Distribución de la proporción

Sesión N° 6 muestral

• Al terminar esta sesión, el estudiante debe ser

capaz de realizar la distribución de
probabilidades de la proporción muestral
Logro de la sesión cuando se realiza con o sin reemplazamiento.
• Al terminar esta sesión, el estudiante debe ser
capaz de utilizar las tablas de probabilidades Z
para el cálculo de probabilidades de la
proporción muestral.
Introducción
En la sesión anterior, se ha desarrollado diferentes técnicas de muestreo (probabilístico y no
probabilístico) que permiten realizar una adecuada selección de las unidades muestrales
para que la muestra sea representativa. Es importante, porque de las unidades
seleccionadas aplicando una característica de interés en la investigación utilizaremos los
estadísticos que debe permitir estimar los parámetros desconocidos en la población,
entonces para realizar un estudio inferencial, necesitamos estudiar la distribución de los
estadísticos de las muestras seleccionadas por algún mecanismo de muestreo.

Población Muestreo
Muestra Muestra
Distribución de la
proporción
muestral
 DISTRIBUCIÓN DE LA PROPORCIÓN MUESTRAL

Existen ocasiones en las cuales no

estamos interesados en la media de la
muestra, sino que queremos investigar la
proporción de artículos defectuosos o la
proporción de personas con teléfono, etc.
en la muestra. La distribución muestral de
proporciones es la adecuada para dar
respuesta a estas situaciones.
 DISTRIBUCIÓN DE LA PROPORCIÓN MUESTRAL
Muestra 1
Proporción muestral 1

Población Muestra 2
Proporción muestral 2

Muestra k
Proporción muestral k
 DISTRIBUCIÓN DE LA PROPORCIÓN MUESTRAL

(Tamaño n)
Muestra 1
Población Proporción muestral 1 𝒑𝟏
(Tamaño N)

Proporción poblacional
𝒑 Muestra 2
Proporción muestral 2 𝒑𝟐

Muestra k
Proporción muestral k
𝒑𝒌
 Distribución de la proporción muestral

CON REEMPLAZAMIENTO
Y QUE INTERESA EL
ORDEN

SIN REEMPLAZAMIENTO Y
QUE NO INTERESA EL
ORDEN
 CON REEMPLAZAMIENTO
Y QUE INTERESA EL
ORDEN

La media de la distribución de la proporción muestral es igual a la proporción de la

población y la varianza de la distribución de la proporción muestral es igual al producto
de la proporción poblacional de éxitos y de fracasos de la población dividida entre el
tamaño de la muestra. Esto es:

Promedio de la Varianza de la Proporción Población

proporción proporción de fracasos
muestral muestral
𝝁𝒑 = 𝒑
𝝈𝟐𝒑 = 𝒑(𝟏 − 𝒑

Proporción
Proporción
Poblacional
Población de éxitos
 CON REEMPLAZAMIENTO
Y QUE INTERESA EL
EJEMPLO ORDEN

Consideremos una población de tamaño N = 3, la cual se compone de 3 Empresas

y se está interesado en las que tienen mas de 10 años de antigüedad.
Empresas Antigüedad Cumple

A 14 SI
B 8 NO
C 12 SI

Supongamos que elegimos todas las posibles muestras con reemplazamiento de

tamaño n = 2 de la población de tamaño N = 3 que determinamos antes.
• Calcular el número de muestras
• Enumerar las muestras extraídas y las probabilidades asociadas.
• Calcular las distribuciones de probabilidad asociadas a las proporciones muestrales.
• Realizar la gráfica correspondiente.
NÚMERO DE MUESTRAS

Cuando el muestreo se realiza con reemplazamiento y donde interese el orden, el

número de muestras se obtiene mediante la siguiente fórmula:

⋕ 𝒅𝒆 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒔 = 𝑵𝒏 ⋕ 𝒅𝒆 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒔 = 𝟑𝟐 = 𝟗

Muestras Muestras Proporciones

muestrales 𝐩
𝐀; 𝐀 𝐒𝐈; 𝐒𝐈 𝟏
𝐀; 𝐁 𝐒𝐈; 𝐍𝐎 𝟏 𝟐
𝐁; 𝐀 𝐍𝐎; 𝐒𝐈 𝟏 𝟐
𝐀; 𝐂 𝐒𝐈; 𝐒𝐈 𝟏
𝐂; 𝐀 𝐒𝐈; 𝐒𝐈 𝟏
𝐁; 𝐁 𝐍𝐎; 𝐍𝐎 𝟎
𝐁; 𝐂 𝐍𝐎; 𝐒𝐈 𝟏 𝟐
𝐂; 𝐁 𝐒𝐈; 𝐍𝐎 𝟏 𝟐
𝐂; 𝐂 𝐒𝐈; 𝐒𝐈 𝟏
 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE LA PROPORCIÓN MUESTRAL 𝐩

Cuando el muestreo se realiza con reemplazamiento y donde interese el

orden, el número de muestras se obtiene mediante la siguiente fórmula:

Proporciones Probabilidad Gráfico de la distribución

muestrales 𝐩
Frecuencia
𝑷 𝐩 𝒑𝒊 de la proporción muestral

𝒑𝒊 𝒏𝒊 𝒑𝒊 𝟒 𝟗
𝟎 𝟏 𝟏 𝟗
𝟏 𝟐 𝟒 𝟒 𝟗
𝟏 𝟒 𝟒 𝟗
Total 𝟗 𝟏
𝟏 𝟗

0 1/2 1 𝐩
 VALORES REPRESENTATIVOS DE
LA PROPORCIÓN MUESTRAL

PROMEDIO DE LA Representa la media o promedio aritmético de la distribución

PROPORCIÓN de los valores de la media muestral y sus probabilidades
MUESTRAL 𝝁𝑷 respectivas.

VARIANZA DE LA Representa la dispersión de los valores de la media muestral

PROPORCIÓN y sus probabilidades respectivas con respecto al promedio de
MUESTRAL . 𝝈𝟐𝒑 la media muestral en términos cuadráticos.

DESVIACIÓN
ESTÁNDAR DE LA Representa la dispersión de los valores de la media muestral
PROPORCIÓN y sus probabilidades respectivas con respecto al promedio de
MUESTRAL 𝝈𝒑 la media muestral.
 CON REEMPLAZAMIENTO
Y QUE INTERESA EL
EJEMPLO 1
ORDEN

Consideremos una población de tamaño N = 3, la cual se compone de 3 Empresas

y se está interesado en las que tienen mas de 10 años de antigüedad.
Empresas Antigüedad Cumple

A 14 SI
B 8 NO
C 12 SI
Supongamos que elegimos todas las posibles muestras con reemplazamiento de
tamaño n = 2 de la población de tamaño N = 3 que determinamos antes.
Calcular e interpretar:
• El promedio de la proporción muestral 𝝁𝒑 .

• La varianza de la proporción muestral. 𝝈𝟐𝒑

• La desviación estándar de la proporción muestral 𝝈𝒑 .

 SOLUCIÓN

proporcion
Promedio de la proporción muestral 𝝁𝒑 es Probabilidad
muestrales 𝒑 𝐱
𝟑
𝐩
𝟔 𝟐
𝝁𝒑 = 𝒑𝒊 𝒑𝒊 = =
𝟗 𝟑 𝒑𝒊 𝒑𝒊 𝒑𝒊 𝒑𝒊 𝒑𝟐𝒊 𝒑𝒊
𝒊=𝟏
𝟎 𝟏 𝟗 𝟎×𝟏 𝟗=𝟎 𝟎×𝟏 𝟗=𝟎
𝟐
𝝁𝒑 = 𝟏/𝟐 × 𝟒 𝟗
𝟑 𝟏 𝟐 𝟒 𝟗
=𝟐 𝟗
𝟏/𝟒 × 𝟒 𝟗 = 𝟏 𝟗

𝟏 𝟒 𝟗 𝟏×𝟒 𝟗=𝟒 𝟗 𝟏×𝟒 𝟗=𝟒 𝟗

Varianza de la proporción muestral 𝝈𝟐𝒑 Total 𝟏 𝟔 𝟗 𝟓 𝟗

𝟓 𝟓
2
𝝈𝟐𝒑 = 𝒙𝒊 − 𝝁𝑿 𝟐 𝒑𝒊 = 𝒙𝟐𝒊 𝒑𝒊 − 𝝁𝑿 𝟐 𝟓 2 𝟏
= − =
𝟗 3 𝟗
𝒊=𝟏 𝒊=𝟏

𝟏
𝝈𝟐𝒑 =
𝟗
Población

Las antigüedades en años son las siguientes: 6, 8, 10

Calculemos la media y la varianza de la población :

