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Comb I Naciones
Comb I Naciones
Comb I Naciones
Determina el número de subgrupos de 1, 2, 3, etc. elementos que se pueden formar con los "n" elementos de
una nuestra. Cada subgrupo se diferencia del resto en los elementos que lo componen, sin que influya el orden.
Por ejemplo, calcular las posibles combinaciones de 2 elementos que se pueden formar con los números 1, 2 y
3. Se pueden establecer 3 parejas diferentes: (1,2), (1,3) y (2,3). En el cálculo de combinaciones las parejas (1,2)
y (2,1) se consideran idénticas, por lo que sólo se cuentan una vez. También hay dos tipos de combinaciones
(recuerda que ahora el orden no importa):
1. 1. Combinaciones con repetición: Se puede repetir: como monedas en tu bolsillo (5,5,5.10,10)
En realidad son las más difíciles de explicar, así que las dejamos para luego.
2. 2. Combinaciones sin repetición: Sin repetición: como números de lotería (2.14,15.27,30.33)
Así funciona la lotería. Los números se eligen de uno en uno, y si tienes los números de la suerte (da igual el
orden) ¡entonces has ganado!
La manera más fácil de explicarlo es:
imaginemos que el orden sí importa (permutaciones),
después lo cambiamos para que el orden no importe.
Volviendo a las bolas de billar, digamos que queremos saber qué 3 bolas se eligieron, no el orden.
Ya sabemos que 3 de 16 dan 3360 permutaciones.
Pero muchas de ellas son iguales para nosotros, porque no nos importa el orden.
Por ejemplo, digamos que se tomaron las bolas 1, 2 y 3. Las posibilidades son:
El orden importa El orden no importa
123
132
213
123
231
312
321
Así que las permutaciones son 6 veces más posibilidades.
De hecho hay una manera fácil de saber de cuántas maneras "1 2 3" se pueden ordenar, y ya la sabemos. La
respuesta es:
3! = 3 × 2 × 1 = 6
(Otro ejemplo: 4 cosas se pueden ordenar de 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 maneras distintas,
Así que sólo tenemos que ajustar nuestra tenemos que ajustar nuestra fórmula de permutaciones para reducir por
las maneras de ordenar los objetos elegidos (porque no nos interesa ordenarlos):
Esta fórmula es tan importante que normalmente se la escribe con grandes paréntesis, así:
Con otras palabras, elegir 3 bolas de 16 da las mismas combinaciones que elegir 13 bolas de 16.
Ejemplo 2: Digamos que tenemos cinco sabores de helado: banana, chocolate, limón, fresa y
vainilla. Puedes tomar 3 paladas. ¿Cuántas variaciones hay? Vamos a usar letras para los
sabores: {b, c, l, f, v}.
{c, c, c} (3 de chocolate)
{b, l, v} (uno de banana, uno de limón y uno de vainilla)
{b, v, v} (uno de banana, dos de vainilla)
Hay n=5 cosas para elegir, y eliges r=3 de ellas. El orden no importa
Así que (en general) hay r + (n−1) posiciones, y queremos que r de ellas tengan círculos.
Esto es como decir "tenemos r + (n−1) bolas de billar y queremos elegir r de ellas". Es decir, es como el
problema de elegir bolas de billar, pero con números un poco distintos. Lo podrías escribir así:
16! = 20.922.789.888.000
Pero si sólo quieres elegir 3, tienes que dejar de multiplicar después de 14. ¿Cómo lo escribimos? Hay un buen
truco... dividimos entre 13!...
16 × 15 × 14 × 13 × 12 ...
= 16 × 15 × 14 = 3360
13 × 12 ...
16! / 13! = 16 × 15 × 14
La fórmula se escribe:
Ejemplo 2: ¿De cuántas maneras se pueden dar primer y segundo premio entre 10 personas?
10! 10! 3.628.800
= = = 90
(10−2)! 8! 40.320
(que es lo mismo que: 10 × 9 = 90)
VARIACIONES
Calcula el número de subgrupos de 1, 2, 3, etc. Elementos que se pueden establecer con los "n" elementos de
una muestra. Cada subgrupo se diferencia del resto en los elementos que lo componen o en el orden de dichos
elementos (es lo que le diferencia de las combinaciones). Por ejemplo, calcular las posibles variaciones de 2
elementos que se pueden establecer con los números 1, 2 y 3. Ahora tendríamos 6 posibles parejas: (1,2), (1,3),
(2,1), (2,3), (3,1) y (3,3). En este caso los subgrupos (1,2) y (2,1) se consideran distintos.
Se llama variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (m ≥ n) a los distintos grupos
formados por n elementos de forma que:
No entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
Ejemplo 2: ¿Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5 ?
m = 5n = 3 m ≥ n
No entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.
Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.
No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.
NÚMEROS COMBINATORIOS
Dado un número natural m, llamamos factorial de m, y lo denotamos por m! , al producto de m por todos los
números naturales menores que él.
m! = m · (m - 1) · (m - 2) · ... · 3 · 2 · 1
Dados dos números naturales m y n, tales que n≤m, definimos el número combinatorio "m sobre n" como:
0! = 1
1! = 1
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS COMBINATORIOS
Los números combinatorios presentan algunas propiedades muy interesantes:
Propiedad 1.
Ejemplo
Propiedad 2.
Ejemplo. Calculemos
Por lo tanto
Propiedad 3.
Esto se debe a que
Propiedad 4.
BINOMIO DE NEWTON
El uso de números combinatorios simplifica enormemente la expresión del llamado binomio de Newton, que
desarrolla el valor de la potencia n-sima de un binomio:
Particularizando este binomio para el caso a = b = 1, se obtiene una explicación del hecho de que la suma de
cada fila del triángulo de Tartaglia sea igual a 2n, ya que resulta:
Los coeficientes son números combinatorios que corresponden a la fila enésima del triángulo de Tartaglia
(también conocido como triangulo de Pascal).
En el desarrollo del binomio, los exponentes de a van disminuyendo, de uno en uno, de n a cero; y los
exponentes de b van aumentando, de uno en uno, de cero a n, de tal manera que la suma de los exponentes
de a y de b en cada término es igual a n. En el caso que uno de los términos del binomio sea negativo, se
alternan los signos positivos y negativos.
Ejemplo 1:
Ejemplo 2: