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Fundamentos Intervalos de Confianza
Fundamentos Intervalos de Confianza
Fundamentos Intervalos de Confianza
Fundamentos Intervalos de
confianza
Mario Salas
02/03/2010
2010
x = . El valor absoluto de
la diferencia entre el estimador y el parmetro poblacional se denomina error de estimacin. Si x se utiliza
de la muestra es igual al de la poblacin se debe de cumplir la siguiente igualdad.
como estimador de
conforme aumentamos el tamao de la muestra, sin embargo nunca podemos conocer el valor del error de
estimacin porque no es posible conocer el parmetro, sin embargo si podemos realizar afirmaciones
probabilsticas sobre el error de la estimacin, a esta probabilidad se le conoce como el nivel de confianza.
A continuacin ejemplificaremos la forma de evaluar el nivel de confianza de un estimador.
Se realizar un estudio para determinar la cantidad promedio de refresco despachado por una mquina
automtica; en un estudio anterior se calcul que la desviacin estndar de las cantidades despachadas era
s =0.40 ml Si se usa muestra de tamao 40 para estimar , encuentre el nivel de confianza de que el error de
estimacin sea menor de 0.01 ml.
Solucin: Interesa determinar la probabilidad P (
de que n = 40, la distribucin muestral de
est dado por:
x =
=
0.40
= 0.063
40
Por lo tanto:
0.01
0.063
= P(IzI <0.16
=2P(0 <Z < 0.16) = 2(0.0636) = 0.1272
As podemos tener una confianza de 12.72%, de que el error de estimacin es menor que 0.01.
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EJEMPLOS
Si el nivel de confianza es de 85%, encuentre el valor crtico positivo.
Como 1- =85%, = 0.15 y /2 = 0.075, para encontrar el valor crtico z0.075 usamos la tabla normal
estndar. Como el rea bajo la curva y sobre el eje horizontal a la derecha de z0.075 es 0.075. y z0075 es 0.50.075 = 0.425. Buscando en los valores z el rea resulta ms cercana a 0.425, y encontramos el valor de z;
como el rea 0.4251 resulta ser la ms cercana a 0.425, el valor correspondiente de z es 1.44. En
consecuencia, el valor crtico positivo z0075 es 1.44.
ERROR DE ESTIMACIN.
PARA TAMAOS DE MUESTRA GRANDE
Hasta aqu hemos evaluado los valores crticos sobre la base de un nivel de confianza establecido pero que
hay acerca de obtener el nivel de precisin o error asociado a la estimacin de una poblacin.
Para encontrar este se sigue el siguiente proceso.
El intervalo de confinza es
/
P(-z/2<
/
< z/2) = 1-
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E = Z / 2
x puede exceder el
"mximo" E. Lo que indica la formula, es la confiabilidad de que nuestra estimacin x tenga una precisin E
es (1 - ) 100%.La ecuacin de E depende, del nivel de confianza; si queremos tener ms confianza, el error
mximo E debe crecer.
Ejemplo.
En un esfuerzo para estimar el promedio del pulso de adultos de 40 aos de edad durante el descanso, se
us una muestra aleatoria de medidas del pulso en individuos de entre 40 y 50 aos. Si x se usa para estimar
y se desea tener un 95% de confianza con respecto a que la media poblacional difiere de
de E, encuentre el error mximo E si se supone que = 10 pulsaciones por minuto.
x en no ms
Como 1- = 0.95, = 0.05 y /2 =0.025. De la tabla de z, z 0025 = 1.96; aplicando la ecuacin para E tenemos:
E = Z / 2
10
E = (1.96)
50
As, si x se usa para estimar podemos tener un 95% de confianza de que el error mximo de estimacin
sea menor que 2.77 pulsaciones por minuto.
x . Para este tipo de casos se debe usar una distribucin t con gl (grados de libertad) = n-1
Para una demostracin de esta formula consultar Richard C. Weimer, Estadstica CECSA Mxico 2000 Tercera Edicin.
Para una explicacin de la demostracin de cmo se obtiene esta formula consulta Richard C. Weimer, Estadstica CECSA
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E = t / 2
s
n
Ejemplo:
Se sabe que el tiempo en minutos necesario para ensamblar manualmente un mdulo electrnico se
distribuye normalmente; si se obtuvieron los datos muestrales siguientes, encuentre el error mximo de
estimacin E tal que haya un 99% de confianza en que la media poblacional del tiempo de ensamblaje
difiera menos de E de la media muestral
6.2
7.1
Primero encontramos
5.7
6.8
x.
5.4
x = 6.24 y s=0.716
El nivel de confianza de 1- = 0.99.Y = 0.01 /2 = 0.005. El valor crtico t0.005 con gl = n- 1 = 5-1 =4. Por
tanto, t0.005 = 4.604.
Para encontrar el error de estimacin utilizamos la formula:
E = t / 2
s
n
0.716
E = 4.604
= 1.47.
5
Esto quiere decir que tendremos un 99% de seguridad en que de la poblacin diferir en 1.47 seg. De la
media muestral.
BIBLIOGRAFA.
Richard C. Weimer, Estadstica CECSA Mxico 2000
Tercera Edicin. Pgs. 414 a 417
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