Tamaño de Muestra Eiat53-5

TAMAÑO DE MUESTRA
Hasta el momento se ha venido considerando el tamaño de la muestra como

conocido. Para determinarlo hay que identificar las siguientes componentes:
VARIANAZA 𝜎 2 : Indica el grado de variabilidad que presentan las unidades

poblacionales, mientras más grande mayor será el tamaño de la muestra. El valor
de la varianza supuestamente se conoce, en caso contrario se debe estimar a
través de una investigación preliminar.
2
∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 𝑛𝑖 2
∑ 𝑥𝑖2 𝑛𝑖 − 𝑛 𝑥̅ 2 2
𝑛 ∑ 𝑥𝑖2 𝑛𝑖 − (∑ 𝑥𝑖 𝑛𝑖 )2
𝑆 = ; 𝑆 = ;𝑆 =
𝑛−1 𝑛−1 𝑛(𝑛 − 1)
Cuando se trata de proporciones.
𝜎𝑝2 = 𝑃𝑄 se tiene por costumbre tomar P=0.5 en este caso se obtiene el
máximo valor posible de n.
NIVEL DE CONFIANZA 1-𝛼 : Tiene relación directa con el tamaño de la

muestra, es decir a mayor nivel de confianza mayor debe ser el tamaño de la
muestra. Los valores de 𝑍 = 𝑍(1−𝛼⁄ ) se obtienen mediante el uso de las tablas
2
o Excel. El nivel lo fija el investigador de acuerdo con su experiencia.
PRECISION DE LA INVESTIGACION: Corresponde al margen de error que

el investigador fija de acuerdo al conocimiento que tenga sobre el parámetro
que desea estimar. Se le conoce como error de muestreo.
𝜎 𝜎 𝑁−𝑛
𝐸=𝑍 ; 𝐸=𝑍 √
√𝑛 √𝑛 𝑁 − 1
El tamaño de la muestra depende del comportamiento de sus cuatro
componentes: El grado de la variabilidad de los datos, el nivel de confianza, el
margen de error establecido, el tamaño de la población.
Las nuestras se clasifican en aleatorias (todos los elementos tienen la misma
posibilidad de ser seleccionados) y no aleatorias (las unidades se seleccionan en
forma caprichosa, generalmente por conveniencia).
EL TAMAÑO DE LA MUESTRAS PARA POBLACIONES INFINITAS
se calcula
𝑍 2𝜎2 𝑍 2 𝑃𝑄
𝑛= en la variable 𝑛= en la proporción
𝐸2 𝐸2
Ejemplos
1. El mantenimiento de cuentas puede resultar demasiado costoso, si el
promedio de compra por cuenta, baja de cierto nivel. El gerente de un gran
almacén por departamento desea estimar el promedio de lo comprado
mensualmente por los clientes usando las cuentas de crédito, con un error de
$2500, y una probabilidad aproximada de 0.95. ¿Cuántas cuentas deberá
seleccionar, si sabe que la desviación estándar ES de $30000, la cual fue
obtenida de los balances mensuales de las cuentas de crédito?
0.05
E=2500 1- ∝= 0.95 ∝= 0.05 1- =0.975 𝑍0.975 = 1.96 𝜎 = 30000
2
𝑍 2 𝜎2 1.962 ∗300002
𝑛= = =553.19
𝐸2 25002
.n=554
2. Un auditor desea tener un nivel de confianza del 95%, para que la verdadera
proporción de error no exceda del 2%. Si la proporción es muy grande, ¿qué
tamaño tendrá la muestra que va a tomarse, si el auditor estima que la
proporción de error es del 5%?
1-∝ = 0.95 Z=1.96 E=0.02 n=? P=0.05 Q=(1-p)=0.95
𝑍 2 𝑃𝑄 1.962 ∗0.05∗0.95
𝑛= = =456.19 n=457
𝐸2 0.022
3. De una remesa, de la cual se tomo una muestra de 200 artículos, se encontró
que 20 de ellos eran defectuosos. Con una confianza del 95%, calcular el error
de la muestra.
.n=200 1-∝ = 0.95 Z=1.96 E=? P=20/200=0.1
1.962 ∗ 0.1 ∗ 0.9

200 =
𝐸2
2
2
1.96 ∗ 0.1 ∗ 0.9
𝐸 =
200
1.962 ∗0.1∗0.9
E=√ =0.0416 E=4.16%
200
4. Una firma constructora desea estimar la resistencia promedio de la barra de

acero utilizadas en la construcción de un edificio de apartamentos. ¿Qué
tamaño de la muestra se requiere para garantizar que habrá un riesgo de solo
0,001 de sobrepasar un error de 5kg? o más en la estimación? La desviación
estándar de la resistencia de este tipo de barras es estima en 50 libras.
0.001
1-∝= 0.999 1- =0.9995 𝑧0.9995= 3,291 𝜎 = 50 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠
2
𝑍 2 𝜎2 3,2912 ∗502
𝑛= = =270,7 n=271
𝐸2 102
5. En un día, la producción de tarjetas perforadas por una persona se encuentra

en una gaveta. Se desea estimar el porcentaje de tarjetas que tiene al menos
un error, mediante una muestra aleatoria simple. ¡Que tamaño de muestra es
necesario si se piensa que el porcentaje esta entre 4 8% se acepta un error
estándar del 3% y confianza del 95%.
TAMAÑO OPTIMO EN POBLACIONES FINITAS
𝑧 2 𝑁𝜎 2 𝑧 2 𝑁 𝑃𝑄
𝑛= 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑛= 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛
𝑁𝐸 2 +𝑍 2 𝜎 2 𝑁𝐸 2 +𝑍 2 𝑃𝑄
Ejemplos
1. El mantenimiento de cuentas puede resultar demasiado costoso, si el
promedio de compra por cuenta, baja de cierto nivel. El gerente de un gran
almacén por departamento desea estimar el promedio de lo comprado
mensualmente por los clientes usando las cuentas de crédito, con un error
de $2500, y una probabilidad aproximada de 0.95. ¿Cuántas cuentas deberá
seleccionar, si sabe que la desviación estándar ES de $30000, la cual fue
obtenida de los balances mensuales de un total 4000 cuentas de crédito?
E=2500 95% z=1.96 𝜎 = 30000 N=4000
1.962 ∗4000∗300002
𝑛= = 552.9 n=553
4000∗25002 +1.962 300002
2. Un investigador está interesado en estimar la ganancia en pesos total, en

0 a 4 semanas de 1000 pollitos alimentados con una nueva ración.
Obviamente, pesar cada ave seria tedioso y llevaría demasiado tiempo.
por lo tanto, se debe determinar el número de pollitos a seleccionar en una
muestra, para estimar el total con un límite para el error de estimación igual
a 1000 gramos. Usando datos de estudios, el investigador encontró que la
varianza es aproximadamente, de 36 gramos. Determine el tamaño de
muestra requerido, con una confianza del 95%.
3. Se desea realizar una investigación sobre el número de unidades que se
encuentran el mal estado de 4000 cajas y la proporción de cajas que
contienen unidades en mal estado. Se realiza una encuesta preliminar de
80 cajas con el siguiente resultado, presentado en una tabla de frecuencias:
No.unidades 0 1 2 3 4 5 10 12
defcetuosas
𝑋𝑖
No.Cajas 37 16 8 8 4 2 2 3
examinadas 𝑓𝑖
Determinar el tamaño de la muestra que cumpla con las dos condiciones.
Para ello el investigador debe establecer un error del 6% para el promedio,
del 12% para la proporción y una confianza del 98% para ambos
37
N=4000 𝑍0.99 = 2,3263 S = 2,8193 𝑥̅ = 1,725 p= =0.46
80
E=1,725*0.06=0.1035
.n=?
𝑧 2 𝑁𝜎2 2,32632 ∗4000∗2,81932

𝑛 = 𝑁𝐸2 +𝑍2 𝜎2 = 4000∗0,10352 +2,32632 ∗2,81932 =
𝑧 2 𝑁 𝑃𝑄 2,32632 ∗ 4000 ∗ 0.46 ∗ 0.54

𝑛= = =
𝑁𝐸 2 + 𝑍 2 𝑃𝑄 4000 ∗ 0.122 + 2,32632 ∗ 0.46 ∗ 0.54
4. El departamento de tránsito y transporte requiere estimar la proporción
de conductores con experiencia de un año o menos, que puedan clasificase
como conductores descuidados ¿de que tamaño deberá ser la muestra a fin
de que los resultados estén dentro de un 2%, con una confianza del 95%?
Se espera observar que aproximadamente ¼ del total de los conductores
sean descuidados.
5. Un investigador asegura que el promedio salarial de los obreros, en cierto
sector industrial es de $822.000 y sus edades oscilan entre 17 y 38 años;
además, sus gastos en alimentación deben encontrarse entre 40% y 60% de
su salario. se desea estimar el salario promedio, (suponiendo una
desviación típica de $33600); al mismo tiempo el porcentaje de sus gastos
en alimentación. Se considera un error del 1,5% para el promedio y del 8%
para la proporción; además la confianza será del 95% y un total de 4300
obreros; ¿cuál será el tamaño óptimo para las dos características?

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Hasta el momento se ha venido considerando el tamaño de la muestra como

VARIANAZA 𝜎 2 : Indica el grado de variabilidad que presentan las unidades

NIVEL DE CONFIANZA 1-𝛼 : Tiene relación directa con el tamaño de la

PRECISION DE LA INVESTIGACION: Corresponde al margen de error que

1-∝ = 0.95 Z=1.96 E=0.02 n=? P=0.05 Q=(1-p)=0.95

1.962 ∗ 0.1 ∗ 0.9

4. Una firma constructora desea estimar la resistencia promedio de la barra de

5. En un día, la producción de tarjetas perforadas por una persona se encuentra

2. Un investigador está interesado en estimar la ganancia en pesos total, en

𝑧 2 𝑁𝜎2 2,32632 ∗4000∗2,81932

𝑧 2 𝑁 𝑃𝑄 2,32632 ∗ 4000 ∗ 0.46 ∗ 0.54

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