UNIVERSIDAD

NACIONAL PEDRO
RUIZ GALLO

CURSO:
FÍSICA I
TEMA:

ALGEBRA VECTORIAL

ESTUDIANTE:

MÍÑ OPE ALARCÓ N ABRAHAM JOSUÉ

DOCENTE:

AUGUSTO SABA EFFIO

FECHA:
05/09/2020
1
CONTENIDO N°
pá gina

1. Resumen………………………………………………………3

2. Objetivo………………………………………………………..4

2.1. Aplicar la teoría de suma de vectores…………………..4

2.2. Aplicar las ecuaciones de producto escalar y

Producto vectorial………………………………………………4

2.3. Calcular los á ngulos directores de un vector………..4

3. Marco Teó rico………………………………………………...4

3.1. Aná lisis Vectorial………………………………………………...

3.2. Fuerzas……………………………………………………………….

4. Materiales y equipo virtual……………………………15

 Simulador “ Geogebra 3D ”………………………………..

5. Procedimiento…………………………………………15

6. Resultado- Cuestionario…………………………...18
7. Conclusiones……………………………………………42
8. Bibliografía……………………………………………..42

2
 1. RESUMEN:
Estudiar física es una aventura interesante y
estimulante. Ser un físico profesional es aú n
má s interesante. Es quizá s una de las
actividades má s placenteras del saber
humano. (J. Finn, M. A. E. (1995).Física, vol.1
mecánica)
Mediante el presente informe de laboratorio
se busca aprender a usar la calculadora
geogebra para desarrollar ejercicios de
Física Vectorial, con el propó sito de generar
una mejor visualizació n del ejercicio, para
una mejor comprensió n del problema y una
mayor precisió n en la respuesta. Los
siguientes procesos nos detallaran la
manera correcta de có mo aplicar esta
calculadora.

3
2. OBJETIVO:
 Aplicar la teoría de suma de vectores.
 Aplicar las ecuaciones de producto
escalar y producto vectorial.
 Calcular los á ngulos directores de un
vector.
3. MARCO TEÓ RICO
3.1. Aná lisis vectorial
Definición de Vector

Es un ente matemático que nos sirve para representar a las

magnitudes de carácter vectorial. Se trata de segmentos de
recta con orientación; si se dibujan a escala se representa la
medida de la cantidad.

Para representar la dirección de las cantidades vectoriales se

han ideado a los VECTORES.

Ejemplos: Desplazamiento, velocidad, fuerza, impulso,

aceleración, campo eléctrico, etc.

Elementos de un Vector

4
Módulo: Llamado también NORMA o TAMAÑ O, es la
medida de la longitud del vector, el mó dulo se representará
mediante la notació n:

Si un vector no aparece con flecha encima se sobreentiende

que se refiere al mó dulo, como lo vimos anteriormente.

Dirección: Es el á ngulo que forma el vector con respecto a

un sistema de coordenadas cartesianas (por lo general se
toma la orientació n con respecto al semieje positivo de las
abscisas).

Sentido: Representado por la flecha del vector.

Línea de Acción: Es aquella línea donde se encuentra

contenido el vector a través de la cual puede deslizarse.

Representación Analítica de un Vector

Dados dos puntos A y B que determinan un vector sobre el
plano, la forma vectorial se define por:

Clasificación de los Vectores

Vectores Colineales:
Son aquellos que se encuentran contenidos en una misma
línea de acció n.

5
Vectores Iguales: Dos vectores será n iguales
cuando tienen la misma dirección, módulo y sentido.

Vector Unitario: Es aquel cuyo mó dulo es la unidad

y tiene por misió n indicar la direcció n y sentido de un

determinado vector.

Vectores Paralelos: Son aquellos que tienen sus

líneas de acció n paralelas entre sí.

Vectores Coplanares: Son aquellos vectores que

se encuentran contenidos en un mismo plano.

6
 

Vectores opuestos: Dos vectores será n opuestos

cuando tienen igual direcció n, mó dulo pero sentido
contrario.

Vectores concurrentes: Son aquellos que sus

líneas de acció n se cortan entre sí, en un mismo punto.

Se observa que las líneas de acció n de los tres concurren en el
punto “O”, por lo que son concurrentes

Operaciones con Vectores

Adición de Vectores: Al vector “suma” también se
le llama resultante, la resultante produce el mismo efecto
que los sumandos.

1. Método del Triángulo: Este método es só lo para dos

vectores coplanares y concurrentes

7
Pasos a seguir:

 Se forma el triá ngulo, cuando son “SÓLO” 2 vectores

 Para hallar el valor de la resultante se aplica la Ley de Lamy
o de senos:

2. Método del Paralelogramo

Pasos a seguir:

 La suma o resultante es la diagonal del paralelogramo

formado.
 La suma o resultante se denota:

Analíticamente:

3. Método del Polígono

 Método del Polígono Abierto: Se usa generalmente para
sumar má s de dos vectores. Se colocan uno a continuació n
del otro, manteniendo constante su VALOR, DIRECCIÓ N y
SENTIDO. La resultante es el vector que parte del origen del
primero y llega al extremo del ú ltimo. Ejemplo:

8
  Método del Polígono Cerrado: En este caso todos
tienen la misma secuencia (horario). El extremo del
ú ltimo llega al origen del primero.

Diferencia de Vectores
La diferencia de vectores es llamada también resultante
diferencia.

Producto escalar o producto punto

El producto escalar o producto punto entre dos vectores se
define como el producto de sus módulos por el coseno del
ángulo   que forman. El resultado de esta operación es un
número o escalar.

9
Propiedades del producto escalar:
1.  Conmutativa:

2.  Distributiva respecto a la suma vectorial:

3.  Asociatividad respecto al producto por un escalar m:

Beneficios del producto escalar:

 Angulo entre dos vectores: La expresión geométrica del
producto escalar permite calcular el coseno del ángulo
existente entre los vectores.

 Vectores ortogonales: Dos vectores son ortogonales o

perpendiculares cuando forman ángulo recto entre sí. Si el
producto escalar de dos vectores es cero, ambos vectores son
ortogonales; ya que el coseno de π/2 es 0.

 Vectores paralelos o en una misma dirección: Dos

vectores son paralelos o llevan la misma dirección si el
ángulo que forman es de 0 grados o 180 grados. Cuando dos
vectores forman un ángulo cero, el valor del coseno es la
unidad, por lo tanto el producto de los módulos vale lo
mismo que el producto escalar.

Producto vectorial o producto cruz

El producto vectorial o producto cruz es una operación
binaria entre dos vectores en un espacio tridimensional. El
resultado es un vector perpendicular a los vectores que se
multiplican, y por lo tanto normal al plano que los contiene.

10
El producto cruz se puede calcular de la siguiente manera:

Que da origen a la llamada regla de la mano derecha o regla del

sacacorchos: girando el primer vector hacia el segundo por el
ángulo más pequeño, la dirección de   es el de un
sacacorchos que gire en la misma dirección.

Identidades:
Cualesquiera que sean los vectores  ,   y  :

1.  Anti conmutatividad: 

2.  Cancelación por ortogonal dad:  

3.  Si   con   y  ,  .

4.   .

5.  Regla de la expulsión: 

6. Identidad de Jacobi:  

11
7. , en la expresión del término de la
derecha, sería el módulo de los vectores   y  , siendo  , el
ángulo menor entre los vectores   y  ; esta expresión relaciona
al producto vectorial con el área del paralelogramo que definen
ambos vectores.

8.  El vector unitario   es normal al plano que

contiene a los vectores   y .

3.2. Fuerzas
 Definició n de Fuerza
Denominamos fuerza a toda acció n capaz de producir
cambios en el movimiento o en la estructura de un cuerpo.
Si empujamos una bola con el dedo le estaremos aplicando
una fuerza. Tras aplicarla caben varias posibilidades. Una de
ellas es que empiece a moverse. Otra es que se deforme.
Dependiendo de dó nde la apliquemos, en qué direcció n,
sentido o cantidad, la bola se moverá o deformará hacia un
lado o a otro. Por tanto, es ló gico pensar que las fuerzas
tienen un carácter vectorial, de hecho son magnitudes
vectoriales.
Como vector que és, las fuerzas se representan como una
flecha, que se caracterizan por su longitud (mó dulo), donde
se aplica (punto de aplicació n), su direcció n y sentido.

12
La fuerza es una magnitud vectorial que representa toda causa
capaz de modificar el estado de movimiento o de reposo de un
cuerpo o de producir una deformación en él.
Su unidad en el Sistema Internacional es el Newton (N). Un
Newton es la fuerza que al aplicarse sobre una masa de 1 Kg le
provoca una aceleració n de 1 m/s2.

 Unidad de Fuerza

Adicionalmente al Newton (N) suelen utilizarse otras unidades

para medir las fuerzas. Entre ellas podemos encontrar:

 dina (d). 1 d = 10-5 N
 kilopondio (kp). 1 kp = 9.8 N
 libra (lb, lbf). 1 lb = 4.448222 N

 Efectos de las fuerzas

Tal y como hemos visto anteriormente, las fuerzas son las

responsables de producir:

 cambios de velocidad, o lo que es lo mismo, aceleració n

 deformaciones en un cuerpo.

En el primer caso, si la direcció n de la fuerza que se aplica a un

cuerpo libre no pasa por su centro de gravedad, le producirá un
movimiento de rotació n (giro) y un movimiento de traslació n
(desplazamiento). ¿Has probado a golpear un baló n con el pié
justo por el borde y no por el centro?. ¿A qué la pelota a parte de
salir disparada comienza a girar? La combinació n de ambos
movimientos hace que describa una pará bola.

13
Torque de una fuerza:
Cuando se aplica una fuerza en algú n punto de un cuerpo
rígido, dicho cuerpo tiende a realizar un movimiento de
rotació n en torno a algú n eje.

Ahora bien, la propiedad de la fuerza aplicada para hacer

girar al cuerpo se mide con una magnitud física que
llamamos torque o momento de la fuerza.
Entonces, se llama torque o momento de una fuerza a la
capacidad de dicha fuerza para producir un giro o rotació n
alrededor de un punto.

La puerta gira cuando se aplica una fuerza sobre ella; es una

fuerza de torque o momento
Para explicar grá ficamente el concepto de torque, cuando se
gira algo, tal como una puerta, se está aplicando una fuerza
rotacional. Esa fuerza rotacional es la que se
denomina torque o momento.
Se define el torque τ de una fuerza F que actú a sobre algú n
punto del cuerpo rígido, en una posició n r respecto de
cualquier origen O, por el que puede pasar un eje sobre el
cual se produce la rotació n del cuerpo rígido, al producto
vectorial entre la posició n r y la fuerza aplicada F, por la
siguiente expresió n:
Τ =r⃗ × ⃗
⃗ F

14
4. MATERIALES Y EQUIPO VIRTUAL
 SIMULADOR 3D “GEOGEBRA”

5. PROCEDIMIENTO
Ingresa al simulador “Geogebra 3d”
https://www.geogebra.org/3d?lang=en
Aparecerá la siguiente ventana:

15
 5.1. Explore el simulador y familiarícese con los controles.

5.2. Actividad 01: Análisis del problema N° 2.109 (fig. N°1)

del texto “mecánica vectorial para ingenieros – estática”,
de los autores Beer – Johnston, utilizando geogebra.

Fig. N° 1.- Problema 2.109 del texto “mecá nica vectorial para
ingenieros – está tica”. Beer – Johnston

5.2.1. Resuelva el problema analíticamente

5.2.2. Grafique los vectores tensió n AB, AC y AD
5.2.3. Utilizando Geogebra, halle la resultante de las tensiones
5.2.4. Usando la sentencia “Vector Unitario (…)” de Geogebra, halle
los vectores unitarios de las tensiones.
5.2.5. Halle el mó dulo de cada vector (esto se consigue escribiendo
el vector en su forma polar) o midiendo la “longitud” del vector.

16
5.2.6. Utilizando la sentencia Angulo entre dos rectas, halle los
á ngulos directores de la tensió n AB
5.2.7. Traslade adecuadamente los vectores tensió n, uno a
continuació n de otro y verifique si estos forman una figura
cerrada con la resultante.
5.2.8. Usando la funció n á ngulo, halle el á ngulo formado por los
vectores: tensió n AB y la tensió n AC.
5.2.9. Usando la funció n “Producto escalar”, halle el producto
escalar entre la tensió n AB y la tensió n AC
5.2.10. Halle el producto vectorial entre la tensió n AB y AC

5.3. Actividad 02:

5.3. Resuelva el siguiente problema utilizando ú nicamente
Geogebra.

17
6. Resultado y cuestionario
6.1. Actividad 01
6.1.1 ¿Coincide la resultante de las tensiones, hallada con
Geogebra, con su solució n analítica? Explique y presente una
grá fica de la suma de vectores.
Respuesta:
Sí, si coincide, primero resolví analíticamente el ejercicio y luego
grafique con la calculadora geogebra, he aquí mi desarrollo y el
desarrollo con geogebra.

Fig. N° 1.- Problema 2.109 del texto “mecá nica vectorial para
ingenieros – está tica”. Beer – Johnston.
 Resuelva el problema Analíticamente.
SOLUCIÓN:

18
ΣF=0: ^
T AB+ T AC +T AD+ P k=0

AB= 30 i−45
⃗ ^ ^j−90 k^ AB=105ft
AC = 65 i+
⃗ ^ 30 ^j−90 k^ AC=115ft
AD= −60 i+
⃗ ^ 20 ^j−90 k^ AD=110ft
 T AB=T AB . u^ T
⃗
AB ; pero: u^ T AB =^u AB

T AB=T AB ( u^ AB )
⃗

AB
⃗
T AB=T AB
⃗
AB ( )
^
30 i−45 ^j−90 k^
T AB=630
⃗
(105 )
T AB=¿)
⃗

 T AC =¿ T AC . u^ T
⃗
AC ; pero: u^ T AC =u^ AC
⃗ AC
⃗T AC =¿ T AC .
AC ( )
^ ^ ^
T AC =¿ T AC . 65 i+ 30 j−90 k
⃗
( 115 )
13 ^ 6 ^ 18 ^
⃗T AC =¿ T AC . (
i+
23 23
j− k
23 )
 T AD=T AD . u^ T
⃗
AD
u^ T =u^ AD
; pero: AD

AD
⃗
T AD=T AD .
⃗
AD( )
^ ^ ^
T AD=¿ T AD.( −60 i+20 j−90 k ¿
⃗
110
−6 ^ 2 ^ 9 ^
T AD=¿ T AD .
⃗
(
i+ j− k
11 11 11 )
19
Sustituimos el equivalente ΣF=0 y luego
factorizamos i, j, k:
T AB+ ⃗
⃗ T AC +⃗ ^
T AD+ P k=0

( 13 6
 ¿)+T AC . 23 i^ + 23 ^j− 23 k^
18
) (−6 2 9
+T AD . 11 i^ + 11 ^j − 11 k^ ) +
P k^ = 0
13 −6
( ) ( )
 (180+T AC . 23 + T AD . 11 ) i^ +

6 2
¿ T AC . ( ) +T ( ) ¿ ^j +
AD .
23 11
¿

13 −6
i^ : 180 lb+T AC . ( ) ( )
23
+T AD .
11
=0

6 2
^j : −270 lb+ ¿ T . ( ) +T ( )=0
AC AD .
23 11

−18 −9
−540 lb+T . ( ) +T (
11 )
k^ : AC + P=0
AD .
23

POR LO TANTO:
T AC =467.42 ^ 122 ^j−365.8 k^ )
T AC =(264.2 i+
⃗

T AD=814.35 T AD=¿3k^ ¿
⃗

T AB=630 ^
T AB=(180 i−270
⃗ ^j−540 k^ )

P=1572.1

R = 1572.1

20
Solució n por método de Gauss:
Sistema de ecuaciones lineales.

21
 Graficando los vectores tensió n AB, AC y AD
1. Graficando los puntos AB, AC Y AD

22
23
  Utilizando Geogebra, halle la resultante de las
tensiones.
Primero sumamos los vectores:

Luego unimos el vector utilizando la herramienta

Y hallamos su mó dulo midiendo ese vector:

24
*Le quite los ejes para que se pueda apreciar mejor.

6.1.2 ¿Coinciden los vectores unitarios de las tensiones y

sus mó dulos, hallados con Geogebra, con su solució n
analítica? Explique.
Respuesta:
Sí, sí coinciden; he aquí mi desarrollo analítico y mi
desarrollo con la calculadora geogebra:
^
T AB=(180 i−270
⃗ ^j−540 k^ )
T AB=630

T AB (180 i−270
⃗ ^ ^j−540 k^ )
VECTOR UNITARIO: =
T AB 630
T AB
⃗
^
=(0.29 i−043 ^j−0.86 k^ )
T AB

^ 122 ^j−365.8 k^ )
T AC =(264.2 i+
⃗
T AC =467.42

T AC (264.2 i+122
⃗ ^ ^j−365.8 k^ )
VECTOR UNITARIO: =
T AC 467.42
T AC
⃗
^
=( 0.57 i+0.26 ^j−0.78 k^ )
T AC

T AD=¿3k^ ¿
⃗

T AD=814.35
T AD (−442.2 i+148
⃗ ^ ^j−666.3 ^k)
VECTOR UNITARIO: = ¿
T AD 814.35
T AD
⃗
^ 0.18 ^j−0.82 k^ )
=(−0.55 i+
T AD

25
Desarrollando con geogebra:
 Hallando los Vectores Unitarios de las tensiones
utilizando Geogebra.

Paso N°1: Una vez hallado los Vectores; graficar los

vectores utilizando este comando
Podemos llegar a él, haciendo click en
Que se encuentra en la parte superior de la ventana
algebraica.

26
Paso N°2: En la ventana algebraica utilizamos el
comando vector unitario y escogemos el nombre que le
pusimos al vector.

6.1.3. ¿Se verifica la igualdad cos 2 α +cos 2 β +cos2 γ=1 de los

á ngulos directores de la tensió n AB?
Respuesta:
 Podría decirse que sí, ya que el resultado solo se
diferencia en decimales después de varios ceros
después de la coma, he aquí mi desarrollo.
Utilizando la sentencia Angulo entre dos rectas,
hallamos los á ngulos directores de la tensió n AB.
180
cos α= cos−1 ¿
630

Eje X:

27
Eje Y:
−270 −270 °
cos β= cos−1 ( ¿ )= β=115.38 ¿
630 630

Eje Z:
−540 −540
cos γ = cos−1 ( )=γ =149°
630 630

28
Luego, verificamos la igualdad:
cos α 2 +cos β 2 +cos γ 2=1
cos 73.4 2+ cos 115.382 +cos γ 1492=1.000068544
Vemos que el resultado solo varía en los ú ltimos
decimales pero un aproximado podríamos decir que si se
verifica la igualdad.
6.1.4 ¿Los vectores tensió n y resultante, forman
una figura cerrada?. Muestre la grá fica.
Sí, si forma una figurada cerrada, he aquí mi
grá fica. Para una mejor apreciació n quite los ejes.
Lo pude graficar con la herramienta equipolente;

que se encuentra en herramientas bá sicas, en la

secció n “Líneas especiales”

29
6.1.5 Halle analíticamente el á ngulo (usando por ejemplo
el producto escalar) entre las tensiones AB y AC y
verifique el resultado con el Geogebra.

 Usando la funció n á ngulo, hallé el á ngulo formado

por los vectores: tensió n AB y la tensió n AC.

T AB y ⃗
El á ngulo entre ⃗ T AC es igual a 43.9 °

30
Analizando analíticamente

6.1.6. Halle los productos escalar y vectorial entre las

tensiones AB y AC y compá relo con los obtenidos con el
simulador.
 Usando la funció n “Producto escalar”, hallamos el
producto escalar entre la tensió n AB y la tensió n
AC.
Nó tese que:

31
Por lo tanto:

El producto escalar sería igual a 21267.4

 El producto vectorial entre la tensió n AB y AC

Hacemos lo mismo que hicimos con producto escalar;
escribimos “ProductoVectorial” en el campo de entrada y
dentro del paréntesis escribimos los vectores.

El producto vectorial será igual a

(164612.9; -76819.35; 93280.65)

PRODUCTO ESCALAR

32
PRODUCTO VECTORIAL

6.1.7 Sumando los torques de cada tensió n, halle

la resultante de los torques de las tensiones
respecto al punto “o”.
La resultante sería 0 porque está en equilibrio,
por lo tanto la resultante sería (0,0,0) , he aquí mi
desarrollo
Hallando analíticamente los Momentos

33
Ahora utilizando el geogebra:
Graficamos el vector posició n:

Luego hallamos el momento de la tensió n AB,

multiplicando el vector posició n por el vector tensió n AB

34
Luego hallamos el momento de la tensió n AC,
multiplicando el vector posició n por el vector tensió n AC

Luego hallamos el momento de la tensió n AD,

multiplicando el vector posició n por el vector tensió n AD

Ahora sumando momentos:

35
Actividad 02: Resuelva el siguiente problema
utilizando ú nicamente Geogebra.

Primero graficamos los puntos:

36
Luego graficamos los vectores BA Y BC:

Luego Hallamos los vectores unitarios de los vectores BA

Y BC:

37
Ahora multiplicamos los mó dulos de las tensiones
por el vector unitario, para hallar los vectores
tensiones.

Ahora sumamos los vectores tensiones:

38
Luego ubicamos el vector posició n:

39
Luego realizamos un producto vectorial y nos saldría el momento

resultante, que nos quedaria sobre el plano xy:

Desarrollo analiticamente:

40
41
7. CONCUSIONES
 Mediante el desarrollo de este informe laboratorio y el uso
práctico de la calculadora se pudo demostrar el desarrollo de de
los ejercicios de “Física Vectorial”.
 Se pudo apreciar mejor la gráfica de los vectores, los ángulos,
resultante, etc.
 Mediante los cálculos analíticos y con ayuda de la calculadora
se pudo verificar la igualdad de los resultados de dichos ejercicios.

8. BIBLIOGRAFÍA
Marcelo Alonso, Edward J. Finn. “Física Vol. II, campos y ondas”.
Fondo educativo interamericano. España 1980.
Ferdinand P Beer, E. Russell Johnston Jr., Elliot R. Eisenberg.
“mecánica vectorial para ingenieros: Estática”, octava edición,
editorial Mc. Graw – Hill, 2005. Disponible en
https://hellsingge.files.wordpress.com/2013/05/mecnica-vectorial-
paraingenieros-8-edicion.pdf , acceso enero del 2020.

42