S05.

s1 – INTERÉS COMPUESTO – ECUACIONES DE VALOR

Ecuaciones de valor equivalente

Refinanciación de deudas sustituyendo v arias de ellas por una sola

56. La empresa exportadora Tejidos de Alpaca S.A ha conseguido la refinanciación de sus

deudas vencidas y por vencer (según diagrama adjunto), pagando una tasa efectiva del 5%
mensual. Calcule el importe a cancelar en el mes 3 que sustituya el total de sus obligaciones.
Rp. X = S/. 2 123,53.

i = 0,05 mensual
3 2 1 −1 −2 −1
X =2 00(1.05) + 8 00 (1.05 ) + 4 00 ( 1.05 ) +2 00 ( 1.05 ) +250 ( 1.05 ) +200 ( 1.05 )
X = S/. 2 123,525

57. Sustituir dos deudas de S/. 20 000 y S/. 30 000 con vencimiento dentro de 2 y 4 meses
respectivamente por un único pago con vencimiento a 3 meses, asumiendo una tasa anual del
60% con capitalización mensual. Rp. X = S/. 49 571,43.

i = 0,05

    20 000  X 30 000
ff
0 1 2 3 4
X =20 000(1.05)1+ 30 000 ( 1.05 )−1
X = S/. 49 571,428

Diferimiento de pagos

58. El 18 de abril el Gerente Financiero de la Empresa Sur S.A. estaba revisando los
compromisos de pago de la cuenta Caja-Bancos para el mes de mayo, encontrando la siguiente
información de vencimientos pendientes con el Banco Indufin: día 20 S/. 2 500 (pagaré); día 21
S/. 1 800 (letras); día 24 S/. 6 300 (préstamo) y día 28 S/. 3 500 (importaciones). Según
información obtenida del flujo de caja, durante el mes de mayo, el saldo proyectado será
negativo por lo que solicita al Banco, el diferimiento de los pagos con vencimiento en mayo
para el 16 de junio, aceptando pagar una tasa efectiva mensual del 5%. ¿Cuál es el importe que
deberá cancelar Sur S.A. en esa fecha? Rp. X = S/. 14 639,93.

i = 0,05 mensual

2 500 1 800 6 300 3 500 X

  27 d 26 d 23 d 19 d ff
18/04 20/05 21/05 24/05 28/05 16/06
 27 26 23 19
30 30 30 30
X =25 00 ( 1.05 ) +1 8 00 (1.05 ) +6 3 00 ( 1.05 ) + 35 00 ( 1.05 )
X = S/. 14 639,927

59. En la fecha se depositan S/. 10 000 con el objeto de acumular S/. 20 000 dentro de 8
meses. El banco paga una tasa nominal anual del 36% con capitalización mensual. ¿Qué
importe se deberá depositar el segundo mes para cumplir con el objetivo propuesto? Rp. X =
S/. 6 140,69.

j = 0,36 cap. Mensual m = 12 i = 0,36/12 = 0,03

 10 000   X 20 000

ff
0 1 2 3 4 5 6 7 8
8 6
10 0 00 ( 1.03 ) + X ( 1.03 ) =20 000
X = S/. 6 140,69

Consolidación de pasivos

60. El 26 de mayo el Banco Fin-Norte aprobó un crédito para consolidar un conjunto de deudas
vencidas y por vencer de la empresa Aquarium cuyo estado de cuenta a esa fecha era:

a) créditos vencidos: el 10, 14 y 19 de mayo de S/. 2 500; S/. 3 100 y S/. 1 800 respectivamente

b) créditos por vencer: el 29 de mayo, 7 y 11 de junio de S/. 1 700; S/. 500 y S/. 4 500
respectivamente.