Proporción de la población 𝒑 Varianza de la población 𝝈𝟐

𝟑 𝟑
𝟐
𝒙𝒊 𝒙𝒊 − 𝝁
𝟐 𝟐 𝟐
𝟏+𝟎+𝟏 𝟐 𝒊=𝟏 𝟔−𝟖 + 𝟖−𝟖 + 𝟏𝟎 − 𝟖 𝟖
𝒑=
𝒊=𝟏
= = 𝝈𝟐 = = =
𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑

Observamos que el, promedio de la distribución de la media muestral es igual a la media

de la población y la varianza de la distribución de la media muestral es igual a la varianza
de la población dividida entre el tamaño de la muestra. Esto es:

𝒑(𝟏 − 𝒑) 𝟐 𝟑 × 𝟏 𝟑 𝟏
𝝁𝒑 = 𝒑 = 𝟐/𝟑 𝝈𝟐𝒙 = = =
𝒏 𝟐 𝟗
 SIN REEMPLAZAMIENTO Y
QUE NO INTERESA EL
ORDEN

La media de la distribución de la proporción muestral es igual a la proporción de la

población y la varianza de la distribución de la proporción muestral es igual al producto
de la proporción poblacional de éxitos y de fracasos de la población dividida entre el
tamaño de la muestra. Esto es:

Promedio de la Varianza de la Proporción Población

proporción proporción de fracasos
muestral muestral
𝝁𝒑 = 𝒑 𝑵−𝒏
𝝈𝟐𝒑 = 𝒑(𝟏 − 𝒑
𝑵−𝟏
Proporción
Proporción
Poblacional
Población de éxitos
 SIN REEMPLAZAMIENTO Y
QUE NO INTERESA EL
ORDEN
EJEMPLO

Consideremos una población de tamaño N = 4, la cual se compone de 4 Empresas

y se está interesado en las que tienen mas de 10 años de antigüedad.
Empresas Antigüedad Cumple

A 14 SI
B 8 NO
C 12 SI
D 20 SI
Supongamos que elegimos todas las posibles muestras con reemplazamiento de
tamaño n = 2 de la población de tamaño N = 4 que determinamos antes.
• Calcular el número de muestras
• Enumerar las muestras extraídas y las probabilidades asociadas.
• Calcular las distribuciones de probabilidad asociadas a las proporciones muestrales.
• Realizar la gráfica correspondiente.
NÚMERO DE MUESTRAS

Cuando el muestreo se realiza sin reemplazamiento y

donde no interese el orden, el número de muestras se
obtiene mediante la siguiente fórmula: 𝑵
⋕ 𝒅𝒆 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒔 =
𝑵 𝟒 𝟒! 𝒏
⋕ 𝒅𝒆 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒔 = = = =𝟔
𝒏 𝟐 𝟐! 𝟒 − 𝟐 !
La tabla muestra todas las posibles muestras de tamaño 2 y las medias
muestrales en cada caso.
Muestras Muestras Proporciones
muestrales 𝐩
𝐀; 𝐁 𝐒𝐈; 𝐍𝐎 𝟏/𝟐
𝐀; 𝐂 𝐒𝐈; 𝐒𝐈 𝟏
𝐀; 𝐃 𝐒𝐈; 𝐒𝐈 𝟏
𝐁; 𝐂 𝐍𝐎; 𝐒𝐈 𝟏/𝟐
𝐁; 𝐃 𝐍𝐎; 𝐒𝐈 𝟏/𝟐
𝐂; 𝐃 𝐒𝐈; 𝐒𝐈 𝟏
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE LA PROPORCIÓN MUESTRAL 𝐩

Cuando el muestreo se realiza con reemplazamiento y donde interese el

orden, el número de muestras se obtiene mediante la siguiente fórmula:

Proporciones Probabilidad Gráfico de la distribución

Frecuencia
muestrales 𝐩 𝑷 𝐩 de la proporción muestral
𝒑𝒊 𝒏𝒊 𝒑𝒊 𝒑𝒊
𝟏 𝟐 𝟑 𝟑 𝟔
𝟏 𝟑 𝟑 𝟔 𝟑 𝟔
Total 𝟔 𝟏

1/2 1 𝐩
 CON REEMPLAZAMIENTO
Y QUE INTERESA EL
EJEMPLO 1
ORDEN

Consideremos una población de tamaño N = 4, la cual se compone de 4 Empresas

y se está interesado en las que tienen mas de 10 años de antigüedad.
Empresas Antigüedad Cumple

A 14 SI
B 8 NO
C 12 SI
D 20 SI

Supongamos que elegimos todas las posibles muestras con reemplazamiento de

tamaño n = 2 de la población de tamaño N = 4 que determinamos antes.
Calcular e interpretar:
• El promedio de la proporción muestral 𝝁𝒑 .

• La varianza de la proporción muestral. 𝝈𝟐𝒑

• La desviación estándar de la proporción muestral 𝝈𝒑 .

 SOLUCIÓN

proporcion
Promedio de la proporción muestral 𝝁𝒑 es Probabilidad
muestrales 𝒑 𝐱
𝟑
𝐩
𝟔 𝟐
𝝁𝒑 = 𝒑𝒊 𝒑𝒊 = =
𝟗 𝟑 𝒑𝒊 𝒑𝒊 𝒑𝒊 𝒑𝒊 𝒑𝟐𝒊 𝒑𝒊
𝒊=𝟏
𝟎 𝟏 𝟗 𝟎×𝟏 𝟗=𝟎 𝟎×𝟏 𝟗=𝟎
𝟐
𝝁𝒑 = 𝟏/𝟐 × 𝟒 𝟗
𝟑 𝟏 𝟐 𝟒 𝟗
=𝟐 𝟗
𝟏/𝟒 × 𝟒 𝟗 = 𝟏 𝟗

𝟏 𝟒 𝟗 𝟏×𝟒 𝟗=𝟒 𝟗 𝟏×𝟒 𝟗=𝟒 𝟗

Varianza de la proporción muestral 𝝈𝟐𝒑 Total 𝟏 𝟔 𝟗 𝟓 𝟗

𝟓 𝟓
2
𝝈𝟐𝒑 = 𝒙𝒊 − 𝝁𝑿 𝟐 𝒑𝒊 = 𝒙𝟐𝒊 𝒑𝒊 − 𝝁𝑿 𝟐 𝟓 2 𝟏
= − =
𝟗 3 𝟗
𝒊=𝟏 𝒊=𝟏

𝟏
𝝈𝟐𝒑 =
𝟗
Población

Las antigüedades en años son las siguientes: 6, 8, 10

Calculemos la media y la varianza de la población :

Proporción de la población 𝒑 Varianza de la población 𝝈𝟐

𝟑 𝟑
𝟐
𝒙𝒊 𝒙𝒊 − 𝝁
𝟐 𝟐 𝟐
𝟏+𝟎+𝟏 𝟐 𝒊=𝟏 𝟔−𝟖 + 𝟖−𝟖 + 𝟏𝟎 − 𝟖 𝟖
𝒑=
𝒊=𝟏
= = 𝝈𝟐 = = =
𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑

Observamos que el, promedio de la distribución de la media muestral es igual a la media

de la población y la varianza de la distribución de la media muestral es igual a la varianza
de la población dividida entre el tamaño de la muestra. Esto es:

𝒑(𝟏 − 𝒑) 𝟐 𝟑 × 𝟏 𝟑 𝟏
𝝁𝒑 = 𝒑 = 𝟐/𝟑 𝝈𝟐𝒙 = = =
𝒏 𝟐 𝟗
 Cuando se extraen muchas muestras
aleatorias simples grandes, de
tamaño 𝒏 > 𝟑𝟎 de una población
Población con Binomial, las medias de las muestras
distribución Binomial también tienen una distribución
normal.

la proporción muestral 1 la proporción muestral 2 la proporción muestral k

𝒑𝟏 𝒑𝟐 𝒑𝒌

las proporciones muestrales tienen distribución normal

 Distribución de la proporción muestral 𝒑

Cuando se extraen muchas muestras aleatorias simples de tamaño 𝒏 ≥ 𝟑𝟎 de una

población binomial ó cuando se cumple que 𝑛𝑝 ≥ 5 y 𝑛(1 − 𝑝) ≥ 5 , entonces las
proporciones muestrales tienen una distribución aproximadamente normal con:

𝝁𝒑 = 𝑬 𝒑 = 𝒑 Media de la proporción muestral o valor esperado de la proporción muestral.

𝒑(𝟏 − 𝒑) Varianza de la proporción muestral.

𝝈𝟐𝒑 = 𝑽𝒂𝒓 𝒑 =
𝒏

𝒑(𝟏−𝒑) Desviación estándar o error estándar de la proporción muestral.

𝝈𝒑 = 𝑽𝒂𝒓 𝒑 = 𝒏
 Distribución de la proporción muestral 𝒑

La proporción muestral tiene distribución normal con media igual que la de

la población, y varianza igual al producto de la proporción poblacional de
Notación éxitos y fracasos dividido entre el tamaño de la muestra, es decir:

𝒑(𝟏−𝒑) Gráficamente tenemos:

𝒑 ~ 𝑵 𝒑;
𝒏

Donde:
𝒑: proporción poblacional de éxitos
𝟏 − 𝒑: proporción poblacional de fracasos
𝒏: tamaño de la muestra
𝝁𝒑 = 𝒑 𝒑
 Cálculo de probabilidades de la proporción muestral
Para el cálculo de probabilidades, también podemos convertir una distribución muestral de la
media 𝑿 con distribución normal en una distribución normal estándar 𝒁, usando la fórmula:

Medio de la
Gráficamente tenemos
proporción muestral
𝒑−𝒑
𝒁=
𝒑(𝟏−𝒑)
𝒏
𝒑(𝟏−𝒑)
𝑿~𝑵 𝒑;
Desviación estándar 𝒏
de la proporción 𝝁𝒑 = 𝒑 𝒑
muestral
𝒑−𝒑
𝒁=
𝒁~ 𝑵 𝟎 ; 𝟏 𝒑(𝟏−𝒑)
𝒏

𝑿−𝝁
𝒁= 𝝈
 Cálculo de probabilidades de la proporción muestral

𝑷 𝒑≤𝒌
𝑷 𝒑≤𝒌

𝒌−𝒑
=𝑷 𝒁≤ 𝝁𝒑 = 𝒑 𝒌 𝒑
𝒑(𝟏 − 𝒑)
𝒏

𝑷 𝒁≤𝒛
=𝑷 𝒁≤𝒛

𝑿−𝝁
𝟎 𝒛 𝒁= 𝝈
𝒏
 Cálculo de probabilidades de la proporción muestral
EJEMPLO 1

Se toma una muestra de 250 casas de una población de

edificios antiguos para estimar la proporción de casas
de este tipo cuya instalación eléctrica resulta insegura.
Supongamos que, de hecho, el 30% de los edificios de
esta población tiene una instalación insegura. ¿Cuál es
la probabilidad de que la proporción de edificios de la
muestra con instalación insegura se encuentre entre
0,25 y 0,35?

SOLUCIÓN

𝑿 Casas con instalación insegura (variable aleatoria binomial)

datos 𝒑 = 𝟎, 𝟑𝟎 30% de los edificios de esta población tiene una instalación insegura.
𝒏 = 𝟐𝟓𝟎 muestra de 250 casas de una población de edificios antiguos
 ¿Cuál la probabilidad de que la proporción de edificios de la
Planteamiento de la pregunta muestra con instalación insegura se encuentre entre 0,25 y 0,35?

