x1  4 x4  x5  6  0
 x2  x4  4 x5  x6  2  0
 x3  x5  4 x6  6  0
luego :
1 1
x1  x2  x4
4 4
1 1 1 5
x2  x1  x3  x5 
4 4 4 4
1 1
x3  x2  x6
4 4
1 1 6
x4  x1  x5 
4 4 4
1 1 1 2
x5  x2  x4  x6 
4 4 4 4
1 1 6
x6  x3  x5 
4 4 4
formula :
1 1
x1k  x2k 1  x4k 1
4 4
1 1 1 5
x2k  x1k 1  x3k 1  x5k 1 
4 4 4 4
1 1
x3k  x2k 1  x6k 1
4 4
1 1 6
x4k  x1k 1  x5k 1 
4 4 4
1 1 1 2
x5k  x2k 1  x4k 1  x6k 1 
4 4 4 4
1 1 6
x6k  x3k 1  x5k 1 
4 4 4
k 1
1 1
x11  (0)  (0)  0
4 4
1 1 1 5
x12  (0)  (0)  (0)   1.25
4 4 4 4
1 1
x31  (0)  (0)  0
4 4
1 1 6
x14  (0)  (0)   1.5
4 4 4
1 1 1 2
x51  (0)  (0)  (0)   0.5
4 4 4 4
1 1 6
x61  ()  ()   1.5
4 4 4
entonces : ( x1 ; x2 ; x31 ; x14 ; x51 ; x61 )  (0,1.25, 0,1.5, 0.5,1.5)
1 1
k 2
1 1
x12  (1.25)  (1.5)  0.6875
4 4
1 1 1 5
x22  (0)  (0)  (0.5)   1.125
4 4 4 4
1 1
x32  (1.25)  (1.5)  0.6875
4 4
1 1 6
x42  (0)  ( 0.5)   1.375
4 4 4
1 1 1 2
x52  (1.25)  (1.5)  (1.5)   0.5625
4 4 4 4
1 1 6
x62  (0)  ( 0.5)   1.375
4 4 4
entonces : ( x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x52 ; x62 )  (0.6875,1.125, 0.6875,1.375, 0.5625,1.375)
2 2 2 2
k 3
1 1
x13  (1.125)  (1.375)  0.625
4 4
1 1 1 5
x23  (0.6875)  (0.6875)  (0.5625)   1.7344
4 4 4 4
1 1
x33  (1.125)  (1.375)  0.625
4 4
1 1 6
x43  (0.6875)  (0.5625)   1.8125
4 4 4
1 1 1 2
x53  (1.125)  (1.375)  (1.375)   0.4688
4 4 4 4
1 1 6
x63  (0.6875)  (0.5625)   1.8125
4 4 4
entonces : ( x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 ; x6 )  (0.625;1.7344;0.625;1.8125;0.4688;1.8125)
3 3 3 3 3 3
k 4
1 1
x14  (1.7344)  (1.8125)  0.8867
4 4
1 1 1 5
x24  (0.625)  (0.625)  (0.4688)   1.6797
4 4 4 4
1 1
x34  (1.7344)  (1.8125)  0.8867
4 4
1 1 6
x44  (0.625)  (0.4688)   1.7735
4 4 4
1 1 1 2
x54  (1.7344)  (1.8125)  (1.8125)   0.8399
4 4 4 4
1 1 6
x64  (0.625)  (0.4688)   1.7735
4 4 4
entonces : ( x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 ; x6 )  (0.8867;1.6797 : 0.8867;1.7735; 0.8399;1.7735)
4 4 4 4 4 4
k 5
1 1
x15  (1.6797)  (1.7735)  0.8633
4 4
1 1 1 5
x25  (0.8867)  (0.8867)  (0.8399)   1.9031
4 4 4 4
1 1
x35  (1.6797)  (1.7735)  0.8633
4 4
1 1 6
x45  (0.8867)  (0.8399)   1.9317
4 4 4
1 1 1 2
x55  (1.6797)  (1.7735)  (1.7735)   0.8067
4 4 4 4
1 1 6
x65  (0.8867)  (0.8399)   1.9317
4 4 4
entonces : ( x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 ; x6 )  (0.8633;1.9031;0.8633;1.9317;0.7067;1.9317)
5 5 5 5 5 5
k 6
1 1
x16  (1.9031)  (1.9317)  0.9587
4 4
1 1 1 5
x26  (0.8633)  (0.8633)  (0.8067)   1.8883
4 4 4 4
1 1
x36  (1.9031)  (1.9317)  0.9587
4 4
1 1 6
x46  (0.8633)  (0.8067)   1.9175
4 4 4
1 1 1 2
x56  (1.9031)  (1.9317)  (1.9317)   1.9416
4 4 4 4
1 1 6
x66  (0.8633)  (0.8067)   1.9175
4 4 4
entonces : ( x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 ; x6 )  (0.9587;1.8833;0.9587;1.9175 :1.9416;1.9175)
6 6 6 6 6 6
k 7
1 1
x17  (1.8833)  (1.9175)  0.7002
4 4
1 1 1 5
x27  (0.9587)  (0.9587)  (1.9416)   2.2148
4 4 4 4
1 1
x37  (1.833)  (1.9416)  0.7002
4 4
1 1 6
x47  (0.9587)  (1.9416)   2.2251
4 4 4
1 1 1 2
x57  (1.8833)  (1.9175)  (1.9175)   0.9296
4 4 4 4
1 1 6
x67  (0.9587)  (1.9416)   2.2251
4 4 4
entonces : ( x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 ; x6 )  (0.7002; 2.2148;0.7002; 2.2251;0.9296; 2.2251)
7 7 7 7 7 7
k 8
1 1
x18  (2.2148)  (2.2251)  1.11
4 4
1 1 1 5
x28  (0.7002)  (0.7002)  (0.9296)   1.8325
4 4 4 4
1 1
x38  (2.2148)  (2.2251)  1.11
4 4
1 1 6
x48  (0.7002)  (0.9296)   1.9075
4 4 4
1 1 1 2
x58  (2.2148)  (2.2251)  (2.2251)   1.1663
4 4 4 4
1 1 6
x68  (0.7002)  (0.9296)   1.9075
4 4 4
entonces : ( x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 ; x6 )  (1.11;1.8325;1.11;1.9075;1.1663;1.9075)
8 8 8 8 8 8
k 9
1 1
x19  (1.8325)  (1.9075)  0.935
4 4
1 1 1 5
x29  (1.11)  (1.11)  (1.1663)   1.0966
4 4 4 4
1 1
x39  (1.8325)  (1.9075)  0.935
4 4
1 1 6
x49  (1.11)  (1.1663)   2.0691
4 4 4
1 1 1 2
x59  (1.8325)  (1.9075)  (1.9075)   0.9119
4 4 4 4
1 1 6
x69  (1.11)  (1.1663)   2.0691
4 4 4
entonces : ( x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 ; x69 )  (0.935; 2.0966 : 0.935; 2.0691;0.9119; 2.0691)
9 9 9 9 9
k  10
1 1
x110  (2.0966)  (2.0691)  1.0414
4 4
1 1 1 5
2 
x10 (0.935)  (0.935)  (0.9119)   1.9455
4 4 4 4
1 1
x310  (2.0966)  (2.0691)  1.0414
4 4
1 1 6
4 
x10 (0.935)  (0.9119)   1.9617
4 4 4
1 1 1 2
x510  (2.0966)  (2.0691)  (2.0691)   1.0587
4 4 4 4
1 1 6
x610  (0.935)  (0.9119)   1.9617
4 4 4
6 )  (1.0414;1.9455;1.0414;1.9617;1.0587;1.9617)
entonces : ( x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 ; x10
10 10 10 10 10
k  11
1 1
x111  (1.9455)  (1.9617)  0.9768
4 4
1 1 1 5
2 
x11 (1.0414)  (1.0414)  (1.0587)   2.0354
4 4 4 4
1 1
x311  (1.9455)  (1.9617)  0.9768
4 4
1 1 6
4 
x11 (1.0414)  (1.0587)   2.0250
4 4 4
1 1 1 2
x511  (1.9455)  (1.9617)  (1.9617)   0.9672
4 4 4 4
1 1 6
x611  (1.0414)  (1.0587)   2.0250
4 4 4
entonces : ( x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 ; x611 )  (0.9768; 2.0354; 0.9768; 2.0250;0.9672; 2.0250)
11 11 11 11 11
k  12
1 1
x112  (2.0354)  (2.0350)  1.0151
4 4
1 1 1 5
2 
x12 (0.9768)  (0.9768)  (0.9672)   1.9802
4 4 4 4
1 1
x312  (0.9768)  (0.9672)  1.0151
4 4
1 1 6
4 
x12 (0.9768)  (0.9672)   1.9860
4 4 4
1 1 1 2
x512  (2.0354)  (2.0250)  (2.0250)   1.0215
4 4 4 4
1 1 6
6 
x12 (0.9768)  (0.9672)   1.9860
4 4 4
6 )  (1.0151;1.9802;1.0151;1.9860;1.0215;1.9860)
entonces : ( x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 ; x12
12 12 12 12 12
k  13
1 1
x113  (1.9802)  (1.9860)  0.9916
4 4
1 1 1 5
2 
x13 (1.0151)  (1.0151)  (1.0215)   2.0129
4 4 4 4
1 1
x313  (1.9802)  (1.9860)  0.9916
4 4
1 1 6
4 
x13 (1.0151)  (1.0215)   2.0092
4 4 4
1 1 1 2
x513  (1.9802)  (1.9860)  (1.9860)   0.9881
4 4 4 4
1 1 6
x613  (0.0151)  (1.0215)   2.0092
4 4 4
entonces : ( x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 ; x613 )  (0.9916; 2.0129;0.9916; 2.0092;0.9881; 2.0092)
13 13 13 13 13
k  14
1 1
x114  (2.0129)  (2.0092)  1.0055
4 4
1 1 1 5
2 
x14 (0.9916)  (0.9916)  (0.9881)   1.9928
4 4 4 4
1 1
x314  (2.0129)  (2.0092)  1.0055
4 4
1 1 6
4 
x14 (0.9916)  (0.9881)   1.9949
4 4 4
1 1 1 2
x514  (2.0129)  (2.0092)  (2.0092)   1.0078
4 4 4 4
1 1 6
6 
x14 (0.9916)  (0.9881)   1.9949
4 4 4
6 )  (1.0055;1.9928;1.0055;1.9949;1.0078;1.9949)
entonces : ( x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 ; x14
14 14 14 14 14
k  15
1 1
x115  (1.9928)  (1.9949)  0.9969
4 4
1 1 1 5
2 
x15 (1.0055)  (1.0055)  (1.0078)   1.0047
4 4 4 4
1 1
x315  (1.9928)  (1.9949)  0.9969
4 4
1 1 6
4 
x15 (1.0055)  (1.0078)   2.0033
4 4 4
1 1 1 2
x515  (1.9928)  (1.9949)  (1.9949)   0.9957
4 4 4 4
1 1 6
x615  (1.0055)  (1.0078)   2.0033
4 4 4
entonces : ( x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 ; x615 )  (0.9969; 2.0047;0.9969; 2.0033;0.9957; 2.0033)
15 15 15 15 15
k  16
1 1
x116  (2.0047)  (2.0033)  1.0020
4 4
1 1 1 5
2 
x16 (0.9969)  (0.9969)  (0.9957)   1.9974
4 4 4 4
1 1
x316  (2.0047)  (2.0033)  1.0020
4 4
1 1 6
4 
x16 (0.9969)  (0.9957)   1.9982
4 4 4
1 1 1 2
x516  (2.0047)  (2.0033)  (2.0033)   1.0029
4 4 4 4
1 1 6
6 
x16 (0.9969)  (0.9957)   1.9982
4 4 4
6 )  (1.0020;1.9974;1.0020;1.9982;1.0029;1.9982)
entonces : ( x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 ; x16
16 16 16 16 16
k  17
1 1
x117  (1.9974)  (1.9982)  0.9989
4 4
1 1 1 5
2 
x17 (1.0020)  (1.0020)  (1.0029)   2.0017
4 4 4 4
1 1
x317  (1.9974)  (1.9982)  0.9989
4 4
1 1 6
4 
x17 (1.0020)  (1.0029)   2.0012
4 4 4
1 1 1 2
17
5  (1.9974)  (1.9982)  (1.9982)   0.9985
4 4 4 4
1 1 6
x617  (1.0020)  (1.0029)   2.0012
4 4 4
entonces : ( x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 ; x617 )  (0.9989; 2.0017;0.9989; 2.0012;0.9985; 2.0012)
17 17 17 17 17
k  18
1 1
x118  (2.0017)  (2.0012)  1.0007
4 4
1 1 1 5
2 
x18 (0.9989)  (0.9989)  (0.9985)   1.9991
4 4 4 4
1 1
x318  (2.0017)  (2.0012)  1.0007
4 4
1 1 6
4 
x18 (0.9989)  (0.9985)   1.9994
4 4 4
1 1 1 2
x518  (2.0017)  (2.0012)  (2.0012)   1.001
4 4 4 4
1 1 6
x618  (0.9989)  (0.9985)   1.9994
4 4 4
entonces : ( x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 ; x618 )  (1.0007;1.9991;1.0007;1.9994;1.001;1.9994)
18 18 18 18 18
k  19
1 1
x119  (1.9991)  (9.9994)  0.9996
4 4
1 1 1 5
2 
x19 (1.0007)  (1.0007)  (1.001)   2.0006
4 4 4 4
1 1
x319  (1.9991)  (1.9994)  0.9996
4 4
1 1 6
4 
x19 (1.0007)  (1.001)   2.0004
4 4 4
1 1 1 2
x519  (1.9991)  (1.9994)  (1.9994)   0.9995
4 4 4 4
1 1 6
x619  (1.0007)  (1.001)   2.0004
4 4 4
6 )  (0.9996; 2.0006;0.9996; 2.0004;0.9995; 2.0004)
entonces : ( x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 ; x19
19 19 19 19 19
k  20
1 1
x120  (2.0006)  (2.0004)  1.0003
4 4
1 1 1 5
x220  (0.9996)  (0.9996)  (0.9995)   1.9997
4 4 4 4
1 1
x320  (2.0006)  (2.0004)  1.0003
4 4
1 1 6
x420  (0.9996)  (0.9995)   1.9998
4 4 4
1 1 1 2
x520  (2.0006)  (2.0004)  (2.0004)   1.0004
4 4 4 4
1 1 6
x620  (0.9996)  (0.9995)   1.9998
4 4 4
entonces : ( x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 ; x620 )  (1.0003;1.9997;1.0003;1.9998;1.0004;1.9998)
20 20 20 20 20
x 20  x19  0.0007; 0.0009;0.0007; 0.0006;0.0009; 0.0006
x 20  x19  0.0009
x 20  1.9998
x 20  x19
Error 
x 20
0.0009
Error 
1.9998
Error  0.0004  103
EJERCICIO 2. Repita el ejercicio 1 empleando el método de Gauss Seidel

a)
k x2k−1 x3k−1
3x1-x2+x3=1 x =
1 – +1
3 3
x1k x3k−1
3x1+6x2+2x3=0 Despejando x k2= – +1
2 3
3 x k1 3 x k2 4
3x1+3x2+7x3=4 x k3= – +
7 7 7
Para k = 1
x02 x03 1
x 11= - + = 0.333333
3 3 3
x11 x30
x 12= - − = -0.166667
2 3
1 3 x 11 3 x 12 4
x=
3 − + = 0.500000
7 7 7
Para k=2
2 x12 x13 1
x = - + = 0.111111
1
3 3 3
2 x21 x 13
x = - − = -0.222222
2
2 3
3 x 21 3 x 22 4
x 23= − + = -0.619048
7 7 7
Respuesta:
x = (0.111111, -0.222222, -0.619048).

(2)
b)
10 x 1−x 2=9
−x 1+ 10 x 2−2 x 3=7
−2 x2 +10 x 3=6
despejamos cada una con de las variables x 1 , x 2 , x3 ,
k x2(k−1) 9
x1 = +
10 10
x1(k) 2 x3(k−1) 7
k
x2 = + + soluciones iniciales ( 0 ; 0 ; 0 )t
10 10 10
k 2 x 2(k ) 6
x3 = +
10 10
para k =1
1 x 2(0 ) 9
x1 = + =0.9
10 10
x 1(1) 2 x 3(0) 7
x 21 = + + =0.79
10 10 10
1 2 x 2(1) 6
x3 = + =0.758
10 10
t
x 1=( x 11 ; x 21 ; x 31 ) =( 0.9 ; 0.79 ; 0.758 )
para k =2
2 x 2(1) 9
x1 = + =0.979
10 10
x 1(2) 2 x 3(1) 7
x 22 = + + =0.9495
10 10 10
2 2 x 2(2) 6
x3 = + =0.7899
10 10
t
x 2=( x 12 ; x 22 ; x 32 ) =( 0.979 ; 0.9495 ; 0.7899 )
X 2−X 1 0.079 ; 0.1596 ; 0.0319 0.1596
ERROR= ‖ X
2‖=
0.979
=
0.979
=0.1630
c)
Solución
−5∗x 2 6 k −5 xk2 −1 6
 x 1= + x 1= +
10 10 10 10
−5 x1 4 x k−1
k
−5∗x 1 4 x 3 25 k 3 25
 x 2= + + x 2= + +
10 10 10 10 10 10
k k−1
4∗x 2 x 4 11 k 4 x2 x4 11
 x 3= + − x 3= + −
8 8 8 8 8 8
k
x 11 x 3 11
 x4 = 3 − k
x4 = −
5 5 5 5
Consideramos la aproximación inicial. x 0=¿
Iteración. k=1
−5 x 02 6
 x 11 = + =0.6
10 10
−5 x 1 4 x 03 25 −5∗0.6
1
 x 12= 25
+ + = + 0+ =2.2
10 10 10 10 10
1 0
4x x
 x 13= 2 + 4 − 11 = 4∗2.2 +0− 11 =−0.275
8 8 8 8 8
1
x
 x 14 = 3 − 11 =−0.275 − 11 =−2.255
5 5 5 5
x 1=¿
Iteración. k=2
−5 x 12 6 −5∗2.2 6
 x 21 = + = + =−0.5
10 10 10 10
2 1
−5 x 1 4 x 3 25 −5∗−0.5 4∗−0.275 25
 x 22= + + = + + =2.64
10 10 10 10 10 10
2 1
4x x
 x 23= 2 + 4 − 11 = 4∗2.64 + −2.255 − 11 =−0.3369
8 8 8 8 8 8
2
x
 x 24 = 3 − 11 =−0.3369 − 11 =−2.2674
5 5 5 5
2
x =¿
ǁ x2 −x1 ǁ ǁ−1.1, 0.44 ,−0.0619 ,−0.0125ǁ 0.44
ERROR= = = =0.1666
ǁ x2 ǁ ǁ−0.5 ,2.64 ,−0.3369 ,−2.2674 ǁ 2.64
d)
4X1 + X2 - X3 + X4 = -2
X1 + 4X2 - X3 - X4 = -1
-X1 - X2 + 5X3 + X4 = 0
X1 – X2 + X3 + 3X4 = 1
}
Solución
Despejando:
X1 = ( - X2 + X3 - X4 - 2) /4 → X1(k) = (- X2(k-1) + X3(k-1) – X4(k-1) -2) /4
X2 = (- X1 + X3 + X4 - 1) /4 → X2(k) = (- X1(k) + X3(k-1) + X4(k-1) -1) /4
X3 = (X1 + X2 - X4) /5 → X3(k) = (X1(k) + X2(k) – X4(k-1)) /5
X4 = (- X1 + X2 - X3 +1) /3 → X4(k) = (- X1(k) + X2(k) – X3(k) +1) /3
X (0) = (X1 (0) ; X2 (0) ; X3 (0) ; X4 (0))t = (0,0,0,0)t
Iterando:
 Iteración 1
k=1
X1(1) = (- X2(0) + X3(0) – X4(0) -2) /4 = - 0.5000