Considerando que el banco cobra una tasa efectiva mensual del 6% para los créditos vencidos
y del 4% para los créditos por vencer, ¿qué importe financiará Fin-Norte el 26 de mayo si exige
que Aquarium amortice el 40% de la deuda total (vencida y por vencer)? Rp. X = S/. 8 501,44.

i = 0,06 -> vencidos

i = 0,04 -> por vencer

  2 500  3 100 1 800 X 1 700 500 4 500

16 d 12 d 7d ff 3d 12 d 16 d
0 10/05 14/05 19/05 26/05 29/05 7/06 11/06

16 12 7 −3 −12 −16
30 30 30 30 30 30
X =2500 ( 1.06 ) +3 100 ( 1.06 ) +1 800 ( 1.06 ) + 1700 ( 1.04 ) +500 ( 1.04 ) + 4 500 ( 1.04 )
X = 14 169,063 (0,4) = 5 667,625744 <- amortización

X = 14 169,063 – 5 667,625744

X = S/.8 501,44
Cuotas de amortización de préstamos

61. Un préstamo de S/. 100 000 concedido a una tasa efectiva mensual del 2% debe cancelarse
en 4 cuotas uniformes mensuales vencidas. Calcule el importe de cada cuota. Rp. X = S/. 26
262,38.

i = 0,02

 10 000 X  X X X
ff
0 1 2 3 4

X X X X
100 000= + + +
( 1.02 ) ( 1.02 ) ( 1.02 ) ( 1.02 )4
1 2 3

100 000=3,807728699 X
X = S/. 26 262,38

62. La empresa Equipos S.A. vende sus máquinas al contado en $ 10 000 pero debido a un
financiamiento obtenido del exterior, está planeando efectuar ventas al crédito con una cuota
inicial de $ 5 000 y dos cuotas uniformes con vencimiento cada 30 días. La tasa efectiva anual a
cargar al financiamiento es del 25%. Calcule el importe de las cuotas del programa de ventas a
plazo. Rp. X = S/. 2 570,60.

i = 0,25

 5 000 X  X
ff 30 d 60 d
0 1 2

−30 −60
360 360
5 000= X (1. 25 ) + X ( 1.25 ) +¿
X = S/.2 570,60

63. Un préstamo de S/. 5 000 es concedido por el Banco Fin-Oriente a la empresa Tubos S.A.
cobrando una tasa efectiva mensual del 5%. El reembolso debe efectuarse en cinco cuotas con
vencimiento cada 30 días, de las cuales, las cuatro primeras serán de S/. 1 000 cada una. ¿A
cuánto ascenderá la quinta cuota? Rp. X = S/. 1 855,78.

i = 0,05

 5 000  1 000 1 000  1 000 1 000  X

 ff 30 d 60 d 90 d 120 d 150 d
0 1 2 3 4 5
 −30 −60 −90 −120 −150
30 30 30 30
5 000=1000( 1.05) 30 +1 000 (1.05 ) +1 000 ( 1.05 ) +1 000 (1.05 ) + X ( 1.05 )
−5
5 000=3545,950504 + X ( 1.05 )
−5
1 454,049496=X ( 1.05 )
X = S/.1 855,78

Amortizaciones parciales de préstamos

64. El 26 de mayo la compañía Pegaso S.A. descontó un pagaré con valor nominal de S/. 20
000, a una tasa efectiva mensual del 5% y con vencimiento el 10 de julio. ¿Cuánto deberá
cancelar al vencimiento del pagaré, si el día 8 y 21 de junio Pegaso S.A. amortizó S/. 5 000 y S/.
7 000 respectivamente? Rp. S/. 7 513,22.

i = 0,05

 20 000 5 000  7 000 X

ff 32 d 19 d
26/05 8/06 21/06 10/07

32 19
30 30
20 000=5 000 ( 1.05 ) +7 000 ( 1.05 ) + X
X = S/. 7 513,22

Ventas a plazos (sistema de créditos)

65. Prepare una alternativa de venta al crédito para una máquina cuyo precio al contado es $
10 000, bajo las siguientes condiciones: cuota inicial equivalente al 25% del precio de contado
y seis cuotas uniformes con vencimiento cada 30 días. La tasa efectiva mensual es del 5% sobre
el saldo deudor. Rp. Cuota inicial de $ 2 500 y seis cuotas mensuales de $ 1 477,63 c/u.

