GLOSARIO 1

1ro AL “B”

VECTORES

Aceleración: Es una relación que se da entre el cambio de velocidad y el tiempo en el

cual se realizó el cambio se cierto objeto o partícula

Para hallar la aceleración utilizamos la siguiente formula

Aceleración centripeta de vectores: Está dirigida hacia el centro del círculo (eje) y es
perpendicular a la velocidad de la partícula que gira.

Aceleración tangencial: es un vector que esta sobre la tangente del punto de la

circunferencia y cuyo sentido es igual al de giro y que cambie la magnitud del vector
velocidad del cuerpo. (Máximo & Alvarenga, 2014)
∆𝜔
∗�
𝑎𝑡 = ∆�

Donde ∆𝜔 es la variación de la velocidad angular dividido para la ∆� es la variación

de
tiempo multiplicado por el radio r de la circunferencia.

Anclado: los vectores que presentan esta característica están sometidos en su punto de
ubicación a permanecer fijos o anclados en su punto ubicado en el plano, no presentan
ningún tipo de movimiento en su ubicación son característicos propios de un vector
posición
El punto de aplicación no posee ningún movimiento.

Angulo comprendido entre vectores: Para poder sacar el ángulo mediante la función
coseno, se aplica la siguiente formula:

= ⃗∗
cos 𝜃 �
�⃗ |
�||�|

En la que �⃗∗ �⃗son vectores y |�||� | son módulo de los vectores. (Denis, 2016)

Ángulos Directores: Forman al vector con los eje x e y positivos del sistema de
coordenadas y varía entre 0 y 180 .Por lo tanto α es el que forma el vector con en el eje
x (positivo) y β es el vector que forma con el eje y (positivo).

Angulo de Depresión: El ángulo de elevación es el ángulo que se forma entre la visual

de un observador que mira hacia abajo y ala horizonte.

ángulo de Elevación. - Es el ángulo que se forma entre la visual de un observador que

mira hacia arriba y la horizontal
ángulo de Orientación

 Ángulos Positivos.- Son aquéllos que abren en sentido opuesto a las manecillas
del reloj.

 Ángulos Negativos.- Son aquéllos que abren conforme el sentido de las

manecillas del reloj.

Cantidad: es todo aquel susceptible a un cambio que puede ser medido.

Cantidad vectorial: son aquellas cantidades que posee modulo, dirección y sentido.

Cantidad escalar: son aquellas que están definidas al especificar un número que las

mide.

Cosenos: El coseno es una función matemática utilizada en trigonometría se representa

como COS de un ángulo agudo define como la razón entre el cateto y la hipotenusa.

Coordenadas Geográficas: Un vector esta expresado en coordenadas geográficas

cuando está definido por un par ordenado: (A, rumbo), donde A es el modulo del
vector y rumbo indica la dirección.

Ejemplo:
Coordenadas Polares: Formadas por un eje numérico de referencia “x” conocido como
eje polar, y un origen de coordenada O, conocido como origen o polo, la posición se
establece por un par ordenado (A, θ); donde A representa el modulo del vector y θ el
ángulo medido desde el eje positivo de las “x” en sentido anti horario.

Ejemplo: Representar la posición del siguiente vector en el plano.

Coordenadas Rectangulares: Es un sistema de referencia, ya sea a un solo eje (línea

recta), a dos ejes (un plano) o a tres ejes (en el espacio), son perpendiculares entre si y
cortan en un punto llamado origen de coordenadas. Un vector queda expresado en
función de sus coordenadas cuando tiene como punto inicial el punto (0, 0) y punto
extremo el punto (Ax, Ay), donde cada coordenada recibe el nombre de componente
rectangular.
Ejemplo: Representar la posición del siguiente vector en el plano.

�⃗

⃗= (5, 4) m/s

Dirección: es la di rección d e la recta qu e con tiene al v ecto r o de

cu alq uier recta p aral el a a ell a est á repres ent ad a po r l a p unt a d e l a fl
echa.

Determinante: El determinante indica una serie de propiedades, el mismo estudia el

número de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales. En este caso se determina
a base de una matriz, en la cual se añade los términos a determinar:
Desplazamiento Es la longitud medida sobre la trayectoria recorrida por el objeto o
partícula al moverse de un lugar a otro

Eje de coordenadas: Forman dos ejes perpendiculares que se cortan entre si en el punto
de origen , como son el eje horizontal de las X o abscisas y el de las Y u ordenadas , en
ciertos se utiliza el eje de las Z.

Equivalente: Dos vectores pueden ser de diferentes aspectos no tener similitudes, pero
pueden producir los mismos resultados siendo iguales en la obtención final del
resultado.

Por ejemplo, al aplicar en un extremo de una balanza una fuerza y en el otro extremo
esta otra se puede equilibrar el peso en ambos, aunque la fuerza aplicada en el extremo
sea pequeña.

En conclusión, los vectores pueden ser diferentes, pero pueden producir los mismos
efectos o resultados.

Ilustración 1: vectores
Fuente: slideshare
Forma de expresar un vector: se puede expresar de formas diferentes:

 La primera en función de sus proyecciones en la que todo vector puede

expresarse como la suma de sus componentes vectoriales.

