Eduardo Arranz Sotelo

PARADOJA DE SKOLEM

La paradoja de Skolem muestra un conflicto entre dos teoremas clásicos. Por un lado, el teorema de
Löwenheim-Skolem dice que si una teoría en la lógica de primer tiene infinitos modelos, entonces
tiene modelos cuyos dominios son contables; por otro lado, el teorema de Cantor dice que algunos
conjuntos son incontables. La paradoja consiste en que los principios básicos de la teoría cantoriana
de conjuntos (con los que se prueba la existencia de conjuntos incontables) pueden ser formulados
como una colección de sentencias de la lógica de primer orden. ¿Cómo es posible que un modelo
contable satisfaga los principios que prueban la existencia de conjuntos incontables?
La paradoja suscita tres tipos de cuestiones:
1) Matemática: ¿por qué la paradoja de Skolem no supone una contradicción para la teoría de
conjuntos?
2) Histórica: Si ya Skolem mostró que la paradoja no supone una contradicción matemática,
¿por qué siguió pareciendo la paradoja tan problemática filosóficamente para sus coetáneos?
3) Filosófica: ¿Qué nos dice la paradoja sobre nuestra comprensión de la teoría de conjuntos y
sobre la semántica de su lenguaje?

1. Contexto

Cantor probó que dos conjuntos tienen la misma cardinalidad cuando sus elementos pueden ponerse
en correspondencia biunívoca (“one-to-one”). Así fue como descubrió que hay diferentes tipos de
infinitos. Los conjuntos que pueden ponerse en correspondencia uno-uno con los números naturales
son contablemente infinitos; los que no, incontablemente infinitos. El teorema de Cantor dice que
hay conjuntos incontablemente infinitos.
El teorema de Löwenheim-Skolem, por su parte, muestra que si una colección contable de
sentencias en lógica de primer orden (teoría) tiene un modelo infinito, entonces tiene un modelo
cuyo dominio es contable.
Si tomamos los dos teoremas a la vez, tenemos la paradoja: un modelo contable satisface la
sentencia que afirma que hay conjuntos incontables.
Desde una determinada perspectiva, no debería sorprendernos que un modelo particular falle al
tratar de captar con precisión cada característica de la realidad de la que es modelo. ¿Por qué
deberíamos esperar que los modelos en lógica de primer orden de la teoría de conjuntos capten la
distinción entre conjuntos contables e incontables?
Hemos de tener en cuenta dos cosas:
-La paradoja de Skolem muestra que la línea que separa los conjuntos contables de los incontables
es el primer lugar en que la teoría de modelos pierde su capacidad de captar las nociones de
cardinalidad.
-No podemos resolver la paradoja simplemente escogiendo una nueva axiomatización de la teoría
de conjuntos. Aquélla es intrinseca a las axiomatizaciones en lógica de primer orden de teoría de
conjuntos.

2. Cuestiones matemáticas

Como veremos, la paradoja no supone un problema a nivel matemático. Hemos de preguntarnos dos
cosas:
1) Si la paradoja es una “abreviación”, un artefacto que desaparecería si la formulásemos desde
otra perspectiva.
2) Si es posible una solución de la paradoja.

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 2.1 Apariencia de paradoja

Para responder a la primera cuestión, diremos que hay dos formas posibles de formular la paradoja.
Podemos, por un lado, empezar con la fórmula y darle una “interpretación ordinaria en castellano”
(en que las conectivas se entienden de la manera habitual, los cuantificadores valen para todo el
universo de la teoría de conjuntos y entendemos el signo “pertenencia” refiriéndose únicamente a la
relación real de pertenencia en teoría de modelos). Por otro lado, podemos empezar con la frase en
castellano “x es incontable”.
Si traducimos “x es incontable” de tal manera que lleguemos a su significado lógico y entonces
comparamos su sintaxis con la de la fórmula inicial (su interpretación en teoría de modelos),
veremos que ambas expresiones contienen exactamente los mismos símbolos en el mismo orden.
Hay, pues, una similaridad superficial entre las dos expresiones que permanece incluso cuando
dejamos de usar la frase en castellano como abreviatura.
Pero ¿por qué la fórmula no implica realmente que “x es incontable”?

