Interes Compuesto

INTERÉS COMPUESTO
El interés compuesto representa la acumulación de intereses que se han generado en un

período determinado por un capital inicial (CI) o principal a una tasa de interés (r) durante
(n) periodos de imposición, de modo que los intereses que se obtienen al final de cada
período de inversión no se retiran sino que se reinvierten o añaden al capital inicial, es
decir, se capitalizan.
Cálculo del interés compuesto.

Para un período de tiempo determinado, el capital final (CF) se calcula mediante la fórmula
Ahora, capitalizando el valor obtenido en un segundo período
Repitiendo esto para un tercer período
y generalizando a n los períodos, se obtiene la fórmula de interés compuesto:
Donde:
es el capital al final del enésimo período
es el capital inicial
es la tasa de interés expresada en tanto por uno (v.g., 4 % = 0,04)
es el número de períodos
Para calcular la tasa de interés compuesto total se usa la fórmula:
Donde:
es la tasa de interés total expresada en tanto por uno (v.g., 1,85 = 185 %)
es la tasa de interés expresada en tanto por uno (v.g., 4 % = 0,04)
es el número de períodos
Para hacer cálculos continuos en el tiempo en lugar de calcular
cantidades para finales de períodos puede usarse la tasa de
interés instantánea , así el capital final actualizado al
tiempo t viene dado por:
OBTENCIÓN DE LOS ELEMENTOS DE LA FÓRMULA DE INTERÉS COMPUESTO
El resto de tasas pueden calcularse sin problemas a partir de la
tasa de interés instantánea.
De la ecuación del interés compuesto, para n períodos, se
obtiene el capital inicial, conocidos el capital final, el interés y
el número de períodos:
El número de períodos puede calcularse, conocidos los

capitales inicial y final y el interés, despejando n en la
última fórmula, obteniéndose:
El interés puede calcularse, conocidos los capitales

inicial y final y el número de períodos, despejándolo de
esa misma fórmula:
INTERÉS COMPUESTO
INTERÉS COMPUESTO: Se le conoce como interés sobre interés, se define como la

capitalización de los intereses al término de su vencimiento
PERIODO DE CAPITALIZACIÓN: Es el intervalo de tiempo convenido y se calcula mediante

la siguiente ecuación: n = ma.m
Donde: n= numero de periodos
ma = número de años
m= frecuencia de capitalización
FRECUENCIA DE CAPITALIZACIÓN: Es el número de veces en un año que de interés se
suma al capital
MONTO COMPUESTO: Es el total, el capital, incluyendo los interés, capitalizables; dicho

de otra forma es el capital más los intereses capitalizados
MONTO COMPUESTO DE INTERÉS FRACCIONARIO: Existen dos formas para calcularlo:
a) Utilizando el cálculo del monto compuesto más el monto simple
b) El segundo método es calculándolo de manera fraccionaria
TASA NOMINAL: Es aquella que denota un crecimiento en el monto de dinero, sin ajustar
la moneda por inflación.
TASA EFECTIVA: Es cuando el interés se capitaliza en forma semestral, trimestral o

mensual, la cantidad efectivamente pagada o ganada es mayor que si se compone en
forma anual.
TASA EQUIVALENTE: Cuando dos tasas de interés anuales con diferentes periodos de

capitalización producen el mismo interés compuesto al cabo de un año. Son las que se
pagan al final del periodo, las que teniendo diferente convertibilidad producen un mismo
monto.
EJERCICIOS
1. A la fecha una persona debe B/.10 000.00 por un préstamo con vencimiento en
seis meses, contratado originalmente a un año y medio a la tasa de 12%, y
debe además, B/.25 000.00 con vencimiento en nueve meses, sin intereses. El
desea pagar B/.20 000.00 de inmediato y liquidar el saldo mediante un pago único
dentro de un año. Suponiendo un rendimiento del 10% y considerando la fecha
focal dentro de un año, determinar el pago único mencionado.
En primer lugar, vamos a calcular el valor al vencimiento del préstamo que vence a
los seis meses (o sea el monto).
C = 10,000
i = 0.12
t = 1.5
Con estos datos utilizamos la fórmula del monto S = C(1+ it) ,
S = 10 000(1+ 0.12[1.5]) = 11 800, este es el pago que hay que hacer a los 6 meses.
Ahora, en una línea de tiempo vamos a poner los siguientes datos (representaremos
con x el pago requerido):
S/.20 000 en la fecha.
S/.11 800 al final de seis meses
S /.25 000 al final de nueve meses.
x al final de doce meses.
Ahora como la fecha focal es al final de los doce meses, vamos a tirar líneas desde cada pago
hacia el final de los doce meses (que es la fecha focal).
Vamos a calcular cada valor en la fecha focal utilizando la fórmula del monto (S=C(1+ it)), ya que la
fecha focal esta en tiempo futuro, y luego igualando la suma del valor resultante de las obligaciones
originales con el de las nuevas obligaciones:
20 000(1+0.10*1) + x = 11 800[ 1 + (0,10)(1/2)] + 25 000[ 1 + (0,10)(1/4)]

22 000 + x = 12 390 + 25 625
x = 38 015 – 22000
x = S/. 16 015 es el pago único mencionado.

