Combinaciones y permutaciones

Qu diferencia hay?
Normalmente usamos la palabra "combinacin" descuidadamente, sin pensar en si el orden de las cosas es importante. En otras palabras: "Mi ensalada de frutas es una combinacin de manzanas, uvas y bananas": no importa en qu orden pusimos las frutas, podra ser "bananas, uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y bananas", es la misma ensalada. "La combinacin de la cerradura es 472": ahora s importa el orden. "724" no funcionara, ni "247". Tiene que ser exactamente 4-7-2. As que en matemticas usamos un lenguaje ms preciso: Si el orden no importa, es una combinacin. Si el orden s importa es una permutacin.

As que lo de arriba se podra llamar "cerradura de permutacin"!

Con otras palabras:

Una permutacin es una combinacin ordenada.

Para ayudarte a recordar, piensa en "Permutacin... Posicin"

Permutaciones

Hay dos tipos de permutaciones:

Se permite repetir: como la cerradura de arriba, podra ser "333". Sin repeticin: por ejemplo los tres primeros en una carrera. No puedes quedar primero y segundo a la vez.

1. Permutaciones con repeticin

Son las ms fciles de calcular. Si tienes n cosas para elegir y eliges r de ellas, las permutaciones posibles son: n n ... (r veces) = nr (Porque hay n posibilidades para la primera eleccin, DESPUS hay n posibilidades para la segunda eleccin, y as.) Por ejemplo en la cerradura de arriba, hay 10 nmeros para elegir (0,1,...,9) y eliges 3 de ellos: 10 10 ... (3 veces) = 103 = 1000 permutaciones As que la frmula es simplemente: nr donde n es el nmero de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (Se puede repetir, el orden importa)

2. Permutaciones sin repeticin

En este caso, se reduce el nmero de opciones en cada paso.

Por ejemplo, cmo podras ordenar 16 bolas de billar? Despus de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla otra vez.

As que tu primera eleccin tiene 16 posibilidades, y tu siguiente eleccin tiene 15 posibilidades, despus 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sera:

16 15 14 13 ... = 20,922,789,888,000 Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, slo 3 de ellas, as que sera solamente: 16 15 14 = 3360 Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre 16. Pero cmo lo escribimos matemticamente? Respuesta: usamos la "funcin factorial"

La funcin factorial (smbolo: !) significa que se multiplican nmeros descendentes. Ejemplos: 4! = 4 3 2 1 = 24 7! = 7 6 5 4 3 2 1 = 5040 1! = 1

Nota: en general se est de acuerdo en que 0! = 1. Puede que parezca curioso que no multiplicar ningn nmero d 1, pero ayuda a simplificar muchas ecuaciones. As que si quieres elegir todas las bolas de billar las permutaciones seran: 16! = 20,922,789,888,000 Pero si slo quieres elegir 3, tienes que dejar de multiplicar despus de 14. Cmo lo escribimos? Hay un buen truco... dividimos entre 13!... 16 15 14 13 12 ... = 16 15 14 = 3360 13 12 ... Lo ves? 16! / 13! = 16 15 14 La frmula se escribe:

donde n es el nmero de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas

(No se puede repetir, el orden importa)

Ejemplos:
Nuestro "ejemplo de elegir en orden 3 bolas de 16" sera: 16! = (16-3)! 13! 16! = 6,227,020,800 20,922,789,888,000 = 3360

De cuntas maneras se pueden dar primer y segundo premio entre 10 personas? 10! = (10-2)! 8! 10! = 40,320 3,628,800 = 90

(que es lo mismo que: 10 9 = 90)

Notacin
En lugar de escribir toda la frmula, la gente usa otras notaciones como:

Combinaciones
Tambin hay dos tipos de combinaciones (recuerda que ahora el orden no importa):

Se puede repetir: como monedas en tu bolsillo (5,5,5,10,10) Sin repeticin: como nmeros de lotera (2,14,15,27,30,33)

1. Combinaciones con repeticin

En realidad son las ms difciles de explicar, as que las dejamos para luego.

2. Combinaciones sin repeticin

As funciona la lotera. Los nmeros se eligen de uno en uno, y si tienes los nmeros de la suerte (da igual el orden) entonces has ganado!

La manera ms fcil de explicarlo es: imaginemos que el orden s importa (permutaciones), despus lo cambiamos para que el orden no importe.

Volviendo a las bolas de billar, digamos que queremos saber qu 3 bolas se eligieron, no el orden. Ya sabemos que 3 de 16 dan 3360 permutaciones. Pero muchas de ellas son iguales para nosotros, porque no nos importa el orden. Por ejemplo, digamos que se tomaron las bolas 1, 2 y 3. Las posibilidades son: El orden importa 123 132 213 231 312 321 El orden no importa

123

As que las permutaciones son 6 veces ms posibilidades. De hecho hay una manera fcil de saber de cuntas maneras "1 2 3" se pueden ordenar, y ya la sabemos. La respuesta es: 3! = 3 2 1 = 6 (Otro ejemplo: 4 cosas se pueden ordenar de 4! = 4 3 2 1 = 24 maneras distintas, prueba t mismo!) As que slo tenemos que ajustar nuestra frmula de permutaciones para reducir por las maneras de ordenar los objetos elegidos (porque no nos interesa ordenarlos):

Esta frmula es tan importante que normalmente se la escribe con grandes parntesis, as:

donde n es el nmero de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (No se puede repetir, el orden no importa) Y se la llama "coeficiente binomial".

Notacin
Adems de los "grandes parntesis", la gente tambin usa estas notaciones:

Ejemplo
Entonces, nuestro ejemplo de bolas de billar (ahora sin orden) es: 16! = 3!(16-3)! O lo puedes hacer as: 161514 = 321 6 3360 = 560 3!13! 16! = 66,227,020,800 20,922,789,888,000 = 560

As que recuerda, haz las permutaciones, despus reduce entre "r!" ... o mejor todava... Recuerda la frmula!
Es interesante darse cuenta de que la frmula es bonita y simtrica:

Con otras palabras, elegir 3 bolas de 16 da las mismas combinaciones que elegir 13 bolas de 16. 16! = 3!(16-3)! 13!(16-13)! 16! = 3!13! 16! = 560

Tringulo de Pascal
Puedes usar el tringulo de Pascal para calcular valores. Baja a la fila "n" (la de arriba es n=0), y ve a la derecha "r" posiciones, ese valor es la respuesta. Aqu tienes un trozo de la fila 16:
364 ... 1 15 105 455 1365 ... 1 16 120 560 1820 4368 ... 1 14 91

1. Combinaciones con repeticin

OK, ahora vamos con este...

Digamos que tenemos cinco sabores de helado: banana, chocolate, limn, fresa y vainilla. Puedes tomar 3 paladas. Cuntas variaciones hay? Vamos a usar letras para los sabores: {b, c, l, f, v}. Algunos ejemplos son {c, c, c} (3 de chocolate) {b, l, v} (uno de banana, uno de limn y uno de vainilla) {b, v, v} (uno de banana, dos de vainilla)

(Y para dejarlo claro: hay n=5 cosas para elegir, y eliges r=3 de ellas. El orden no importa, y s puedes repetir!) Bien, no puedo decirte directamente cmo se calcula, pero te voy a ensear una tcnica especial para que lo averiges t mismo.

Imagina que el helado est en contenedores, podras decir "sltate el primero, despus 3 paladas, despus sltate los 3 contenedores siguientes" y acabars con 3 paladas de chocolate! Entonces es como si ordenaras a un robot que te trajera helado, pero no cambia nada, tendrs lo que quieres. Ahora puedes escribirlo como tomar) (la flecha es saltar, el crculo es

Entonces los tres ejemplos de arriba se pueden escribir as: {c, c, c} (3 de chocolate): {b, l, v} (uno de banana, uno de limn y uno de vainilla): {b, v, v} (uno de banana, dos de vainilla): OK, entonces ya no nos tenemos que preocupar por diferentes sabores, ahora tenemos un problema ms simple para resolver: "de cuntas maneras puedes ordenar flechas y crculos" Fjate en que siempre hay 3 crculos (3 paladas de helado) y 4 flechas (tenemos que movernos 4 veces para ir del contenedor 1 al 5). As que (en general) hay r + (n-1) posiciones, y queremos que r de ellas tengan crculos. Esto es como decir "tenemos r + (n-1) bolas de billar y queremos elegir r de ellas". Es decir, es como el problema de elegir bolas de billar, pero con nmeros un poco distintos. Lo podras escribir as:

donde n es el nmero de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (Se puede repetir, el orden no importa)

Es interesante pensar que podramos habernos fijado en flechas en vez de crculos, y entonces habramos dicho "tenemos r + (n-1) posiciones y queremos que (n-1) tengan flechas", y la respuesta sera la misma...