𝑷 𝟎, 𝟐𝟓 ≤ 𝒑 ≤ 𝟎, 𝟑𝟓
𝒑 = 𝟎, 𝟑𝟎
𝒑−𝒑
𝒏 = 𝟐𝟓𝟎 𝒁=
𝒑(𝟏−𝒑)
𝒏

𝑷 𝟎, 𝟐𝟓 ≤ 𝒑 ≤ 𝟎, 𝟑𝟓
0,25 − 0,30 0,35 − 0,30
=𝑃 ≤𝒁≤ 𝟎, 𝟐𝟓 𝝁𝒑 = 𝟎, 𝟑𝟎 𝟎, 𝟑𝟓 𝒑
(0,30)(0,70) (0,30)(0,70)
250 250

= 𝑃 −1,72 ≤ 𝒁 ≤ 𝟏, 72

= 𝟎, 𝟗𝟏𝟒𝟓𝟕 𝑿−𝝁
−𝟏, 𝟕𝟐 𝟎 𝟏, 𝟕𝟐 𝒁= 𝝈
𝒏
la probabilidad de que la proporción de edificios de la muestra con
RESPUESTA instalación insegura se encuentre entre 0,25 y 0,35 es del 91,457%.
 Uso de la Tabla Normal estándar Z

Área central

= 𝑃 −1,72 ≤ 𝒁 ≤ 𝟏, 72

= 𝟎, 𝟗𝟏𝟒𝟓𝟕
𝑿−𝝁
−𝟏, 𝟕𝟐 𝟎 𝟏, 𝟕𝟐 𝒁= 𝝈
𝒏
EJEMPLO 2

Suponer que de la gente que solicita ingresar a una

compañía, 40% pueden aprobar un examen de aritmética
para obtener el trabajo. Si se tomara una muestra de 20
solicitantes.

¿Cuál sería la probabilidad de que 50% o más de ellos

aprobaran?

SOLUCIÓN

𝑿 Aprobación de un examen de aritmética (variable aleatoria binomial)

datos 𝒑 = 𝟎, 𝟒𝟎 40% de las personas que aprueban un examen de aritmética
𝒏 = 𝟐𝟎 muestra de 30 solicitantes

Como 𝑛𝑝 = 20 0,40 = 8 ≥ 5 y 𝑛(1 − 𝑝 = 20 0,60 = 12 ≥ 5 entonces se puede aplicar la

distribución normal
 ¿ Cuál sería la probabilidad de que 50% o más de ellos
Planteamiento de la pregunta aprobaran?

𝑷 𝒑 ≥ 𝟎, 𝟓𝟎
𝒑 = 𝟎, 𝟒𝟎
𝒑−𝒑
𝒏 = 𝟐𝟎 𝒁=
𝒑(𝟏−𝒑)
𝒏 𝑷 𝒑 ≥ 𝟎, 𝟓𝟎
𝑷 𝒑 ≥ 𝟎, 𝟓𝟎
0, 50 − 0,40 𝟎, 𝟒𝟎 𝟎, 𝟓𝟎 𝒑
=𝑃 𝒁≥
(0,40)(0,60)
20
𝑷 𝒁 ≥ 𝟎, 𝟗𝟏
= 𝑃 𝒁 ≥ 𝟎, 91
= 1 − 𝑃 𝒁 < 𝟎, 91 𝑿−𝝁
𝟎 𝟎, 𝟗𝟏 𝒁= 𝝈
= 𝟎, 𝟏𝟖𝟏𝟒𝟏
𝒏
la probabilidad de que 50% o más de ellos aprobaran es del 18,141%.
RESPUESTA
 Uso de la Tabla Normal estándar Z

Área c.grande

= 𝑃 𝒁 ≥ 𝟎, 91
= 1 − 𝑃 𝒁 < 𝟎, 91
𝑿−𝝁
= 1 − 81859 𝟎 𝟎, 𝟗𝟏 𝒁= 𝝈
= 𝟎, 𝟏𝟖𝟏𝟒𝟏 𝒏
 Cuando la población es finita y muestreo sin reemplazo

Si se selecciona una muestra aleatoria sin reemplazo de una población finita con proporción
de éxitos 𝒑, entonces el error estándar de la proporción muestral se tiene que corregir y la
distribución de muestral de la proporción 𝒑 tiene una distribución normal, con:

𝝁𝒑 = 𝑬 𝒑 = 𝒑 Media de la proporción muestral o valor esperado de la proporción muestral.

