APLICACIONES DE INTEGRALES

MELISSA ANDREA DOMINGUEZ SALAZAR

ESCUELA SUPERIOR DE ADMINISTRACIÓN PÚBLICA

MATEMÁTICA II

ADMINISTRACIÓN PÚBLICA TERRITORIAL

MONTERÍA

2022
La integral es definida en matemáticas como una antiderivada, pues es la
operación inversa de la derivada.
Las integrales están muy presentes en la ingeniería y en la ciencia, sin dejar
de tener aplicaciones en otros campos de estudio. Así, por ejemplo, la
administración.
Por lo tanto, a continuación, se profundiza en las aplicaciones de la integral
en el campo administrativo con ejercicios de ingreso marginal, depreciación y
excedentes de consumidores y productores, pero también ejercicios
aplicativos en cálculo de área de regiones planas y curvas, y ejercicios
prácticos del método de sustitución.

 Método de sustitución

1. ∫ e−x dx
u=−x ; du=−dx ; dx=−du
∫ e (−du ) =−∫ e du=−e =−e−x +C
u u u

∫ x 3 ( 2+ x 4 ) dx
5
2.
du
u=2+ x 4 ; du=4 x 3 dx ;dx= 3
4x

du 1 1 u5 +1 1 u6
∫ x u 4 x3 = 4 ∫ u du= 4 ∙ 5+1 = 4 ∙ 6
3 5 5

1 1 1 6
¿ ∙ u6= ( 2+ x 4 ) +C
4 6 24

dt
3. ∫ (1−6 t )4
−du
u=1−6 t ; du=−6 dt ;dt =
6

−du
−4−1
6 −1 du −1 −1 u
∫ u4 = 6 ∫ u4 = 6 ∫ u du= 6 ∙ −4−1
−4
 1 u−3 1 −3 1 1
¿− ∙ = u = = +C
6 −3 18 18 u 18 ( 1−6 t )3
3

 Ingreso marginal

1. Una agencia de seguros fija un precio de $680 pesos por unidad de

venta de un seguro de gastos médicos. De ahí se tiene que la
función del ingreso marginal por ventas es R0 ( x )=680 pesos. Calcule
la función de ingreso total.

Para obtener la función ingreso total por ventas, se integra:

R( x )=∫ 680 dx=680 x +C

Como R ( 0 )=0; entonces, la función ingreso total por la venta de x

seguro de gastos médicos es R ( x )=680 x

2. El ingreso marginal que una empresa obtiene de cierto producto es

dr
=12−8 q−4 q3. Obtenga las funciones de ingreso y demanda.
dq

Como dr/dq es la derivada del ingreso total r,

r =∫ ( 12−8 q−4 q3 ) dq

¿ 12∫ dq−8∫ q dq−4 ∫ q dq

3

q1 +1 q3 +1
¿ 12 q−8 ∙ −4 ∙
1+ 1 3+ 1

q2 q4
¿ 12 q−8 ∙ −4
2 4
2 4
¿ 12 q−4 q −q +C

Dado que no se ha vendido ninguna unidad, no hay ingresos: esto es, r

= 0 cuando q = 0. Si se sustituye los valores en la ecuación resulta
 2 4
0=12 ( 0 )−4 ( 0 ) −0 +C

Por lo tanto, C=0y

2 4
r =12q−4 q −q

Para obtener la función de demanda, se usa el hecho de que p = r/q, y

se sustituye el valor de r:

r 12 q−4 q2−q4 3
p= = =12−4 q−q
q q

3. La función de ingreso marginal de un fabricante es

dr
=250+ 90 q−3 q . Si r está en dólares, encuentre el cambio
2
dq
en el ingreso total del fabricante si la producción crece de
10 a 20 unidades.

r =∫ 250+90 q−3 q dq
2

¿ ∫ 250 dq+∫ 90 q dq−∫ 3 q dq

2

¿ 250∫ dq+ 90∫ q dq−3∫ q dq

2

1 +1 2 +1
q q
¿ 250 q+ 90∙ −3∙
1+ 1 2+1
q2 q3
¿ 250 q+ 90∙ −3
2 3
2 3
¿ 250 q+ 45 q −q +C

