Intervalo de Confianza para Una Proporción
Intervalo de Confianza para Una Proporción
Intervalo de Confianza para Una Proporción
p proporcin de xitos en la
Xi
=X
P
n
= i=1
P
n
X = X i
i=1
El valor
=X
P
n
que se obtiene de
Su media
Y su varianza
P
tiene las siguientes propiedades:
)= p
P =E ( P
2
) =p (1 p)/n
=Var ( P
P
Adems, si la muestra es grande (n30), entonces, por el teorema del lmite central,
la distribucin de probabilidad de
Z=
Adems, si hacemos p= P
entonces, el error tpico de
p
P
p(1 p)/ n
N(0,1)
P
es
ET= p x ( 1 p ) / n
es la estadstica de pivote
Z 0 =Z
; tal
P [Z 0 Z Z 0 ] =1
Sustituyendo
la
expresin
de
p)/ ET
Z =( P
realizando
operaciones
convenientes se obtiene:
P [ PZ
0 xET p P+Z 0 xET ] =1
Luego:
Si
P
es la proporcin de xitos en una muestra aleatoria de tamao n grande,
pZ 0 xET p p + Z 0 xET
Donde,
(1 )100 para p
Donde:
a= p Z 0 xET
b= p +Z 0 xET
d) Qu tan grande se requiere que sea la muestra si se desea tener una confianza
del 94% de que el error de estimacin de p no sea superior a 2%?.
SOLUCION
a) La estimacin puntual de la proporcin p a favor de A en la poblacin, es la
proporcin a su favor en la muestra de n = 6 00 electores; esto es.
p = 240/600 = 0.40.
La estimacin del error estndar es
=z 0.975 =1.96
p z
^ p =0.40 0.0392
p (1 p )/n
=z 0.9 9 =2. 33
,y
p (1 p )/n=2.33 (0.40)(0.60)/600=0.0466
Luego, si con n = 600, p se estima en 0.40, se tiene una confianza del 98% de que el
error de la estimacin a favor de A no ser mayor a 4.66%.
de estimacin de p es:
e=z
p (1 p )/n
2
p (1 p )
z
(
)
n=
1
De donde resulta;
e2
En nuestro ejemplo
Se obtiene:
=z 0.9 7 =1.88
Luego, se tiene una confianza del 94 % que el error al estimar p no ser mayor que
0.02 si el tamao de la muestra es:
En efecto,
Luego de
p q = p (1 p )= p 1 + 1/4 1/4
2
e=z
p (1 p )/n
Resulta:
z
(
)
n
1
4 e2
Para 1 = 0 94,
=z 0.9 7 =1.88
Luego, se tiene una confianza del 94% que el error al estimar p no ser mayor de 0.02
si el tamao de la muestra es,
^ p =
p es:
p (1 p ) Nn
n
N1
n= z
Si se desconoce , p
1
2
( )
2
( )
1
N
pq
( N 1 )
pq+e
p =0.5.
B.2) Ejemplo 2
Una empresa va a hacer un estudio de mercado antes de lanzar un nuevo producto
hacia una poblacin de 30,000 consumidores.
a) Qu tamao de muestra deber escoger si quiere tener una confianza del 95% de
que error de la estimacin de la proporcin a favor del producto no sea superior al
4%?.
b) Si con el tamao de la muestra calculado en a) se utiliza
= 0.7 como
Utilizando el valor
n= z
( )
p (1 p )=1/4
=z 0.975=1.96
y N = 30,000 se tiene
N
pq
( 1.96 )2 (30,000)
=588.49 589
2
2
(12 )
p=
p ( 1 p )
n
), donde
)( NN n
1 )
De 22.217=N(
p z
p + z
p = 0.70, se obtiene p
) resulta
=2.17
= 0.0187,
1 = .097
Si las muestras son sucientemente grandes ocurre que una aproximacin para un
intervalo de conanza al nivel 1 para la diferencia de proporciones de dos
poblaciones es:
Ejemplo:
Se cree que la osteoporosis est relacionada con el sexo. Para ello sea elige una
muestra de 100 hombres de ms de 50 aos y una muestra de 200 mujeres en las
mismas condiciones. Se obtiene que 10 hombres y 40 mujeres con algn grado de
osteoporosis. Qu podemos concluir con una conanza del 95 %?
Solucin:
Llamamos p1 a la incidencia de la osteoporosis en las mujeres de ms de 50 aos y
p2 a la de los hombres. Calculemos un intervalo de confianza para la diferencia (p1
p2). Si 0 no forma parte de dicho intervalo con una confianza del 95% podemos decir
que p1 es diferente a p2 (con tal grado de confianza, por supuesto).
La estimacin puntual insesgada que podemos hacer de ambos parmetros a partir de
los datos muestrales son:
Es decir, tenemos una confianza del 95% en la afirmacin de que la diferencia entre la
incidencia de osteoporosis en mujeres y hombres esta entre 0,02 (2 %) y 0,18 (18 %).
Obsrvese que como 0% no es un valor de dicho intervalo puede concluirse con una
confianza del 95% que hay diferente incidencia de osteoporosis en hombres que en
mujeres para las personas de ms de 50 aos. Esta conclusin es algo ms pobre de
lo que hemos obtenido con el intervalo de confianza, pero visto de esta manera, este
ejemplo puede considerarse como una introduccin a los contrastes de hiptesis.
EJEMPLO
Se ponen a prueba la enseanza de la Estadstica empleando Excel y Winstats. Para
determinar si los estudiantes difieren en trminos de estar a favor de la nueva
enseanza se toma una muestra de 20 estudiantes de dos paralelos. De paralelo A 18
estn a favor, en tanto que del paralelo B estn a favor 14. Es posible concluir con un
nivel de significacin de 0,05 que los estudiantes que estn a favor de la nueva
enseanza de la Estadstica es la misma en los dos paralelos?.
Los datos son:
Decisin:
En una muestra se puede dar un conjunto de sucesos, los cuales ocurren con
frecuencias observadas "o"(las que se observa directamente) y frecuencias esperadas
o tericas "e" (las que se calculan de acuerdo a las leyes de probabilidad).
Por lo tanto el valor estadstico de prueba para este caso es la prueba ji cuadrado o
conocida tambin como chi cuadrado
Como sucede con las distribuciones t y F, la distribucin ji cuadrado tiene una forma
que depende del nmero de grados de libertad asociados a un determinado problema.
Para obtener un valor crtico (valor que deja un determinado porcentaje de rea en la
cola) a partir de una tabla de ji cuadrado, se debe seleccionar un nivel de significacin
y determinar los grados de libertad para el problema que se est resolviendo.
EJEMPLO:
Solucin:
Decisin: