Valparaíso 6 de Abril del 2010

Axiomas de Orden en IR

Los axiomas de orden son una característica de los números IR que permite ordenarlos.
Anotaremos a los números reales positivos por IR + y IR − como el conjunto de los
reales negativos
Axioma1: Si a, b ∈ IR + entonces a + b ∈ IR +
Axioma 2: Si a, b ∈ IR + entonces ab ∈ IR +
Axioma 3: Para cada número real sólo se cumple una de las siguientes propiedades
a ∈ IR + , a = 0,− a ∈ IR +

OBSERVACION: Recuerde que – a significa el inverso aditivo de el número a

Por ejemplo si tomamos el número real (-2) entonces su inverso es aditivo es –(-2)=2
Entonces tenemos que -2 ∈ IR − luego − (−2) ∈ IR +
Def: Diremos que “x es menor que y” o que “y es mayor que x” ssi y − x ∈ IR +
ANOTAMOS : x > y o y < x

Def: diremos que “x es menor o igual que y” o que “y es mayor o igual que x” ssi
y − x ∈ IR0+
ANOTAMOS : x ≤ y
Ejercicio: Coloque el signo <,>, ≤, ≥ según corresponda
1 2
a) ---------
3 5
1
b) 0.333--------
3
4
c) 2---------------
2

d) (-4) ----------- (-8)

−1 2
e) −−−−−−
6 −3

Intervalos en IR
Sean a,b ∈ IR tal que a < b

[a, b] = {x ∈ IR : a ≤ x ≤ b}
]a, b[ = {x ∈ IR : a < x < b}
[a, b[ = {x ∈ IR : a ≤ x < b}
]a, b] = {x ∈ IR : a < x ≤ b}
]− ∞, b] = {x ∈ IR : x ≤ b}
[a, ∞[ = {x ∈ IR : x ≥ a}
]a, ∞[ = {x ∈ IR : x > a}
]− ∞, a[ = {x ∈ IR : x < a}

1
a a

3
a

Los gráficos 1, 2 y 3 representan respectivamente los intervalos abierto o cerrado,

abierto o cerrado con extremo infinito a la derecha y por último abierto o cerrado con
extremo infinito a la izquierda.(para diferenciar entre un cerrado y un abierto se marca
el extremo cuando es cerrado y dejaremos sin marca un extremo cuando es abierto)

**
En el gráfico * indica cerrado a la izquierda con extremo infinito a la derecha y el
gráfico ** es cerrado a la izquierda y abierto a la derecha

Ejercicio: represente gráficamente los siguientes intervalos:

a) [2,6] (b) ]2.6[ (c) [3, ∞[ (d) ]− ∞,1]
Propiedades:
Sean a, b, c ∈ IR
1. Si a < b ∧ c > 0 ⇒ ac < bc (si multiplica por una cantidad positiva el signo de
desigualdad no cambia)

2. Si a < b ∧ c < 0 ⇒ ac > bc (si multiplica por una cantidad negativa entonces el
signo de desigualdad cambia)

a
3. Si > 0 ⇒ se tienen dos posibilidades :
b
( a > 0 ∧ b > 0) ∨ ( a < 0 ∧ b < 0 ) (ambos números deben ser positivos o ambos
deben ser negativos )

a
4. Si < 0 ⇒ se tienen dos posibilidades :
b
( a < 0 ∧ b > 0) ∨ ( a > 0 ∧ b < 0) ( uno debe ser positivo y el otro debe ser
negativo)

Veamos ejemplos:

1) Resolver la inecuación 2 x − 3 < 5

Solución: 2 x < 8 ⇒ x > 4 luego la solución es “todos los números reales mayores
que 4 lo que escribiremos x ∈ ]4, ∞[ y que representamos por

2.) Resolver la inecuación 4 x − 5 ≤ 9

14 7
Solución: 4 x ≤ 14 ⇒ x < = luego la solución es todos los números menores o
4 2
7  7
iguales que , que escribimos  − ∞,  y que representamos por
2  2

7
2
3.) Resolver 3 − 4 x ≤ 1
1
Solución: − 4 x ≤ −2 multiplicamos por -1 y se tiene 4 x ≥ 2 ⇒ x ≥
2
Se deja como ejercicio escribir la solución como intervalo y hacer la representación
gráfica.
 a a a a
Existe un método gráfico para resolver inecuaciones del tipo > 0, ≥ 0, < 0, ≤ 0
b b b b

Veamos algunos ejemplos como

3x − 5
1.- Resolver ≤ 0 (aquí se debería aplicar la propiedad dada anteriormente para
2x + 1
a
cuando ≤ 0 , sin embargo si hacemos una representación grafica podemos obtener la
b
solución )

5
Observe que el numerador 3 x − 5 = 0 si x = ( a este valor lo llamaremos punto
3
−1
crítico) y el denominador 2 x + 1 = 0 si x = ( este también es un punto crítico)
2
Le llamamos punto crítico porque en estos punto la expresión cambia de signo ya sea de
– a + ó de + a -
Con estos puntos armamos una tabla :

−1 −1 5 5
-1, , , 1
2 2 3 3
3x - 5 - - +
2x + 1 - + +
Solución + - +

a) La primera fila representa la Recta real los puntos críticos dividen la recta real en
tres partes como sigue:
 − 1
 − ∞, 2  esta representado en la segunda columna
 −1 5
 2 , 3  esta representado en la tercera columna
5 
 3 , ∞  esta representado en la cuarta columna
b) En la fila 2 y 3 de la columna uno se colocan los factores que nos dan los puntos
críticos (en cualquier orden)

c) los signos se representan reemplazando cualquier valor correspondiente al intervalo

señalado, así por ejemplo en la columna 2 los signos se obtuvieron reemplazando x en
 − 1
los factores por un número que este en el intervalo  − ∞,  por ejemplo x = -1
 2
d) la última fila nos da la solución, así por ejemplo en la 2 columna se tiene – por - es
 −1 5
+ así la respuesta es: x ∈  ,  (observe que en -1/2 va abierto porque es punto
 2 3
crítico del denominador)

