Energía

CONCEPTO DE ENERGÍA CINÉTICA
Supongamos que F es la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula de
masa m. El trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor final y el valor
inicial de la energía cinética de la partícula.
𝐵 𝐵 𝐵
𝑊 = ∫ 𝐹 𝑑𝑟 = ∫ 𝐹𝑡 𝑑𝑠 = ∫ 𝑚 𝑎𝑡 𝑑𝑠
𝐴 𝐴 𝐴
𝐵 𝐵 𝐵
𝑑𝑣 𝑑𝑠 𝟏 𝟏
=∫ 𝑚 𝑑𝑠 = ∫ 𝑚 𝑑𝑣 = ∫ 𝑚 𝑣 𝑑𝑣 = 𝒎 𝒗𝟐𝑩 − 𝒎 𝒗𝟐𝑨
𝐴 𝑑𝑡 𝐴 𝑑𝑡 𝐴 𝟐 𝟐
En la primera línea hemos aplicado la segunda ley de Newton; la componente tangencial

de la fuerza es igual a la masa por la aceleración tangencial.
En la segunda línea, la aceleración tangencial 𝑎𝑡 es igual a la derivada del módulo de
la velocidad, y el cociente entre el desplazamiento ds y el tiempo dt que tarda en
desplazarse es igual a la velocidad v del móvil.
Se define energía cinética como la expresión
1
𝐸𝑐 = 𝑚𝑣 2
2
El teorema del trabajo-energía indica que el trabajo de la resultante de las fuerzas que
actúa sobre una partícula modifica su energía cinética.
Ejemplo 01
Hallar la velocidad con la que sale una bala después de atravesar una tabla de 7 cm de
espesor y que opone una resistencia constante de F = 1 800 N. La velocidad inicial de
la bala es de 450 m/s y su masa es de 15 g.
Fuerza conservativa. Energía potencial

Una fuerza es conservativa cuando el trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia
entre el valor inicial y final de una función que solo depende de las coordenadas. A dicha
función se le denomina energía potencial.
𝐵 𝐵
∫ 𝐹 𝑑𝑟 = ∫ 𝐸𝑝𝐴 − 𝐸𝑝𝐵 𝐸𝑝 = 𝐸𝑝 (𝑥 , 𝑦 , 𝑧)
𝐴 𝐴
El trabajo de una fuerza conservativa no depende del camino seguido para ir del punto
A al punto B.
El trabajo de una fuerza conservativa a lo largo de un camino cerrado es cero.
∮ 𝐹 𝑑𝑟 = 0
Ejemplo 02
Sobre una partícula actúa la fuerza 𝐹 = (2 𝑥 𝑦 𝑖⃗ + 𝑥 2 𝑗⃗) 𝑁
Calcular el trabajo efectuado por la fuerza a lo largo del camino cerrado ABCA.
Solución:
𝑥2
 La curva AB es el tramo de parábola 𝑦 =
3
 BC es el segmento de la recta que pasa por los puntos (0,1) y (3,3) y
 CA es la porción del eje Y que va desde el origen al punto (0,1)
El trabajo infinitesimal dW es el producto escalar del vector fuerza por el vector

desplazamiento
dW = F · dr = (Fxi + Fyj) · (dxi + dyj) = Fxdx + Fydy
Las variables x e y se relacionan a través de la ecuación de la trayectoria y = f(x), y los

desplazamientos infinitesimales dx y dy se relacionan a través de la interpretación
geométrica de la derivada dy = f’(x)·dx. Donde f’(x) quiere decir, derivada de la
función f(x) con respecto a x.
Vamos a calcular el trabajo en cada uno de los tramos y el trabajo total en el camino
cerrado.
 Tramo AB
Trayectoria
𝑥2 2
𝑦= ; 𝑑𝑦 = 𝑥 𝑑𝑥 ; 𝐹 = (2 𝑥 𝑦 𝑖⃗ + 𝑥 2 𝑗⃗) 𝑁
3 3
𝑥2 2 𝟒
𝑑𝑊 = 𝐹𝑥 𝑑𝑥 + 𝐹𝑦 𝑑𝑦 = 2𝑥 𝑑𝑥 + 𝑥 2 𝑥 𝑑𝑥 = 𝒙𝟑 𝒅𝒙
3 3 𝟑
3 3 3
4 4 𝑥4 𝑥4 34
𝑊𝐴𝐵 = ∫ 𝑥 3 𝑑𝑥 = [ . ] = [ ] = = 𝟐𝟕 𝑱
0 3 3 4 𝑜 3 𝑜 3
 Tramo BC
La trayectoria es la recta que pasa por los puntos (0,1) y (3,3). Se trata de una recta de
pendiente 2/3 y cuya ordenada en el origen es 1.
𝑦2 − 𝑦1 3−1 𝟐
𝑚= = =
𝑥2 − 𝑥1 3−0 𝟑
2 2
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐 → 𝑦= 𝑥+1 → 𝑑𝑦 = 𝑑𝑥 ; ; 𝐹 = (2 𝑥 𝑦 𝑖⃗ + 𝑥 2 𝑗⃗) 𝑁
3 3
2 2
𝑑𝑊 = 𝐹𝑥 𝑑𝑥 + 𝐹𝑦 𝑑𝑦 = 2𝑥 ( 𝑥 + 1) 𝑑𝑥 + 𝑥 2 𝑥 𝑑𝑥 = (𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝒙)𝒅𝒙
3 3
0 0 0
2 3 𝑥2 2 3
𝑊𝐵𝐶 = ∫ (2𝑥 2 2
+ 2𝑥) 𝑑𝑥 = [ 𝑥 + 2 ] = [ 𝑥 + 𝑥 ]
3 3 2 3 3 3
2 2
[ (0)3 + (0)2 ] − [ (3)3 + (3)2 ] = 0 − [18 + 9] = −𝟐𝟕 𝑱
3 3
 Tramo CD
La trayectoria es la recta x = 0, dx = 0, La fuerza F = 0 y por tanto, el trabajo WCA = 0
 El trabajo total
𝑊𝐴𝐵𝐶𝐴 = 𝑊𝐴𝐵 + 𝑊𝐵𝐶 + 𝑊𝐶𝐴 = 27 − 27 + 0 = 𝟎 𝑱
El peso es una fuerza conservativa

Calculemos el trabajo de la fuerza peso F = - m g j cuando el cuerpo se desplaza desde
la posición A cuya ordenada es yA hasta la posición B cuya ordenada es yB.
𝐵 𝐵 𝐵
∫ 𝐹 𝑑𝑟 = ∫ −𝑚 𝑔 𝑗⃗ (𝑑𝑥 𝑖⃗ + 𝑑𝑦 𝑗⃗) = ∫ −𝑚 𝑔 𝑑𝑦 = −[𝑚 𝑔 𝑦𝐵 − 𝑚 𝑔 𝑦𝐴 ] = 𝒎 𝒈 𝒚𝑨 − 𝒎 𝒈 𝒚𝑩
𝐴 𝐴 𝐴
La energía potencial Ep correspondiente a la fuerza conservativa peso tiene la forma

funcional
𝐸𝑝 = 𝑚 𝑔 𝑦 + 𝐶
Donde c es una constante aditiva que nos permite establecer el nivel cero de la energía
potencial.
La fuerza que ejerce un muelle es conservativa
Como vemos en la figura cuando un muelle se deforma x, ejerce una fuerza sobre la
partícula proporcional a la deformación x y de signo contraria a ésta.
Para x > 0, F = - kx
Para x < 0, F = kx
El trabajo de esta fuerza es, cuando la partícula se desplaza desde la posición xA a la

posición xB es
𝐵 𝐵
𝟏 𝟏
∫ 𝐹 𝑑𝑥 = ∫ −𝑘 𝑥 𝑑𝑥 = 𝒌 𝒙𝟐𝑨 − 𝒌 𝒙𝟐𝑩
𝐴 𝐴 𝟐 𝟐
La función energía potencial Ep correspondiente a la fuerza conservativa F vale

1
𝐸𝑝 (𝑥) = 𝑘𝑥 2 + 𝐶
2
El nivel cero de energía potencial se establece del siguiente modo: cuando la

deformación es cero x = 0, el valor de la energía potencial se toma cero, Ep = 0, de modo
que la constante aditiva vale c = 0.
1
𝐹 = −𝑘 𝑥 ; 𝐸𝑝 = 𝑘𝑥 2
2
Principio de conservación de la energía

Si solamente una fuerza conservativa F actúa sobre una partícula, el trabajo de dicha
fuerza es igual a la diferencia entre el valor inicial y final de la energía potencial.
𝐵
∫ 𝐹 𝑑𝑟 = 𝐸𝑝𝐴 − 𝐸𝑝𝐵
𝐴
Como hemos visto en el apartado anterior, el trabajo de la resultante de las fuerzas que
actúa sobre la partícula es igual a la diferencia entre el valor final e inicial de la energía
cinética.
𝐵
∫ 𝐹 𝑑𝑟 = 𝐸𝑝𝐵 − 𝐸𝑝𝐴
𝐴
Igualando ambos trabajos, obtenemos la expresión del principio de conservación de la

energía
𝐸𝑘𝐴 + 𝐸𝑝𝐴 = 𝐸𝑘𝐵 + 𝐸𝑝𝐵
La energía mecánica de la partícula (suma de la energía potencial más cinética) es

