Ficha 9

Materia: Lógica (Turno mañana, primer cuatrimestre de 2020)
Cátedra: Oller
Ficha N° 9
Tema: Metateoremas de corrección y completitud. Metateorema de consistencia.
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Hemos definido dos nociones de consecuencia para la lógica de primer orden, una
sintáctica y otra semántica, y nos preguntarnos cuál es la relación entre ambas nociones.
Los metateoremas de corrección y completitud contestan esta pregunta y tomados
conjuntamente permiten afirmar que las dos nociones de consecuencia clásica para la lógica
de primer orden —la sintáctica y la semántica— son coextensionales: una fórmula es una
consecuencia sintáctica de un conjunto de premisas si y sólo si es una consecuencia
semántica de dicho conjunto:
├  si y sólo si ╞ 
El metateorema de corrección (fuerte) afirma que si, en la lógica de primer orden,  es una
consecuencia sintáctica de Γ, entonces  es una consecuencia semántica de Γ. Es decir, este
metateorema prueba uno de los condicionales metalingüísticos que componen el
bicondicional ├  si y sólo si ╞ :
Metateorema de corrección fuerte
Si ├ , entonces ╞ 
Este metateorema puede ser interpretado filosóficamente, como veremos, como una
justificación semántica de las reglas de inferencia clásicas. Lo que afirma este metateorema
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en esta lectura es que nuestras reglas de inferencia son correctas porque aseguran la
transmisión de verdad de premisas a conclusión.
Esta formulación del teorema se llama metateorema de corrección fuerte, porque Γ puede
ser cualquier conjunto de fórmulas. Ahora bien, un caso particular es aquel en el que Γ es
el conjunto vacío. El metateorema de corrección en su versión débil se enuncia para Γ
vacío:
Metateorema de corrección débil
Si ├ , entonces ╞ 
Si pruebo la versión fuerte del metateorema de corrección, también he probado la versión

débil, que es un caso particular del metateorema de corrección fuerte. El metateorema de
corrección débil afirma que si una fórmula es un teorema de la lógica de primer orden,
entonces es una verdad lógica de la lógica de primer orden.
Recordemos la terminología usada en el texto de Gamut para dos clases de verdades

lógicas. El concepto de tautología es un concepto que habíamos definido para un lenguaje
de la lógica proposicional de la siguiente manera: una fórmula proposicional es una
tautología si toda valuación la verifica, es decir, si toda valuación le otorga el valor 1. El
concepto de tautología es sinónimo del concepto de verdad lógica para la lógica
proposicional, de acuerdo a la terminología estándar. Por ejemplo, (p  p) y (p → p)
son tautologías. Ahora bien, consideremos la siguiente verdad lógica expresada en el
lenguaje de la lógica de predicados:
(∀xPx  ∀xPx)
Aunque esta fórmula pertenece a la lógica de predicados, sin embargo es una verdad lógica
en virtud de su estructura proposicional, porque es un caso particular de (  ). Entonces
para determinar que esta fórmula es una verdad lógica no necesito apelar a cuestiones
propias de la interpretación de los cuantificadores, porque es una verdad lógica en virtud de
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su estructura proposicional. Es un caso de (  ) y todas las instancias de sustitución de
la forma (  ) son verdades lógicas. Uno podría preguntarse ¿todas las verdades lógicas
de la lógica de predicados son como esta, es decir, son casos de verdad lógica en virtud de
su estructura proposicional? La respuesta es que no es así. Por ejemplo, la siguiente
fórmula:
(xPx → xPx)
es una verdad lógica de la lógica de predicados, en virtud de su estructura cuantificacional y

no en virtud de su estructura proposicional. ¿Cuál es su estructura proposicional? Es:
(→)
¿Es esta una verdad lógica de la lógica de proposiciones? No. Esto quiere decir lo siguiente:
hay verdades lógicas que lo son en virtud de su estructura cuantificacional, no en virtud de
su estructura proposicional. De manera que, dicho de otro modo, tenemos verdades lógicas
que son propias de la lógica de predicados, que son características de la lógica de
predicados, que no son casos de verdades lógicas de la lógica proposicional. Entonces a
esas verdades lógicas las vamos a llamar, siguiendo el texto de GAMUT, fórmulas
universalmente válidas, para distinguirlas de las verdades lógicas de la lógica
proposicional.
El metateorema de completitud o completud también tiene una versión débil y una versión
fuerte. La versión débil es un caso particular de la versión fuerte: el caso en el que el
conjunto de premisas  es vacío.
Metateorema de comple(ti)tud débil: Si ╞ , entonces ├ 

Metateorema de comple(ti)tud fuerte: Si  ╞ , entonces  ├ 
El enunciado de completitud débil afirma que, si  es una verdad lógica de la lógica de

primer orden, entonces  es un teorema de la lógica de primer orden. El enunciado del
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metateorema de completitud fuerte afirma que, en la lógica de primer orden, si  es una
consecuencia semántica de Γ, entonces hay por lo menos una derivación de  a partir de Γ.
Este metateorema prueba el otro condicional metalingüístico que componen el
bicondicional .
¿Qué importancia tiene el metateorema de completitud? La siguiente: podría suceder que

nuestras reglas de inferencia fuesen todas formas de argumento que asegurasen la
preservación de verdad de premisas a conclusión, es decir que fuesen reglas correctas. Pero
podríamos preguntarnos, ¿son suficientes nuestras reglas para probar todos los teoremas y
todos los argumentos válidos de primer orden? Podrían no serlo: consideren, por ejemplo,
un sistema de lógica proposicional cuyas constantes lógicas fuesen la conjunción, la
disyunción y el condicional y cuyo conjunto de reglas básicas fuesen las que presenta el
libro de Gamut para esas constantes lógicas. Además, supóngase que las tablas de verdad
para esas conectivas fuesen las habituales. En ese caso se cumpliría el metateorema de
corrección, porque se puede probar que esas reglas necesariamente preservan verdad. Sin
embargo, no resultarían suficientes para derivar ni todos los argumentos válidos ni todas las
verdades lógicas que pueden expresarse en el lenguaje de ese sistema reducido —que no
incluye a la negación—. Ese sistema de reglas no va a ser completo: va a haber argumentos
válidos y verdades lógicas que no van a poder demostrarse con solamente esas reglas. Por
ejemplo, la llamada ley de Peirce, (((p  q)  p)  p), es una fórmula que solo contiene
apariciones del condicional y, como pueden comprobar, resulta tautológica de acuerdo a su
tabla de verdad. Sin embargo, no puede demostrarse sin usar reglas para la negación —que
no tenemos en este sistema reducido— como muestra la solución al ejercicio 9 (a) del
capítulo 4 del Gamut (página 266). Por lo tanto, ese sistema con un conjunto reducido de
reglas básicas —que suele denominarse lógica positiva— es incompleto respecto a la
semántica estándar para las conectivas proposicionales.
Lo que les asegura la prueba del metateorema de completitud respecto de, por ejemplo, el
conjunto de reglas presentadas por GAMUT, es que si un argumento es válido entonces
vamos a poder derivar su conclusión a partir de sus premisas usando el conjunto de reglas
básicas de introducción y eliminación que aparecen allí. Es decir, el metateorema de
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completitud nos dice intuitivamente que tenemos suficientes reglas para construir las
derivaciones de las conclusiones de los argumentos válidos a partir de sus premisas. No va
a suceder que tengamos un argumento válido cuya conclusión no podamos derivar a partir
de sus premisas usando las reglas básicas del sistema.
Lo que me permiten afirmar los dos metateoremas conjuntamente es que las dos nociones
de consecuencia clásica para la lógica de primer orden —la sintáctica y la semántica— son
coextensionales: siempre que una fórmula sea una consecuencia sintáctica de un conjunto
de premisas, va a ser una consecuencia semántica de dicho conjunto, y viceversa. Como
hemos definido dos nociones matemáticamente precisas, pero diferentes, de consecuencia
para la lógica de primer orden, podemos preguntarnos si las extensiones de esas dos
nociones coinciden y estos metateoremas me aseguran que sí lo hacen:
├  si y sólo si ╞ 
Estos dos metateoremas son resultados metateóricos importantes. En un caso, porque

justifican las reglas de inferencia del sistema probando que aseguran la transmisión de
verdad de premisas a conclusión. El segundo metateorema, el de completitud, responde
afirmativamente a la pregunta: ¿son suficientes estas reglas para probar todas las verdades
lógicas y derivar la conclusión de todos los argumentos válidos?
Las demostraciones de estos metateoremas son propias de una disciplina que se llama
metalógica o metamatemática. Esta disciplina surge alrededor de los años 20’ del siglo XX
por impulso de un matemático alemán muy notable, David Hilbert, que propone esta
disciplina como una manera de terminar con lo que se llamó, a fines del siglo XIX
principios del XX, la crisis de los fundamentos de la matemática. Con ese fin, a Hilbert le
interesaba fundamentalmente demostrar la consistencia o no contradicción de las teorías
matemáticas.
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Uno puede plantearse el problema de la consistencia también respecto de la lógica de
primer orden. ¿Qué quiere decir que la lógica de primer orden sea consistente? Puede
querer decir varias cosas, de acuerdo a cómo definamos consistencia, ya que hay varios
conceptos de consistencia. Una de estas nociones de consistencia se puede caracterizar de
este modo: un sistema de deducción natural para la lógica de primer orden es consistente si
y sólo si no es el caso que haya una fórmula  del sistema, tal que tanto ella como su
negación  sean teoremas del sistema:
No (├  y ├ ¬)
A CTIVIDAD 14
1. Determine si la siguiente afirmación es verdadera o falsa y justifique su

respuesta:
Si  es una fórmula tautológica, entonces (  ) es un teorema de la lógica proposicional.
2. Determine si la siguiente afirmación es verdadera o falsa y justifique su

respuesta:
Si se añade la regla:
()


al conjunto de reglas para la lógica proposicional presentadas en el texto de Gamut, el
sistema lógico resultante es completo pero no es correcto ni consistente.

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Metateorema de corrección fuerte

Metateorema de corrección débil

Si pruebo la versión fuerte del metateorema de corrección, también he probado la versión

Recordemos la terminología usada en el texto de Gamut para dos clases de verdades

es una verdad lógica de la lógica de predicados, en virtud de su estructura cuantificacional y

Metateorema de comple(ti)tud débil: Si ╞ , entonces ├ 

El enunciado de completitud débil afirma que, si  es una verdad lógica de la lógica de

¿Qué importancia tiene el metateorema de completitud? La siguiente: podría suceder que

Estos dos metateoremas son resultados metateóricos importantes. En un caso, porque

1. Determine si la siguiente afirmación es verdadera o falsa y justifique su

Si  es una fórmula tautológica, entonces (  ) es un teorema de la lógica proposicional.

2. Determine si la siguiente afirmación es verdadera o falsa y justifique su

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