2. Una cuenta de valores que paga 20% de interés anual convertible trimestralmente.
SOLUCION
Se utiliza la fórmula de monto a interés compuesto, y luego el resultado se resta
del capital:
j = 20%
m=4
n = (1) (4) = 4 trimestres
j 20 %
i= = =5 %−trimestral=0. 05−trimestral
m 4
M=1,000 ( 1+i )n
M=1,000 ( 1+0.05 )4
M=1,000 ( 1.05 )4
M=1,000 ( 1.21550625 )
M=1,215.51
I=M−C
I=1,215.51−1,000.00
I = S/ 215.51
3. Determine el monto acumulado de $50 000 que se depositan en una cuenta de
valores que paga 15% anual convertible mensualmente: Al cabo de un año
Se utiliza la fórmula de monto a interés compuesto:
DATOS
C = s/50 000.00 j = 15% m = 12
La tasa de interés compuesto para cada inciso es:
j 15 %
i= = =1. 25 %_ mensual=0 . 0125mensual
m 12
El número de periodos “n” depende del plazo, y se obtiene multiplicando
el número de años por la frecuencia de conversión

n = 1(12) = 12 meses
M=C ( 1+i )n
M=50 ,000 ( 1+0.0125 . )12
12
M=50 ,000 ( 1.025 )
M=50 ,000 ( 1.160754518 )
M = S/58,037.73
DESCUENTO COMPUESTO: EJERCICIOS

Ejercicio 1: Calcular los intereses de descuento por anticipar un capital de 2.500.000 ptas.
por 4 meses a un tipo de descuento del 12%; aplicando descuento compuesto
Ejercicio 2: Calcular la misma operación anterior al plazo de 1 año.
Ejercicio 3: Calcular la misma operación anterior a un plazo de 1 año y medio.
Ejercicio 4: En el ejercicio 1°, calcular los tipos de interés que habría que aplicar en el
descuento racional y en el compuesto para obtener el mismo resultado que en el
descuento comercial.
Ejercicio 5: Los intereses de descontar 2.000.000 ptas. a un tipo del 10% ascienden a
150.000 ptas. Calcular el plazo de descuento si se ha aplicado la ley de a) descuento
comercial, b) descuento racional, c) descuento compuesto.
SOLUCIONES
Ejercicio 1:
D = Co * (1 - (1 + d) ^ -t)
Cf = 2.500.000*(1-(1+0,12) ^-0,33)
Cf = 92.679 ptas.
Ejercicio 2:
D = Co * (1 - (1 + d) ^ -t)
Cf = 2.500.000*(1-(1+0,12) ^-1)
Cf = 267.857 ptas.
Ejercicio 3:
D = Co * (1 - (1 + d) ^ -t)
Cf = 2.500.000*(1-(1+0,12) ^-1,5)
Cf = 390.823 ptas.
Ejercicio 4:
D = Co * (1 - (1 + d) ^ -t)
100.000 = 2.500.000*(1-(1+d) ^-0,33)

100.000/2.500.000 = 1-(1+d) ^-0,33
0,04 = (1-(1+d) ^-0,33)
(1+d) ^-0,33 = 0,96
1+d = 1,13028
d = 0,13028
Ejercicio 5:
D = Co * (1 - (1 + d) ^ -t)
150.000=2.000.000*(1-(1+0,10) ^-t)
150.000=2.000.000*(1-(1,1) ^-t)
150.000/2.000.000=1-(1,1) ^-t
0,075=1-(1,1) ^-t
(1,1) ^-t=0,925
(1,1) ^t =1/0,925
(1,1) ^t =1,08108
ln (1,1) ^t =ln 1,08108 (aplicamos logaritmos neperianos)
t= ln 1,08108 / ln 1,1
t = 0,8180

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INTERÉS COMPUESTO

El interés compuesto representa la acumulación de intereses que se han generado en un

Cálculo del interés compuesto.

Ahora, capitalizando el valor obtenido en un segundo período

Repitiendo esto para un tercer período

y generalizando a n los períodos, se obtiene la fórmula de interés compuesto:

El número de períodos puede calcularse, conocidos los

El interés puede calcularse, conocidos los capitales

INTERÉS COMPUESTO: Se le conoce como interés sobre interés, se define como la

PERIODO DE CAPITALIZACIÓN: Es el intervalo de tiempo convenido y se calcula mediante

Donde: n= numero de periodos

MONTO COMPUESTO: Es el total, el capital, incluyendo los interés, capitalizables; dicho

MONTO COMPUESTO DE INTERÉS FRACCIONARIO: Existen dos formas para calcularlo:

a) Utilizando el cálculo del monto compuesto más el monto simple

b) El segundo método es calculándolo de manera fraccionaria

TASA EFECTIVA: Es cuando el interés se capitaliza en forma semestral, trimestral o

TASA EQUIVALENTE: Cuando dos tasas de interés anuales con diferentes periodos de

Con estos datos utilizamos la fórmula del monto S = C(1+ it) ,

con x el pago requerido):

S/.20 000 en la fecha.

S/.11 800 al final de seis meses

S /.25 000 al final de nueve meses.

x al final de doce meses.

20 000(1+0.10*1) + x = 11 800[ 1 + (0,10)(1/2)] + 25 000[ 1 + (0,10)(1/4)]

x = S/. 16 015 es el pago único mencionado.

3. Determine el monto acumulado de $50 000 que se depositan en una cuenta de

valores que paga 15% anual convertible mensualmente: Al cabo de un año

Se utiliza la fórmula de monto a interés compuesto:

C = s/50 000.00 j = 15% m = 12

La tasa de interés compuesto para cada inciso es:

El número de periodos “n” depende del plazo, y se obtiene multiplicando

el número de años por la frecuencia de conversión

DESCUENTO COMPUESTO: EJERCICIOS

100.000 = 2.500.000*(1-(1+d) ^-0,33)

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