Tema 42

SISTEMA DIÉDRICO. PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD. ÁNGULOS Y

DISTANCIAS.

PARALELISMO.

Dos rectas paralelas en el espacio, sus proyecciones diédricas son también paralelas.

Planos paralelos en el espacio, poseen trazas paralelas en sus proyecciones diédricas.

Una recta y un plano son paralelos, cuando dicha recta es paralela al menos a una de
las contenidas en el plano.

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PERPENDICULARIDAD.

Casos:

1. Dos rectas perpendiculares entre sí en el espacio, cuando una de ellas es paralela a un

plano dado (P), las proyecciones de ambas sobre ese plano son perpendiculares.

2. Toda recta perpendicular a un plano, lo es a todas las rectas pertenecientes al mismo.

3. Si una recta (R) es perpendicular a un plano (Q), lo es a todas las rectas pertenecientes
al plano, y a la traza del plano Q, que es una de ellas.

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DISTANCIAS.

Distancia entre dos Puntos.

Generalidades.

La distancia es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, donde un cateto es la unión de

las proyecciones de los puntos dados (A y B) y el otro cateto es la diferencia de distancias o
de cotas, según el plano auxiliar utilizado.

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Distancia de un Punto a un Plano.

Planteamiento.

Solución Espacio.

Diédrica.

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Distancia de un Punto a una Recta.

Planteamiento.

Solución Espacio.

Diédrica.

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Distancia entre Rectas Paralelas.

Planteamiento.

Solución Espacio.

Diédrica.

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Distancia entre Planos Paralelos.

Planteamiento.

Solución Espacio.

Diédrica.

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Mínima Distancia entre dos Rectas que se Cruzan.

Operaciones

1. Por un punto auxiliar de la recta R, trazamos una recta paralela a S. (Punto elegido A).
2. La recta auxiliar determinada, la denominamos T.
3. Las rectas R y T, determinan el plano P, paralelo a la recta R.
4. Por un punto auxiliar de la recta S (B ), trazamos una recta perpendicular (M) al plano P.
5. El punto de intersección de la recta M con el plano P, es el punto C.
6. Desde el punto C, se traza una paralela a la recta S, y encuentra a la recta R en el punto
E.
7. Desde el punto E, se traza una perpendicular al plano P, y encuentra en el punto F a la
recta S.
8. La distancia viene marcada por E–F.
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ÁNGULOS.

Generalidades:

 Dos rectas que se cruzan ortogonalmente, el ángulo que forman es de 90º.

 Cuando determinamos un ángulo, salvo excepción, se elige el ángulo agudo.

 El ángulo contenido en uno de los planos de proyección se encuentra en verdadera

magnitud.

 La suma de los ángulos que forma una recta con los planos de proyección, no puede
exceder de los 90º.

 La suma de los ángulos que un plano forma con los de proyección, ha de estar
comprendido entre los 90º y los 180º.

Ángulos entre Rectas.

1. Las rectas R y S, se cortan en el punto A y determinan un plano oblicuo. La verdadera

medida se logra abatiendo dicho plano.

2. Las rectas se cortan y están contenidas en el plano, por lo tanto la medida es real.

3. Las rectas R y S se cruzan. Para resolver el ángulo que forman se elige un punto A,
arbitrario; se trazan paralelas a las rectas desde dicho punto, quedan en la posición del
primer caso.

4. Dos rectas se cruzan; una de ellas corta al plano y la otra está contenida. El valor de
dicho ángulo se logra trazando por un punto arbitrario de la recta que corta al plano una
paralela a la recta contenida.

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Ángulo entre Rectas.

1. Angulo que forman las rectas R y S.

Problema realizado por abatimiento del plano que determinan ambas rectas.

Operaciones:

1) Determinar el plano P.

2) Abatir sobre la charnela horizontal o vertical. En este caso se eligió la charnela

horizontal.

3) Las trazas verticales de las rectas R y S, "acompañan" a la traza vertical del plano.

4) Las trazas horizontales de las rectas R y S, permanecen en el mismo sitio, es decir,

en la traza horizontal del plano P.

5) El ángulo A, queda determinado en su auténtico valor en el plano abatido.

6) A continuación se traza la bisectriz del ángulo A.

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2. Angulo que forman las rectas R y S.

Problemas realizados por abatimiento directo del vértice A del ángulo formado. En el
primer caso, por abatimiento sobre la charnela horizontal y en el segundo caso por
abatimiento sobre la charnela vertical.

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Ángulo de Recta con Plano.

La solución viene dada por el ángulo que forma la recta con su proyección sobre el
plano.

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Ángulo que Forma una Recta con los Planos de Proyección.

 Son los ángulos formados por las trazas de la recta con los planos vertical y horizontal.

 Si la recta es oblicua (caso más frecuente), forma dos ángulos: uno con el plano
horizontal y otro con el vertical.

 Se puede conseguir la solución por abatimiento o por giros.

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Ángulos de un Plano con los de Proyección.

El valor de los ángulos de planos proyectantes, está definido por las trazas
correspondientes.

El valor de los planos paralelos al horizontal o al vertical, será siempre de 90.

Para calcular el ángulo formado por un plano oblicuo, nos auxiliamos de las rectas de
máxima pendiente o de máxima inclinación, procediéndose como en el caso general del
ángulo formado por una recta oblicua.

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Ángulo que Forman dos Planos.

 Cuando los planos son proyectantes del mismo signo, el ángulo viene definido por las
trazas correspondientes.

 El caso más frecuente que se estudia es el formado por dos planos oblicuos, aunque el
procedimiento se puede aplicar a cualquier caso que se nos presente.

Diédrica.

1. Hallar la recta de intersección...

2. Por un punto auxiliar A, trazar un plano T, perpendicular a la recta de intersección.
3. Calcular las rectas de intersección del plano T, con al plano P (recta R) y con el plano Q
(recta S).
4. Resolver por el método conocido el ángulo formado entre dos rectas.

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