 La segunda en función de sus coordenadas, podemos expresar la

coordenada de origen o la coordenada de origen y extremo.

 La tercera en función de las coordenadas terrestres, en la cual se conoce

el módulo los ángulos de elevación o depresión y los ángulos de
orientación.
  La cuarta forma es en términos de su módulo y unitario en el cuál se
puede expresar directamente el módulo de un vector en un gráfico o
directamente.

Funciones trigonométricas: también llamada circular, son las funciones relacionadas

con las razones trigonométricas de un ángulo, en las que tienen valores diferentes
representadas en radianes. Las funciones trigonométricas son: seno, coseno, tangente,
cosecante, secante y cotangente. (Cinamet, 2016)

Homogeneidad: como principal característica decimos que las propiedades fiscas son
homogéneas. Con ello nos dices que cada miembro o cada uno de las sumas o sumandos
deben de ser del mismo tipo:

Por ejemplo, decimos que:

Una cantidad vectorial es igual a otra cantidad vectorial, y una cantidad escalar es igual
a otra cantidad escalar.

Pero nunca una unidad escalar es igual a una unidad vectorial.

Igualdad de dos vectores: Dos vectores si tienen la misma magnitud y la misma

dirección. Esta propiedad permite trasladar un vector paralelo a sí mismo en un
diagrama, sin afectarlo. En realidad, para la mayoría de los propósitos cualquier
vector se puede trasladar paralelo a sí mismo sin ser afectado.

N
Ley de cosenos: la ley de cosenos se aplica en todos los triángulos relacionado con un
ángulo formando dos lados.

Método del paralelogramo es un procedimiento gráfico sencillo que permite hallar la

suma de dos vectores.

 Primero se dibujan ambos vectores (a y b) a escala, con un mismo punto de

origen.
 Seguidamente, se completa un paralelogramo, dibujando dos segmentos
paralelos a ellos.
 Como resultado se obtendrá el vector suma resultante (a+b) que será la
diagonal del paralelogramo con origen común a los dos vectores originales.
Método del polígono: Se sigue el método del triángulo con este método se suman más
de dos vectores.

El método consiste en colocar en secuencia los vectores manteniendo su magnitud, a

escala, dirección y sentido; es decir, se coloca un vector a partir de la punta flecha del
anterior.

Para sumar vectores con el método del polígono, se hace lo siguiente:

1. Se escoge una escala adecuada para dibujar los vectores.

2. Se gráfica el primer vector, partiendo del punto que se considera como origen.
3. Se dibuja el segundo vector haciendo coincidir su origen con el vértice de la
flecha del primer vector. Se repite el procedimiento uniendo el origen de cada
nuevo vector con el vértice con el extremo del anterior.
4. Se traza el vector resultando partiendo del origen del primer vector con el vértice
del último vector.
5. Con regla y transportador se mide el vector resultante y la dirección.

Modulo: El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define, el

mismo que es siempre positivo excepto el modulo del vector nulo ya que este es cero.

Multiplicación de vectores: Pueden ser iguales o diferentes unidades.

 Producto punto: Escalar

Al multiplicar escalarmente dos vectores, se obtiene como resultado “un número”.

Dicho número se obtiene multiplicando los módulos de los vectores y por el
coseno del ángulo que forman dichos vectores.
 Siempre obtengo un escalar.
Se aplica para conocer el ángulo de sus vectores.

 Propiedades del producto punto

El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es positivo:

 Aplicación del producto punto

Angulo comprendido entre dos vectores

A • B = lAl lBl cos θ
i • i = 1 (θ = 0)
j•j=1

k•k=1
Proyección de A sobre B
 

Negativo de un vector: El negativo de un vector se define como el vector que da cero.

Propiedad positividad: Es una propiedad del producto escalar en que el vector debe ser
mayor o igual que cero. (FísicaNet, 2016)

�⃗≥ 0

Producto cruz: El producto de un vector A por un vector B da como resultado un

vector C. Para obtener este producto vectorial o producto cruz se utiliza la siguiente
fórmula.

Par Ordenado: es un conjunto que está formado por dos elementos, en el cual el orden
de estos no se puede cambiar , ya que este permite saber cuál es el primero y cual va
segundo . También permite ubicar en un sistema rectangular de ejes coordenados un
ejemplo.
Plano: es un representación gráfica, que esta compuestas por rectas numéricas , en
vectores de 2D se utiliza el plano X,Y , mientras que en el 3D se utiliza el XY , YZ, XZ.

Producto Escalar: El producto escalar es una multiplicación entre dos vectores que da
como resultado un escalar.

Propiedad Conmutativa: La suma de un vector u más un vector v es lo mismo que la

suma del vector v más el vector u

Propiedad Distributiva: el producto entro un vector c y un vector u es igual a c(a+b).

Proyección de un vector:La proyección de un vector ortogonal es la longitud de un

vector sobre otro, en la cual tiene dirección y sentido, la proyección tiene que ser igual,
opuesta o igual al sentido del vector original.

