Miércoles 02 de junio de 2021.

Matemáticas en Nuestras Vidas

La preservación de la vida en el planeta

Períodos 1°, 2°, 3°, 4°, 5°, 6°

Tema indispensable: Prevención de la vida en el planeta, salud y vivir bien.
Tema generador: El reciclaje, una oportunidad de preservación de la vida en el planeta.

Referentes teórico-práctico:
1er Período: Operaciones y conjuntos.
2er Período: Relaciones y funciones.
3er Período: Inecuaciones
4to Período: Funciones trigonométricas.
5to Período: Cónicas.
6to Período: Cónicas y sólidos de revolución

Lectura general para los Períodos 1°, 2°, 3°,4°,5° y 6°

Esta semana estaremos conversando sobre el reciclaje y su importancia para la conservación de la vida en el
planeta.
El reciclaje es un acto de gran importancia para nuestra sociedad puesto que el mismo supone la reutilización
de diferentes objetos o elementos derivados de los diferentes procesos o actividades humanas que de otro
modo serian desechados, pasando a formar basura, que en última instancia crea un efecto dañino para nuestra
comunidad, país y planeta.
Es por ello que cuando hablamos de reciclaje hacemos referencia al acto mediante el cual un objeto que ya ha
sido usado es incorporado a un proceso de renovación en vez de ser desechado. Algunos expertos consideran
que casi todos los objetos que nos rodean en nuestra realidad cotidiana pueden ser reciclados o reutilizados,
aunque algunos de ellos, por ser extremadamente descartables o por ser tóxicos no pueden ser guardados.
Esta acción cuenta con ventajas ambientales y económicas:
Ventajas ambientales: es importante mencionar que el reciclaje contribuye a evitar el deterioro del planeta por
sobre la producción, la destrucción de una gran cantidad de bosques o el deterioro progresivo de la capa de
ozono, lo cual ocurre principalmente por la intención de producir muy por encima de las necesidades de las
personas o necesidades reales de la sociedad.

Ventajas económicas del reciclaje: es una estrategia de salida a la situación que genera la polución y
contaminación ambiental, y permitiría ahorrar gran cantidad de la energía que se utiliza para la producción de
bienes y productos mediante la reutilización, puede decirse que el costo de la energía, que en la actualidad es
alto, se reduciría de manera considerable con su implementación. Reciclar una tonelada de papel de periódico
ahorra unos 4000 KW de electricidad, valor este al aproximado para abastecer de energía a una casa de tres
habitaciones a lo largo de un año entero.

Debido a la importancia estratégica que representa este tema para todas y todos los ciudadanos, te invitamos
a profundizar en él y a participar en el cambio cultural que ello amerita.
Desarrollo de la actividad:
1° Período
Esta semana estaremos conversando sobre los conjuntos
Un conjunto o colección lo forman unos elementos de la misma naturaleza, elementos diferenciados entre sí
pero que poseen en común ciertas propiedades o características, y que pueden tener entre ellos, o con los
elementos de otros conjuntos, ciertas relaciones que los une.
Tipos de conjuntos:
Los conjuntos se pueden clasificar en finitos e infinitos, subconjuntos, vacíos, disjuntos o disyuntivos,
equivalentes, unitarios, superpuestos o solapados, congruentes y no congruentes.
Un conjunto puede tener un número finito o infinito de elementos, en matemáticas es común denotar a los
elementos mediante letras minúsculas y a los conjuntos por letras mayúsculas.

Ejemplo: C = {a, b, c, d, e, f, g, h}
Los conjuntos numéricos: en matemáticas empleamos diversos conjuntos de números:
NOTACIÓN GRUPO DE ELEMENTOS

N= Conjunto de números naturales N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }

Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } Sirven para
Z=Conjunto de números enteros designar cantidades enteras (positivas o negativas).
Q = {...., -7/2,..., -7/3,..., -5/4,... -5/1, ...0, ..., 2/133, ...
Q=Conjunto de números racionales 4/7 ... } Números que pueden ser expresados como
un cociente.