𝒑(𝟏 − 𝒑) 𝑵 − 𝒏
𝝈𝟐𝒑 = 𝑽𝒂𝒓 𝒑 = Varianza de la proporción muestral.
𝒏 𝑵−𝟏

𝒑(𝟏−𝒑) 𝑵−𝒏 Desviación estándar o error estándar de la proporción muestral.

𝝈𝒑 = 𝑽𝒂𝒓 𝒑 = 𝒏 𝑵−𝟏
 Distribución de la proporción muestral 𝒑

La proporción muestral tiene distribución normal con media igual que la de

la población, y varianza igual al producto de la proporción poblacional de
Notación éxitos y fracasos dividido entre el tamaño de la muestra, multiplicado por el
coeficiente de corrección de población finita, es decir:

𝒑(𝟏−𝒑) 𝑵−𝒏 Gráficamente tenemos:

𝒑 ~ 𝑵 𝒑; 𝒏 𝑵−𝟏

Donde:
𝒑: proporción poblacional de éxitos
𝟏 − 𝒑: proporción poblacional de fracasos
𝒏: tamaño de la muestra
𝝁𝒑 = 𝒑 𝒑
𝑵−𝒏
Factor de corrección para poblaciones finitas
𝑵−𝟏
 Cálculo de probabilidades de la proporción muestral
Para el cálculo de probabilidades, también podemos convertir una distribución muestral de la proporción
𝒑 con distribución normal en una distribución normal estándar 𝒁, usando la fórmula:

Media de la Gráficamente tenemos

proporción muestral
𝒑−𝒑
𝒁= 𝒑(𝟏−𝒑) 𝑵−𝒏
𝒏 𝑵−𝟏
𝒑(𝟏−𝒑) 𝑵−𝒏
𝑿~𝑵 𝒑; 𝒏 𝑵−𝟏
Desviación estándar
de la proporción 𝝁𝒑 = 𝒑 𝒑
muestral
𝒑−𝒑
𝒁=
𝒁~ 𝑵 𝟎 ; 𝟏 𝒑(𝟏−𝒑) 𝑵−𝒏
𝒏 𝑵−𝟏

𝑿−𝝁
𝒁= 𝝈
𝒏
 Cálculo de probabilidades de la proporción muestral
EJEMPLO 1

De los 629 vehículos para pasajeros

importados por un país sudamericano hace
pocos años, 117 fueron Volvo. Se toma una
muestra aleatoria simple de 300 vehículos de
pasajeros importados durante este año.

SOLUCIÓN

𝑿 Vehículos importados marca Volvo (variable aleatoria binomial)

18,6% de los vehículos
de importados de menos
pasajeros sonde
de los
la marca Volvo
datos 𝒑 = ¿Cuál
𝟎, 𝟏𝟖𝟔 es la probabilidad que cuando 15%
𝑵 =vehículos
𝟔𝟐𝟗 629devehículos de pasajeros
ésta muestra sean importados
Volvo?
𝒏 = 𝟐𝟎 muestra de 300 vehículos de pasajeros importados
117
𝑝= = 0,186 Proporción de vehículos de pasajeros importados que son de Volvo.
629
 ¿Cuál es la probabilidad de que
Planteamiento de la pregunta cuando menos 15% de los vehículos 𝑷 𝒑 ≥ 𝟎, 𝟏𝟓
de ésta muestra sean Volvo?
𝒏 𝟑𝟎𝟎
Cómo = 𝟔𝟐𝟗 = 𝟎, 𝟒𝟖 > 𝟎, 𝟎𝟓 (el tamaño de la muestra es
𝑵
mas del 5% del tamaño de la población) entonces se debe
considerar el factor de corrección para poblaciones finitas para
el cálculo del error estándar de la proporción:

𝒑 = 𝟎, 𝟏𝟖𝟔
𝒑−𝒑 𝟎, 𝟏𝟓 𝟎, 𝟏𝟖𝟔 𝒑
𝒏 = 𝟑𝟎𝟎 𝒁=
𝒑(𝟏−𝒑) 𝑵−𝒏
𝑵 = 𝟔𝟐𝟗 𝒏 𝑵−𝟏

Así tenemos: 𝑃 𝑝 ≥ 0,15

0,15−0,186
=𝑃 𝑍≥ 𝑿−𝝁
0,0163
−𝟐, 𝟐𝟏 𝟎 𝝈 𝒁=
= 𝑃 𝑍 ≥ −2,21 = 𝑷 𝒁 ≤ 𝟐, 𝟐𝟏 = 𝟎, 𝟗𝟖𝟔𝟒
𝒏
la probabilidad de que cuando menos 15% de los vehículos de ésta muestra
RESPUESTA sean Volvo es del 98,64%.
 Uso de la Tabla Normal estándar Z