X2(1) = (- X1(1) + X3(0) + X4(0) -1) /4 = - 0.1250
X3(1) = (X1(1) + X2(1) – X4(0)) /5 = - 0.1250
X4(1) = (- X1(1) + X2(1) – X3(1) +1) /3 = 0.5000
X (1) = (X1 (1) ; X2 (1) ; X3 (1) ; X4 (1))t = (- 0.5000; - 0.125; - 0.125; 0.5000)t
 Iteración 2
K=2
X1(2) = (- X2(1) + X3(1) – X4(1) -2) /4 = - 0.6250

X2(2) = (- X1(2) + X3(1) + X4(1) -1) /4 = 0
X3(2) = (X1(2) + X2(2) – X4(1)) /5 = - 0.2250
X4(2) = (- X1(2) + X2(2) – X3(2) +1) /3 = 0.6167
X (2) = (X1 (2) ; X2 (2) ; X3 (2) ; X4 (2))t = (- 0.6250; 0; - 0.225; 0.6167)t
 Iteración 3
K=3
X1(3) = (- X2(2) + X3(2) – X4(2) -2) /4 = - 0.7104

X2(3) = (- X1(3) + X3(2) + X4(2) -1) /4 = 0.0255
X3(3) = (X1(3) + X2(3) – X4(2)) /5 = - 0.2603
X4(3) = (- X1(3) + X2(3) – X3(3) +1) /3 = 0.6654
X (3) = (X1 (3) ; X2 (3) ; X3 (3) ; X4 (3))t = (- 0.7104; 0.0255; - 0.2603; 0.6654)t
 Iteración 4
K=4
X1(4) = (- X2(3) + X3(3) – X4(3) -2) /4 = - 0.7378

X2(4) = (- X1(4) + X3(3) + X4(3) -1) /4 = 0.0357
X3(4) = (X1(4) + X2(4) – X4(3)) /5 = - 0.2735
X4(4) = (- X1(4) + X2(4) – X3(4) +1) /3 = 0.6823
X (4) = (X1 (4) ; X2 (4) ; X3 (4) ; X4 (4))t = (- 0.7378; 0.0357; - 0.2735; 0.6823)t
 Iteración 5
K=5
X1(5) = (- X2(4) + X3(4) – X4(4) -2) /4 = - 0.7479

X2(5) = (- X1(5) + X3(4) + X4(4) -1) /4 = 0.0392
X3(5) = (X1(5) + X2(5) – X4(4)) /5 = - 0.2782
X4(5) = (- X1(5) + X2(5) – X3(5) +1) /3 = 0.6884
X (5) = (X1 (5) ; X2 (5) ; X3 (5) ; X4 (5))t = (- 0.7479; 0.0392; - 0.2782; 0.6884)t
 Iteración 6
K=6
X1(6) = (- X2(5) + X3(5) – X4(5) -2) /4 = - 0.7515

X2(6) = (- X1(6) + X3(5) + X4(5) -1) /4 = 0.0404
X3(6) = (X1(6) + X2(6) – X4(5)) /5 = - 0.2799
X4(6) = (- X1(6) + X2(6) – X3(6) +1) /3 = 0.6906
X (6) = (X1 (6) ; X2 (6) ; X3 (6) ; X4 (6))t = (- 0.7515; 0.0404; - 0.2799; 0.6906)t
 Iteración 7
K=7
X1(7) = (- X2(6) + X3(6) – X4(6) -2) /4 = - 0.7527

X2(7) = (- X1(7) + X3(6) + X4(6) -1) /4 = 0.0409
X3(7) = (X1(7) + X2(7) – X4(6)) /5 = - 0.2805
X4(7) = (- X1(7) + X2(7) – X3(7) +1) /3 = 0.6914
X (7) = (X1 (7) ; X2 (7) ; X3 (7) ; X4 (7))t = (- 0.7527; 0.0409; - 0.2805; 0.6914)t
 Iteración 8
K=8
X1(8) = (- X2(7) + X3(7) – X4(7) -2) /4 = - 0.7532

X2(8) = (- X1(8) + X3(7) + X4(7) -1) /4 = 0.0410
X3(8) = (X1(8) + X2(8) – X4(7)) /5 = - 0.2807
X4(8) = (- X1(8) + X2(8) – X3(8) +1) /3 = 0.6916
Podemos decir que los valores más aproximados para la solución del sistema de ecuaciones
son los siguientes:
X (8) = (X1 (8) ; X2 (8) ; X3 (8) ; X4 (8))t = (- 0.7532; 0.0410; - 0.2807; 0.6916)t
Para el error se tiene en cuenta la norma infinita.
‖ x( 8)−x ( 7)‖∞ ‖−0.0005; 0.0001;−0.0002 ; 0.0002‖∞

E= =
‖ x( 8)‖∞ 0.7532
E = 0.0005/0.7532 = 0.000664
Expresándole en porcentaje el error es de 0.0664%
e)
técnica de Gauss – Seidel
4X1 + X2 + X3 + X5 = 6
-X1 – 3X2 + X3 + X4 = 6
2X1 + X2 + 5X3 – X4 – X5 = 6
-X1 – X2 – X3 + 4X4 = 6
2x2 - X3 + X4 + 4X5 = 6
 Usamos la técnica de Gauss – Seidel

) −1 1 1 3
X (K
1 = X (2K −1)− X 3(K −1)− X (5K −1)+ … … …(1)
4 4 4 2
(K ) −1 1 1
X2 = X (K ) + X ( K −1) + X (4K−1 )+2 … … … .(2)
3 1 3 3 3
) −2 1 1 1 6
X (K
3 = X ( K )− X ( K )+ X ( K−1) + X (5K −1)+ … … … .(3)
5 1 5 2 5 4 5 5
1 (K ) 1 ( K ) 1 ( K ) 3
X (K )
4 = X + X + X + … … … .(4)
4 1 4 2 4 3 2
) −1 1 1 3
X (K
5 = X (2K ) + X (3K )− X (4K ) + … … … .(5)
2 4 4 2
 Consideremos la aproximación inicial X 0=( X 01 , X 02 , X 30 , X 04 , X 05)T =¿
ITERACCIÓN K=1
−1 (0) 1 (0 ) 1 (0 ) 3
X (11)= X − X − X + =1.5
4 2 4 3 4 5 2
−1 3 1 (0 ) 1 (0 )
X (1)
2 = ()
+ X + X + 2=1.5
3 2 3 3 3 4
−2 1 1 1 6
X (1)
3 = ( 1.5 ) − ( 1.5 )+ X (40 )+ X (50 )+ =0.3
5 5 5 5 5
1 1 1 3
X (41)= ( 0.5 ) + ( 0.5 )+ ( 0.3 )+ =2.325
4 4 4 2
−1 1 1 3
X (1)
5 = ( 1.5 ) + ( 0.3 ) − (2.325 )+ =0.24375
2 4 4 2
X 1 =( X 11 , X 12 , X 13 , X 14 , X 15 )T =¿
ITERACCIÓN K=2
−1 (1) 1 (1) 1 (1) 3
X (2)
1 = X − X − X +
4 2 4 3 4 5 2
−1 1 1 3
X (2)
1 = ( 1.5 ) − ( 0.3 )− ( 0.24375 ) + =1.739063
4 4 4 2
−1 (2) 1 ( 1) 1 (1 )
X (2)
2 = X + X + X +2
3 1 3 3 3 4
−1 1 1
X (2)
2 = ( 1.739063 ) + ( 0.3 ) + ( 2.325 )+2=2.295312
3 3 3
−2 (2) 1 (2 ) 1 (1) 1 ( 1) 6
X (2)
3 = X − X + X + X +
5 1 5 2 5 4 5 5 5
−2 1 1 1 6
X (2)
3 = ( 1.739063 ) − ( 2.295312) + ( 2.325 )+ ( 0.24375 )+ =−0.63118
5 5 5 5 5
1 1 1 3
X (42)= X (12) + X (22)+ X (32 )+
4 4 4 2
1 1 1 3
X (42)= ( 1.739063 ) + ( 2.295312 ) + (−0.63118 ) + =2.350797
4 4 4 2
−1 (2) 1 ( 2) 1 ( 2) 3
X (52)= X + X − X +
2 2 4 3 4 4 2
−1 1 1 3
X (2)
5 = ( 2.295312 ) + (−0.63118 )− ( 2.350797 ) + =−0.393152
2 4 4 2
Respuesta: X 2 =(1. 739063 ,2. 295312 ,−0.63118 ,2.350797 ,−0.393152)
‖ X 2−X 1‖∞ ‖0.239063 , 0.795312 ,−0.93118 ,0.257997 ,−0.636902‖