Es importante reflexionar que los elementos de un conjunto o cantidades pueden representar situaciones
dentro del contexto real, las cuales sirven para generalizar o ubicar un marco referencial.

Ejemplo: si agrupamos los desechos en conjuntos para depositar en un contenedor especial se pueden
clasificar en varios subgrupos o subconjuntos así:
Contenedor gris: desechos en general.
Contenedor naranja: desechos orgánicos.
Contenedor verde: envases de vidrios.
Contenedor rojo: desechos tóxicos o peligrosos como las pilas, baterías o aceite de carros.
Contenedor amarillo: plástico y envases metálicos.
Contenedor azul: papel
Contenedor rojo: hospitalarios e infecciosos

Ejemplo 1: Un ejemplo de conjunto vacío aproximado al tema del reciclaje sería un grupo o contenedor sin
elementos. Por otro lado, si lo aplicamos al campo numérico podríamos tener los siguientes casos:
1. Números pares mayores que 3 y primos.
2. Números primos divisibles entre 4.
3. Números enteros entre 3 y 4.
4. Números naturales menores que cero.
5. Números irracionales que se puedan escribir como p/q para p y q enteros.
Si te fijas verás que no podemos encontrar casos que cumplan las condiciones anteriores, por lo cual llegamos
a la conclusión de que pertenecen a conjuntos vacíos.

Ejemplo 2: Conjuntos disyuntos, aproximado al tema del reciclaje sería cuando no existan elementos en común,
que no posean elementos que puedan estar en más de un contenedor a la vez. Por ejemplo, los desechos
orgánicos y los de vidrio van a contenedores diferentes por tener características distintas.
Ejemplos numéricos de conjuntos disyuntos:
A = {2, 4, 6} y B = {1, 3, 5}
 A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y B = {a, e, i, o, u}
Por otra parte, no serían conjuntos disyuntos aquellos que tienen elementos comunes:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y B = {2, 6, 8, 10} no son disyuntos ya que tienen al menos los elementos 2 y 6 como
comunes, A ∩ B = {2, 6} (los que están en el conjunto A y también están en el conjunto B (llamado
intercepción).
 Por otra parte, dos o más conjuntos son equivalentes cuando tienen la misma cantidad de elementos,
sin importar que estos sean parecidos o no, aproximado al tema del reciclaje sería por ejemplo cuando
dos o más contenedores tuviesen igual cantidad de elementos.

Ejemplo: contenedor amarillo del plástico y envases metálicos tiene igual cantidad de elementos que el
contenedor azul de papel y que el contenedor rojo de los desechos peligrosos como las pilas, baterías o aceite
de carros.

Te proponemos continuar investigando sobre otros ejemplos de subconjuntos, conjuntos disyuntos y conjuntos
equivalentes.

2° Período
Esta semana estaremos estudiando sobre relaciones y funciones matemáticas.
¿Qué es una relación matemática?
Una relación es una regla de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos.
Ejemplo: supongamos un conjunto (A) formado por los diferentes contenedores para desechos y (B) formado
por los diferentes tipos de desechos sólidos que pueden ser contenidos en cada recipiente para tal fin.
 Conjunto A Conjunto B

Podemos interpretar A {a, b, c, d, e, f, g} siendo cada letra minúscula un contenedor (a) desechos en general,
(b) desechos orgánicos, (c) desechos de envases de vidrio, (d) desechos peligrosos como las pilas, baterías o
aceite de carros, (e) plástico y envases metálicos, (f) desechos de papel y (g) desechos hospitalarios
infecciosos.
Podemos interpretar B {1, 2, 2, 3, 3, 5, 8}, como el número de elementos o de distintos desechos sólidos de
cada grupo.
Recordemos que: los desechos se depositan en un contenedor especial para clasificarlos en varios subgrupos
o subconjuntos así:
Contenedor gris: desechos en general.
Contenedor naranja: desechos orgánicos.
Contenedor verde: los envases de vidrios.
Contenedor rojo: los desechos peligrosos como las pilas, baterías o aceite de carros.
Contenedor amarillo: plástico y envases metálicos.
Contenedor azul: papel
Contenedor rojo: hospitalarios infecciosos
 Por tanto, la relación que se establece es por número de desechos de un tipo, los cuales irán en un
contenedor específico. A esto le llamamos “Regla de correspondencia”.

Representaciones gráficas de las relaciones matemáticas

Los diagramas sagitales son gráficos para representar relaciones y consisten en curvas cerradas que relacionan
los elementos del conjunto de partida y conjunto de llegada mediante flechas, también permiten representar
relaciones binarias entre elementos de un conjunto.
Ejemplo:
Relación: “A es la mitad de B”

Diagrama tabular: como ya hemos visto en el punto anterior, cuando tenemos dos conjuntos, que se relacionan
entre sí, tenemos uno que se denomina conjunto de partida y el otro conjunto de llegada. Esta relación la
podemos representar por medio del Diagrama de Venn (sagital), con flechas indicando la correspondencia
entre los conjuntos o mediante un diagrama tabular el cual es una representación de la relación en un plano
cartesiano, usando los ejes x (horizontal) e y (vertical).

En el eje "x" se ubican los elementos del conjunto de partida y sobre el eje "y” los elementos del conjunto
de llegada. El diagrama quedará conformado por los puntos determinados por la relación dada.
Ejemplo

Representación en el plano cartesiano: los pares ordenados se pueden representar gráficamente por medio de
puntos en el plano cartesiano. Ejemplo: R = {(x, y) / y = 2 x + 1}
Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {1, 3, 5, 7, 9} y R la relación definida por la regla anterior identifiquemos los pares
ordenados que cumplen con ella.
Solución: los pares ordenados que pertenecen a la relación (que cumplen con y = 2x + 1) son:
R = {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9)}
Y la gráfica correspondiente es la siguiente:
La función: es una relación de conjunto donde hay correspondencia entre dos magnitudes, de manera que a
cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda (o ninguno), que llamamos. A la función
se le suele designar por f y a la imagen por f(x), siendo x la variable independiente.
A continuación, te invitamos a ver algunos casos particulares de funciones:

Función inyectiva: a cada elemento del primer conjunto le corresponde un elemento del segundo y puede
sobrar alguno del segundo conjunto:

Función sobreyectiva: a cada elemento del segundo conjunto le corresponde al menos un elemento del primero
o puede ser más de uno.

Función biyectiva: a cada elemento del primer conjunto le corresponde un elemento del segundo y viceversa,
por lo tanto, no se repiten. Se trata de una función inyectiva y sobreyectiva a la vez:
Te proponemos investigar otros ejemplos sobre relaciones y funciones, y cómo representarlas.

3° Período
Esta semana estaremos estudiando las inecuaciones.
Una inecuación es una desigualdad algebraica en la cual los conjuntos (miembros) se encuentran relacionados
por los signos mayor que (>), menor que (<), mayor igual que (≥) y menor igual que (≤).

A manera de ejemplo te presentamos algunos casos de inecuaciones:

Te preguntarás para qué se usan las inecuaciones en la vida diaria; piensa en las siguientes situaciones: Límites
de velocidad en la autopista, pagos mínimos en las tarjetas de crédito, el número de mensajes de texto que
puedes enviar desde tu celular cada mes, el tiempo que te toma llegar al trabajo. Todas estas situaciones
pueden ser representadas como desigualdades matemáticas. De hecho, usas pensamiento matemático
cuando consideras éstas situaciones cada día.

La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que verifica la inecuación. Se puede
expresar la solución de una inecuación mediante una representación gráfica o un intervalo:

Ejemplo 1:
Al resolver la inecuación

Observación: Fíjate que en este caso la solución no incluye al número 4

Intervalo:

Ejemplo 2:

Resolver la inecuación

Observación: Fíjate que en este caso la solución incluye al número 4

Intervalo:

Ejemplo 3:
Resolver la inecuación

Observación: Fíjate que en este caso la solución no incluye al número 4

Intervalo:
Ejemplo 4
Resolver la inecuación

Observación: Fíjate que en este caso la solución incluye al número 4

Intervalo:

Te proponemos seguir investigando sobre las inecuaciones y de otras de sus utilidades en la vida diaria.