Área c.grande

𝑃 𝑝 ≥ 0,15
0,15−0,186
=𝑃 𝑍≥ 0,0163
𝑿−𝝁
−𝟐, 𝟐𝟏 𝟎 𝒁= 𝝈
= 𝑃 𝑍 ≥ −2,21 = 𝑷 𝒁 ≤ 𝟐, 𝟐𝟏
𝒏
= 𝟎, 𝟗𝟖𝟔𝟒𝟓
 Cálculo de probabilidades de la proporción muestral
EJEMPLO 2

En un para llenar botellas de refresco presenta una producción

promedio en la que el 7% de las botellas no están
completamente llenas. Si de este proceso se selecciona al azar
una muestra de 225 botellas de un lote de 625 envases llenos.
¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral de botellas
parcialmente llenas se encuentre entre 9% y 11%?

SOLUCIÓN

𝑿 Botellas no llenas (variable aleatoria binomial)

datos 𝒑 = ¿Cuál 7%la
𝟎, 𝟎𝟕 es deprobabilidad
las botellas nodeestán
que completamente
cuando menosllenas15% de los
𝑵 =vehículos
𝟔𝟐𝟓 deésta
625de las botellas
muestra nosean
estánVolvo?
completamente llenas
𝒏 = 𝟐𝟎 muestra de 225 botellas de un lote de 525 envases llenos
 ¿Cuál es la probabilidad de que la
Planteamiento de la pregunta proporción muestral de botellas 𝑷 𝟎, 𝟎𝟗 < 𝒑 < 𝟎, 𝟏𝟏
parcialmente llenas esté entre 9% y 11%?
𝒏 𝟐𝟐𝟓
Cómo 𝑵
=
𝟔𝟐𝟓
= 𝟎, 𝟑𝟔 > 𝟎, 𝟎𝟓 (el tamaño de la muestra
𝒑−𝒑
es mas del 5% del tamaño de la población) entonces se 𝒁=
debe considerar el factor de corrección para poblaciones 𝒑(𝟏−𝒑) 𝑵−𝒏
𝒏 𝑵−𝟏
finitas para el cálculo del error estándar de la proporción:

𝒑 = 𝟎, 𝟎𝟕
𝒏 = 𝟐𝟐𝟓
𝑵 = 𝟔𝟐𝟓
𝟎, 𝟎𝟗 − 𝟎, 𝟎𝟕 𝟎, 𝟏𝟏 − 𝟎, 𝟎𝟕 𝑿−𝝁
𝑷 𝟎, 𝟎𝟗 < 𝒑 < 𝟎, 𝟏𝟏 = 𝑃 <𝒁<
𝟎, 𝟎𝟏𝟑𝟔 𝟎, 𝟎𝟏𝟑𝟔 𝒁= 𝝈
= 𝑃 𝟏, 𝟒𝟕 < 𝒁 < 𝟐, 𝟗𝟒 𝒏
= 𝟎, 𝟎𝟔𝟗𝟏𝟒

es la probabilidad de que la proporción muestral de botellas parcialmente

RESPUESTA llenas esté entre 9% y 11% es de 6,914%.
 Uso de la Tabla Normal estándar Z

Área c.chica

= 𝑃 𝟏, 𝟒𝟕 < 𝒁 < 𝟐, 𝟗𝟒

= 𝑃 𝒁 > 𝟏, 𝟒𝟕 − 𝑃 𝒁 > 𝟐, 𝟗𝟒
𝑿−𝝁
𝒁= 𝝈
= 𝟎, 𝟎𝟕𝟎𝟕𝟖 − 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟔𝟒
𝒏
= 𝟎, 𝟎𝟔𝟗𝟏𝟒