Conjunto Universal y Vacio. Diafragma de VENN - EULER

Ao del buen servicio al ciudadano
UNIVERSIDAD CIENTFICA DEL PER
FACULTAD DE EDUCACIN Y HUMANIDADES
Trabajo Monogrfico
Conjunto universal y vaco. Diafragma
de VENN-EULER
AUTORES: -Daz Vasquez Ebertn Abdias

-Ugarte Rivas Alondra Samantha
DOCENTE: Msc. Ing. Rodrguez Luna Marco Antonio
ASIGNATURA: Matemtica
NIVEL: I
CICLO: I
FECHA DE ENTREGA: 27 de junio
Iquitos-Per
2017
NDICE
-Agradecimiento3
-Introduccin4
-Contenido5
Conjunto Universo y vaco......................................................................................5
Diafragma de VENN................................................................................................8
Diafragma de EULER..............................................................................................15
-Referencias Bibliogrficas............16
AGRADECIMIENTO
A nuestros padres por inculcarnos el amor hacia el estudio y el saber,
por el apoyo incondicional y a nuestros maestros que da a da forjan los
cimientos de nuestra formacin acadmica.
INTRODUCCIN
Se denomina conjunto universal, al conjunto formado por todos los
elementos del tema de referencia.
Se denomina conjunto vaco, al conjunto que no tiene ningn elemento.

A pesar de no tener elementos se le considera como conjunto.
Los diagramas de VENN son esquemas usados en la teora de conjuntos,

tema de inters en matemticas, lgica de clases y razonamiento
diagramtico. Estos diagramas muestran colecciones (conjuntos) de
cosas (elementos) por medio de lneas cerradas. La lnea cerrada
exterior abarca a todos los elementos bajo consideracin, el conjunto
universal U.
Un diagrama de EULER es una manera diagramtica de representar a

los conjuntos y sus relaciones. Son una representacin moderna de los
crculos de EULER, los cuales deben su nombre a su creador, Leonard
Euler.
Los diagramas de EULER normalmente consisten de simples curvas

cerradas en el plano que son usadas para describir conjuntos. Las
relaciones espaciales entre las curvas (superposicin, contencin o
ninguno) corresponden, respectivamente, a relaciones
de interseccin, subconjunto y disjuntos, de la teora de conjuntos.
Conjunto universo y vaco
En cualquier aplicacin de la teora de conjuntos, los elementos de todos los
conjuntos en consideracin pertenecen a un gran conjunto fijo llamado conjunto
universal. Lo notaremos por U.
Ejemplo : Para cada uno de los conjuntos siguientes, elegir un conjunto universal y
un predicado apropiados para definirlo.
El conjunto de los enteros entre 0 y 100.

(b) El conjunto de los enteros positivos impares.
(c) El conjunto de los mltiplos de 10.
Solucin
(a) A = {x : x 2 Z ^ x > 0 ^ x < 100} o A = {x 2 Z : 0 < x < 100}
(b) B = {x : 9y 2 Z+, x = 2y 1} o B = {x : x = 2y 1, y 2 Z+}
(c) C = {x : 9y 2 Z, x = 10y} o C = {x : x = 10y, y 2 Z}
Conjunto Universo:
Se denomina as al conjunto formado por todos los elementos del tema de
referencia.
Ejemplo: U={x/x es un animal}
A={x/x es un mamfero}
B={x/x es un reptil}
Conjunto vaco:
Se denomina as al conjunto que no tiene ningn elemento.
A pesar de no tener elementos se le considera como conjunto y se representa de
la siguiente forma:
Ejemplos: Conjunto de los meses del ao que terminan en a.
Conjunto de nmeros impares mltiplos de 2.
Conjunto unitario
Es el conjunto que tiene un solo elemento.
Ejemplo: Conjunto de los meses del ao que tiene menos de treinta das,
solamente febrero pertenece a dicho conjunto.
Conjuntos disjuntos.
Se llaman conjuntos disjuntos aquellos que no tienen ningn elemento

que pertenezca a ambos al mismo tiempo.
Ejemplo: Los dos conjuntos siguientes:
{x/x es un nmero natural}
{x/x es un da de la semana}
Son disjuntos ya que no tienen ningn elemento comn.
Conjunto de las partes de un conjunto
Se llama as al conjunto formado por todos los subconjuntos posibles de

un conjunto dado. Observamos que en l los elementos son, a su vez,
conjuntos. Se representan por p(A).
Ejemplo: Dado el conjunto: A={a,b,c,d.}

Formemos todos sus subconjuntos: , M={a}, N={b}, P={c}, Q={d}, R={a,c},
T={a,d}, U={b,c}, V={b,d}, X={c,d}, Y={a,b,c}, Z={a,b,d}, L={b,c,d}. El
conjunto de las partes de A, es decir (A), ser:
p(A) = {{ }, M, N, P, Q, R, S, T, U, V, X, Y, Z, L, A}
Cundo dos conjuntos son iguales?
Dos conjuntos son iguales si, y solamente si, todos los elementos del
primero son iguales a los elementos del segundo y todo elemento del
segundo es elemento del primero.
Ejemplo: Los dos siguientes conjuntos: {x/x es un nmero natural} {x/x es

un nmero entero positivo} son iguales, ya que todo nmero entero
positivo es un nmero natural.
DIAFRAGMA DE VENN
Son esquemas usados en la teora de conjuntos, tema de inters

en matemticas, lgica de clases y razonamiento diagramtico. Estos
diagramas muestran colecciones (conjuntos) de cosas (elementos) por
medio de lneas cerradas. La lnea cerrada exterior abarca a todos los
elementos bajo consideracin, el conjunto universal U.
Los diagramas de Venn fueron ideados hacia 1880 por John Venn, es
posible representar las relaciones de interseccin, inclusin y disyuncin
sin cambiar la posicin relativa de los conjuntos
Interseccin
Dado que los conjuntos pueden tener elementos comunes, las regiones
encerradas por sus lneas lmite se superponen. El conjunto de los
elementos que pertenecen simultneamente a otros dos es
la interseccin de ambos.
A = {1; 2; 3; 4; 6; 12}
B = {1; 3; 5; 15}
U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16}
A = {x | x es divisor natural de 12}

B = {x | x es divisor natural de 15}
U = {x | x es natural menor o igual que 16}
Inclusin
Si todos los elementos de un conjunto son parte de los elementos de

otro, se dice que el primero es un subconjunto del segundo o que est
incluido en el segundo. En los diagramas de Venn, todas las regiones de
superposicin posibles deben ser representadas. Y, cuando hay regiones
que no contienen elementos (regiones vacas), la situacin se indica
anulndolas (con un color de fondo distinto).
A = {1; 2; 3; 4; 6; 12}
B = {1; 2; 3; 6}
U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12}
A = {x | x es divisor natural de 12}

B = {x | x es divisor natural de 6}
Disyuncin
Cuando los conjuntos no tienen elementos comunes, la regin de

superposicin queda vaca.
A = {2; 4; 6; 8}
B = {1; 3; 5; 7; 9}
U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}
A = {x | x es par y de una cifra}

B = {x | x es impar y de una cifra}
A la izquierda de los diagramas, las definiciones de los conjuntos por

enumeracin y por comprensin.
ORIGENES E HISTORIA
Los diagramas de Venn tienen el nombre de su creador, John Venn,
matemtico y filsofo britnico. Estudiante y ms tarde profesor del
Caius College de la Universidad de Cambridge, Venn desarroll toda su
produccin intelectual en ese mbito.
Los diagramas que hoy conocemos fueron presentados en julio de 1880

en el trabajo titulado De la representacin mecnica y diagramtica de
proposiciones y razonamientos, que tuvo gran repercusin en el mundo
de la lgica formal. Los diagramas de Venn tienen varios antecedentes.
La primera representacin grfica de deducciones lgicas y, en
particular, de silogismos se atribuye comnmente a Gottfried Leibniz.
Variantes de la misma fueron empleadas luego por George
Boole y Augustus De Morgan, pero fue el gran matemtico
suizo Leonhard Euler quien primero introdujo una notacin clara y
sencilla.2 El siguiente diagrama muestra de otro modo la relacin de
inclusin del ejemplo dado en la introduccin.
diagrama de Euler
Los diagramas de Euler se distinguen de los de Venn en dos aspectos:
en ellos no aparecen las regiones vacas y

el conjunto universal no se representa.
Diagramas de Venn de enunciados
Como se mostr en la introduccin, los diagramas de Venn pueden ser

definidos por comunicaciones de sus elementos o por indicacin de una
caracterstica comn que los identifica unvocamente. De ah que haya
dos tipos de diagramas de Venn: los que muestran elementos reunidos
por lneas cerradas y los que simplemente muestran enunciados o
conceptos. Estos ltimos son ms interesantes porque permiten operar
de manera abstracta y llegar a conclusiones ms generales.
Los siguientes diagramas del segundo tipo muestran los resultados de

cuatro operaciones bsicas con conjuntos usando el cdigo del
semforo de dos colores.
Diagramas de Venn y cantidad de definiciones
Los siguientes diagramas muestran la cantidad de regiones en que

queda dividido el conjunto universal con una, dos y tres definiciones.
1 conjunto (1 color) 2 conjuntos (3 colores) 3 conjuntos (7 colores)
Entre los colores se cuenta el gris, que en todos los casos corresponde a
los elementos que no caen en ninguna definicin.
Diagrama de un conjunto
Tiene slo 2 regiones: la de los elementos que responden a la

