UNIVERSIDAD PONTIFICIA BOLIVARIANA

ESCUELA DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS

CURSO: PRINCIPIOS DE CÁLCULO INTEGRAL. TALLER 1

Profesor : Pedro Nel Jaimes Jaimes

1. Determinar la antiderivada más general de las siguientes funciones.

x3 + 2x2
a) f (x) = √
x
1
2x 2 + 3x2
b) f (x) = √
x3
√3
√
c) h(x) = x2 − x3
√ 3 √3
d ) z(x) = x3 + x − 2 + x5
x
1 √5 −1
e) w(x) = 2
+ x2 − 5(1 − x2 ) 2
1+x
2. Encuentre la antiderivada F que satisfaga la condición inicial dada.

a) f (x) = 2x3 − 5x2 − x + 1, F (0) = 2

√
b) f (x) = 2( 3 x)2 − 4x3 , F (1) = 4
c) f (x) = 2x2 − 4x, F (0) = 3
1 4
d ) f (x) = 2x−3 + √ − √ , F (1) = 0
x x3
Z
3. Encontrar f (x) dx en cada uno de los siguientes casos:

6x3 − 5 (x3 − 5)2

a. f (x) = m. f (x) = √
x x
x2 √ √
b. f (x) = 2 ( a − x)
x +1 n. f (x) = √
ax
2
c. f (x) = 4x − + 5x2 2 + x2
x ñ. f (x) =
2 2 1 + x2
d. f (x) = −2x3 − 2 + x2/3 − 1/3 o. f (x) = (x + 2x3 )2
x x
√ 2 p. f (x) = x(x − 3)(x + 5)
e. f (x) = 3x3 − 2x + ex − x − −3
x
3 q. f (x) = (2x2 − x)3
f. f (x) = 2x4 − 3(x2 )−1 − + 3x
x r. f (x) = x2 (20x7 − 7x4 + 6)
2 3 4 √
g. f (x) = 2 − 3x2 − √ + 3 x4 + 3 x
x x3 x s. f (x) =
x2
h. f (x) = 3x2 + 2x + 1 (x2 − 3)(x2 + 4)

3 t. f (x) = √
i. f (x) = a2/3 − x2/3 3
x2
√ √
√
 
1 x− 2
j. f (x) = x+ √ u. f (x) = √
23x 2x
x4 2
 
4 x
k. f (x) = − v. f (x) = 2
x5 5 x +1
√ √ 2
l. f (x) = ( x + 1)(x − x + 5) w. f (x) = eln(x ) x

4. Encuentre una función y = f (x) cuya gráfica pase por el punto (1, 2) y también satisfaga la ecuación diferencial
dy
= 3x2 − 3
dx
d2 y
5. Encuentre una función y = f (x) tal que =1
dx2
6. Dado que f 00 (x) = 2x3 − 2x + 1, f 0 (1) = 2 y f (2) = −1. Hallar f (x)
√
7. Encuentre todas las funciones g tales que g 0 (x) = 4x − 3x5 + 6 x3
4
 8. Encuentre f si f 0 (x) = ex + 20(x2 )−3 y f (1) = −2

9. Halle una función f tal que f 0 (x) = x3 y la recta x + y = 0 sea tangente a la gráfica de f

10. Resuelva la ecuación diferencial:

dy 6x2 dP √
a) = √ i) = Pt
dx 2y − y dt
dy p
dy x2 j) = 2x y 3
b) = dx
dx y2 dy
dy k) = (x + 1)2
c) = x2 y dx
dx dy
dy y l) x = 4y
d) = dx
dx 2x dy y3
dy 2x m) = 2
e) =− dx x
dx y dx x2 y 2
√ n) =
f ) (y + 3 y)dy − (x + x3 )dx = 0 dy x+1
1 dx 1 + 2y 2
g) (2t + )dt − 2udu = 0 ñ) =
t dy yx2
h) (sw + s)dw − (s + 1)ds = 0 o) (1 + x2 + y 2 + x2 y 2 )dy = y 2 dx

11. Una compañı́a estima que el costo marginal (en dólares por artı́culo) de producir x artı́culos es de 1,92 − 0,002x.
Si el costo de producción de un artı́culo es de 562 dólares, encuentre el costo de producir 100 artı́culos.
dN
12. La tasa de crecimiento de una especie de bacterias es estimada por medio de = 800 + 200et , en donde N
dt
es el número de bacterias (en miles) después de t horas. Si N (5) = 40.000, determine N (t).

13. Para un grupo urbano particular, algunos sociólogos estudiaron el ingreso anual promedio actual y = f (x) (en
dólares) que una persona con x años de educación puede esperar recibir al buscar un empleo ordinario. Ellos
dy
estimaron que la razón a la que el ingreso cambia con respecto a la educación está dada por: = 100x3/2 , con
dx
4 ≤ x ≤ 16, donde y = 28, 720 cuando x = 9. Encontrar y = f (x).
dr
14. Si la función de ingreso marginal para el producto de un fabricante es: = 2000 − 20q − 3q 2 , encontrar la
dq
función de demanda.

15. En la manufactura de un producto, los costos fijos por semana son de 4000. Los costos fijos son como la renta
y el seguro, que permanecen constantes a todos los niveles de producción en un periodo dado. Si la función de
dc dc
costo marginal es: = 0,000001(0,002q 2 − 25q) + 0,2, donde c es el costo total (en dólares) de producir q
dq dq
libras de producto por semana, encontrar el costo de producir 10,000 libras en una semana.
dr
16. En los siguientes problemas es una función de ingreso marginal. Encuentre la función de demanda.
dq
dr
a) = 0,7
dq
dr
b) = 275 − q − 0,3q 2
dq
dr 1
c) = 15 − q
dq 15
dr
d) = 10000 − 2(2q + q 3 )
dq
dc
17. En los siguientes problemas es una función de costo marginal. Encuentre la función de costo total.
dq
dr
a) = 1,35; {200}
dq
dr
b) = 4,5 − 1,2q + 0,09q 2 ; {7700}
dq
dr
c) = 75 + 2q; {2000}
dq
dr
d) = 0,000102q 2 − 0,034q + 5; {10000}
dq
 dc
18. Cierta empresa tiene la siguiente función de costo marginal: = 1,5x3 − 3,3x2 + 4,4x + 12, donde x es el
dx
nivel de producción en cientos de unidades y c es el costo en pesos; también se sabe que 600 unidades (x = 6)
cuestan 2,500 dólares.

a) Obtén la función de costo total.

b) Calcula el costo de producir 2,500 unidades.
c) ¿Cuál es el costo fijo para la empresa?
d ) ¿En cuánto se incrementan sus costos si la producción aumenta de 2,500 a 3,000 unidades? Contesta esta
pregunta utilizando dos procedimientos diferentes.

19. Una empresa sabe que su ingreso marginal es I 0 (x) = 400x − 6x2 , para 50 < x < 100, donde x es el nivel de
ventas en unidades e I(x) es el ingreso en dólares; su ingreso por la venta de 60 unidades es de 288,000 dólares.

a) Obtén la función de ingreso I(x)

b) Obtén la función de demanda p(x)
c) Calcula su ingreso si vende 75 unidades.
d ) Calcula el precio del artı́culo para una demanda de 75 unidades.
e) Calcula la demanda en el mercado si el precio sube 15 %.
f ) ¿En qué porcentaje se incrementó la demanda para la condición del inciso e?
g) ¿Cuál es la elasticidad de la demanda?, ¿De qué tipo es?
h) Para la condición del inciso e, ¿aumenta, disminuye o permanece constante el ingreso del fabricante, y por
qué?
i ) ¿Cuál es el ingreso para el fabricante, según la condición del inciso e?
j ) ¿Cuál es el porcentaje de incremento del ingreso, de acuerdo con el resultado del inciso i?

20. Para cierto paı́s, la razón de cambio del porcentaje P de hogares con televisión por cable se puede aproximar
4
mediante la siguiente función P 0 (t) = + 5, para 5 ≤ t ≤ 10, donde t es el número de años transcurridos a
t
partir de 1995 (t = 5) y hasta el año 2000 (t = 10). Se sabe que en 1998 (t = 8) el porcentaje de hogares con
televisión por cable resultó ser de 54,32 % (P = 54,32)

a) Obtén la función P = f (t) que representa el porcentaje de hogares con televisión por cable.
b) Calcula el porcentaje de hogares con televisión por cable en el año de 1995 y en el año 2000.
c) ¿Cuál es la razón de cambio del porcentaje de hogares con televisión por cable en el año 1995? Interpreta
este resultado.
d ) ¿Cuál es la razón de cambio del porcentaje de hogares con televisión por cable en el año 2000? Interpreta
este resultado.
e) ¿Cuál es el incremento en el porcentaje de hogares con televisión por cable de 1995 a 2000?

21. La utilidad marginal por la venta de x cientos de artı́culos de un producto es 4 − 6x + 3x2 , y la ütilidadçuando
ningún artı́culo se vende es de −40 dólares. Encuentra la función de utilidad.

22. Las importaciones (en miles de millones de dólares) a Estados Unidos desde Canadá a partir de 1988 han
cambiado a una razón dada por f (x) = 1,26x2 − 5,5x + 8,33, donde x es el número de años desde 1988. Estados
Unidos importó 82 mil millones en 1988. Encuentra:

a) La función que de las importaciones en el año x.

b) ¿Cuál fue el valor de las importaciones desde Canadá en 1993?

23. El costo marginal de cierta empresa está dada por c0 (x) = 24 − 0,03x + 0,006x2 . Si el costo de producir 200
unidades es de 22700 dólares, encuentre:

a) La función de costo
b) Los costos fijos de la empresa
c) El costo de producir 500 unidades.
24. La función de ingreso marginal de cierta empresa es I 0 (x) = 20 − 0,02x − 0,003x2 .

a) Encuentre la función de ingreso.

b) ¿Cuál es la función de demanda del producto de la empresa?

25. La función de utilidad marginal de una empresa es P 0 (x) = 5 − 0,002x y la empresa obtiene una utilidad de
310 dólares al venderse 100 unidades. ¿Cuál es la función de utilidad de la empresa?

26. Si el ingreso marginal I 0 (x) = 10 + 24x − 9x2 , Halle las funciones de ingreso y demanda.

27. La función de costo marginal de una empresa es c0 (x) = 30 + 0,05x.

a) Determine la función de costo C(x), si los costos fijos de la empresa son de 2000 dólares por mes.
b) ¿Cuánto costará producir 150 unidades en un mes?
c) Si los artı́culos se pueden vender a 55 dólares cada uno, ¿Cuántos deben producirse para maximizar la
utilidad?

28. La función de ingreso marginal de cierta empresa es I 0 (x) = 30 − 0,01x − 0,002x2 .

a) Encuentre la función de ingreso.

b) ¿Cuánto ingreso se obtendrá por la venta de 100 unidades del producto de la empresa?
c) ¿Cuál es la función de demanda del producto de la empresa?

29. La función de utilidad marginal de una empresa es U 0 (x) = 15 − 0,003x y la empresa obtiene una utilidad de
310 dólares al venderse 20 unidades. ¿Cuál es la función de utilidad de la empresa?