Qu pasa con nuestro ejemplo, cul es la respuesta? (5+3-1)! = 3!(5-1)! 3!4! 7! = 624 5040 = 35

En conclusin
Uau, es un montn de cosas que absorber, quizs tendras que leerlo otra vez para entenderlo todo bien! Pero saber cmo funcionan estas frmulas es slo la mitad del trabajo. Averiguar cmo se interpreta una situacin real puede ser bastante complicado. Por lo menos ahora sabes cmo se calculan las 4 variantes de "el orden s/no importa" y "s/no se

Para entender lo que son las permutaciones es necesario definir lo que es una combinacin y lo que es una permutacin para establecer su diferencia y de esta manera entender claramente cuando es posible utilizar una combinacin y cuando utilizar una permutacin al momento de querer cuantificar los elementos de algn evento.

COMBINACIN Y PERMUTACION.

COMBINACIN: Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posicin que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo. PERMUTACIN: Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posicin que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.
Para ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinacin y una permutacin, plantearemos cierta situacin.

Suponga que un saln de clase est constituido por 35 alumnos. a) El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como mantener el aula limpia o entregar material a los alumnos cuando as sea necesario.

b) El maestro desea que se nombre a los representantes del saln (Presidente, Secretario y Tesorero).

Solucin: a) a) Suponga que por unanimidad se ha elegido a Daniel, Arturo y a Rafael para limpiar el aula o entregar material, (aunque pudieron haberse seleccionado a Rafael, Daniel y a Enrique, o pudo haberse formado cualquier grupo de tres personas para realizar las actividades mencionadas anteriormente). Es importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el grupo de tres personas? Reflexionando al respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no tiene importancia, ya que lo nico que nos interesara es el contenido de cada grupo, dicho de otra forma, quines estn en el grupo? Por tanto, este ejemplo es una combinacin, quiere decir esto que las combinaciones nos permiten formar grupos o muestras de elementos en donde lo nico que nos interesa es el contenido de los mismos.

b) b) Suponga que se han nombrado como representantes del saln a Daniel como Presidente, a Arturo como secretario y a Rafael como tesorero, pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunos cambios, los que se muestran a continuacin:

CAMBIOS
PRESIDENTE Daniel : SECRETARI O: TESORERO: Arturo Rafael Arturo Daniel Rafael Rafael Daniel Arturo Daniel Rafael Arturo

Ahora tenemos representacin?

cuatro

arreglos,

se

trata

de

la

misma

Creo que la respuesta sera no, ya que el cambio de funcin que se hace a los integrantes de la representacin original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje de manera diferente, importa el orden de los elementos en los arreglos?. La respuesta definitivamente sera s, luego entonces las representaciones antes definidas son diferentes ya que el orden o la forma en que se asignan las funciones s importa, por lo tanto es este caso estamos tratando con permutaciones.

A continuacin obtendremos las frmulas de permutaciones y de combinaciones, pero antes hay que definir lo que es n! (ene factorial), ya que est involucrado en las frmulas que se obtendrn y usarn para la resolucin de problemas.
n!= al producto desde la unidad hasta el valor que ostenta n. n!= 1 x 2 x 3 x 4 x...........x n

Ejem.

10!=1 x 2 x 3 x 4 x.........x 10=3,628,800 8!= 1 x 2 x 3 x 4 x.........x 8=40,320 6!=1 x 2 x 3 x 4 x..........x 6=720, etc., etc.

Obtencin de frmula de permutaciones. Para hacer esto, partiremos de un ejemplo.

Cuntas maneras hay de asignar los cuatro primeros lugares de un concurso de creatividad que se verifica en las instalaciones de nuestro instituto, si hay 14 participantes?
Solucin: Haciendo uso del principio multiplicativo,

14x13x12x11 = 24,024 maneras de asignar los primeros tres lugares del concurso

Esta solucin se debe, a que al momento de asignar el primer lugar tenemos a 14 posibles candidatos, una vez asignado ese lugar nos quedan 13 posibles candidatos para el segundo lugar, luego tendramos 12 candidatos posibles para el tercer lugar y por ltimo tendramos 11 candidatos posibles para el cuarto lugar.

Luego si n es el total de participantes en el concurso y r es el nmero de participantes que van a ser premiados, y partiendo de la expresin anterior, entonces.

14x13x12x11= n x (n - 1) x (n - 2) x .......... x (n r + 1)

si la expresin anterior es multiplicada por (n r)! / (n r)!, entonces

= n x (n 1 ) x (n 2) x ......... x (n r + 1) (n r)! / (n r)!