Para poder hallar el vector proyección hay que dar dirección y sentido:
Resta de vectores: Dado un vector V se define el negativo de ese vector (-V) como un
vector con la misma magnitud que V, la misma dirección, pero en sentido opuesto.

-V

La diferencia entre dos vectores A y B se define como:

A – B = A + (- B)

De modo que podemos aplicar las reglas de la suma vectorial para restarlo donde – B es
el inverso aditivo del vector B, gráficamente expresamos:

Seno: Es una función matemática utilizada en trigonometría que se representa de dos

maneras SEN y 2\pi, sirve para determinar ángulos y distancias de un triángulo.
Sentido: Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector,
indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.

Segmento: Es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos, llamados
puntos extremos o finales.

Suma de vectores: Cuando dos o más vectores se suman, todos deben tener las mismas
unidades. Los vectores se pueden sumar geométrica y algebraicamente.

Tangente: La tangente es una función matemática utilizada en trigonometría se

representa como TAN de un Angulo es la razón entre catetos opuesto y adyacente.

En geometría la tangente es una curva que forma un Angulo nulo.

Triada Ordenada: Es un conjunto formado por tres coordenadas cuyo orden de no se

puede cambiar y que permite localizar un punto en el espacio.

Vector: es un segmento de recta que tiene modulo, dirección y sentido, en un sistema

de unidades seleccionado.

Vectores libres o flotantes: son aquellos vectores cuyo punto puede moverse en el
espacio sin alterar sus efectos.

Vector nulo: es cuando el modulo del vector es cero y carece de dirección y sentido
(Vallejo & Zambrano, 1995)

Vectores unitarios: su módulo es la unidad. Para obtener el vector unitario lo que se

procede a hacer es dividir el vector por su módulo, para hallar el módulo se utiliza el
teorema de Pitágoras. El vector unitario posee siempre la misma dirección y sentido que
el vector y no tiene unidades.

Vectores deslizantes: Son aquellos que pueden trasladarse a lo largo de su recta desde
cualquier parte del plano cartesiano.

Vector en 3d: es un segmento originado en el punto (0,0,0) hacia otro punto, trazado en
un sistema de coordenadas tridimensional con los puntos de coordenadas (x,y,z)

(Matemática Online, 2016)

Velocidad: Es una relación que se da entre el desplazamiento realizado por un objeto o
partícula en un intervalo de tiempo. Para hallar la velocidad se utiliza la siguiente
fórmula:
 COORDENADAS CILINDRICAS

Angulo Azimutal: muestra el ángulo que se forma del vector posición proyectado
tridimensionalmente sobre el plano XY que se forma con el eje X.

Aceleración transversal: Cambio de velocidad en un tiempo establecido con un marco

de referencia en rotación.

Ángulo polar: Ángulo que forman el eje polar y un radio vector, en un sistema de
coordenadas polares. El numero positivo r se llama distancia radial o radio vector de P, y
θ. Es un Ángulo polar o argumento. Por esta razón asignamos al origen la distancia
radial r=0, y convenimos en que cualquier número real θ puede usarse como ángulo
polar.

Aceleración de coriólisis: El método de la diferencia de velocidades ofrece una

expresión clara de relaciones básicas entre la velocidad y la aceleración en las que hay
deslizamientos sobre guías móviles. Se utiliza para medir estas magnitudes en planos
con coordenadas esféricas, un ejemplo práctico es el planeta Tierra.

Cilíndricas.- es establecer una biyección entre el conjunto de puntos de espacio

tridimensional y el conjunto de ternas (r,θ,z), donde:

� ∈ 𝑹, �𝑎� ��� � > 0

𝜃 ∈ 𝑹, �𝑎� ��� 0 ≤ 𝜃 < 2�

�∈𝑹
Además, están relacionadas con las coordenadas cartesianas por las ecuaciones:

� = ����𝜃

� = ��𝑖�𝜃

�=�

Coordenadas transversal: Es un sistema de coordenadas, que se construye como la

proyección normal, pero en vez de hacerla tangente al Ecuador, se la hace secante a un
meridiano. Se expresan en metros únicamente al nivel del mar.
Coordenada Vertical: Un sistema de coordenadas verticales define el origen para los
valores de altura o profundidad. La unidad de medida siempre es lineal (pies
internacionales o metros), Para cada tipo, la dirección del eje z es positiva "arriba" o
"abajo", respectivamente.

Coordenadas ortogonales.- Los específicos sistemas de coordenadas ortogonales son

estos factores de escala h1, h2 y h3en lo cual pueden ser identificados por la relación

��𝑖 = ℎ𝑖 ��𝑖 para algún ��𝑖 dado, manteniendo los otros �𝑖 constantes.
Coeficiente de Variación: Es un número sin dimensiones, es decir, que no depende de
la unidad empelada para medir las variables. Esta medida será la que permita deducir,
entre dos poblaciones, cuál es la que presenta mayor dispersión. Se define como el
cociente entre la división típica y la medida de la distribución, aunque algunos autores
multiplican este cociente por 100, es decir:

1)

Coordenada Radial: Es la distancia de un punto r desde el origen. Sus valores posibles

van desde 0 a ±α.

Curvatura: es la magnitud de la fuerza necesaria para mover un objeto con rapidez

constante a lo largo de una trayectoria curva.
Diferencial de línea: Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas
cilíndricas, viene dado por

Diferencial de volumen: El volumen de un elemento en coordenadas curvilíneas

equivale al producto del jacobiano de la transformación, multiplicado por los tres
diferenciales. El jacobiano, a su vez, es igual al producto de los tres factores de escala,
por lo que

que para coordenadas cilíndricas da:

Diferenciales de superficie: En el caso particular de las coordenadas cilíndricas, los

diferenciales de superficie son

Distancia radial: es la trayectoria de un punto a la recta z en un sistema tridimensional

que identificaría el radio del cuerpo volumétrico.

Dirección Radial: Es igual a la razón de cambio de la posición radial r.

Dirección Transversal: Es el ángulo contrario a las manecillas del reloj entre una línea
de referencia fija y el eje r.
Ecuaciones diferenciales: Surgen durante la investigación de diferentes problemas de la
física y la técnica; responden al planteamiento:2 𝒙 = 𝒙(𝒕) representa la medida de
un número real realizada en el 𝑖���𝑎��� t de una magnitud que describe a lo
largo de un
tiempo un cierto sistema físico. por ejemplo, el desplazamiento de un automóvil. X(t)
representa el estado del sistema en el instante t. La variación instantánea de la variable

𝒙(𝒕) esta dada por su derivada 𝒙’(𝒕). (1)

Ecuacion de movimiento: Expresa el principio de conservacion de la cantidad de
movimiento y comprende un balance de fuerzas y cantidades de movimiento en el cual
se iguala la velocidad con que varia la cantidad de movimiento de un volumen elemental
con las fuerzas vectoriales que actuan sobre el y el flujo neto de aquella magnitud a
traves de sus limites.

Ecuacion parametrica:Interpretacion de una curva plana como el recorrido seguido en

el plano de un movil que se representa con un punto. A cada instante le corresponde un
punto de la curva, en donde el movil se encuentra en el instante considerado. Establece
una correspondencia entre el tiempo y la curva.
Fuerza tangencial.- requiere la determinación de las componentes de la fuerza resultante

∑ 𝐹� ∑ 𝐹𝜃 ∑ 𝐹� que ocasionan que una partícula se mueva con una aceleración

conocida.

∑ 𝐹𝑇 = �𝑎𝑇
Función Biyectiva.-Es una función en la que a todo elemento del codominio le
corresponde un único elemento del dominio.

Fuerza Normal: es la fuerza que una superficie ejerce sobre un objeto, siempre es
perpendicular a la superficie.
Movimiento Helicoidal: rotación de un cuerpo alrededor de un eje, determinada por un
vector ω, y que este animado simultáneamente de una translación paralela a dicho eje

caracterizado por una velocidad.

Permutaciones

Cualquier permutación se puede escribir como un producto de ciclos disjuntos:

ϕ = cn(a1,1, . . . , a1,r1 ) cn(a2,1, . . . , a2,r2 )· · · cn(am,1, . . . , am,rm).
La frase ciclos disjuntos significa que los conjuntos
{a1,1, . . . , a1,r1 }, {a2,1, . . . , a2,r2 }, . . . , {am,1, . . . , am,rm} son disjuntos a
pares.
Si cada elemento de 1 a n está incluido en uno de estos ciclos, es decir,
[m j=1 {aj,1, . . . , aj,rj } = {1, . . . , n}, entonces decimos que la descomposición
es completa

Rango: También denominado como amplitud, consiste en obtener la diferencia entre el

mayor y el menor valor observado de la variable: Rango = Máximo – Mínimo

Triedro: Figura geométrica formada por tres semirrectas que parten del mismo origen,
pero que no están situadas en un mismo plano. El triedro unitario y local, se llama
triedro de Frenet, éste determina tres planos.

Unitario Radial: el vector unitario radial en coordenadas cilíndricas, tiene como

finalidad usar un objeto vectorial porque la fuerza es un vector que no es necesario que
sea unitario.

F = GMm/r2(e_r)
Unitario Angular: el vector unitario angular dependerá de anglo formado en la figura
cilíndrica que es una coordenada que en general depende del tiempo para poder
resolverlos.

Velocidad: la velocidad en el sistema de coordenadas cilíndricas se las puede emplear

por las igualdades y derivadas del vector posición para obtener así lo que es la
velocidad.

ṙ=ṗup + pθuθ + żk
 COORDENADAS ESFERICAS

Angulo azimut: Se define como ángulo azimut al que está formado por dos planos
verticales es decir el que pasa por el sol y el que pasa por el sur terrestre, estos se miden
de izquierdaena cuadrantes,
diferenciar derecha y sus grados
y van pueden
en esta ser desde
forma: 0⁰ a 360⁰,
en el primer estos azimuts
cuadrante de 0⁰ a se pueden
90⁰, en el
segundo cuadrante 0⁰ a 180⁰, en el tercero 0⁰ a 270⁰ y en cuarto de 0⁰ a 360⁰. Los
ángulos azimut no pueden exceder de 360⁰ y además siempre van a ser positivo.
Angulo cenital θ: Es un ángulo completamente perpendicular, de arriba hacia abajo.