Error = =
‖ X 2‖∞ ‖1.739063 , 2.295312 ,−0.63118 ,2.350797 ,−0.393152‖
‖−0.93118‖
Error = = 0.40568
‖2.295312 ,‖
f)
4 x1 −x2 −x 4=0
−x 1+ 4 x 2−x 3−x 5=5
−x 2+ 4 x 3−x 6=0
−x 1+ 4 x 4 −x 5=6
−x 2−x 4 +4 x 5 −x6 =−2
−x 3−x 5 +4 x 6 =6
Gauss-seidel
x2 x 4 1 k−1 1 k−1
x 1= + x k1 = x + x4
4 4 4 1 4
x1 x 3 x 5 5 1 k 1 k−1 1 k−1 5
x 2= + + +¿ x k2 = x + x + x5 +
4 4 4 4 4 1 4 3 4 4
x2 x 6 1 k 1 k−1
x 3= + x k3 = x+ x
4 4 4 2 4 6
x1 x5 6 1 k 1 k−1 6
x4= + + x k4 = x+ x +
4 4 4 4 1 4 5 4
x2 x 4 x 6 2 1 k 1 k 1 k−1 2
x 5= + + − x k5 = x+ x + x −
4 4 4 4 4 2 4 4 4 6 4
x 3 x5 6 1 k 1 k 6
x 6= + + x k6 = x+ x +
4 4 4 4 3 4 5 4
Consideramos aproximación inicial

K=1
1 0 1 0
x 11 = x + x =0
4 1 4 4
1 1 1 0 1 0 5
x 12 = x + x + x + =1.25
4 1 4 3 4 5 4
1 1 1 0
x 13 = x + x =1.25
4 2 4 6
1 1 1 0 6
x 14 = x + x + =1.5
4 1 4 5 4
1 1 1 1 1 0 2
x 15 = x + x + x − =1.8125
4 2 4 4 4 6 4
1 1 1 1 6
x 16 = x + x + =2.2656250
4 3 4 5 4
K=2
1 1 1 1
x 21 = x + x =0.375
4 1 4 4
1 2 1 1 1 1 5
x 22 = x + x + x + =2.1093750
4 1 4 3 4 5 4
1 2 1 1
x 23 = x + x =1.0937500
4 2 4 6
1 2 1 1 6
x 24 = x + x + =2.0468750
4 1 4 5 4
1 2 1 2 1 1 2
x 25 = x + x + x − =1.6875
4 2 4 4 4 6 4
1 2 1 2 6
x 26 = x + x + =2.1953125
4 3 4 5 4
K=3
x 31 =0.6054688
x 32 = 2.0966797
x 33 = 0.8222656
x 34 = 2.0732422
x 35 = 1.0913086
x 36 = 1.9783936
K=4
x 41 = 0.6696778
x 42 = 2.1412964
x 43 = 1.0299225
x 44 = 2.3294373
x 45 = 1.1122818
x 46 = 2.0355511
K=5
x 51 = 0.4454899
x 52 = 1.8969236
x 53 = 0.9830609
x 54 = 1.8894429
x 55 = 0.9554794
x 56 ¿1.9846964
Error =
‖x 5−x 4‖∞ ‖−0.2241879 ,−0.2446040 ,−0.0468616 ,−0.439944 ,−0.1568024 ,−0.0508547‖∞
=
‖x 5‖∝ ‖1.9846964‖∝
‖ x5 −x 4‖∞ −0.0468616
error = = =0.0244954
‖x 5‖∝ 1.9846964
EJERCICIO 3. Aplique el método de Jacobi para resolver los sistemas lineales del ejercicio
1. Con Tol = 10−3 en la norma L∞. Usando x (0 )=0
a)
3 x 1−x 2+ x 3=1 ,
3 x 1+6 x 2 +2 x3 =0 ,
3 x 1+3 x 2 +7 x3 =4.
x(0) =(x 1 ¿¿(0) , x2(0) , x 3(0) )t =(0 , 0 , 0)t ¿ k

x =T x +C ,∀ k≥ 1
(k−1)
SOLUCIÓN:
x2 x3 1
x 1= − +
3 3 3
−x1 x 3
x 2= −
2 3
−3 x1 3 x2 4
x 3= − +
7 7 7
x (k−1)
(k) 2 x (3k−1 ) 1
x =
1 − +
3 3 3
−x(1k−1) x (3k−1)
x (2k )= −
2 3
−3 x (k−1 3 x (2k−1) 4
)
(k) 1
x = 3 − +
7 7 7
Iteración k = 1 utilizaremos apróx. Inicial x(0) =(x 1 ¿¿(0), x2(0) , x 3(0) )t =(0 , 0 , 0)t ¿
x (0)
2
(1) x (30 ) 1
x = 1 − + =0.3333
3 3 3
−x (01 ) x (03 )
x (21) = − =0
2 3
(1)−3 x (10 ) 3 x (20) 4

x =
3 − + =0.5714
7 7 7
t t
x(1)=( x(1) (1) (1)
1 , x 2 , x 3 ) =(0.3333 ; 0 ; 0.5714)
Iteración k = 2
x (1)
2
(2) x (31) 1
x = − + =0.1429
1
3 3 3
−x (11 ) x (31 )
x (22 )= − =−0.8571
2 3
−3 x (11 ) 3 x(21) 4
(2)
x =
3 − + =0.4286
7 7 7
t t
x(2) =( x(2) (2) (2)
1 , x2 , x 3 ) =(0.1429 ;−0.8571; 0.4286)
iteración k = 3
x (2)
2 x ( 2) 1
x(3)
1 = − 3 + =−0.0952
3 3 3
−x (12) x 23
(3 )
x =
2 − =−0.2143
2 3
−3 x (12 ) 3 x (22) 4
x(3)
3 = − + =0.8775
7 7 7
t t
x(3) =( x(3) (3) (3 )
1 , x 2 , x 3 ) =(−0.0952;−0.2143 ; 0.8775)
Iteración k = 4
x(3)
2
(4 ) x(33) 1
x =
1 − + =−0.0306
3 3 3
−x (13) x3(3)
x (24 )= − =−0.2449
2 3
−3 x(13) 3 x (23 ) 4
(4 )
x =
3 − + =0.7041
7 7 7
t t
x(4 )=( x (4) (4 ) (4 )
1 , x 2 , x 3 ) =(−0.0306 ;−0.2449 ; 0.7041)
Iteración k = 5
x (4)
2 x( 4 ) 1
x(5)
1 = − 3 + =0.0170
3 3 3
−x (14) x3(4 )
(5 )
x =
2 − =−0.2194
2 3
−3 x (14) 3 x (24) 4
x(5)
3 = − + =0.6895
7 7 7
t t
x(5) =( x(5) (5) (5 )
1 , x 2 , x 3 ) =( 0.0170;−0.2194 ; 0.6895)
Iteración k = 6
x (52 ) x (35 ) 1
x(6)
1 = − + =0.0304
3 3 3
−x (15) x (35 )
(6 )
x =
2 − =−0.2383
2 3
−3 x (15 ) 3 x (25 ) 4
(6)
x =
3 − + =0.6582
7 7 7
t t
x(6) =( x (61 ) , x(6) (6)
2 , x 3 ) =(0.0304 ;−0.2383 ; 0.6582)
Iteración k = 7
x (62 ) x (36 ) 1
(7)
x = 1 − + =0.0345
3 3 3
−x (16) x (36)
x (27 )= − =−0.2346
2 3
−3 x (16 ) 3 x (26 ) 4
(7)
x =
3 − + =0.6605
7 7 7
t t
x(7) =( x (7) (7) (7)
1 , x 2 , x3 ) =(0.0345 ;−0.2346 ; 0.6605)
Iteración k = 8
x (72 ) x (37 ) 1
(8)
x = 1 − + =0.0350
3 3 3
−x (17) x (37 )
(8 )
x =
2 − =−0.2374
2 3
−3 x (17 ) 3 x (27 ) 4
x(8)
3 = − + =0.6572
7 7 7
t t
x(8) =( x (8) (8) (8)
1 , x 2 , x3 ) =(0.0350 ;−0.2374 ; 0.6572)
Iteración k = 9
x (82 ) x (38 ) 1
x(9)
1 = − + =0.0351
3 3 3
−x (18) x (38)
(9 )
x =
2 − =−0.2366
2 3
−3 x (18 ) 3 x (28 ) 4
x(9)
3 = − + =0.6582
7 7 7
t t
x(9) =( x (91 ) , x(9) (9)
2 , x 3 ) =(0.0351 ;−0.2366 ; 0.6582)
Iteración k = 10
(10) x(9)
2 x (39 ) 1
x 1 = − + =0.0352
3 3 3
−x (19 ) x (39 )
( 10 )
x =
2 − =−0.2370
2 3
−3 x (19 ) 3 x (29) 4
x(10)
3 = − + =0.6578
7 7 7
t t
x(10)=( x(10) (10) (10)
1 , x 2 , x 3 ) =( 0.0352;−0.2370 ; 0.6578)
‖ x( 10)−x(9) ∨¿ ∞ ¿∨0.0001 ;−0.0004 ;−0.0004∨¿ ∞ 0.0004