4° Período
Esta semana estaremos haciendo una introducción al tema de las Funciones trigonométricas.
Primeramente, veremos qué son las razones trigonométricas básicas, las cuales podemos decir que son las
relaciones entre los lados del triángulo rectángulo y que sólo dependen de los ángulos de éste. Las razones
trigonométricas básicas son tres: seno, coseno y tangente. Por ejemplo, el coseno de un ángulo es la relación
entre el cateto contiguo (el que toca al ángulo) y la hipotenusa.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas a partir de los tres lados de un triángulo
rectángulo. Veamos estas relaciones:
Sea α uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo.
El seno del ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c).

El coseno se define como la razón entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c).

La tangente se define como la razón entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)

Observación: tengamos en cuenta que, si cambiamos de ángulo, entonces cambiarán los catetos: el opuesto
pasa a ser el contiguo (adyacente) y viceversa.
Una regla nemotécnica que puede ayudaros a recordar las fórmulas:
Seno - opuesto
Coseno – contiguo (adyacente).
Tangente = seno/coseno = opuesto/contiguo (adyacente)

Funciones trigonométricas: son aquellas establecidas con el fin de extender la definición de las razones
trigonométricas a todos los números reales y complejos. Estas usualmente incluyen términos que describen la
medición de ángulos y triángulos, tal como seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.

Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras
funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones
fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente; por
ejemplo, el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).
 FUNCIÓN ABREVIATURA
Seno Sen, Sin
Coseno cos
Tangente Tan, tg
Cotangente Ctg, (cot)
Secante sec
Cosecante Csc,

Las funciones trigonométricas tienen muchas aplicaciones en la vida diaria, por ejemplo:
Aplicaciones en la astronomía. El sistema de posicionamiento global (GPS), utiliza el principio matemático de
la triangulación, mediante mediciones muy precisas de la distancia, por medio del tiempo que tarda en llegar
la señal a los tres satélites, éstos pueden lograr la triangulación de la posición en cualquier punto de la Tierra.
Aplicaciones en la Medicina. El electrocardiograma es una representación gráfica de forma trigonométrica de
la variación del voltaje cardíaco. El corazón al latir, produce un cambio en la carga eléctrica de positiva a
negativa, entre la superficie exterior y la interior de este órgano.
Cuando se describe físicamente el proceso de carga de un camión, en el que se emplea un plano inclinado, se
describe el conjunto de fuerzas presentes en este sistema, de manera vectorial, con la ayuda de un plano
cartesiano, y finalmente pueden descomponerse en sus componentes rectangulares y resolverse a través de
la trigonometría.
Estas son algunas de las aplicaciones que podemos encontrar referidas a las funciones trigonométricas.
Te proponemos seguir investigando sobre las razones trigonométricas, las funciones trigonométricas, su
importancia y aplicaciones en la vida diaria.

5° Período
Esta semana estaremos comenzando el estudio sobre las cónicas, estas son las figuras geométricas que
aparecen cuando hacemos la intersección de un cono con un plano, según el ángulo de inclinación con
respecto a este, lo denotamos con la letra ß. En este sentido podemos encontrar las siguientes figuras: una
circunferencia, una elipse, una parábola o una hipérbola, de mayor a menor inclinación.
Una superficie cónica esta engendrada por el giro de una recta g, que llamamos generatriz, alrededor de otra
recta e, eje, con el cual se corta en un punto V, vértice.

 = la generatriz
 = el eje
 = el vértice
La Elipse

es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, que no sea paralelo
a la generatriz y que forme con el mismo un ángulo mayor que el que forman el eje y la generatriz.

La Circunferencia

es la sección producida por un plano perpendicular al eje. La circunferencia es un caso particular de elipse.
La parábola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, siendo
paralelo a la generatriz. La parábola es una curva abierta que se prolonga hasta el infinito.