2.2 Solución genérica

Hay dos diferencias entre la interpretación en teoría de modelos y la interpretación en castellano

habitual:
1) La interpretación en teoría de modelos entiende el símbolo “pertenece” haciendo referencia
a cualquier relación binaria en M que esté bajo la función interpretación de M. Sin embargo,
la interpretación en castellano habitual entiende dicho símbolo como la relación de
pertenencia real en teoría de conjuntos. No tenemos razón para pensar que estas
interpretaciones coincidan.
2) Para la interpretación en teoría de modelos el rango de los cuantificadores se reduce al
dominio de M, mientras que la interpretación en castellano extiende el rango a todo el
universo de la teoría de conjuntos.
Estos dos resultados en conjunto sugieren que la paradoja de Skolem puede ser simplemente un
desajuste encubierto, una simple equivocación, entre dos diferentes interpretaciones de la misma
fórmula.

2.3 Submodelos transitivos

Según el teorema de los submodelos transitivos, podemos asumir que el modelo contable al que
antes nos referimos es un submodelo del modelo con el que empezamos.
Si suponemos que M es transitivo, tanto la interpretación en castellano como en teoría de modelos
coinciden en la interpretación del símbolo “pertenece”. Además, debe haber una biyección entre los
números naturales y los elementos de M.
La interpretación en teoría de modelos de la fórmula nos garantiza que no existe ninguna biyección
dentro del dominio de M, mientras que la interpretación en castellano que no hay ninguna biyección
en todo el universo. Si jugamos con los cuantificadores, la primera interpretación hace la fórmula
verdadera, la segunda falsa. Aquí la paradoja se nos muestra más claramente.

2.4 Conjuntos potencia

Desde este punto de vista, los modelos contables “malinterpretan” los axiomas de la teoría de
conjuntos del mismo modo que malinterpretan la fórmula. Para la interpretación en castellano todo
conjunto tiene un conjunto potencia, mientras que la interpretación en teoría de modelos del axioma
del conjunto potencia, al estar restringida al dominio de M, será mucho más pequeña que el
conjunto potencia real. Estas malinterpretaciones explican como se puede mantener una particular

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interpretación de la fórmula y satisfacer al mismo tiempo los axiomas de la teoría de conjuntos. Así,
la paradoja de Skolem no parece tan paradójica.

2.5 Apuntes finales

1) Si M no es transitivo, los análisis de 2.3 y 2.4 no son válidos.

2) La paradoja de Skolem depende de que usemos una axiomatización en lógica de primer
orden de la teoría de conjuntos.
3) La paradoja de Skolem desaparece si nuestra lógica es suficientemente fuerta o
suficientemente débil.
4) La paradoja no supone esencialmente una contradicción matemática, pero nos ayuda a
comprender la naturaleza y los límites de la lógica de primer orden.

3. Cuestiones filosóficas

3.1) Punto de vista de Skolem

Skolem, al presentar su paradoja, llegó a dos conclusiones filosóficas:

-La teoría de conjuntos no puede servir para la fundamentación de la matemática.
-La axiomatización de la teoría de conjuntos lleva a una “relatividad de las nociones de la teoría de
conjuntos”.

Hay tres interpretaciones de Skolem:

1) Si la axiomatización de la teoría de conjuntos lleva a la relatividad de sus nociones. Esto

puede verse como una crítica a la concepción algebraica o de teoría de modelos de la
axiomatización. Según esta concepción, los axiomas caracterizan nociones de la teoría de
conjuntos, no son meros intentos de describir una modelo de teoría de conjuntos dado con
anterioridad. Estos modelos son simplemente los que satisfacen la colección inicial de
axiomas.
Según Skolem, esta concepción algebraica lleva a una inevitable relativización de las
nociones de contabilidad e incontabilidad.
2) La teoría de conjuntos no puede proporcionar una adecuada fundamentación de las
matemáticas.
3) No hay una forma rigurosa de introducir la noción de conjunto incontable en matemáticas.