A partir de la anterior ecuación se tiene

r ( 10 )=250 ( 10 ) + 45(10)2−( 10 )3
1
¿ 250 ( 10 ) +45 ( 100 )−
( 10 )3
1
¿ 2500+ 4500−
1000
1
¿ 7000−
1000
 ¿ 7000−0,001
¿ 6999,999

r ( 20 )=250 ( 20 )+ 45(20)2−(20)3
1
¿ 250 ( 20 ) +45 ( 400 )− 3
(20)
1
¿ 5000+18000−
( 20 )3
1
¿ 5000+18000−
8000
1
¿ 23000−
8000
¿ 23000−0,000125
¿ 22999,999875

 Depreciación
La tasa de depreciación de un edificio está dada por
D' ( t )=3.000 (20−t ) dólares por año, 0 ≤ t ≤ 20.Use la integral
definida para encontrar:
1. La depreciación los primeros 10 años
2. La depreciación los primeros 20 años
3. La depreciación entre 10 y 20 años

10 10

1. ∫ 3.000 ( 20−t ) dt=3.000 ∫ 20−t dt

0 0

( )
10 10
¿ 3.000 ∫ 20 dt−∫ t dt
0 0

( )
1+1 2
t t
¿ 3.000 20 t− =3.000( 20t− )
1+1 2
10
¿ 60.000 t−1.500 t 2= ( 60.000 t −1.500 t 2)|0

¿ 60.000 ∙10−1.500 ∙10 −( 6.0000 ∙0−1.500 ∙0 )

2 2
¿ 60.000 ∙10−1.500 ∙100=600.000−150.000
¿ 450.000
20 20

2. ∫ 3.000 ( 20−t ) dt=3.000 ∫ 20−t dt

0 0

(∫ )
20 20
¿ 3.000 20 dt−∫ t dt
0 0

( )
1+1 2
t t
¿ 3.000 20 t− =3.000( 20t− )
1+1 2
20
¿ 60.000 t−1.500 t = ( 60.000−1.500 t )|0
2 2

¿ 60.000 ∙20−1.500 ∙20 −( 6.0000 ∙0−1.500 ∙ 0 )

2 2

¿ 60.000 ∙20−1.500 ∙ 400=1.200 .000−600.000

¿ 600.000
20 20

3. ∫ 3.000 ( 20−t ) dt=∫ 3.000 ( 20−t ) dt

10 10

20
¿ ∫ 3.000 ( 20−t ) dt
10
20
¿ 3.000∫ 20−t dt
10

(∫ )
20 20
¿ 3.000 20 dt−∫ t dt
10 10

( ) ( )
1+1 2
t t
¿ 3.000 20 t− =3.000 20 t−
1+1 2
20
¿ 60.000 t−1.500 t ¿= ( 60.000 t −1.500 t )|10
2 2

¿ 60.000 ∙20−1.500 ∙20 −( 60.000 ∙10−1.500 ∙10 )

2 2

¿ 60.000 ∙20−1.500 ∙ 400−( 60.000 ∙ 10−1.500 ∙ 100 )

¿ 1.200 .000−600.000−( 600.000−150.000 )
¿ 600.000− ( 450.000 )
¿ 600.000−450.000
 ¿ 150.00 0

 Excedentes de los consumidores y de los productores

En los problemas 1 a 3, la primera ecuación es una ecuación

de demanda y la segunda es una ecuación de oferta de un
producto. En cada caso, determine el excedente de los
consumidores y de los productores, bajo equilibrio del
mercado.