= n!/ (n r)!

Por tanto, la frmula de permutaciones de r objetos tomados de entre n objetos es:

n Pr =

n! ( n r )!

Esta frmula nos permitir obtener todos aquellos arreglos en donde el orden es importante y solo se usen parte (r) de los n objetos con que se cuenta, adems hay que hacer notar que no se pueden repetir objetos dentro del arreglo, esto es, los n objetos son todos diferentes.

Entonces, qu frmula hay que usar para arreglos en donde se utilicen los n objetos con que se cuenta? Si en la frmula anterior se sustituye n en lugar de r, entonces.

nPn= n!/ (n n)! = n! / 0! = n! / 1 = n!

Como 0! = 1 de acuerdo a demostracin matemtica, entonces

nPn= n!

Ejemplos: 1) 1) Cuantas representaciones diferentes sern posibles formar, si se desea que consten de Presidente, Secretario, Tesorero, Primer Vocal y Segundo Vocal?, s esta representacin puede ser formada de entre 25 miembros del sindicato de una pequea empresa. Solucin:

Por principio multiplicativo:

25 x 24 x 23 x 22 x 21 = 6,375,600 maneras de formar una representacin de ese sindicato que conste de presidente, secretario, etc., etc.

Por Frmula:

n = 25,

r=5

P5 = 25!/ (25 5)! = 25! / 20! = (25 x 24 x 23 x 22 x 21 x....x 1) / (20 x 19 x 18 x ... x 1)=
25

= 6,375,600 maneras de formar la representacin

2) a. Cuntas maneras diferentes hay de asignar las posiciones de salida de 8 autos que participan en una carrera de frmula uno? (Considere que las posiciones de salida de los autos participantes en la carrera son dadas totalmente al azar) b. Cuntas maneras diferentes hay de asignar los primeros tres premios de esta carrera de frmula uno?

Solucin:

a. Por principio multiplicativo:

8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1= 40,320 maneras de asignar las posiciones de salida de los autos participantes en la carrera

Por Frmula:
n = 8, r=8

P8= 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x......x 1= 40,320 maneras de asignar las posiciones de salida ......etc., etc.
8

b. Por principio multiplicativo:

8 x 7 x 6 = 336 maneras de asignar los tres primeros lugares de la carrera

Por frmula:
n =8, r=3

P3 = 8! / (8 3)! = 8! / 5! = (8 x 7 x 6 x 5 x ........x1)/ (5 x 4 x 3 x......x1) = 336 maneras de asignar los tres primeros lugares de la carrera
8

3) 3) Cuntos puntos de tres coordenadas ( x, y, z ), ser posible generar con los dgitos 0, 1, 2, 4, 6 y 9?, Si, a. No es posible repetir dgitos, b. Es posible repetir dgitos. Solucin:

a. Por frmula n = 6, r=3

6P3 = 6! / (6 3)! = 6! / 3! = 6 x 5 x 4 x 3! / 3! = 6 x 5 x 4 = 120 puntos posibles

Nota: este inciso tambin puede ser resuelto por el principio multiplicativo

b. Por el principio multiplicativo

6 x 6 x 6 = 216 puntos posibles

Cul es la razn por la cul no se utiliza en este caso la frmula?. No es utilizada debido a que la frmula de permutaciones slo se usa cuando los objetos no se repiten, esto quiere decir que en el inciso a. Los puntos generados siempre van a tener coordenadas cuyos valores son diferentes ejem. (1, 2, 4), (2, 4, 6), (0, 4, 9), etc. etc., mientras que los puntos generados en el inciso b. Las coordenadas de los puntos pueden tener valores diferentes o repeticiones de algunos valores o pueden tener todas las coordenadas un mismo valor ejem. (1, 2, 4), (1, 2, 2), (1, 1, 1), etc., etc.

4) 4) a. Cuntas maneras hay de asignar las 5 posiciones de juego de un equipo de bsquetbol, si el equipo consta de 12 integrantes?, b. Cuntas maneras hay de asignar las posiciones de juego si una de ellas solo puede ser ocupada por Uriel Jos Esparza?, c. Cuntas maneras hay de que se ocupen las

posiciones de juego si es necesario que en una de ellas este Uriel Jos Esparza y en otra Omar Luna?