3.2 Escepticismo Skolemita

Algunos Skolemitas defienden todo conjunto es contable si se considera desde una perspectiva
“absoluta”. Para la concepción algebraica de la teoría de conjuntos, las nociones que permanecen
fijas al pasar de un modelo a otro tienen un significado “absoluto”; las que cambian al cambiar de
modelo, uno “relativo”
Para algunos pensadores la concepción algebraica de la lógica es la única respetable, mientras que
otros la rechazan considerando que lleva a una forma ingenua de platonismo. En realidad, el
desarrollo de la teoría de conjuntos durante el s. XX es un argumento a favor de la concepción
algebraica. La visión ingenua no nos obliga a abandonar nuestra concepción ordinaria de los
conjuntos.
Por eso se debe empezar con un argumento independiente de la concepción algebraica para
abandonar después la concepción ordinaria en favor de aquélla. Debe también debe dejar de lado la
utilización de expresiones ingenuas como las de la solución genérica. También debe evitar caer en

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un discurso retórico. Si queremos que los teoremas de Lowenheim-Skolem den algún fruto
filosófico, tenemos que intentar un análisis constructivo de la concepción algebraica de la teoría de
conjuntos, más que una simple crítica a las nociones habituales de dicha teoría.
Han aparecido tres formas distintas de crítica al argumento skolemita:
1) Algunos autores consideran que los teoremas L-S en sí mismos no suponen ningún
problema para las concepciones ingenuas de la teoría de conjuntos. Queda asía abierta la
posibilidad de que la teoría de conjuntos sea una “excepción” que aún no ha podido
entenderse algebraicamente.
2) Otros critican directamente la concepción algebraica, pues, según ellos, esta concepción
presupone un trasfondo intuitivo que no permite dar cuenta del lenguaje matemático en
general y no aclara porqué hemos de restringirnos a la lógica de primer orden.
3) Aceptar que algunas partes de la matemática no están sujetas a la relatividad que proponía
Skolem.

Otros críticos han sugerido dos desafíos a los que aun ningún Skolemita se ha enfrentado:
-Cómo explicar como identificar conjuntos en diferentes modelos.
-Explicar su preferencia por conjuntos contables.

3.3 El Multiverso

El desarrollo de la teoría de conjuntos se ha centrado en el desarrollo de herramientas cada vez más

potentes para comparar diferentes modelos de la teoría de conjuntos. Esta concepción propone que
ningún modelo sea privilegiado, y que el propósito de la teoría de conjuntos no es otro que explorar
las relaciones entre varios modelos.

3.4 Argumento de la teoría de modelos de Putnam

Putnam considera que nuestro lenguaje es semánticamente indeterminado: no hay un único universo
sobre el que el rango de los cuantificadores alcance y ninguna relación hacia la que la palabra
“pertenencia” refiera. Solo hemos de tener en cuenta dos cosas a la hora de fijar un modelo: los
constreñimientos teóricos (axiomas) y los constreñimientos operacionales (observaciones
empíricas). Este argumento tiene una triple conexión con la paradoja de Skolem:
1) Es una extensión de los argumentos del propio Skolem.
2) Sus conclusiones son acordes con las recientes investigaciones de la paradoja.
3) La prueba del teorema de Putnam es crucial en los teoremas de L-S.
Algunos críticos de Putnam han señalado una cierta tensión con la noción de finitud. Putnam
considera que cualquier condición que pueda ser propuesta puede ser formalizada en LPO y tratada
como un nuevo constreñimiento teórico (“just more theory”).

4. Conclusión

No hay conflicto desde el punto de vista matemático entre Cantor y los teoremas L-S.
Filosóficamente, es necesario esplicar el estatus de las teorías que sirven para probar los teorema L-
S y explicar el significado de las axiomatizaciones en LPO de la teoría de conjuntos.

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