ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE

INGENIERÍA CIVIL

SOLUCIONARIO DE LA TAREA
ACADÉMICA Y EJERCICIOS RESUELTOS

UNIDAD I
“RESISTENCIA AL ESFUERZO CORTANTE”
 EJERCICIOS T. A. 1
5. Para una arcilla normalmente consolidada, los siguientes son los resultados de una prueba triaxial
Drenada
Datos:
Presión de confinamiento en la cámara= 112 KN/m2
Esfuerzo desviador en la falla= 175 KN/m2
-Calcular el ángulo de fricción ɸ
 Determinar el ángulo θ que el plano de falla forma con el plano principal mayor

Solución:
Para una arcilla normalmente consolidada, entonces c=0
𝝉f = σtgɸ
Esfuerzo desviador en la falla: (Δσd)f=σ1- σ3
Para la prueba triaxial, los esfuerzos principales mayor y menor en la falla son:
σ’1= σ1
σ’3= σ3=112 KN/m2

(Δσd)f=σ1- σ3=175= σ1- 112 σ1= 287 KN/m2

 EJERCICIOS T. A. 1
σ’1
EL círculo de Mohr y la envolvente de falla se muestran en la figura de donde obtenemos:
θ σ′ 1−σ′ 3
2 287−112
σ’3 σ’3 senɸ=AB/OB= σ′ 1+σ′ 3
= =0.438 ɸ=26°
287+112
2

Esfuerzo cortante
σ’1
ɸ
A

2θ
Esfuerzo normal
o σ’3=112 KN/m2 σ’1= 287 KN/m2
B

ɸ
Del gráfico 180-2θ+ɸ=90 θ=45+ =58°
2
 EJERCICIOS T. A. 1
6. Para una prueba consolidada-no drenada sobre una arcilla normalmente consolidada dio los siguientes
resultados:
σ3= 84 KN/m2
Esfuerzo desviador en la falla (Δσd)f= 63.7 KN/m2
Presión de poro (Δud)f= 47.6 KN/m2
 Calcular el ángulo de fricción ɸ consolidado no drenado y el ángulo de fricción ɸ drenado

Solución:
Para una arcilla normalmente consolidada, entonces c=0
𝝉f = σtgɸ
Esfuerzo desviador en la falla: (Δσd)f=σ1- σ3
Para la prueba triaxial, los esfuerzos principales mayor y menor en la falla son:
σ’1= σ1
σ’3= σ3=84 KN/m2
(Δσd)f=σ1- σ3=63.7= σ1- 84 σ1= 147.7 KN/m2
EJERCICIOS T. A. 1
EL círculo de Mohr y la envolvente de falla se muestran en la figura de donde obtenemos:
σ1−σ3
2 147.7−84
senɸ(cu)=AB/OB= σ1+σ3 = =0.275 ɸ(cu)=16°
147.7+84
2

ɸ(cu)
ɸ A

A’
Esfuerzo cortante

Esfuerzo normal
o B’
σ’3=84 KN/m2
B σ’1= 147.7 KN/m2

ɸ
Del gráfico 180-2θ+ɸ=90 θ=45+ =53°
2
EJERCICIOS T. A. 1
EL círculo de Mohr y la envolvente de falla se muestran en la figura de donde obtenemos:

σ′ 1−σ′ 3
2 100.1−36.4
Sen(ɸ’)=A’B’/OB’= σ′ 1+σ′ 3
= =0.275 ɸ’=27.8°
100.1+36.4
2

Envolvente de falla del esfuerzo total

Envolvente de falla del esfuerzo efectivo
ɸ(cu)
ɸ A

A’
Esfuerzo cortante

Esfuerzo normal
o σ’3=36.4 KN/m2 B’
σ3=84 KN/m2 σ’1=100.1 KN/m2
B σ1= 147.7 KN/m2