ERROR ¿ 10
= = =0.0006<10−3
¿∨x ∨¿ ∞ ¿∨0.0352 ;−0.2370 ; 0.6578∨¿ ∞ 0.6578
Dejamos de interar porque obtuvimos un error menor a 10−3 ; 0.0006
b)
10 x 1−x 2=9 ,
−x 1+ 10 x 2−2 x 3=7 ,
−2 x2 +10 x 3=6.
x(0) =(x 1 ¿¿(0) , x2(0) , x 3(0) )t =(0 , 0 , 0)t ¿ x k =T x (k−1)+|C , ∀ k ≥ 1
SOLUCIÓN:
x2 9
x 1= +
10 10
x1 x3 7
x 2= + +
10 5 10
x2 3
x 3= +
5 5
x (k−1)
2 9
x(k)
1 = +
10 10
x (1k−1) x (3k−1) 7
(k )
x =2 + +
10 5 10
x (2k−1) 3
(k)
x = 3 +
5 5
Iteración k = 1 utilizaremos apróx. Inicial x(0) =(x 1 ¿¿(0), x2(0) , x 3(0) )t =(0 , 0 , 0)t ¿
x (0)
2 9
x(1)
1 = + =0.9
10 10
x (01 ) x(0) 7
( 1)
x =
2 + 3 + =0.7
10 5 10
x (20 ) 3
(1)
x = + =0.6
3
5 5
t t
x(1)=( x(1) (1) (1)
1 , x 2 , x 3 ) =(0.9 ; 0.7 ; 0.6)
Iteración k = 2
x (1)
2 9
x(2)
1 = + =0.97
10 10
x (1)
1 x (1) 7
x (22 )= + 3 + =0.91
10 5 10
x (21 ) 3
(2)
x = + =0.74
3
5 5
t t
x(2) =( x(2) (2) (2)
1 , x2 , x 3 ) =(0.97 ; 0.91 ; 0.74)
iteración k = 3
x(2) 9
x ¿= 2 + =0.97
3¿
1
10 10
x (2)
1 x(2) 7
x =(3 )
2 + 3 + =0.91
10 5 10
x (22 ) 3
x(3)
3 = + =0.74
5 5
t t
x(3) =( x(3) (3) (3 )
1 , x 2 , x 3 ) =( 0.97; 0.91; 0.74)
Iteración k = 4
x (32 ) 9
4¿
x ¿= 1 + =0.991
10 10
x(3)
1 x (3) 7
(4 )
x =
2 + 3 + =0.945
10 5 10
x (23) 3
x(43 )= + =0.782
5 5
t t
x(4 )=( x (4) (4 ) (4 )
1 , x 2 , x 3 ) =(0.991 ; 0.945 ; 0.782)
x(42 ) 9
5¿
Iteración k = 5 x ¿=1 + =0.9945
10 10
x (4)
(5 ) 1 x (43 ) 7
x =
2 + + =0.9555
10 5 10
x (24) 3
x(5)
3 = + =0.789
5 5
t t
x(5) =( x(5) (5) (5 )
1 , x 2 , x 3 ) =( 0.9945; 0.9555 ; 0.789)
Iteración k = 6
x(5) 9
x ¿= 2 + =0.99555
6¿
1
10 10
x (51 ) x(5) 7
x (26 )= + 3 + =0.95725
10 5 10
x (25 ) 3
x(6)
3 = + =0.7911
5 5
t t
x(6) =( x (61 ) , x(6) (6)
2 , x 3 ) =(0.99555 ; 0.95725 ; 0.7911)
Iteración k = 7
x(6) 9
x ¿= 2 + =0.99573
7¿
1
10 10
x (61 ) x(6) 7
(7 )
x =
2 + 3 + =0.95778
10 5 10
x (26 ) 3
x(7)
3 = + =0.79145
5 5
t t
x(7) =( x (7) (7) (7)
1 , x 2 , x3 ) =(0.99573 ; 0.95778; 0.79145)
Iteración k = 8
x(7) 9
x 81 ¿ ¿= 2
+ =0.99578
10 10
x (71 ) x(7)
3 7
x (28 )= + + =0.95906
10 5 10
x (27 ) 3
(8)
x = + =0.79156
3
5 5
t t
x(8) =( x (8) (8) (8)
1 , x 2 , x3 ) =(0.99578 ; 0.95906 ; 0.79156)
Iteración k = 9
x(8) 9
x 91 ¿ ¿= 2
+ =0.99591
10 10
x (8)
1 x(8) 7
x (29 )= + 3 + =0.95789
10 5 10
x (28 ) 3
(9)
x = + =0.79181
3
5 5
t t
x(9) =( x (91 ) , x(9) (9)
2 , x 3 ) =(0.99591; 0.95789; 0.79181)
Iteración k = 10
10¿ x(9) 9
x 1 ¿= 2 + =0.99579
10 10
x(9)
1 x(9) 7
( 10 )
x =
2 + 3 + =0.95795
10 5 10
(10)x (29 ) 3
x3 = + =0.79158
5 5
t t
x(10)=( x(10) (10) (10)
1 , x 2 , x 3 ) =(0.99579; 0.95795; 0.79158)
‖ x( 10)−x(9) ∨¿ ∞ 0.79158−0.79181 −3
ERROR ¿ 10
= =0.00029<10
¿∨x ∨¿ ∞ 0.79158
Dejamos de interar porque obtuvimos un error menor a 10−3 ; 0.0006
c)
10 x1 +5 x 2=6
5 x 1+10 x 2−4 x 3=25
−4 x 2+8 x 3−x 4 =−11
−x 3+ 5 x 4 =−11
Para convertir Ax = b en la forma x = T x+c, resolvemos cada ecuación para xi con i =

1,2,3,4 y así obtenemos
−x 2 3
x1 = +
2 5
−x 2 x 5
x 2= 1 + 3 +
2 5 2
x 2 x 4 11
x 3= + −
2 8 8
x 11
x 4= 3 −
5 5
Con x0=0
El método se escribe en la forma xk = T x(k-1) + c.
En el caso de una aproximación inicial, hacemos x0 = (0,0,0,0)t, Entonces x(i)está dado por:
(1) −x (02 ) 3
x =
2 + =0.6000000
2 5
(0) (0 )
x1 2 x3 5
x(1)
2 = + + =2.5000000
2 2 3
x 2 x 4 11
(0) (0)
x(1)
3 = + − =−1.3750000
2 8 8
(0)
x3 11
(1)=¿= − =−2.2000000
5 5
x4
¿
Para x1 = (0.6000000,2.5000000,−1.3750000,−2.2000000)t
−x (1) 3
x = 2 + =0.6000000
(2)
2
2 5
(1) (1)
x1 2 x3 5
x(2)
2 = + + =2.5000000
2 2 3
(2) x 2 x 4 11
(1) (1 )
x3 = + − =−1.3750000
2 8 8
(1)
x3 11
(2)=¿= − =−2.2000000
5 5
x4
¿
t
Las iteraciones adicionales x(k) = ( x (k) (k) (k ) (k )
1 , x 2 , x 3 , x 4 ) , se generan de manera parecida y se
incluyen en la siguiente tabla.
n x(k)
1 x(k)
2 x(k)
3, x(k)
4
0 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

1 0.6000000 2.5000000 -1.3750000 -2.2000000
2 -0.6500000 1.6500000 -0.4000000 -2.4750000
3 -0.2250000 2.6650000 -0.8593750 -2.2800000
4 -0.7325000 2.2687500 -0.3275000 -2.3718750
5 -0.5343750 2.7352500 -0.5371094 -2.2655000
6 -0.7676250 2.5523437 -0.2905625 -2.3074219
7 -0.6761719 2.7675875 -0.3872559 -2.2581125
8 -0.7837937 2.6831836 -0.2734703 -2.2774512
9 -0.7415918 2.7825087 -0.3180896 -2.2546941
10 -0.7912544 2.7435601 -0.2655824 -2.2636179
11 -0.7717800 2.7893942 -0.2861722 -2.2531165
12 -0.7946971 2.7714211 -0.2619424 -2.2572344
13 -0.7857106 2.7925716 -0.2714437 -2.2523885
14 -0.7962858 2.7842778 -0.2602628 -2.2542887
15 -0.7921389 2.7940378 -0.2646472 -2.2520526
16 -0.7970189 2.7902106 -0.2594877 -2.2529294
17 -0.7951053 2.7947144 -0.2615109 -2.2518975
18 -0.7973572 2.7929483 -0.2591300 -2.2523022
19 -0.7964741 2.7950266 -0.2600636 -2.2518260
20 -0.7975133 2.7942116 -0.2589650 -2.2520127
21 -0.7971058 2.7951707 -0.2593958 -2.2517930
22 -0.7975853 2.7947946 -0.2588888 -2.2518792
La decisión de parar después de veinte iteraciones se basó en el criterio de que la tolerancia =

10-4
‖x 22−x 21‖∞ =
‖x 22‖∞
‖(−0.7975853,2.7947946 ,−0.2588888 ,−2.2518792)−(−0.7971058,2.7951707−0.2593958 ,−2.2517930)‖
‖(−0.7975853,2.7947946 ,−0.2588888 ,−2.2518792)‖∞
‖−0.0004795 ,−0.0003761,0 .0005070 ,−0.0000862‖∞ =‖0.0005070‖∞ = 0.0001