definicin A y la de los que se oponen a ella.
Diagrama de dos conjuntos
Tiene 4 regiones. Considrese el siguiente ejemplo: el conjunto A es el de

los animales bpedos y el conjunto B es el de los animales que pueden
volar. El rea donde las dos regiones se superponen contiene por lo
tanto a todos los animales que, al mismo tiempo, son bpedos y pueden
volar. En resumen:
A (regiones amarilla y verde): animales bpedos,
B (regiones azul y verde): animales que pueden volar,
A y B (regin verde): animales bpedos que pueden volar,
A y no B (regin amarilla): animales bpedos que no pueden volar,
no A y B (regin azul): animales no bpedos (que no tienen dos patas)

que pueden volar,
no A y no B (regin gris): animales no bpedos que no pueden volar,
A o B (regiones amarilla, azul y verde): animales bpedos o que pueden

volar.
Los pinginos, que tienen dos patas y no pueden volar, estn en la

regin amarilla; los mosquitos, que tienen seis patas y pueden volar,
estn en la regin azul; los loros, que tienen dos patas y pueden volar,
estn en la regin verde; las ballenas, que no tienen patas ni pueden
volar, estn en la regin gris.
Diagrama de tres conjuntos
Tienen 8 regiones. Los diagramas de tres conjuntos fueron los ms usados

por Venn en toda su obra. Un ejemplo de aplicacin podra ser el
siguiente: dado un grupo de personas, A es el conjunto de las de sexo
masculino, B el conjunto de las mayores de 18 aos y C el conjunto de
las que trabajan. De este modo, la regin verde sera la de las personas
de sexo masculino, mayores de 18 aos, que no trabajan.
Diagramas de ms de tres conjuntos
La dificultad de representar ms de tres conjuntos mediante diagramas

de Venn es evidente. Venn senta aficin por los diagramas de ms de
tres conjuntos, a los que defina como "figuras simtricas, elegantes en s
mismas". A lo largo de su vida, dise varias representaciones usando
elipses, y dej indicaciones para la construccin de diagramas con
cualquier cantidad de curvas, partiendo del diagrama de tres crculos.
Diagramas de Edwards
Anthony William Fairbank Edwards propuso diagramas para ms de tres

conjuntos, proyectando el diagrama sobre una esfera. Tres conjuntos
pueden ser representados fcilmente tomando tres hemisferios en
ngulos rectos (x = 0, y = 0 y z = 0). Un cuarto conjunto puede ser
representado tomando una curva similar a la juntura de una pelota de
tenis que suba y baje alrededor del ecuador. Los conjuntos resultantes
pueden ser proyectados de nuevo sobre el plano para mostrar
diagramas de tipo engranaje, con cantidades cada vez mayores de
dientes. Edwards ide estos diagramas mientras diseaba la ventana
acristalada en memoria de Venn que hoy adorna el comedor del Caius
College.
3 conjuntos 4 conjuntos
5 conjuntos 6 conjuntos
DIAFRAGMA DE EULER
Un diagrama de Euler es una manera diagramtica de representar a

los conjuntos y sus relaciones. Son una representacin moderna de los
crculos de Euler, los cuales deben su nombre a su creador, Leonhard
Euler.
Los diagramas de Euler normalmente consisten de simples curvas

cerradas en el plano que son usadas para describir conjuntos. Las
relaciones espaciales entre las curvas (superposicin, contencin o
ninguno) corresponden, respectivamente, a relaciones
de interseccin, subconjunto y disjuntes, de la teora de conjuntos.
Estos diagramas son una generalizacin del bien conocido diagrama de

Venn, el cual representa todas las posibles intersecciones entre los
conjuntos presentes dados.
A la interseccin del interior de una coleccin de curvas con el exterior

del resto de curvas se le llama zona. As, dado un conjunto de curvas, en
los diagramas de Venn todas las zonas deben estar presentes, pero no
as en un diagrama de Euler, donde algunas zonas podran no estar.
En el sentido de la lgica, uno puede usar la semntica de un modelo

