Investigación I – Teoría de los Conjuntos

Realizado Por: Engel Castillo Lorenzo (2022-2136)

1. Resolución de problemas de conjuntos

I. Como encontrar la unión o la intersección de dos conjuntos

 La unión de dos conjuntos es un nuevo conjunto que incluye todos los elementos de ambos
conjuntos originales. En otras palabras, si tenemos dos conjuntos A y B, su unión será el conjunto
C que incluirá a todos los elementos de A y B, sin duplicados.

La notación matemática para la unión de dos conjuntos es U y si quisiéramos utilizarlo en la

unión de dos conjuntos lo utilizaríamos de la siguiente manera: A U B.

Ejemplo:

Supongamos que tenemos dos conjuntos: A = {1, 2, 3} y B = {2, 3, 4}. La unión de estos dos
conjuntos es el conjunto de elementos que se encuentran en A o en B o en ambos. Por lo
tanto, la unión de A y B es: A ∪ B = {1, 2, 3, 4}.

 La intersección de dos conjuntos se representa con el símbolo ∩ y significa el conjunto de

elementos que pertenecen a ambos conjuntos.

Un ejemplo sencillo es el siguiente:

Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {3, 4, 5, 6}. La intersección de A y B es el conjunto de elementos que

están en ambos A y B, es decir:

A ∩ B = {3, 4}

Esto significa que los números 3 y 4 son comunes en ambos conjuntos A y B.

II. Resolver problemas matemáticos que involucren conjuntos.

 Dado los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {2, 3, 4, 5}, encuentre A ∩ B.

Paso 1: Escribir los conjuntos A y B:

A = {1, 2, 3}

B = {2, 3, 4, 5}

Paso 2: Identificar los elementos en común entre A y B:

A ∩ B = {2, 3}
Por lo tanto, la intersección de A y B es {2, 3}.

 Dado los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {4, 5, 6}, encuentre A ∪ B.

Paso 1: Escribir los conjuntos A y B:

A = {1, 2, 3}

B = {4, 5, 6}

Paso 2: Identificar todos los elementos en A y B:

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Por lo tanto, la unión de A y B es {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

 Sean C = {1, 2, 3, 4, 5} y D = {4, 5, 6, 7, 8}, ¿Cuál es el número de elementos de C ∩ D?

Paso 1: Escribir los conjuntos C y D:

C = {1, 2, 3, 4, 5}

D = {4, 5, 6, 7, 8}

Paso 2: Identificar los elementos en común entre C y D:

C ∩ D = {4, 5}

Paso 3: Contar el número de elementos en el conjunto resultante:

|C ∩ D| = 2

Por lo tanto, el número de elementos de C ∩ D es 2.

 Sean E = {1, 2, 3} y F = {2, 3, 4, 5, 6}, ¿Cuál es el número de elementos de E ∪ F?

Paso 1: Escribir los conjuntos E y F:

E = {1, 2, 3}

F = {2, 3, 4, 5, 6}

Paso 2: Identificar todos los elementos en E y F:

E ∪ F = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Paso 3: Contar el número de elementos en el conjunto resultante:

E∪F=6
 Por lo tanto, el número de elementos de E ∪ F es 6.

2. Definición de conjuntos

I. Definir conjuntos específicos y describir sus propiedades.

1) Conjunto de números naturales (N): Este conjunto incluye todos los números positivos
enteros, incluyendo 1. Es un conjunto infinito y cumple con las propiedades de la adición y la
multiplicación.

2) Conjunto de números enteros (Z): Este conjunto incluye todos los números enteros, tanto
positivos como negativos. Es un conjunto infinito y cumple con las propiedades de la adición y
la multiplicación.

3) Conjunto de números racionales (Q): Este conjunto incluye todos los números que pueden
escribirse como una fracción de dos números enteros. Es un conjunto infinito y denso, lo que
significa que entre cualquier pareja de números racionales hay otro número racional.

4) Conjunto de números reales (R): Este conjunto incluye todos los números reales, incluyendo
los números racionales y los números irracionales. Es un conjunto infinito y denso, lo que
significa que entre cualquier pareja de números reales hay otro número real.

5) Conjunto de números complejos (C): Este conjunto incluye todos los números complejos,
que son aquellos que tienen una parte real y una parte imaginaria. Es un conjunto infinito y
cumple con las propiedades de la adición, multiplicación y división.

6) Conjunto de números primos (P): Este conjunto incluye todos los números primos, que son
aquellos números naturales mayores que 1 que solo son divisibles por 1 y por sí mismos. Es un
conjunto infinito y no cumple con las propiedades de la adición y la multiplicación de otros
conjuntos de números.

7) Conjunto de vectores (V): Este conjunto incluye todos los vectores matemáticos, que son una
representación gráfica de magnitud y dirección. Cumple con las propiedades de la adición y la
multiplicación por escalares.

8) Conjunto de funciones (F): Este conjunto incluye todas las funciones matemáticas, que
asocian a cada elemento de un conjunto con un único elemento de otro conjunto. Cumple con
las propiedades de la composición y la inversión.
 9) Conjunto de puntos en un plano (R^2): Este conjunto incluye todos los puntos en un plano
bidimensional, que se pueden describir mediante un par de coordenadas. Cumple con las
propiedades de la adición y la multiplicación por escalares.