‖(−0.7975853,2.7947946 ,−0.2588888 ,−2.2518792)‖∞ ‖2.7947946‖∞
d)
4 x1 + x 2−x 3 + x 4=−2
x 1+ 4 x 2−x 3 + x 4=−1
−x 1−x 2+ 5 x 3 + x 4=0
x 1−x 2+ x 3 +3 x 4=1
SOLUCION.
−1 1 1 2
x 1= x+ x− x −
4 2 4 3 4 4 4
−1 1 1 1
x 2= x 1+ x 3 + x 4−
4 4 4 4
1 1 1
x 3 = x 1 + x2 − x 4
5 5 5
−1 1 1 1
x4 = x 1 + x 2− x 3+
3 3 3 3
Empleando el método iterativo de Gauss-Seidel se obtiene las ecuaciones empleadas con
cada k=1, 2, ….
−1 (k−1) 1 (k−1) 1 (k−1) 2
x(k)
1 = x + x3 − x 4 −
4 2 4 4 4
−1 ( k−1) 1 (k−1) 1 (k−1) 1
x(k)
2 = x + x3 + x 4 −
4 1 4 4 4
1 (k−1) 1 (k−1) 1 (k−1)
x(k)
3 = x1 + x2 − x4
5 5 5
−1 ( k−1) 1 (k−1) 1 ( k−1 ) 1
x(k)
4 = x + x2 − x3 +
3 1 3 4 3
Siendo la aproximación inicial x(0) =( 0 ; 0 ; 0 ; 0 )t , generamos las iteraciones de la siguiente

tabla.
ITERANDO CON:
x(k) =(x (1k−1 ) ; x (2k−1 ) , x (3k−1) ; x(4k−1) )

t t
x =( x (1k −1 ) ; x (2k−1 ) ; x (3k−1) ; x(4k−1) ) =( 0 ; 0 ; 0 ; 0 )
(k)
t t
x =( x (11) ; x(21) ; x (31) ; x (41 )) = (−0.5000−0 .2500,0 .0000,0 .3333 ) ; error (1) = 1.0000> 10-3
(1)
t t
x =( x (12) ; x (22) ; x(32) ; x (42 ) ) =(−0.5208 ,−0.0417 ,−0.2167,0 .4167 ) ; error (2) = 0 0736> 10-3
(2)
t t
x =( x (13 ) ; x (23) ; x (33) ; x(43) ) =(−0.6479−0.0698 ,−0.1958,0.5653 ) ; error (3) =0.2058 > 10-3
(3)
t t
x =( x (14 ) ; x (24 ) ; x (34) ; x(44 )) = (−0.6728,0.0043 ,−0.2566,0 .5913 ) ; error (4) = 0.0506 > 10-3
(4 )
t t
x =( x (15 ) ; x (25) ; x (35) ; x(45) ) =(−0.7131,0 .0019 ,−0.2520,0.6446 ) ; error (5) = > 10-3
(5)
t t
x =( x (16 ) ; x (26 ) ; x (36 ) ; x (46 )) =(−0.7246,0 .0264 ,−0.2712,0 .6556 ) ; error (6) = 0.0205> 10-3
(6)
t t
x =( x (17 ) ; x (27 ) ; x (37 ) ; x (47 )) = (−0.7383,0.0273 ,−0.2708,0 .6741 ) ; error (7) = 0.0209> 10-3
(7)
t t
x =( x (18 ) ; x (28 ) ; x (38 ) ; x (48 ) ) = (−0.7430; 0.0354 ,−0.2770,0 .6788 ) ; error (8) =0.0080 > 10-3
(8)
t t
x =( x (19 ) ; x (29 ) ; x (39 ) ; x (49 )) =(−0.7478,0 .0362,−0.2773,0 .6851 ) ; error (9) = 0.0073 > 10-3
(9)
t t
=( x (110) ; x (210) ; x (310 ) ; x (410) ) =(−0.7497,0 .0389 ,−0.2794,0.6871 ) ; error (10) = 0.0031> 10-3
(10)
x
t t
=( x (111 ) ; x (211) ; x(311 ) ; x (411 )) =(−0.7513,0 .0393,−0.2796,0 .6893 ) ; error (11) =0.0026 > 10-3
(11)
x
t t
=( x(112) ; x (212) ; x3(12) ; x (412) ) =(−0.7521,0.0403 ,−0.2803,0.6901 ) ; error (12) =0.0012 > 10-3
(12)
x
t t
=( x (113) ; x (213 ) ; x (313) ; x(413) ) =(−0.7527,0 .0405 ,−0.2804,0 .6909 ) ;error (13) =0.0009< 10-3
(13)
x
Con la iteración número 13 el error es de 0.0009 y cumple con las condiciones dadas
inicialmente como se observa en la solución anterior.
f).
4 x1 −x2 −x 4=0
−x 1+ 4 x 2−x 3−x 5=5
−x 2+ 4 x 3−x 6=0
−x 1+ 4 x 4 −x 5=6
−x 2−x 4 +4 x 5 −x6 =−2
−x 3−x 5 +4 x 6 =6
Gauss-seidel
x2 x 4 1 k−1 1 k−1
x 1= + x k1 = x + x4
4 4 4 1 4
x1 x 3 x 5 5 1 k 1 k−1 1 k−1 5
x 2= + + +¿ x k2 = x + x + x5 +
4 4 4 4 4 1 4 3 4 4
x2 x 6 1 k 1 k−1
x 3= + x k3 = x+ x
4 4 4 2 4 6
x1 x5 6 1 k 1 k−1 6
x4= + + x k4 = x+ x +
4 4 4 4 1 4 5 4
x2 x 4 x 6 2 1 k 1 k 1 k−1 2
x 5= + + − x k5 = x+ x + x −
4 4 4 4 4 2 4 4 4 6 4
x 3 x5 6 1 k 1 k 6
x 6= + + x k6 = x+ x +
4 4 4 4 3 4 5 4
Consideramos aproximación inicial

K=1
1 0 1 0
x 11 = x + x =0
4 1 4 4
1 1 1 0 1 0 5
x 12 = x + x + x + =1.25
4 1 4 3 4 5 4
1 1 1 0
x 13 = x + x =1.25
4 2 4 6
1 1 1 0 6
x 14 = x + x + =1.5
4 1 4 5 4
1 1 1 1 1 0 2
x 15 = x + x + x − =1.8125
4 2 4 4 4 6 4
1 1 1 1 6
x 16 = x + x + =2.2656250
4 3 4 5 4
K=2
1 1 1 1
x 21 = x + x =0.375
4 1 4 4
1 2 1 1 1 1 5
x 22 = x + x + x + =2.1093750
4 1 4 3 4 5 4
1 2 1 1
x 23 = x + x =1.0937500
4 2 4 6
1 2 1 1 6
x 24 = x + x + =2.0468750
4 1 4 5 4
2 1 2 1 2 1 1 2
x5 = x + x + x − =1.6875
4 2 4 4 4 6 4
1 2 1 2 6
x 26 = x + x + =2.1953125
4 3 4 5 4
K=3
x 31 =0.6054688
x 32 = 2.0966797
x 33 = 0.8222656
x 34 = 2.0732422
x 35 = 1.0913086
x 36 = 1.9783936
K=4
x 41 = 0.6696778
x 42 = 2.1412964
x 43 = 1.0299225
x 44 = 2.3294373
x 45 = 1.1122818
x 46 = 2.0355511
K=5
x 51 = 0.4454899
x 52 = 1.8969236
x 53 = 0.9830609
x 54 = 1.8894429
x 55 = 0.9554794
x 56 ¿1.9846964
Error =
‖x 5−x 4‖∞ ‖−0.2241879 ,−0.2446040 ,−0.0468616 ,−0.439944 ,−0.1568024 ,−0.0508547‖∞
=
‖x 5‖∝ ‖1.9846964‖∝
‖ x5 −x 4‖∞ −0.0468616
error = = =0.0244954
‖x 5‖∝ 1.9846964
EJERCICIO 4. Repita el ejercicio 3 utilizando el algoritmo de Gauss-seidel.
a) 3 x 1−x 2+ x 3=1
3 x 1+6 x 2 +2 x3 =03 x 1+3 x 2 +7 x3 =4
SOLUCIÓN
1 1 1 1 1
x 1= x 2− x 3+ x 2= x 1 − x 3
3 3 3 2 3
3 3 4 −1 (k) 1 (k−1)
x 3= x 1 − x 2 + x 2(k) = x − x3
7 7 7 2 1 3
1 1 1
x 1(k) = x2(k−1)− x 3(k−1) +
3 3 3
−3 (k) 3 (k) 4
x 3(k) = x − x2 +
7 1 7 7
K=1:
1 1 1
x 1(1)= x 2(0 )− x 3(0) + =0.3333
3 3 3
−1 (1 ) 1 ( 0)
x 2(1)= x − x3 =−0.1667
2 1 3
−3 (1 ) 3 (1) 4
x 3(1)= x − x 2 + =0.5000 K=2:
7 1 7 7
1 1 1
x 1(2)= x 2(1) − x3( 1) + =0.1111
3 3 3
−1 (2 ) 1 ( 1)
x 2(2)= x − x3 =−0.2222
2 1 3
−3 ( 2) 3 (2) 4
x 3(2)= x − x 2 + =0.6190
7 1 7 7
(3) 1 (2 ) 1 (2) 1
K=3: x 1 = x 2 − x 3 + =0.0529
3 3 3
−1 (3 ) 1 (2)
x 2(3)= x − x 3 =−0.2328
2 1 3
−3 ( 3) 3 (3 ) 4
x 3(3) = x − x 2 + =0.6485
7 1 7 7
(4 ) 1 (3) 1 (3 ) 1
K=4 : x 1 = x 2 − x 3 + =0.0396
3 3 3
−1 ( 4 ) 1 (3)
x 2(4 )= x − x 3 =−0.2360
2 1 3
−3 (4 ) 3 (4 ) 4
x 3(4 )= x − x 2 + =0.6556
7 1 7 7
K=5:
1 1 1
x 1(5)= x 2(4)− x 3( 4) + =0.0361
3 3 3
−1 (5 ) 1 (4 )
x 2(5)= x − x 3 =−0.2366
2 1 3
−3 ( 5) 3 (5 ) 4
x 3(5) = x − x 2 + =0.6573
7 1 7 7
K=6
1 1 1
x 1(6) = x2(5 )− x 3(5 )+ =0.0354
3 3 3
−1 (6 ) 1 (5 )
x 2(6) = x − x 3 =−0.2368
2 1 3
−3 ( 6) 3 (6 ) 4
x 3(6) = x − x 2 + =0.6578
7 1 7 7
¿ /x (6 )−x (5 )/¿ −0.0007 ,−0.0002 , 0.0005