Contado = 10 000 Inicial = 10 000(0,25) = 2 500

Entonces:

10 000 – 2 500 = 7 500 i = 0,05

 7 500  X X  X X  X X
 ff
0 1 2 3 4 5 6
−1 −2 −3 −4 −5 −6
7 500= X (1,05 ) + X ( 1,05 ) + X ( 1,05 ) + X ( 1,05 ) + X ( 1,05 ) + X ( 1,05 )
7 500=5,075692067 X
X = S/. 1 477,631011

Cálculo de la tasa de interés implícita

66. ¿Cuál es la tasa efectiva mensual que está cargando el Banco Mercante por el
financiamiento de un préstamo de S/. 20 000, el cual debe cancelarse con cuotas de S/. 5
380,54 cada fin de mes durante cuatro meses? Rp. i = 3%.

i = ¿ mensual

 20 000 5380,54 5380,54 5380,54 5380,54

 ff
0 1 2 3 4
20 000=5380,54 (1+i )−1 +5 380,54 ( 1+i )−2 +5 380,54 ( 1+i )−3 +5 380,54 ( 1+i )−4

20 000=5380,54 [ (1+i ) + ( 1+i ) + ( 1+i ) + ( 1+ i ) ]

−1 −2 −3 −4

−1 −2 −3 −4
3,717099027=( 1+i ) + ( 1+i ) + ( 1+i ) + ( 1+i )
Interpolamos:

(B) 0,02 --> 3,826205607 (A)

(X) i --> 3,717099027 (E)
(D) 0,05 --> 3,545950504 (C)

A−C A−E Reemplazamos:

=
B−D B−X

B− X=
( B−D ) ( A−E ) X =0,02− [ ( 0,02−0,05 ) (3,8262−3,7170 )
3,8262−3,5459 ]
A−C
X = 0,03
X =B− [
( B−D ) ( A−E )
A−C ] X = 3%

67. La compañía Electrodomésticos S.A. está vendiendo Refrigeradoras al contado en $ 900 y al

crédito con una cuota inicial de $ 207,28 y cinco armadas mensuales de $ 160. El cliente Z
desea adquirir el artefacto al crédito y acepta las condiciones generales del financiamiento,
pero propone pagar en la cuarta cuota sólo $ 100 y la diferencia cancelarla al vencimiento del
plazo. ¿Cuál sería el importe de dicho pago considerando una tasa efectiva mensual del 5%?
Rp. X = $ 223.

900,00 – 207,28(cuota inicial) = 692,72

692,72 160 160 160 160 X

 ff
0 1 2 3 4 5
−1 −2 −3 −4 −5
692,72=160 ( 1+i ) +160 ( 1+i ) +160 ( 1+i ) +160 ( 1+i ) + X ( 1+i )
−5
692,72=517,9899322+ X ( 1+i )
−5
174,73= X (1+i )
 X = $ 223

Evaluaciones a valor presente

68. En el proceso de adquisición de una. maquinaria se han recibido las siguientes propuestas:

a) al contado por S/. 10 000,

b) al crédito con una cuota inicial de S/. 4 000 y seis cuotas mensuales de S/. 1 100.

¿Qué opción aceptaría usted si el costo del dinero es del 4% efectivo mensual? Fundamente su
respuesta. Rp. La opción b) con un VP = S/. 9 766,35.

a) Contado: 10 000
b) Crédito: 10 000 – 4 000 = 6 000

4 000 1 100 1 100 1 100 1 100 1 100 1 100

  ff
0 1 2 3 4 5 6
−1 −2 −3 −4 −5 −6
VP=4 00 0 ( 1,04 ) +1 10 0 ( 1,04 ) +1 100 (1,04 ) +1 100 ( 1,04 ) +1 100 ( 1,04 ) +1 100 (1,04 )
VP = 4 000 + 5 766,350

VP= S/. 9 766,350

RPTA: La opción b porque si paga al crédito pagaría menos que al contado.

69. En la fecha una empresa se dispone a pagar una deuda de S/. 5 000 vencida hace tres
meses y otra deuda de S/. 2 000 que vencerá dentro de dos meses. Las deudas vencidas
generan una tasa efectiva anual del 36% y las deudas vigentes generan una tasa nominal anual
del 24% con capitalización trimestral. ¿Qué importe deberá cancelar la empresa? Rp. P = S/. 7
323,31.