σ’1= σ1-(Δud)f =147.7-47.6=100.1 KN/m2

σ’3= σ3- (Δud)f =84-47.6=36.4 KN/m2

ɸ'
Del gráfico 180-2θ+ɸ=90 θ=45+ =58.9°
2
 EJERCICIOS T. A. 1
7. El estado de esfuerzos plano de un cuerpo está definido por los siguientes esfuerzos

𝝈𝟏 = 𝟔𝟎𝟎 𝒌𝒈/𝒄𝒎𝟐 de compresión

𝝈𝟑 = 𝟏𝟓𝟎 𝒌𝒈/𝒄𝒎𝟐 de tensión
Determine, por el círculo de Mohr, los esfuerzos normal y tangencial en un plano inclinado 10° con
respecto al plano en que actúa el esfuerzo principal menor. Verifique los resultados analíticamente.
Use la convención aceptada en Mecánica de Suelos, según la cual los esfuerzos de compresión son
positivos y los de tensión negativos.
EJERCICIOS T. A. 1
𝜎1

𝜏 𝑘𝑔/𝑐𝑚2
400

10°
300

𝜎3 𝜎3
𝜃
200

A
𝜎1 100
2𝜃
𝜎3 20° 𝜎1
𝜎 𝑘𝑔/𝑐𝑚2
-300 -200 -100 100 200 300 400 500 600 700
 EJERCICIOS T. A. 1
Solución.
Los esfuerzos pedidos son las coordenadas del punto A
DATOS
𝝈𝟏 = 𝟔𝟎𝟎 𝒌𝒈/𝒄𝒎𝟐 de compresión 𝜎 = −130.20 𝑘𝑔/𝑐𝑚2
𝝈𝟑 = 𝟏𝟓𝟎 𝒌𝒈/𝒄𝒎𝟐 de tensión
𝜏 = 120.50 𝑘𝑔/𝑐𝑚2

Analíticamente:

𝜎1 + 𝜎3 𝜎1 − 𝜎3
𝜎= + cos 2𝜃
2 2

𝜎1 − 𝜎3
𝜏= sin 2𝜃
2
EJERCICIOS T. A. 1
𝜃 = 90° − 10° = 80°

600 − 150 600 + 150

𝜎= + cos 160° = −127.3847 𝑘𝑔/𝑐𝑚2
2 2

600 + 150
𝜏= sin 160° = 128.2576 𝑘𝑔/𝑐𝑚2
2
 EJERCICIOS T. A. 2
1. En un ensayo trixial CU se han determinado los resultados siguientes:
𝝈𝟑 𝝈𝟏 − 𝝈𝟑 𝒖
Probeta 1 0.50 0.90 0.3
Probeta 2 1.50 2.10 0.7
Probeta 3 3 a 1/3 de (a)
𝑘𝑔ൗ
𝜎3 = 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝑐𝑚2
𝜎1 − 𝜎3
𝑘𝑔ൗ
= 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑢𝑝𝑡𝑢𝑟𝑎
𝑐𝑚2
𝑢 = 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑢𝑝𝑡𝑢𝑟𝑎 (𝑘𝑔ൗ𝑐𝑚2)

Se pide:
a) Determinar el desviador de tensiones (valor de a) y la presión de poros de la probeta 3.

b) Parámetros resistentes del suelo ensayado: parámetros totales y efectivos.

EJERCICIOS T. A. 2
 EJERCICIOS T. A. 2
2. Para evaluar el comportamiento de un relleno de arena compactada, se analizó en el laboratorio
una muestra de la arena fina mal graduaga utilizada. Esta muestra se remoldeó a la misma densidad
alcanzada en el terraplén y se sometió a una prueba de corte directo empleando una presión normal
de 9 kg/cm2, produciéndose la falla con un esfuerzo cortante de 5kg/cm2. Determine con la teoría de
círculo de Mohr los esfuerzos máximos y mínimos en el instante de a falla.