ERROR= = <10−3
(6)
¿/ x /¿ 0.0354 ,−0.2368 , 0.6578
Los raises aproximados son: (0.0354 ,−0.2368 , 0.6578)t
b)
10 x1  x2  9
 x1  10 x2  2 x3  7
2 x2  10 x3  6
solucion :
10 x1  x2  9
9  x2
x1 
10
 x1  10 x2  2 x3  7
7  x1  2 x3
x2 
10
2 x2  10 x3  6
x3  6  2 x2
9  x2
x1 
10
7  x1  2 x3
x2 
10
x3  6  2 x2
iteración 1
x2(0) 9
x1(1)    0.9
10 10
x1(1) x3(0) 7
x2(1)     0.79
10 5 10
x (1) 3
x3(1)  2   0.758
5 5
Iteración 2
x2(1) 9
x(2)
1    0.979
10 10
x (2) x (1) 7
x2(2)  1  3   0.9495
10 5 10
(2)
x 3
x3(2)  2   0.7899
5 5
Iteración 3
x2(2) 9
x1(3)    0.9950
10 10
x (3) x (2) 7
x2(3)  1  3   0.9575
10 5 10
(3)
x 3
x3(3)  2   0.7915
5 5
Iteración 4
x2(3) 9
x1(4)    0.9958
10 10
x1(4) x3(3) 7
x2(4)     0.9579
10 5 10
x (4) 3
x3(4)  2   0.7916
5 5
Error
0.0008  0.0004  0.0001

E  0.0005
0.9958  0.9579  0.7916
0.0005  103
Respuestas
x1  0.9958
x2  0.9579
x3  0.7916
c)
10 x1 +5 x 2=6
5 x1 +10 x 2−4 x 3=25
−4 x2 +8 x 3−x 4 =−11
−x 3 +5 x 4=−11
Solución
Nos pide repetir el ejercicio 3 pero utilizando el algoritmo de gauss seidel con tol de 0.001
−5 x 2 6 k −5 xk2 −1 6
x 1= + → x 1= + ; K≥1
10 10 10 10
−5 x 1 4 x 3 25 k −5 x1k 4 x k−1
3 25
x 2= + + → x 2= + +
10 10 10 10 10 10
k k−1
4 x 2 x 4 11 4 x2 x4
k 11
x 3= + − → x= 3 + −
8 8 8 8 8 8
x 3 11 x k3 11
k
x4 = − → x = −
4
5 5 5 5
consideramos aproximación inicial de x 0=¿
−5 x 02 6
1
cuando k=1 x 1= + =0.6
10 10
1 −5 x 11 4 x 03 25
x 2= + + =0.22
10 10 10
1 4 x 12 x 04 11
x 3= + − =−0.275
8 8 8
1 x 13 11
x = − =−2.255
4
5 5
x 1=¿
Cuando k=2
2−5 x 12 6 −5(2.2) 6
x 1= + = + =−0.5
10 10 10 10
2 1
2 −5 x 1 4 x 3 25 −5(−0.5) 4(−0.275) 25
x 2= + + = + + =2.64
10 10 10 10 10 10
2 1
2 4 x 2 x 4 11 4 (2.64) −2.255 11
x 3= + − = + − =−0.3369
8 8 8 8 8 8
2x 23 11 −0.3369 11
x = − =
4 − =−2.2674
5 5 5 5
x 2=¿
Cuando k=3
3 −5 x 22 6 −5 ( 2.64 ) 6
x 1= + = + =−0.72
10 10 10 10
3 2
3 −5 x1 4 x 3 25 −5 (−0.72 ) 4 (−0.3369 ) 25
x 2= + + = + + =2.7252
10 10 10 10 10 10
3 2
3 4 x 2 x 4 11 4 (2.7252 ) −2.2674 11
x 3= + − = + − =−0.2958
8 8 8 8 8 8
3
3 x 3 11 −0.2958 11
x4 = − = − =−2.2592
5 5 5 5
x 3=¿
|x 3−x 2| |−0.22, 0.0621 , 0.0411 , 0.0082|

ERROR= = =0.0012
| x3| |−0.72 , 0.7252 ,−0.2958 ,−2.2592|
Rpta del sistema de ecuaciones se concluye el error es de 0.0012 para el sistema de

ecuaciones.
d)
4 X 1 + X 2− X 3 + X 4=−2
X 1 + 4 X 2− X 3− X 4=−1
- X 1 −X 2 +5 X 3 + X 4=0
X 1 −X 2 + X 3 +3 X 4=1
x0  (0, 0, 0, 0)
Entonces
1 1 1 1
x1( k )   x2( k 1)  x3( k 1)  x4( k 1) 
4 4 4 2
1 1 1 1
x2( k )   x1( k )  x3( k 1)  x4( k 1) 
4 4 4 4
1 1 1
x3( k )  x1( k )  x2( k )  x4( k 1)
5 5 5
1 1 1 1
x4( k )   x1( k )  x2( k )  x3( k ) 
3 3 3 3
X1 X2 X3 X4
0 0 0 0
ITERACION 1 -0.5000 -0.1250 -0.1250 0.5000
ITERACION 2 -0.5938 -0.0078 -0.2203 0.6021
ITERACION 3 -0.7017 0.0209 -0.2566 0.6597
ITERACION 4 -0.7395 0.0357 -0.2727 0.6826
ITERACION 5 -0.7567 0.0416 -0.2795 0.6926
ITERACION 6 -0.7639 0.0442 -0.2824 0.6968
ITERACION 7 -0.7669 0.0453 -0.2837 0.6987
ITERACION 8 -0.7683 0.0458 -0.2842 0.6994
ITERACION 9 -0.7688 0.0460 -0.2844 0.6998
ERROR:
x5  x 4 5*104

  0.00071448985
x5 0.6998

e)
4 x1 + x 2 + x 3+ x 5=6
−x 1−3 x 2+ x 3 + x 4 =6
2 x1 + x 2 +5 x3 −x 4−x 5=6
−x 1−x 2−x 3+ 4 x 4 =6
2 x2 −x3 + x 4 + 4 x 5=6
k −x 2−x 3−x 5+ 6
x 1=
4
k x 1−x 3−x 4 +6
x 2=
−3
k −2 x1− x2 + x 4 + x 5 +6
x 3=
5
k x 1 + x2 + x 3 +6
x4=
4
k −2 x2 + x 3−x 4 +6
x 5=
4
Iteración Iteración 2 Iteración 3 Iteración 4 Iteración 5 Iteración 6

1
x1 1.5 1.1890625 0.8508285 0.7828913 0.7833017 0.7861626
x2 -2.5 -1.5213542 -1.0353022 -0.9870186 -0.9982700 -1.0024070
x3 1.1 1.8623958 1.8943632 1.8716164 1.86611470 1.8660690
x4 1.525 1.8825260 1.9274724 1.9168723 1.9127944 1.9124564
x5 2.64375 2.2556446 2.0093738 1.9821953 1.9874737 1.9896060
Podemos deducir que el punto de convergencia de todas las variables es como se muestra a
continuación.
x 1=0.78
x 2=−1
x 3=1.86
x 4 =1.91
x 5=1.96
A continuación, encontramos el error relativo porcentual.
Verificación 1 Verificación 2 Verificación 3 Verificación 4 Verificación