Solucin:
a. Por frmula:

n = 12,

r=5

12P5 = 12! / (12 5 )! = 12 x 11 x 10 x 9 x 8 = 95,040 maneras de asignar las cinco posiciones de juego

a. Por principio multiplicativo:

1 x 11 x 10 x 9 x 8 =7,920 maneras de asignar las posiciones de juego

Por frmula:

1 x 11P4 = 1 x 11! / (11 4)! = 11! / 7! = 11 x 10 x 9 x 8 = 7,920 maneras de asignar las posiciones de juego con Uriel Jos en una determinada posicin

a. Por principio multiplicativo

1 x 1 x 10 x 9 x 8 = 720 maneras de ocupar las diferentes posiciones de juego

Por frmula:

1 x 1 x 10P3 = 1 x 1 x 10! / (10 3)! = 10! / 7! = 10 x 9 x 8 = 720 maneras de ocupar las posiciones de juego con Uriel Jos y Omar Luna en posiciones previamente definidas

5) 5) Cuntas claves de acceso a una computadora ser posible disear, si debe constar de dos letras, seguidas de cinco dgitos, las letras sern tomadas del abecedario y los nmeros de entre los dgitos del 0 al 9. a. Considere que se pueden repetir letras y nmeros, b. Considere que no se pueden repetir letras y nmeros, c. Cuntas de las claves del inciso b empiezan por la letra A y terminan por el nmero 6?, d. Cuntas de las claves del inciso b tienen la letra R seguida de la L y terminan por un nmero impar?

Solucin:
a. Por principio multiplicativo:

26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 67,600,000 claves de acceso

Por frmula:

P2 x 10P5 = 26 x 25 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6=19,656,000 claves de acceso

26

a. a.

Por frmula:

1 x 25P1 x 9P4 x 1 = 1 x 25 x 9 x 8 x 7 x 6 x 1 = 75,600 claves de acceso que empiezan por la letra A y terminan por el nmero 6

b. b.

Por frmula:

1 x 1 x 9P4 x 5 = 1 x 1 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 =15,120 claves de acceso que tienen la letra R seguida de la L y terminan por un nmero impar.

COMBINACIONES. Como ya se mencion anteriormente, una combinacin, es un arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posicin que ocupan los mismos dentro del arreglo. En una combinacin nos interesa formar grupos y el contenido de los mismos. La frmula para determinar el nmero de combinaciones es:

Cr =

n! ( n r )! r!

Cr = Combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos

Donde se observa que,

n Cr =

pr r!

La expresin anterior nos explica como las combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos pueden ser obtenidas a partir de las permutaciones de r objetos tomados de entre n objetos, esto se debe a que como en las combinaciones no nos importa el orden de los objetos, entonces si tenemos las permutaciones de esos objetos al dividirlas entre r!, les estamos quitando el orden y por tanto transformndolas en combinaciones, de otra forma, tambin si deseamos calcular permutaciones y tenemos las combinaciones, simplemente con multiplicar estas por el r! obtendremos las permutaciones requeridas. Pr = nCr r!

Y si deseamos r = n entonces;
n

Cn = n! / (n n)!n! = n! / 0!n! = 1

Qu nos indica lo anterior? Que cuando se desea formar grupos con la misma cantidad de elementos con que se cuenta solo es posible formar un grupo. Ejemplos: 1) 1) a. Si se cuenta con 14 alumnos que desean colaborar en una campaa pro limpieza del Tec, cuantos grupos de limpieza podrn formarse si se desea que consten de 5 alumnos cada uno de ellos, b.si entre los 14 alumnos hay 8 mujeres, cuantos de los grupos de limpieza tendrn a 3 mujeres?, c.cuntos de los grupos de limpieza contarn con 4 hombres por lo menos? Solucin: a. n = 14, r = 5
14

C5 = 14! / (14 5 )!5! = 14! / 9!5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9!/ 9!5! = 2002 grupos

Entre los 2002 grupos de limpieza hay grupos que contienen solo hombres, grupos que contienen solo mujeres y grupos mixtos, con hombres y mujeres. b. n = 14 (8 mujeres y 6 hombres), r=5

En este caso nos interesan aquellos grupos que contengan 3 mujeres y 2 hombres
8

C3*6C2 = (8! / (8 3)!3!)*(6! / (6 2)!2!) = (8! / 5!3!)*(6! / 4!2!)