Datos:
𝝉 = 5 kg/cm2 𝝉= c + σ tan ϕ
σ = 9 kg/cm2
𝜎1 − 𝜎3
=𝑟
2
𝜑 𝜑
𝜎1 = 𝜎3 ∗ 𝑡𝑎𝑛2 45 + + 2𝑐 ∗ tan(45 + )
2 2
 EJERCICIOS T. A. 2
MÉTODO 1
2
∅
Τ(kg/cm2) 𝜎1 = 𝜎3 ∗ 𝑡𝑎𝑛 (45 + ) … (𝑖𝑖)
2
σ = 9 kg/cm2
Reemplazando (i) en (ii)
∅
5 2𝑟 + 𝜎3 = 𝜎3 ∗ 𝑡𝑎𝑛2 (45 + ) … (𝑖𝑖)
2
r
∅ 𝜎3 = 6.0580 𝑘𝑔/𝑐𝑚2
∅
θ 9 5 σ(kg/cm2)
𝜎1 = 17.4976 𝑘𝑔/𝑐𝑚2

𝝉= c + σ tan(∅) MÉTODO 2
c =0 𝑟
𝜎1 − 𝜎3 𝑠𝑒𝑛 ∅ =
𝝉 5 𝜎3 + 𝑟
∅ =𝑡𝑎𝑛−1 (σ ) = 29.0546° ∅ r cos(∅)=𝑟 =𝑟
5 2 𝑟
r = 5.7198 m 𝜎1 = 2𝑟 + 𝜎3 … (𝑖) 𝜎3 = − 𝑟 = 6.0580 𝑘𝑔/𝑐𝑚2
𝑠𝑒𝑛 ∅
EJERCICIOS RESUELTOS
PROBLEMA N°1:
Un ensayo triaxial consolidado no drenado se realiza sobre una arcilla limosa y se
obtuvieron los siguientes resultados
Número de
C1 C2 C3
espécimen
𝜎3 (𝑘𝑁/𝑚2 ) 17 44 56
𝜎1 (𝑘𝑁/𝑚2 ) 157 204 225
𝑢 (𝑘𝑁/𝑚2 ) 12 20 22

a) Determinar los valores de los parámetros de resistencia 𝑐 𝑦 ∅ considerando

esfuerzos totales y dibujar la trayectoria de esfuerzos (p vs q).
b) Determinar los valores de los parámetros de resistencia efectivos 𝑐′ 𝑦 ∅′
considerando esfuerzos efectivos y dibujar la trayectoria de esfuerzos efectivos
(p’ vs q’).
 EJERCICIOS RESUELTOS
a) Considerando esfuerzos totales
Para la solución con esfuerzos totales dibujamos el Circulo de Mohr usando los esfuerzos totales principales
𝜏(kN/m2)
Cálculo del ángulo de fricción
140
𝟐
∅ ∅
𝝈𝟏 = 𝝈𝟑 𝒕𝒂𝒏 𝟒𝟓 + + 𝟐𝒄𝒕𝒂𝒏 𝟒𝟓 +
𝟐 𝟐 120
∅ = 𝟏𝟔°
100
∅ ∅
Muestra C1 157 = 17tan2 45 + + 2ctan 45 + 80
2 2
60
∅ ∅
Muestra C2 204 = 44tan2 45 + + 2ctan 45 +
2 2 40

𝒄 = 𝟒𝟖 𝒌𝑵/𝒎𝟐
20
∅
47 = 27tan2 45 + ∅ = 𝟏𝟓. 𝟔𝟖° ≈ 𝟏𝟔°
2
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 𝜎(kN/m2)
σ3(𝑐1) = 17 σ1(𝑐1) = 157 σ1(𝑐2) = 204
Cálculo de la cohesión σ3(𝑐2) = 44
σ3(𝑐3) = 56
σ1(𝑐3) = 225