5
E.R.P. 26,1498029% 39.7534873% 8,6777309% 0.0523936% 0,3639069%
E.R.P. 64,3272852% 46,9478350% 4,8918633% 1,1271896% 0.4126103%
E.R.P. 40,9362930% 1,6874979% 1,2153529% 0,2930845% 0.0041288%
E.R.P. 18,9918245% 2,3318786% 0.5529879% 0.2131870% 0,0176764%
E.R.P. 17,2059677% 12,2560935% 1,3711297% 0.2655793% 0.1072206%
A AC − A AN
ERP= ×100
A AC
f)
4x1  x2 -x 4 =0
-x1 + 4x 2 -x 3 -x 5 =5
-x 2 +4x 3 -x 6 = 0
-x1 4x 4 -x 5 =6
-x 2 -x 4 +4x 5 -x 6 = -2
-x 3 -x 5 +4x 6 =6
1  k 1 1  k 1
x1k  x2  x5
4 4
1  k  1  k 1 1  k 1 5
x2k  x1  x3  x5 
4 4 4 4
1  k  1  k 1
x3k  x2  x6
4 4
1  k  1  k 1 6
x4k  x1  x5 
4 4 4
1  k  1  k  1  k 1 2
x5k  x2  x4  x6 
4 4 4 4
1  k 1  k 6
x6k  x3  x5 
4 4 4
 Remplazando: x 0  0, 0, 0, 0, 0, 0 
k 1
1 1
x11   0   0 x11  0.0000
4 4
1 1 1 5
x12   0    0    0   x12  1.25
4 4 4 4
1 1
x31   1.25    0  x31  0.3125
4 4
1 1 6
x14   0    0   x14  1.5
4 4 4
1 1 1 2
x51   1.25    1.5    0   x51  0.1875
4 4 4 4
1 1 6
x16   0.3125    0.1875   x16  1.625
4 4 4
 Remplazando: x 0  0, 0, 0, 0, 0, 0 
k 2
1 1
x12   1.25    1.5  x12  0.6875
4 4
1 1 1 5
x22   0.6875    0.3125    0.1875   x22  1.5469
4 4 4 4
1 1
x32   1.5469    1.625  x32  0.793
4 4
1 1 6
x42   0.6875    0.1875   x42  1.7188
4 4 4
1 1 1 2
x52   1.5469    1.7188   625   x52  0.7227
4 4 4 4
1 1 6
x62   0.793   0.7227   x62  1.8789
4 4 4
siguiendo remplazando obtenemos los siguientes valores

k x1 x2 x3 x4 x5 x6
1 0.00 1.25 0.3125 1.5 0.1875 1.625
2 0.6875 1.5469 0.7930 1.7188 0.7227 1.8789
3 0.8164 1.833 0.928 1.8848 0.8992 1.9568
4 0.9294 1.9391 0.9740 1.9572 0.9633 1.9843
5 0.9741 1.9778 0.9905 1.9843 0.9866 1.9943
6 0.9905 1.9919 0.9966 1.9943 0.9951 1.9979
7 0.9966 1.9971 0.9987 1.9979 0.9982 1.9992
8 0.9987 1.9989 0.9995 1.9992 0.9994 1.9997
9 0.9995 1.9996 0.9998 1.9997 0.9998 1.9999
10 0.9998 1.9999 0.9999 1.9999 0.9999 2.0000
x  k   x  k 1 3
x  10   x  9  0.0003
ERROR:  k
 10  10 
  0.0001
x x 2.00
EJERCICIO 5. Obtenga las 2 primeras iteraciones del método SOR con w  1.1 para los
siguientes sistemas lineales usando X 0=0
a)
En álgebra lineal numérica, el método de sobre relajación sucesiva (SOR), es una variante
del método de Gauss-Seidel para estimar la solución de un sistema lineal de ecuaciones,
permitiendo una convergencia más rápida.

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Universidad Nacional Autónoma de Chota

Facultad de Ciencias de la Ingeniería

CONJUNTO DE EJERCICIOS DE ANÁLISIS NUMÉRICO DE

ING. JAVIER RUBEN SABINO NORABUENA

se tiene : f ( 0 )=√ 0−cos 0=−1; f ( 1 )=√ 1−cos 1=0,0001523

( 12 ) ( x−1) Aplique el método de bisección para obtener 𝒑𝟑 en:

→ p3 ¿ x 3=−0,6875 en el interval o[-2,1.5].

f(b 1) = f(1) = 13 -7(12) + 14(1) – 6 =2

f( x 1) = f(0.5) = (0.5)3 - 7(0.5)2 +14(0.5) -6 = -0.625

f(a 2) = f(0.5) =(0.5)3 - 7(0.5)2 +14(0.5) – 6 = -0.625

f¿) = f(1) = 13 – 7(1)2 + 14(1) – 6 = 2

f( x 2) = f(0.75) = (0.75)3 -7(0.75)2 +14(0.75) -6 = 0.984375

f(a 3) = f(0.5) = (0.5)3- 7(0.5)2 +14(0.5) – 6 = -0.625

f(b 3) = f(0.75) = (0.75)3 --7(0.75)2 +14(0.75) -6 = 0.984375

f( x 3) = f(0.625) = ¿-7(0.625)2 +14(0.625) - 6 = 0.2597656

f(a 4) = f(0.5) = (0.5)3- 7(0.5)2 +14(0.5) – 6 = -0.625

f(b 4) = f(0.625) = ¿-7(0.625)2 +14(0.625) - 6 = 0.2597656

f( x 4 ) = f(0.5625) = ( 0.5625 ¿ ¿3-7(0.5625)2 +14(0.5625) - 6 = - 0.1618652

f(a 5) = f(0.5625) = ( 0.5625 ¿ ¿3-7(0.5625)2 +14(0.5625) - 6 = - 0.1618652

f(b 5) = f(0.625) = ¿-7(0.625)2 +14(0.625) - 6 = 0.2597656

f( x 5) = f(0.59375) = ¿-7(0.59375)2 +14(0.59375) - 6 = 0.0540466

f(a 6) = f(0.5625) = ( 0.5625 ¿ ¿3-7(0.5625)2 +14(0.5625) - 6 = - 0.1618652

f( x 6) = f(0.578125) = ¿-7(0.578125)2 +14(0.578125) - 6 = - 0.0526237

f(a 7) = f(0.578125) = ¿-7(0.578125)2 +14(0.578125) - 6 = - 0.0526237

f(b 7) = f(0.59375) = ¿-7(0.59375)2 +14(0.59375) - 6 = 0.0540466

f( x 7) = f(0.5859375) = ¿-7(0.5859375)2 +14(0.5859375) - 6 = 0.0010314

E = [ 0.5859375 – 0.578125] = 0.0078125

f(b 1) = f(1) = 13 -7(12) + 14(1) – 6 =2

f( x 1) = f(0.5) = (0.5)3 - 7(0.5)2 +14(0.5) -6 = -0.625

f(a 2) = f(0.5) =(0.5)3 - 7(0.5)2 +14(0.5) – 6 = -0.625

f¿) = f(1) = 13 – 7(1)2 + 14(1) – 6 = 2

f( x 2) = f(0.75) = (0.75)3 -7(0.75)2 +14(0.75) -6 = 0.984375

f(a 3) = f(0.5) = (0.5)3- 7(0.5)2 +14(0.5) – 6 = -0.625

f(b 3) = f(0.75) = (0.75)3 --7(0.75)2 +14(0.75) -6 = 0.984375

f( x 3) = f(0.625) = ¿-7(0.625)2 +14(0.625) - 6 = 0.2597656

f(a 4) = f(0.5) = (0.5)3- 7(0.5)2 +14(0.5) – 6 = -0.625

f(b 4) = f(0.625) = ¿-7(0.625)2 +14(0.625) - 6 = 0.2597656

f( x 4 ) = f(0.5625) = ( 0.5625 ¿ ¿3-7(0.5625)2 +14(0.5625) - 6 = - 0.1618652

f(a 5) = f(0.5625) = ( 0.5625 ¿ ¿3-7(0.5625)2 +14(0.5625) - 6 = - 0.1618652

f(b 5) = f(0.625) = ¿-7(0.625)2 +14(0.625) - 6 = 0.2597656

f( x 5) = f(0.59375) = ¿-7(0.59375)2 +14(0.59375) - 6 = 0.0540466

f(a 6) = f(0.5625) = ( 0.5625 ¿ ¿3-7(0.5625)2 +14(0.5625) - 6 = - 0.1618652

f(b 6) = f(0.59375) = ¿-7(0.59375)2 +14(0.59375) - 6 = 0.0540466

f( x 6) = f(0.578125) = ¿-7(0.578125)2 +14(0.578125) - 6 = - 0.0526237

f(a 7) = f(0.578125) = ¿-7(0.578125)2 +14(0.578125) - 6 = - 0.0526237

f(b 7) = f(0.59375) = ¿-7(0.59375)2 +14(0.59375) - 6 = 0.0540466

f( x 7) = f(0.5859375) = ¿-7(0.5859375)2 +14(0.5859375) - 6 = 0.0010314

E = [ 0.5859375 – 0.578125] = 0.0078125

f ( a1 )=f ( 1 )=13−7 ( 12 ) +14 ( 1 ) −6=2

f ( b1 )=f ( 3.2 )=(3.2)3−7 ( 3.2 )2 +14 ( 3.2 )−6=−0.112

f ( x 1 ) =f ( 2.1 )=(2.1)3 −7 ( 2.1 )2+14 ( 2.1 )−6=1.791

f ( a2 )=f ( 2.1 )=2.13−7 ( 2.12 ) +14 ( 2.1 )−6=1.791

f ( b2 )=f ( 3.2 )=( 3.2)3−7 ( 3.2 )2 +14 ( 3.2 )−6=−0.112

f ( x 2 ) =f ( 2.65 )=(2.65)3−7 ( 2.65 )2 +14 ( 2.65 )−6=0.5521250

f ( a3 )=f ( 2.65 )=(2.65)3−7 ( 2.65 )2 +14 ( 2.65 )−6=0.5521250

f ( b3 )=f ( 3.2 )=(3.2)3−7 ( 3.2 )2 +14 ( 3.2 )−6=−0.112

f ( x 3 ) =f ( 2.925 )=(2.925)3−7 ( 2.925 )2 +14 ( 2.925 )−6=0.0858281

f ( a4 ) =f ( 2.925 ) =(2.925)3−7 ( 2.925 )2 +14 ( 2.925 ) −6=0.0858281

f ( b4 ) =f ( 3.2 ) =(3.2)3−7 ( 3.2 )2+ 14 ( 3.2 )−6=−0.112