La Hipérbola

es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, formando con él un
ángulo menor al que forman el eje y la generatriz, por lo que incide en las dos hojas de la superficie cónica.
Te proponemos seguir investigando sobre las cónicas y sus aplicaciones en la cotidianidad.
6° Período
Esta semana estaremos introduciéndonos al estudio de los sólidos de revolución.
Una superficie de revolución es aquella que se genera mediante la rotación de una curva plana, o generatriz,
alrededor de una recta directriz, llamada eje de rotación, la cual se halla en el mismo plano que la curva.
Ejemplos comunes de una superficie de revolución son:

Una superficie de revolución cilíndrica es generada por la rotación de una línea recta, paralela al eje de
rotación, alrededor del mismo; esta superficie determina un volumen denominado cilindro, que se denomina
sólido de revolución; la distancia entre el eje y la recta se denomina radio.

Una superficie de revolución cónica es generada por la rotación de una recta alrededor de un eje al cual
interseca en un punto, llamado vértice o ápice, de forma que el ángulo bajo el que la generatriz corta al eje es
constante; la superficie cónica delimita al volumen denominado cono.
Una superficie de revolución esférica está generada por la rotación de una semicircunferencia alrededor de su
diámetro; ésta encierra al sólido de revolución llamado esfera.

Una superficie de revolución toroidal está generada por la rotación de una circunferencia alrededor de un eje
que no la intersecta en ningún punto; esta superficie se denomina toro.

Te proponemos seguir investigando sobre las superficies cuadráticas y los sólidos de revolución.
Experiencias vividas (actividad de evaluación)
1er período:
Efectúa los siguientes planteamientos
Dados los siguientes conjuntos:
Conjuntos
A = {2, 4, 6} C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} E = { 4, 5, 6}
B = {1, 3, 5} D= {a, e, i, o, u} F = {9,10,11,12}

explique cuáles de ellos son subconjuntos, equipolentes y disyuntos con respectos a los demás:

2do período:

Efectúa los siguientes planteamientos

 Si A = {2, 4, 6, 8, 10} y B = {2, 6, 10, 14, 18} y R la relación definida por la regla y = 2x + 1
Hallar los pares ordenados que pertenecen a la relación.

3er período:

Halla el conjunto solución (intervalo y gráfica) de las siguientes inecuaciones:




 Investiga y explica qué son las inecuaciones de segundo grado.

4to período:

Resuelve los siguientes planteamientos

 Calcule los valores de las tres razones trigonométricas básicas del ángulo θ:
  Investiga qué son las razones y funciones trigonométricas inversas.
 Investiga las equivalencias entre funciones trigonométricas.

5to período:

Efectúa los siguientes planteamientos

 Investiga sobre la utilización de las cónicas en la cotidianidad.
 Realiza un dibujo representativo donde esté presente cada cónica.

6to período:

Efectúa los siguientes planteamientos

 Investiga y explica qué son las superficies cuadráticas y sólidos de revolución.
 Investiga al menos 3 ejemplos sobre la utilidad en la cotidianidad de los sólidos de revolución.

Orientaciones a la Familia:
Te recomendamos tomar en cuenta para la realización de sus estudios los siguientes aspectos:
• Tener paciencia y amor, contribuyendo de esta manera a que identifique sus debilidades y fortalezas
individuales.
• Sugerir posibles aliados que coadyuven en su proceso de enseñanza aprendizaje.
• Respetar su espacio para el estudio.
• Respetar el tiempo de estudio y el de sus otras obligaciones en el hogar.
Contenido interactivo
Para fortalecer tus conocimientos puedes apoyarte en los siguientes videos:

1er período:
Qué son conjuntos. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=KmcRMlv9_T4
2do período:
Relaciones y funciones. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=R_elfAczb20&t=64s
Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=-
9sJnBLJxKI
3er período:
Inecuaciones introducción. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=y9vDsarVxtg
4to período:
Razones trigonométricas. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=CRg5jQRj1Hg
5to período:
Qué y cuáles son las secciones cónicas. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=a26ErrkU_-M
6to período:
Cuerpos de revolución. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=kD5gz2k5IZQ

Materiales o recursos utilizados:

Cuadernos, textos, enciclopedias, hojas de reciclaje, lápices, regla, colores, sacapuntas, borrador,
computadora y otros que estén disponibles en el hogar.