15.68 15.68
157 = 17tan2 45 + + 2ctan 45 +
2 2

157 = 29.59 + 2.64c 𝒄 = 𝟒𝟖. 𝟐𝟔 𝒌𝑵/𝒎𝟐

EJERCICIOS RESUELTOS
a) Gráfico de trayectoria de esfuerzos y cálculo de parámetro Poro-presión
Calculamos los valores de p y q para cada muestra
σ1 − σ3 σ1 + σ3 q(kN/m2)
q= p= “C3”
2 2 90 “C2”
(140.5;84.5)
(124;80)
Muestra C1 80 “C1”
(87;70)
157 − 17 𝑞 = 70(kN/m2) 70
𝑞=
2
60
157 + 17
𝑝= 𝑝 = 87(kN/m2)
2 50

Muestra C2 40
204 − 44
𝑞= 𝑞 = 80(kN/m2) 30
2
204 + 44 20
𝑝= 𝑝 = 124(kN/m2)
2
10
Muestra C3
225 − 56
𝑞= 𝑞 = 84.5(kN/m2) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 p (kN/m2)
2
225 − 56 𝑝 = 140.5 (kN/m2)
𝑝=
2
EJERCICIOS RESUELTOS
b) Considerando esfuerzos efectivos
𝜏(kN/m2)
Cálculo de esfuerzos efectivos σ′ = σ − u 140

Muestra C1 120
∅′ = 20°
σ′1 = 157 − 12 2
σ′1 = 145 (𝑘𝑁/𝑚 ) 100

σ′3 = 17 − 12 σ′3 = 5(𝑘𝑁/𝑚2 ) 80

Muestra C2 60

σ′1 = 204 − 20 σ′1 = 184 (𝑘𝑁/𝑚2 ) 40

𝒄′ = 𝟒𝟕 𝒌𝑵/𝒎𝟐
σ′3 = 44 − 20 σ′3 = 24 (𝑘𝑁/𝑚2 ) 20

Muestra C3
σ′1 = 203 (𝑘𝑁/𝑚2 )
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 𝜎 (kN/m2)
σ′1 = 225 − 22 σ′3(𝑐1) = 5 σ′1(𝑐1) = 145 σ′1(𝑐2) = 184
σ′3(𝑐2) = 24 σ′1(𝑐3) = 203
σ′3 = 56 − 22 σ′3 = 34 (𝑘𝑁/𝑚2 ) σ′3(𝑐3) = 34

∅′ ∅
Cálculo del ángulo de fricción 𝝈′𝟏 = 𝝈′𝟑 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝟒𝟓 + + 𝟐𝒄′𝒕𝒂𝒏 𝟒𝟓 + Cálculo de la cohesión
𝟐 𝟐

∅ ∅ 20 20
Muestra C1 145 = 5tan 2
45 + + 2ctan 45 + ∅ 145 = 5tan2 45 +
2
+ 2ctan 45 +
2
2 2 39 = 19tan2 45 +
2
∅ ∅ 𝒄 = 𝟒𝟕. 𝟏𝟑 𝒌𝑵/𝒎𝟐
Muestra C2 184 = 24tan 2
45 + + 2ctan 45 + ∅ = 𝟐𝟎. 𝟏𝟕° ≈ 𝟐𝟎°
2 2
EJERCICIOS RESUELTOS
b) Gráfico de trayectoria de esfuerzos y cálculo de parámetro Poro-presión
Calculamos los valores de p’ y q’ para cada muestra

σ′1 − σ′3 σ′1 + σ′3 q(kN/m2)

q= p= “C3”
2 2 90 “C2” (118.5;70)
(104;70)
80
“C1”
Muestra C1 (75;70)
70
145 − 5 𝑞′ = 70(kN/m2)
𝑞′ =
2 60

145 + 5
𝑝′ = 𝑝′ = 75(kN/m2) 50
2
40
Muestra C2
184 − 24 30
𝑞′ = 𝑞′ = 80(kN/m2)
2 20
184 + 24
𝑝′ = 𝑝′ = 104(kN/m2) 10
2
Muestra C3
203 − 34 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 p (kN/m2)
𝑞′ = 𝑞′ = 84.5(kN/m2)
2
203 + 34 𝑝′ = 118.5 (kN/m2)
𝑝′ =
2
EJERCICIOS RESUELTOS
PROBLEMA N°2:
Se tienen los siguientes esfuerzos máximos obtenidos en pruebas triaxiales estándar
con arena compacta, bien gradada, formada por granos gruesos de cuarzo.
Valor de p para el máximo
Valor máximo de q
Presión de confinamiento Esfuerzo axial máximo 𝜎1 − 𝜎3 de q
Muestra 𝜎𝑐 = 𝜎3𝑓 𝜎1𝑓 𝑞𝑓 = 𝜎1 + 𝜎3
2 𝑓 𝑝𝑓 =
𝑘𝑔/𝑐𝑚2 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 2 𝑓
𝑘𝑔/𝑐𝑚2
𝑘𝑔/𝑐𝑚2
M1 1 5.05 2.02 3.02
M2 2 9.85 3.92 5.92
M3 4 20.80 8.40 12.40
M4 8 40.30 16.15 24.15

a) Calcular ∅ mediante la envolvente de Mohr

b) Calcular ∅ mediante la trayectoria de esfuerzos
c) Calcular el ángulo de falla
EJERCICIOS RESUELTOS
a) Cálculo de ∅ a partir del círculo de Mohr
Para la solución con esfuerzos totales dibujamos el Circulo de Mohr usando los esfuerzos totales principales
Analíticamente calculamos el ángulo de fricción 𝜏(kg/cm2)
σ1 − σ3
sin ∅ =
σ1 + σ3
20

Muestra M1 ∅ = 42°
5.05 − 1
sin ∅ = ∅ = 42.02°
5.05 + 1
Muestra M2 10

9.85 − 2
sin ∅ = ∅ = 41.49°
9.85 + 2
Muestra M3
20.80 − 4 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 𝜎(kg/cm2)
sin ∅ = ∅ = 42.64° σ3(𝑀1) = 1 σ1(𝑀1) = 5.05 σ1(𝑀3) = 20.80 σ1(𝑀3) = 20.80
20.80 + 4 σ3(𝑀2) =2 σ1(𝑀2) = 9.85
σ3(𝑀3) = 4
σ3(𝑀4) = 8
Muestra M4
40.30 − 8
sin ∅ = ∅ = 42.00°
40.30 + 8
EJERCICIOS RESUELTOS
b) Cálculo de ∅ a partir de la trayectoria de esfuerzos p vs q
Graficamos la trayectoria de esfuerzos p vs q
𝑞𝑓 𝑝𝑓 𝑞(kg/cm2)
Muestra
𝑘𝑔/𝑐𝑚2 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 20
M1 2.02 3.02 Recta ajustada de los puntos (pf-qf) “M4”
(24.15;16.15)
M2 3.92 5.92
15
M3 8.40 12.40
𝛼 = 33°
M4 16.15 24.15

Ecuación de la línea Kf 𝑞𝑓 = a + 𝑝𝑓 tan 𝛼 10 “M3”

(12.40;8.40)

2.02 = a + 3.02 tan 𝛼 3.92 = a + 5.92 tan 𝛼

“M2”
a= 𝟎. 𝟎𝟒𝟏 5
𝜶 = 𝟑𝟑. 𝟐𝟑° “M1”
(5.92;3.92)

Cálculo del ángulo de fricción sin ∅ = tan 𝛼

(3.02;2.02)

sin ∅ = tan 33.23 ∅ = 𝟒𝟎. 𝟗𝟑° ≈ 𝟒𝟏° 𝑝(kg/cm2)

5 10 15 20 25 30

c) Calcular el ángulo de falla

𝑎
Cálculo del ángulo de falla Cálculo de la cohesión c=
cos ∅
∅ 0.041
𝜃 = 45 + 40.93
2 𝜃 = 45 + 𝜽 = 𝟔𝟓. 𝟒𝟕° ≈ 𝟔𝟔° c= 𝐜 = 𝟎. 𝟎𝟓𝐤𝐠/𝐜𝐦𝟐
2 cos 40.93