terico para interpretar los diagramas de Euler dentro de un dominio de
discurso. En el ejemplo de la figura, el diagrama de Euler representa que
los conjuntos Animal y Mineral son disjuntos, porque las curvas
correspondientes son disjuntas, y tambin que el conjunto Four Legs es
un subconjunto del conjunto Animal. El diagrama de Venn que usa las
mismas categoras Animal, Mineral y Four Legs no encapsula esta
informacin. Tradicionalmente, este vaco de un conjunto en los
diagramas de Venn es descrito por un sombreado o achurado de la
regin. Los diagramas de Euler, en cambio, representan vaco ya sea
por el sombreado o por la omisin de una de las zonas.
A menudo se impone un conjunto de condiciones bien formadas, que
corresponden a restricciones topolgicas o geomtricas impuestas a la
estructura del diagrama. Por ejemplo, se puede forzar la conectitud de
las zonas, o prohibir la concurrencia de curvas o puntos mltiples como
forma de representar intersecciones tangenciales de curvas. En el
diagrama de abajo, se observa la transformacin secuencial de
pequeos diagramas de Venn en diagramas de Euler; algunos de los
diagramas intermedios tienen concurrencia de curvas. Sin embargo,
esta secuencia de transformaciones desde un diagrama de Venn con
sombreado hasta un diagrama de Euler sin sombreado, no es siempre
posible. En efecto, existen ejemplos de diagramas de Euler con 9
conjuntos que no son diagramables usando curvas cerradas simples y
sin la creacin de zonas no deseadas, puesto que ellos tendran que
tener grafos duales no plantares.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
https://es.wikipedia.org/wiki/Diagrama_de_Venn
https://es.wikipedia.org/wiki/Diagrama_de_Euler
https://sites.google.com/site/cursomatematicasdiscretas/2-2-conjunto-universo-y-vacio
https://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_universal

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UNIVERSIDAD CIENTFICA DEL PER

FACULTAD DE EDUCACIN Y HUMANIDADES

AUTORES: -Daz Vasquez Ebertn Abdias

DOCENTE: Msc. Ing. Rodrguez Luna Marco Antonio

FECHA DE ENTREGA: 27 de junio

Se denomina conjunto vaco, al conjunto que no tiene ningn elemento.

Los diagramas de VENN son esquemas usados en la teora de conjuntos,

Un diagrama de EULER es una manera diagramtica de representar a

Los diagramas de EULER normalmente consisten de simples curvas

En cualquier aplicacin de la teora de conjuntos, los elementos de todos los

conjuntos en consideracin pertenecen a un gran conjunto fijo llamado conjunto

universal. Lo notaremos por U.

un predicado apropiados para definirlo.

El conjunto de los enteros entre 0 y 100.

(a) A = {x : x 2 Z ^ x > 0 ^ x < 100} o A = {x 2 Z : 0 < x < 100}

(b) B = {x : 9y 2 Z+, x = 2y 1} o B = {x : x = 2y 1, y 2 Z+}

(c) C = {x : 9y 2 Z, x = 10y} o C = {x : x = 10y, y 2 Z}

Se denomina as al conjunto formado por todos los elementos del tema de

Ejemplo: U={x/x es un animal}

Se denomina as al conjunto que no tiene ningn elemento.

A pesar de no tener elementos se le considera como conjunto y se representa de

Ejemplos: Conjunto de los meses del ao que terminan en a.

Conjunto de nmeros impares mltiplos de 2.

Es el conjunto que tiene un solo elemento.

Se llaman conjuntos disjuntos aquellos que no tienen ningn elemento

Ejemplo: Los dos conjuntos siguientes:

{x/x es un nmero natural}

Son disjuntos ya que no tienen ningn elemento comn.

Conjunto de las partes de un conjunto

Se llama as al conjunto formado por todos los subconjuntos posibles de

Ejemplo: Dado el conjunto: A={a,b,c,d.}

Cundo dos conjuntos son iguales?

Ejemplo: Los dos siguientes conjuntos: {x/x es un nmero natural} {x/x es

Son esquemas usados en la teora de conjuntos, tema de inters

A = {x | x es divisor natural de 12}

Si todos los elementos de un conjunto son parte de los elementos de

A = {x | x es divisor natural de 12}

Cuando los conjuntos no tienen elementos comunes, la regin de

A = {x | x es par y de una cifra}

A la izquierda de los diagramas, las definiciones de los conjuntos por

Los diagramas que hoy conocemos fueron presentados en julio de 1880

Los diagramas de Euler se distinguen de los de Venn en dos aspectos:

en ellos no aparecen las regiones vacas y

Como se mostr en la introduccin, los diagramas de Venn pueden ser

Los siguientes diagramas del segundo tipo muestran los resultados de

Diagramas de Venn y cantidad de definiciones

Los siguientes diagramas muestran la cantidad de regiones en que

Tiene slo 2 regiones: la de los elementos que responden a la

Diagrama de dos conjuntos

Tiene 4 regiones. Considrese el siguiente ejemplo: el conjunto A es el de

A (regiones amarilla y verde): animales bpedos,

B (regiones azul y verde): animales que pueden volar,

A y B (regin verde): animales bpedos que pueden volar,

A y no B (regin amarilla): animales bpedos que no pueden volar,

no A y B (regin azul): animales no bpedos (que no tienen dos patas)

no A y no B (regin gris): animales no bpedos que no pueden volar,

A o B (regiones amarilla, azul y verde): animales bpedos o que pueden