4− x
Ejemplo : Resolver ≥0
(2 x + 1)( x + 1)
Primero buscamos los puntos críticos , esto lo hacemos como sigue:
4−x = 0⇒ x = 4
1
2x + 1 = 0 ⇒ x = −
2
x + 1 = 0 ⇒ x = −1

Ahora formamos la tabla con estos puntos criticos

− ∞,−1 1 1 4, ∞
− 1,− − ,4
2 2
4-x + + + -
2x+1 - - + +
x+1 - + + +
+ - + -

Como queremos quesea mayor o igual a 0 entonces la solución es:

]− ∞,−1[ ∪  − 1 ,4
 2 
Observe que el -1 y el -1/2 están abiertos porque son puntos críticos del denominador

Ejemplo: Resolver (3 − 2 x)(2 x − 5) < 0

Los puntos críticos son:
3
3 − 2x = 0 ⇒ x =
2
5
2x − 5 = 0 ⇒ x =
2
luego hay dos puntos críticos , podemos construir la tabla :
3 3 5 5
− ∞, , ,∞
2 2 2 2
3–2x + - -
2x-5 - - +
- + -

Como queremos menor que 0 entonces la solución es:

 3 5 
 − ∞, 2  ∪  2 , ∞ 
 x2 + x − 6
Ejemplo: Resolver >0
2x + 3
Primero debemos ver si x 2 + x − 6 es factorizable (lo es porque el discriminante es
positivo) (nos ayudamos de la ecuación cuadrática x 2 + x − 6 = 0 , cuyas soluciones
son 2 y -3 , luego aseguramos que x 2 + x − 6 es factorizable por ( x − 2)( x + 3)

x2 + x − 6 ( x − 2)( x + 3)
Así > 0 es equivalente a resolver > 0 donde sus puntos
2x + 3 2x + 3
−3
críticos son ,−3,2 luego estamos en condiciones de construir la tabla:
2
− ∞,−3 −3 −3 2, ∞
− 3, ,2
2 2
x-2 - - - +
x +3 - + + +
2 x +3 - - + +
solución - + - +
Como queremos que sea positivo entonces la solución es:
 − 3
 − 3, 2  ∪ ]2, ∞[

Ahora si usted a trabajado los ejemplo debería ser capaz de resolver los siguientes
ejercicios:
4x − 1 1 
a) ≤0 Resp:  ,3
3− x 4 

( x + 2)( x 2 − 3x − 4)
b) ≥0 Resp: ]− ∞,−5[ ∪ [− 2,−1] ∪ [4, ∞[
x+5

Hasta aquí hemos resuelto ejemplo que son mayores que 0 o menores que 0
Consideremos ahora inecuaciones que son del tipo siguiente:
3x − 2
Ejemplo: Resolver >3
4x + 1
3x − 2 3x - 2
Esta inecuación > 3 es equivalente a tener -3 > 0
4x + 1 4x + 1
3 x − 2 − 3(4 x + 1) 3 x − 2 − 12 x − 3 − 9x − 5
>0⇒ >0⇒ > 0 (multiplicamos por -1)
4x + 1 4x + 1 4x + 1

9x + 5
< 0 ahora ya estamos en condiciones de formar la tabla y encontrar la solución
4x + 1
 −5 −1
los puntos críticos son y se deja como ejercicio resolver el problema y
9 4
 − 5 − 1
obtener la solución  ,
 9 4 

Ejemplo. Resolver 4 x − 2 ≤ 3 − x( x − 2)
4 x − 2 ≤ 3 − x( x − 2) ⇒ 4 x − 2 ≤ 3 − x 2 + 2 x ⇒ x 2 + 2 x − 5 ≤ 0
( la expresión x 2 + 2 x − 5 = ( x − (−1 + 6 )( x − (−1 − 6 ))
luego tenemos que resolver ( x − (−1 + 6 )( x − (−1 − 6 ) ≤ 0

− ∞ , −1 − 6 − 1 − 6 ,−1 + 6 − 1 + 6, ∞
x − (−1 − 6 ) - + +
x − (−1 + 6 ) - - +
+ - +

[
Solución: − 1 − 6 ,−1 + 6 ]
2x − 1
Ejemplo: Resolver 3 x − 2 ≤
x

2x − 1 2x − 1 3x 2 + 2 x − 2 x + 1
3x + 2 ≤ ⇒ 3x + 2 − ≤0⇒ ≤0
x x x
3x 2 + 1
≤ 0 (observe aquí que 3 x 2 + 1 ≥ 0∀x ∈ IR ) luego la única posibilidad que la
x
fracción sea menor o igual a 0 es que x < 0 así la solución es ]− ∞,0[
Conclusión : Para resolver este tipo de inecuación se recomienda dejar todo mayor que
0 o menor que 0 según corresponda.
Ejercicios para resolver:
2−x
≥5
1: 4 x + 3

2x 2 − 7x + 3
2: ≥0
x−2
1
3: 2x − 1 >
x
4: (4 x − 3) − (2 − x) ≤ (3 − x) + 5 x − 2
2 3 4
5: + ≤
x −1 x + 2 x + 2