1. p=22−0.8 q
p=6+1.2 q

6+1.2 q=22−0.8 q
1.2 q+0.8 q=22−6
2 q=16
q=16 ÷ 2
q=8

p=6+1.2 ( 8 )=15,6

q 0=8 ; p0=15,6

8 8
EC =∫ ( 22−0.8 q−15,6 ) dq=∫ 22−15,6−0.8 dq
0 0

8 8 8
¿ ∫ 6,4−0.8 q dq=∫ 6,4 dq−∫ 0.8 dq
0 0 0

1+1 2
q q
¿ 6,4 q−0.8 ∙ =6,4 q−0.8∙ =6,4 q−0,4 q2
1+1 2

)|
8
2 2
( 2 2
¿ 6,4 q− q = 6,4 q− q
5 5 0
 2
5 ( 2
¿ 6,4 ∙ 8− ∙ 82 − 6,4 ∙0− ∙ 02
5 )
2 128 256 128 128
¿ 6,4 ∙ 8− ∙ 64=51,2− = − =
5 5 5 5 5

8 8
EP=∫ [ 15,6−( 6+1.2 q ) ] dq=∫ [15,6−6−1.2q ] dq
0 0

8 8 8
¿ ∫ 9,6−1.2 q dq=∫ 9,6 dq−∫ 1.2 q dq
0 0 0

q 1+1 q2 2
¿ 9,6 q−1.2 ∙ =9,6 q−1.2 ∙ =10 q−0.6 q
1+1 2

)|
8
3 2
(
3 2
¿ 9,6 q− q = 9,6 q− q
5 5 0

3
5 ( 3
¿ 9,6 ∙ 8− ∙ 82 − 9,6∙ 0− ∙ 02
5 )
3 192 384 192 192
¿ 9,6 ∙ 8− ∙ 64=76,8− = − =
5 5 5 5 5

2. p=15−2 q
q=3+ q

3+q=15−2 q
q+ 2 q=15−3
3 q=12
q=12 ÷3
q=4

p=3+ 4=7

q 0=¿4 ; p =7 ¿
0
 4 4
EC =∫ ( 15−2 q−7 ) dq=∫ 15−7−2 q dq
0 0

4 4 4
¿ ∫ 8−2 q dq=¿∫ 8 dq−∫ 2q dq ¿
0 0 0

q 1+1 q2 2
¿ 8 q−2 ∙ =8 q−2∙ =8 q−q
1+1 2

4
¿ ( 8 q−q 2 )|0 =8 ∙ 4−4 2−(8∙ 0−02 )

¿ 32−16=16

4 4
EP=∫ [ 7−(3+ q)] dq=∫ [ 7−3−q ] dq
0 0

4 4 4
¿ ∫ 4−q dq=∫ 4 dq−∫ q dq
0 0 0

1+1 2
q q
¿ 4 q− =4 q−
1+1 2

)|
4

( ( )
2 2 2
q 4 0
¿ 4 q− =4 ∙ 4− − 4 ∙ 0−
2 0 2 2

16 16
¿ 4 ∙ 4− =16− =16−8=8
2 2
3. p=2200−q
2

2
p=400+q

2 2
400+ q =2200−q

q 2+ q2=2200−400
2
2 q =1800
 2
q =1800 ÷2
2
q =900

√ q2 =√ 900
q=± 30, se toma +30 pues no es admitido el valor negativo
de q.

2
p=400+30 =400+900=1300

q 0=30 ; p0=1300

30
EC =∫ (2200−q2 ¿−1300)dq ¿
0

30 30
¿ ∫ 2200−1300−q dq=∫ 900−q 2 dq 2

0 0

2 +1 3
q q
¿ 900 q− =900 q−
2+ 1 3

)|
30

(
3
q
¿ 900−
3 0

( )
3 3
30 0
¿ 900 ∙ 30− − 900∙ 0−
3 3

27000
¿ 900 ∙ 30− =27000−9000=18000
3

30
EP=∫ [ 1300−( 400+q ) ] dq
2

30
¿ ∫ 1300−400−¿ q dq ¿
2

0
 30 30 30
¿ ∫ 900−q dq=∫ 900 dq−∫ q 2 dq
2

0 0 0

q2 +1 q3
¿ 900 q− =900 q−
2+ 1 3

)|
30

(
3
q
¿ 900−
3 0

¿ 900 ∙ 30+
303
3 (
− 900 ∙ 0+
03
3 )
27000
¿ 900 ∙ 30+ =27000+ 9000=18000
3
La integración es una herramienta muy importante del cálculo, no
solo sirve para determinar áreas en regiones planas y curvas como
se puede observar durante el desarrollo de los ejercicios.
Su aplicación real, actualmente es las aplicaciones en la
administración y la economía.