= 8 x7 x 6 x 5 /2! = 840 grupos con 3 mujeres y 2 hombres, puesto que cada grupo debe constar de 5 personas c. En este caso nos interesan grupos en donde haya 4 hombres o ms Los grupos de inters son = grupos con 4 hombres + grupos con 5 hombres = 6C4*8C1 + 6C5*8C0 = 15 x 8 + 6 x 1 = 120 + 6 = 126 2) 2) Para contestar un examen un alumno debe contestar 9 de 12 preguntas, a. Cuntas maneras tiene el alumno de seleccionar las 9 preguntas?, b.Cuntas maneras tiene si forzosamente debe contestar las 2 primeras preguntas?, c. Cuntas maneras tiene si debe contestar una de las 3 primeras preguntas?, d. Cuntas maneras tiene si debe contestar como mximo una de las 3 primeras preguntas? Solucin: a. n = 12, r=9
12

C9 = 12! / (12 9)!9! = 12! / 3!9! = 12 x 11 x 10 / 3! = 220 maneras de seleccionar las nueve preguntas o dicho de otra

manera, el alumno puede seleccionar cualquiera de 220 grupos de 9 preguntas para contestar el examen b. b. 2C2*10C7 = 1 x 120 = 120 maneras de seleccionar las 9 preguntas entre las que estn las dos primeras preguntas c. c. 3C1*9C8 = 3 x 9 = 27 maneras de seleccionar la 9 preguntas entre las que est una de las tres primeras preguntas d. d. En este caso debe seleccionar 0 o 1 de las tres primeras preguntas
3C0*9C9 + 3C1*9C8 = (1 x 1) + (3 x 9) = 1 + 27 = 28 maneras de seleccionar las preguntas a contestar

1) 3) Una seora desea invitar a cenar a 5 de 11 amigos que tiene, a. Cuntas maneras tiene de invitarlos?, b. cuntas maneras tiene si entre ellos est una pareja de recin casados y no asisten el uno sin el otro, c. Cuntas maneras tiene de invitarlos si Rafael y Arturo no se llevan bien y no van juntos? Solucin: a. n = 11, r = 5

11

C5 = 11! / (11 5 )!5! = 11! / 6!5! = 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6! / 6!5! = 462 maneras de invitarlos

Es decir que se pueden formar 462 grupos de cinco personas para ser invitadas a cenar. b. Esta seora tiene dos alternativas para hacer la invitacin, la primera es no invitar a la pareja y la segunda es invitar a la pareja.
2

C0*9C5 +

C2*9C3 = (1 x 126)

+ (1 x 84) = 210 maneras de invitarlos

En este caso separamos a la pareja de los dems invitados para que efectivamente se cumpla el que no asistan o que asistan a la cena. c.La seora tiene dos alternativas para hacer la invitacin, una de ellas es que no invitar a Rafael y a Arturo o que asista solo uno de ellos. + 2C0*9C5 la invitacin
2

C1*9C4 = (1 x 126)

(2 x 126) = 126 + 252 = 378 maneras de hacer

2) 4) En un plano hay 10 puntos denominados A, B, C, ....,etc. etc., en una misma lnea no hay ms de dos puntos, a. Cuntas lneas pueden ser trazadas a partir de los puntos?, b. Cuntas de las lneas no pasan por los puntos A o B?, c. Cuntos tringulos pueden ser trazados a partir de los puntos?, d. Cuntos de los tringulos contienen el punto A?, e. Cuntos de los tringulos tienen el lado AB?. Solucin: a. a. En la redaccin del problema se aclara que en una misma lnea no hay ms de dos puntos debido a que si lo anterior ocurriera no se podra dar contestacin a las preguntas que se hacen. Una lnea puede ser trazada a partir de cmo mnimo dos puntos por lo tanto,
10

C2 = 10! / (10 2)!2! = 10! / 8!2! = 45 lneas que se pueden trazar

b. b. En este caso excluiremos los puntos A y B y a partir de los ocho puntos restantes se obtendrn las lneas.
2

C0*8C2 = 1 x 28 = 28 lneas que no pasan por los puntos A o B Un tringulo puede ser trazado a partir de tres puntos, luego;

c. c.
10

C3 = 10! / (10 3)!3! = 10! / 7!3! = 120 tringulos posibles de trazar

d. d. En este caso se separa el punto A de los dems, se selecciona y posteriormente tambin se seleccionan dos puntos ms.
1

C1*9C2 = 1 x 36 = 36 tringulos que contienen el punto A

e. e. Los puntos A y B forman parte de los tringulos a trazar por lo que;

2

C2*8C1 = 1 X 8 = 8 tringulos que contienen el lado AB