Vencidas: 0,36

Vigentes: 0,24

 5 000      X  2 000
           
-3 -2 -1 0 1 2

( )
3 −2
0,24
X =5 000 (1+ 0,036 ) 12 +2 000 1+ 3
4

X = S/. 7 323,31

Cálculo del vencimiento común

70. Una empresa tiene deudas con un banco cuyas fechas de vencimiento y montos son: 26.05
S/. 4 000; 18.06 S/. 5 000; 11.07 S/. 2 000 y 30.08 S/. 3 000. El 26.05 la empresa paga al banco
su deuda de S/. 4 000 y le propone sustituir las 3 deudas restantes per un nuevo crédito de S/.
10 070,27 en reemplazo de todas las deudas pendientes. Considerando una tasa efectiva
mensual del 5% y que el banco acepta la propuesta el mismo 26.05, ¿en qué fecha deberá
vencer el nuevo crédito? Compruebe la respuesta con el dato obtenido. Rp. después de 53 días
contados a partir del 26.05, el 18 de julio.

i = 0,05

26/05 -> 4 000 + 10 070,27

4 000 5 000 2 000 3 000

 ff 23 d 46 d 96 d
26/05 18/06 11/07 30/08
−23 −46 −96
30 30 30 −n
5 000 ( 1,05 ) + 2000 ( 1,05 ) +3 000 ( 1,05 ) =10 070,27 ( 1,05 )
−n
9 238,610127=10 070,27 (1,05 )
−n
0,917414342=( 1,05 )
1
( 1,05 )−n =
0,917414342

( 1,05 )−n =1,090020021

n log ( 1,05 )=log (1,090020021 )
n = 1,7666 x 30

n = 53 días

Problemas combinados

71. Calcule el importe del capital que colocado a una tasa efectiva mensual del 4% durante un
trimestre, ha producido un monto que excede en S/. 500 al capital que se hubiese colocado
durante ese mismo período a una tasa de interés simple del 48% anual. Rp. P = S/. 102 796,05.

P=¿ 1,124864 – 500 = 1,12

i = 0,04 mensual
1,124864 – 1,12 = 500
i simple = 0,48 anual
0,004864 = 500
n
S=P ( 1+i ) 500
S=P ( 1+0,04 )
3 P=
0,004864
3
3 0,48
P ( 1+ 0,04 ) −500=P(1+ ) P = S/.102 796,0526
12

72. Calcule el monto necesario para fabricar 5 000 artículos dentro de 6 meses cuyo costo
unitario de fabricación hoy es de S/. 20 y se prevé incrementos mensuales del 2% durante el
primer trimestre y del 3% durante el segundo trimestre. Rp. S = S/. 115 961,06.

CU = 20
i = 0,02
i = 0,03
 20 20(1+0,02)3 (1+0,03)3
 
0
S=P ( 1+i )n

S=20 ( 1+0,02 )3 ( 1+0,03 )3

S = 23,192213

Entonces:

5 000 x 23,192213 = S/. 115 961,06

73. Un capital colocado a una tasa efectiva durante 2 meses ha producido el mismo interés que
si se hubiese colocado durante 75 días a interés simple. Calcule la tasa de interés. Rp. tasa =
50%.

n = 2 meses
P=1
I =P [ ( 1+ i ) −1 ]
n

I=Pxixn
75
1 [ ( 1+ i )2−1 ]=1 ×i ×
30
75
( 1+i )2−1=i ×
30

12 +2 (1 ) ( i )+ i2 −1=2,5 i
2+i=2,5
i = 0,5

i = 50%

74. Una persona deposita S/. 1 000 en una institución financiera que paga una tasa efectiva
mensual del 5% pon el objeto de retirar S/. 1 102,50 dentro de 2 meses. A los 24 días después
de efectuado el depósito, la tasa efectiva mensual baja al 4%. ¿Qué tiempo adicional tendrá
que esperar para retirar el monto requerido? Rp. 9 días adicionales. En el día 69 acumulará S/.
1 102,81.

P = 1 000 n = 2 meses
i = 0,05 mensual n = 24 días
S = 1 102,50 i2 = 0,04 mensual

1 000 1 102,50
 ff 0,05 0,04 0,04
0 24 60 X
 24
30
S24 =1000 ( 1,05 )
S24 =1039,80

1 102,50=1 039,80(1,04)n
Entonces:

n=
log ( SP )
log ( 1+i )

n=
log ( 1102,50
1039,80 )
log ( 1,04 )
n = 1,49288313914

n = 1 mes, 14 días