Ángulo de incidencia es formado por el rayo incidente y la normal. La normal es una

recta imaginaria perpendicular a la superficie de separación de los dos medios en el
punto de contacto del rayo.
Ángulo de refracción -r'- : está formado por el rayo refractado y la normal. Se sabe que
el ángulo de incidencia y el ángulo de refracción es igual a la razón entre velocidad de
onda en el primer medio y en el segundo medio. Esto es:

�1 sin 𝜃1 = �2 sin 𝜃2

�1: Índice de refracción del primer medio

𝜃1: Ángulo de incidencia

�2: Índice de refracción del segundo medio

𝜃2: Ángulo de refracción

Base vectorial: las coordenada la poseen tanto cilíndricas como esféricas debido a
esto el unitario también es el mismo

Colatitud: forma de dar la altura en el sistema de coordenadas horizontales en vez

de medir el ángulo desde el horizonte, se mide desde el polo, mediante el ángulo
complementario.
Componentes del sistema esféricos: Estas coordenadas llevan contienen longitud y los
ángulos tita y fi (ϕ y θ), remplazando a las coordenadas X, Y, Z.

Cheng, D. (1999) afirma “En coordenadas esféricas solo R es una longitud. Las otras
dos coordenadas θ y ϕ son ángulos donde se muestra un elemento de volumen
diferencial típico, vemos que se requiere los coeficientes métricos h2 = R y h3 = R
sen θ para convertir dθ y dϕ, respectivamente. Pág. 35

Coordenadas esféricas: El sistema de coordenadas esféricas se trata de hallar una

posición espacial y una distancia con respecto a dos ángulos.

Distancia de coordenadas esféricas: las componentes de un punto de coordenadas

esféricas son A (p, θ, φ) donde p es la distancia del origen de coordenadas,
determinación de la longitud mínima hasta el punto A.

Dirección radial en coordenadas esféricas: Aquella dirección que dan los radios y son
perpendiculares al eje.
Divergencia: La divergencia nos insica el grado en el q explota en el punto y se define la
divergencia del punto como campo escalar.

Propiedades
Esferas concéntricas: esta teoría se creó primeramente para conocer el movimiento de
las estrellas puesto que se dicen que son círculos vacíos y suelen estar uno dentro del
otro, estas tienen el mismo centro, además tienen diferente radio.
Estereorradián (sr): Es el ángulo solido subtendido en el centro de2 una esfera por un
área (A) sobre su superficie que es igual al cuadrado de su radio (𝑅 ).Es una
cantidad a dimensional en la física igual que el radian.

Espacio Euclidiano: También es llamado

espacio cartesiano y hace referencia a la extensión en 2D o 3D en el que se ejecutan
los axiomas de Euclides.

Formulas coordenadas esféricas:

� = � ∗ ���𝜃 ∗ cos 𝜑

� = � ∗ ���𝜃 ∗ sen 𝜑

� = � ∗ ���𝜃
 �
𝜑 = arctan

� = √� 2+ � 2+ � 2
�
𝜃 = arccos

√� 2+ � 2+ � 2

Hélices esféricas: se la llama así a la hélice que está en una superficie esférica, la curva
corta a los meridianos de una esfera, al ser una curva la esfera osculatriz siempre será
constante, su proyección estereográfica será una espiral logarítmica, además su radio
también será constante.

𝝅
Latitud geográfica: [ − ∅]: en forma general define la situación de un objeto en la
𝟐
tierra. También viene a ser un ángulo formado por el radio terrestre hasta el punto a
ubicar,
donde viene a ser positiva hacia el norte y negativa hacia el sur. Por ende, va desde -90,
pasando por 0 hasta 90.

Longitud diferencial vectorial de un sistema de coordenadas esférico: En longitudes

diferenciales (R) dθ y (R sen θ) dϕ son los ángulos para calcular las coordenadas y el
modulo del vector.

Longitud geográfica: es la distancia angular respecto a un meridiano fijo (el de

Greenwich). Equivale a la coordenada acimutal
Operador Rotacional: Es un operador vectorial que muestra la rotación que puede
producirse alrededor de un punto.

Rayos refractados: consiste en el cambio de la velocidad de propagación de una onda

al pasar de un medio a otro, la frecuencia de vibración no varía, pero cambia su
longitud de onda. El rayo refractado se acerca a la normal cuando pasa de un
medio de mayor velocidad a otro de menor velocidad. La onda al refractarse cambia su
longitud de onda:

e = v·t

Simetría esférica es cuando todos los puntos a una cierta distancia del punto central son
equivalentes

Vector ortonormal: se dice que un conjunto de vectores es ortonormal cuando cumple

con dos características la primera es que sea ortogonal y la segunda es que la norma de

cada una de sus vectores sea igual a uno es decir que el vector pertenezca a un espacio

vectorial.

Volumen diferencial: Es producto de los cambios producidos en la longitud de las tres

direcciones del sistema de coordenadas esféricas.
GeoGebra es un software matemático interactivo libre para la educación en colegios y
universidades. Es básicamente un procesador geométrico y algebraico que reúne
geometría, algebra y calculo que es utilizada por personas que usan las ciencias exactas.

Con GeoGebra pueden realizarse construcciones a partir de puntos, rectas, semirrectas

segmentos vectores, cónicas, etc. Mediante el empleo directo de herramientas

GeoGebra también ofrece diversas vistas para los objetos matemáticos.

Vista Algebraica Vista Gráfica Vista gráfica 3D

Vista CAS Hoja de Cálculo Calculadora de Probabilidades

GeoGebra en su diseño posee estas Barras y objetos de autoayuda para ayudar a la

interfaz de usuario, estos objetos son:

 Barra de Menú
 Barra de Entrada
 Barra de Estilo
 Barra de Navegación
 Menú contextual
 Teclado Virtual

Al abrir GeoGebra, aparece la siguiente ventana:

 En la barra de Herramientas pueden trazarse construcciones en la Vista Gráfica a partir de
elementos cuyas coordenadas o ecuaciones aparecen, en simultáneo, en la Vista Algebraica::
lo geométrico y lo algebraico en GeoGebra, se complementan y se registran uno junto al
otro,.

En la Barra de Entrada pueden anotarse directamente coordenadas, ecuaciones, comandos

y funciones que pasarán a representarse en la Vista Gráfica al ingresarse pulsando Enter
(Intro en algunos teclados).

EJEMPLOS DE COMO DIBUJAR O

CALCULAR EN GEOGEBRA

Calculo de circunferencias en un triángulo

 Abrir el menú y seleccionamos Geometría, después nos guiamos en la siguiente tabla.

Seleccionar de la barra de herramientas, la de “Polígono”. Ahora, un clic tras

1 otro en la Vista Gráfica, permite crear los vértices A, B, y C de un triángulo
que se cierra reiterando un clic sobre A.
Elegir la “Bisectriz”: (un clic sobre el triangulito inferior izquierdo que
aparece en el borde de la cuarta caja de herramientas, despliega todas las
disponibles y activar la cuarta, la Bisectriz. Para trazar las de un par de
2
ángulos, basta con indicar los tres puntos que los delimitan, en sentido anti-
horario con el vértice entre sendos laterales: B, C, A para uno y A, B, C
para el otro.
 Con la herramienta “Intersección de Dos Objetos”, indicando ambas bisectrices,
queda establecido el punto del centro de la circunferencia buscada. Para llamarlo
3 “O”, basta con un clic derecho sobre el punto (Mac OS: ctrl-clic) y elegir
“Renombra” del menú contextual desplegado.
Se traza la “Recta Perpendicular” desde “O” al segmento a (del lado que une
4
a B con C..
Se vuelve a emplear la herramienta “Intersección de Dos Objetos” para que quede
establecido el de la perpendicular con el lado a, “E”.Es importante distinguir que
5 lo que se interseca sea la perpendicular con el lado, no con el triángulo que es una
alternativa también posible pero errónea en este caso.
Con “Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos” se completa la
6 construcción con un clic en el punto centro O y otro en el de intersección
recientemente creado, “E”
Con “Elige y Mueve” se puede emplear el ratón o mouse para desplazar los
vértices del triángulo y notar como toda la construcción se ajusta dinámicamente
7 a los cambios, manteniendo las relaciones establecidas que dan lugar a la
circunferencia correspondiente.

Los botones de “Deshace”/ y “Rehace” están en la esquina derecha de la barra de

herramientas.

Para ocultar un objeto, basta con apuntarlo y con un clic derecho.

Para cambiar la apariencia de los objetos, (color, tipo de trazo,...) se puede emplear la
barra de estilo.

Los Ejes y la Cuadrícula pueden mostrarse u ocultarse empleando la Barra de Estilo.

Se pùeden seleccionar diferentes vistas - como la Vista Algebraica, Gráfica, Hoja de

Cálculo y/o CAS de Algebra Simbólica.

Para desplazar la construcción en la Vista Gráfica, basta con seleccionar la

herramienta que “Desplaza la Vista Gráfica
 CONSTRUCCIÓN UTILIZANDO LA
BARRA DE ENTRADA
Para construir una figura, en este caso el triángulo se lo puede hacer ingresando datos
directamente en la barra.

Comenzamos por abrir una nueva hoja de trabajo (Archivo – Nuevo) e introducir los
siguientes comandos en la Barra de Entrada (al pie de la pantalla), pulsando Enter.

A, B y C son puntos aleatorios usados como ejemplos.

A = (2, 1)
B = (12, 5)
C = (9, 11)
Polígono[A, B, C]
CircunferenciaInscrita[A, B, C]
b_a = Bisectriz[A, B, C]
b_b = Bisectriz[B, C, A]
M = Interseca[b_a, b_b]
 DERIVADA Y TANGENTE DE UNA
FUNCIÓN

Teclear en el campo de entradas la función f(x) = sin(x) y pulsar Enter

1 f(x) = sin(x)
(Intro en algunos teclados).
Seleccionar la herramienta Nuevo Punto y dar clic sobre la
2 representación gráfica de la función f para crear un punto A sobre la
gráfica de f.
Activar la herramienta Tangente y dar clic sobre el punto A y sobre la
3 gráfica de f. Renombrar t a la tangente (clic derecho sobre ella y
Renombra).
Seleccionar la herramienta Elige y Mueve y arrastrar el punto A
4
observando el movimiento de la tangente.
Activar la herramienta Pendiente y dar clic sobre la tangente
5
trazada en el punto A.
Seleccionar la herramienta Elige y Mueve y arrastrar el punto A
6 observando el movimiento de la tangente y de la pendiente m
correspondiente.
Teclear B = (x(A), m) y activar la traza de este punto (clic
7 B = (x(A), m)
derecho sobre B y Activa Rastro.
Seleccionar la herramienta Elige y Mueve y arrastrar el punto A
8 observando el movimiento de la tangente y de la pendiente m
correspondiente y el rastro que deja B.

9 Derivada[f(x)]. Teclear el comando Derivada[f] en la Barra de Entrada

Al Ingresar una función diferente, por ejemplo f(x) = x³ - 2x² en el campo de

entradas; inmediatamente aparecerán su derivada y su tangente por lo que
sirve de comprobación para saber si fue realizado bien el ejercicio
RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE
ECUACIONES

1 g: 2x + y = 5 … para crear la recta g

2 h: x – 3y = 4 … para crear la recta h

Se restan las ecuaciones para eliminar la
3 g – 2h
variable x
) Ingresar) para obtener el resultado de la línea
4 previa. Ahora, basta con teclear /7 para obtener
(7y = -3)/7

5 Sustituye[g, y=-3/7 ] Sustituye y por -3/7 en la primera ecuación g.

Clic sobre la salida y de la fila
6 previa para copiarla en la activa actual.
Ahora, un clic en la herramienta Resuelve
para obtener la solución de x también.

La vista CAS permite trabajar con fracciones, ecuaciones y fórmulas que

incluyan variables indefinidas, de modo que los estudiantes puedan incursionar
en este tipo de tareas con GeoGebra.

Para manipular solo una parte de una expresión, basta con seleccionarla con el
mouse o ratón y a continuación un clic sobre la herramienta, por ejemplo
Factoriza, que
afectará a la expresión escogida.
 La solución también se puede determinar inmediatamente, definiendo f(x) y g(x)
en el ejemplo previo, seleccionando ambas filas y aplicando la herramienta que
Resuelve.

INTERSECCIÓN DE FUNCIONES
POLINÓMICAS

Anotar f(x):=x^2-3/2*x+2 en la primera fila de para definir f(x). Evaluar pulsando

1 la tecla Enter (Intro en algunos teclados).
Pista: := se emplea para las asignaciones..
2 En la segunda fila, anotar g(x):=x/2+2.

3 Definir h(x) como h(x):=f(x)-g(x)en la tercera fila.

Anotar h(x) en la cuarta línea y seleccionar la herramienta que Factoriza. Las raíces
4
quedarán expresadas de inmediato.
Emplear el comando Resuelve[h(x)=0,x] para confirmar las soluciones previamente
5 halladas.

6 Crear los puntos de intersección anotando S:=Interseca[f(x),g(x)].

 ANÁLISIS DE DATOS

Ingresar algunos datos en las celdas de la columna A de la hoja de cálculo. Por

1 ejemplo, completar desde A1 a A14 con valores como 5, 3, 3, 2, 2, 4, 2, 1,
3, 3, 4, 5, 5, 3
Resaltar las celdas y seleccionar la herramienta apropiada como, para este ejemp lo,
“Análisis una Variable”.
Pista: En este ejemplo: resaltar las celdas A1 a A14 y con un clic en la herramient a
2
Análisis Una Variable. . Tras el clic en Análisis de los Datos en la caja de Diálogo de
la Fuente de Datos, aparecerá Analiza- la de Análisis de Datos-.

Elegir las “Clases” apropiadas en la zona superior de la ventana.

3 Pista: Para los números de este ejemplo, se emplearon 5 Clases porque hay cinco
valores diferentes.
Seleccionar el ícono Muestra Estadísticas de la Barra de Estilo para abrir el panel de
Estadísticas. Hallar la media, mediana, el máximo y el mínimo de los datos en la
4
sección “Estadísticas” del sector izquierdo de la ventana emergente.

Clic el botón en la zona superior derecha permite seleccionar “Selección

Manual de Clases” en el menú derecho de “Histograma”.
5
Pista: Pulsar Enter (Intro en algunos teclados) después de especificar el valor de
“Inicio” 0.5 y el “Ancho” 1 (valores de este ejemplo).
Como graficar en Geogebra en 2d.
Geogebra ofrece tres perspectivas diferentes de cada objeto matemático:

 Vista Gráfica
 Vista Numérica
 Vista Algebraica
 Vista de hoja de Calculo

Para trazar un vector tenemos que hacer lo siguiente:

Anotar un punto cualquiera de la forma (x,y) en la barra de entrada digamos

en (0,0) y aparecerá un punto de origen. Una manera sencilla para poder graficar
vectores es poniendo en minúsculas nuestro vector, ya que si utilizamos mayúsculas
nos saldrá un punto.

Vector Unitario

Para calcular nuestro vector unitario podemos encontrar escribiendo el nombre del
vector de la siguiente manera.
Suma de Vectores

Para realizar la suma de vectores solamente colocamos suma=a+b.

Resta de vectores

Al igual que la suma colocamos resta=a-b.

Producto Punto entre dos vectores

Para realizar el producto punto solamente colocamos una sencilla multiplicación

ppunto= a*b el cual el valor es escalar.

Producto Cruz entre dos puntos

Para realizar el producto cruz buscamos primero este comando
ProductoVectorial[˂Vector˃,˂Vector˃] y solamente reemplazamos.

Como graficar vectores 3d

VECTOR EN 3D

1.- Cuando abrimos Geogebra nos da la opción de graficador 3D.

2.- En entrada para escribir vectores debemos poner el nombre del vector en letras
minúsculas por ejemplo: a, b, c, e, etc.

3.- Escribimos las coordenadas del vector de la siguiente forma.

Coordenadas rectangulares a=(2,6,5)

Donde el 2 son coordenadas en le eje X, el 6 son coordenadas en el Y y el 5 son

coordenadas en el eje Z

Coordenadas polares o esféricas c=(5,270°,-30°)

El 5 designa la distancia del punto al origen,

270º designa la longitud (ángulo polar de la proyección del objeto sobre xOy, medido
tras el eje x, entre 0° y 360°)

-30º la latitud, el ángulo tras el plano xOy (entre -90° y 90°)

Modulo del vector en 3d

Para conocer el módulo de un vector en 3D en Geogebra debemos tener un vector en

coordenadas rectangulares el cual puede ser d=(2,3,4), utilizamos el botón y
después colocamos d del vector dentro y nos da el modulo del vector d que seria
e=5.39

Unitario de un vector en 3d

El unitario de un vector lo podemos encontrar escribiendo el nombre del vector y

dividirlo para su módulo de la siguiente manera
Suma de vectores en 3D

Para realizar una suma de vectores escribimos los vectores que vamos a sumar que
en este caso es c y d después sumamos c + d y tenemos la suma de estos dos
vectores asi como lo vemos en la imagen.

Resta de vectores en 3D

Al igual que la suma escribimos los vectores que vamos a restar y estos serán c - d y
tendremos resuelta la resta de vectores
Producto punto de vectores en 3D

Para realizar este tipo de operaciones establecemos los vectores que van a ser
utilizados, c y d, después los ponemos como si fuéramos a realizar una
multiplicación sencilla y nos da un resultado el cual es el valor escalar así como lo
vemos en la imagen.

Producto cruz de vectores en 3d

En este caso lo que debemos hacer es buscar el siguiente logo ⊗ y lo realizamos
como una multiplicación normal, pero en vez de por ese logo, en caso de no encontrar
este logo debemos ingresar en entrada donde hay un botón de ayuda después
abrimos el ítem todos los comandos y buscamos producto vectorial. Aquí le damos
clic derecho si nos aparece esta frase ProductoVectorial[<Vector>,<Vector>] a qui
le damos doble clic y se nos copia en la parte de la entrada, después remplazamos
<Vector> y ponemos el vector que vayamos a utilizar y damos enter y nos da el vector
resultante, asi como en la imagen.
 CORDENADAS ESFERICAS Y CILINDRICAS EN GEOGEBRA

Pasos para graficar coordenadas esféricas

1.- Dibujar en punto fijo
2.graficar las proyecciones.

3. Graficamos el ángulo alfa

4. Graficamos el angulo Beta

5.Ubicamos los puntos y sus respectivos datos de cada uno.

Ejercicio de coordenadas esféricas utilizando geogebra
Pasos para graficar coordenadas cilíndricas

1. GRAFICA DE COORDENAS CILINDRICAS CON DOS PUNTOS

1.- Graficar el punto A

2.- Graficar en punto B
3.- En la barra de entrada escribir Cilindro [A, B, 1]

2. GRAFICA DE COORDENAS CILINDRICAS

2.-CONSTRUCCIÓN DE UNA ESPIRAL EMULANDO COORDENADAS
CILÍNDRICAS

1. Crear dos deslizadores r y h (altura)

2. Digitar en la barra de entrada la fórmula de la
Curva [f (t) cos (t), f(t) sen (t), t, 0, 2π]
3. Digitar en la barra de entrada la fórmula de superficie
Superficie [f(t) cos(t), f(t) sen(t), n, t, 0, 4π, n, 0, h]
4. Mover los deslizadores

3.- GRAFICA DE COORDENAS CILINDRICAS CON PUNTOS ELEVAD OS

1.- Graficar el punto A

2.- Graficar en punto B
3.- En la barra de entrada escribir Cilindro [A, B, 1]
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