3. Análisis de relaciones entre conjuntos

Identificar las relaciones de inclusión o igualdad entre dos o más conjuntos.

1) El símbolo "⊆" significa "es subconjunto de" o "está incluido en". Por ejemplo, si A y B son dos
conjuntos, se puede escribir A ⊆ B si todos los elementos de A también están en B.

2) El símbolo "⊇" significa "contiene a" o "es un superconjunto de". Por ejemplo, si A y B son dos
conjuntos, se puede escribir A ⊇ B si todos los elementos de B también están en A.

3) El símbolo "=" significa "es igual a". Por ejemplo, si A y B son dos conjuntos, se puede escribir
A = B si A y B tienen exactamente los mismos elementos.

4. Aplicaciones de la teoría de los conjuntos

aplicar los conceptos y técnicas de la teoría de los conjuntos a problemas en otros campos,
como la informática, la economía y la ciencia de los datos.

Supongamos que, en un mercado ficticio de refrescos, solamente existen tres marcas principales:
Coca-Cola, Pepsi y Dr. Pepper. Cada marca puede ser considerada como un conjunto, y el mercado de
refrescos como un conjunto más grande que incluye a todas las marcas.

Podemos utilizar el concepto de subconjunto para describir las relaciones de inclusión entre las
marcas de refrescos. Por ejemplo, podemos decir que Coca-Cola es un subconjunto de la estructura
de mercado de refrescos. También podemos utilizar el concepto de unión para describir cómo dos o
más marcas pueden combinarse para formar una estructura de mercado más amplia. Por ejemplo,
podemos decir que la unión de Coca-Cola y Pepsi es un subconjunto de la estructura de mercado de
refrescos.

Este ejemplo de la estructura de un mercado ficticio puede ser útil para describir la concentración de
la industria y la presencia de monopolios u oligopolios. Por ejemplo, si la unión de Coca-Cola y Pepsi
es muy grande en comparación con la tercera marca, podemos concluir que existe un oligopolio en el
mercado de refrescos.
 5. Investigación matemática

Explora nuevos conceptos y teoremas en la teoría de los conjuntos y contribuir al

avance de la misma.
Con el tiempo con el que dispongo, el hecho de que aun soy un novato en la teoría de los conjuntos
y el que un no tengo absolutamente todos los conceptos de dicha teoría 100% claros, no sabría
exactamente qué cosas explotar y investigar para poder contribuir a dicha teoría.

6. Modelado matemático

utilizar la teoría de los conjuntos para modelar y resolver problemas en diferentes

áreas, como la lógica, la teoría de grafos y la teoría de la probabilidad.
En el caso teoría de la probabilidad, la teoría de los conjuntos juega un papel importante en la
modelación de eventos y en la representación de la información.

Por ejemplo, para modelar un experimento aleatorio, se puede utilizar un espacio muestral, que es un
conjunto que contiene todos los posibles resultados del experimento. Cada uno de estos resultados
se considera un evento y se puede representar mediante un subconjunto del espacio muestral.

La probabilidad de un evento se puede calcular utilizando la fórmula P(A) = n(A) / n(E), donde A es el
evento en cuestión, n(A) es el número de resultados favorables para el evento A y n(E) es el número
total de posibles resultados en el espacio muestral.

P(A): Es la probabilidad del evento A. Es un número entre 0 y 1 que representa la medida de la

posibilidad de que el evento A ocurra.

n(A): Es el número de resultados favorables para el evento A. Este número representa el número de
maneras en que se puede obtener un resultado positivo para el evento A.

n(E): Es el número total de posibles resultados en el espacio muestral. Este número representa el
tamaño total de la población de resultados posibles.

Además, la teoría de los conjuntos también se utiliza para describir relaciones entre eventos y para
calcular probabilidades compuestas. Por ejemplo, se puede utilizar la unión de conjuntos para
describir un evento que consiste en la ocurrencia de al menos uno de varios eventos individuales, y se
puede utilizar la intersección de conjuntos para describir un evento que consiste en la ocurrencia
simultánea de varios eventos individuales.

En resumen, la teoría de los conjuntos es una herramienta valiosa para modelar y resolver problemas
en la teoría de la probabilidad, ya que permite una representación clara y concisa de la información y
una forma eficiente de calcular probabilidades.

7. Desarrollo de algoritmos

diseñar algoritmos que utilicen operaciones y conceptos de la teoría de los

conjuntos para resolver problemas específicos.

1) En una escuela secundaria, hay 1200 estudiantes. De ellos, 400 estudian música y 480 estudian
arte. ¿Cuántos estudian solo una de las dos materias?

2) En una universidad, se llevó un registro de las asignaturas matriculadas por los estudiantes. Se
encontró que 500 estudiantes matricularon matemáticas, 400 matricularon física y 200
matricularon ambas. ¿Cuántos estudiantes matricularon solo una de las dos materias?
3) En un club deportivo, se llevó un registro de los deportes practicados por los socios. Se
encontró que 800 socios practican tenis, 600 practican natación y 200 practican ambos
deportes. ¿Cuántos socios practican solo uno de los dos deportes?