constante en todos los puntos de su trayectoria.
Comprobación del principio de conservación de la energía
Ejemplo 03
Un cuerpo de 2 kg se deja caer desde una altura de 3 m. Calcular
1. La velocidad del cuerpo cuando está a 1 m de altura y cuando llega al suelo,
aplicando las fórmulas del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
2. La energía cinética potencial y total en dichas posiciones
Tomar g = 10 m/s2
Solución:
 Posición inicial x = 3 m, v = 0.
Ep = 2 · 10 · 3 = 60 J, Ek = 0, EA = Ek + Ep = 60 J
 Cuando x = 1 m
1
ℎ = 𝑦 + 𝑔𝑡 2
2
1 2
1=3+ (−10)𝑡 2 → 𝑡= √ 𝑠
2 5
2 𝑚
𝑣𝑓 = 𝑣𝑜 + 𝑔 𝑡 → 𝑣𝑓 = 0 + (−10) (√ ) = √40
5 𝑠
Ep = 2·10·1 = 20 J , Ek = 40 , EB = Ek + Ep = 60 J
 Cuando x = 0 m
Ep = 2·10·0 = 0 J , Ek = 60 , EC = Ek + Ep = 60 J
La energía total del cuerpo es constante. La energía potencial disminuye y la energía

cinética aumenta.
Fuerzas no conservativas
Para darnos cuenta del significado de una fuerza no conservativa, vamos a compararla
con la fuerza conservativa peso.
El peso es una fuerza conservativa.

Calculemos el trabajo de la fuerza peso cuando la partícula se traslada de A hacia B, y
a continuación cuando se traslada de B hacia A.
WAB = mg x
WBA = - mg x
El trabajo total a lo largo el camino cerrado A-B-A, WABA es cero.
La fuerza de rozamiento es una fuerza no conservativa

Cuando la partícula se mueve de A hacia B, o de B hacia A la fuerza de rozamiento es
opuesta al movimiento, el trabajo es negativo porque la fuerza es de signo contrario al
desplazamiento
WAB = - Fr x
WBA = - Fr x
El trabajo total a lo largo del camino cerrado A-B-A, WABA es distinto de cero
WABA = - 2Fr x
Balance de energía
En general, sobre una partícula actúan fuerzas conservativas Fc y no
conservativas Fnc. El trabajo de la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula
es igual a la diferencia entre la energía cinética final menos la inicial.
𝐵
∫ (𝐹𝑐 + 𝐹𝑛𝑐 ) 𝑑𝑟 = 𝐸𝑘𝐵 − 𝐸𝑝𝐴
𝐴
El trabajo de las fuerzas conservativas es igual a la diferencia entre la energía potencial
inicial y la final.
𝐵
∫ 𝐹𝑐 𝑑𝑟 = 𝐸𝑘𝐴 − 𝐸𝑝𝐵
𝐴
Aplicando la propiedad distributiva del producto escalar obtenemos que

𝐵
∫ 𝐹𝑛𝑐 𝑑𝑟 = (𝐸𝑘 + 𝐸𝑝 ) − (𝐸𝑘 + 𝐸𝑝 ) = 𝑬𝑩 − 𝑬𝑨
𝐵 𝐴
𝐴
El trabajo de una fuerza no conservativa modifica la energía mecánica (cinética más

potencial) de la partícula.
Ejemplo 04
Un bloque de masa 0,2 kg inicia su movimiento hacia arriba, sobre un plano de 30º de
inclinación, con una velocidad inicial de 12 m/s. Si el coeficiente de rozamiento entre el
bloque y el plano es 0,16. Determinar:
 la longitud x que recorre el bloque a lo largo del plano hasta que se para
 la velocidad v que tendrá el bloque al regresar a la base del plano
Cuando el cuerpo desciende
La energía total de un cuerpo o sistema la representamos por medio de la energía

mecánica:
Em = Ec + Epg + Epe
Donde:
 Em = energía mecánica.
 Ec = energía cinética.
 Epg = energía potencial gravitatoria.
 Epe = energía potencial elástica.
Veamos los diferentes tipos de energía (cinética y potencial):
Energía cinética: es la energía asociada a los cuerpos en movimiento, su valor lo
calculamos con la siguiente fórmula:
Energía potencial gravitatoria: es la energía que posee un cuerpo por encontrarse bajo
la acción de la gravedad. Su valor lo calculamos con ayuda de la siguiente fórmula:
Ep = m . g . h
Energía potencial elástica: energía asociada a un cuerpo elástico debido a su

deformación longitudinal, viene determinada por la siguiente fórmula:
Ejemplo 05
Se lanza verticalmente hacia arriba una piedra de masa 500 g con energía cinética de
100 J. ¿A que altura (medido desde el punto de lanzamiento) su energía cinética será
de 20J?
Ejemplo 06
Un bloque parte del reposo desde el punto A (figura). Si solo existe rozamiento en el
tramo BC, hallar la máxima altura h o que alcanza, si el coeficiente cinético de rozamiento
es 0,5 ; h = 2 m ; d = 1 m ; g = 10 m/s2.

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CONCEPTO DE ENERGÍA CINÉTICA

En la primera línea hemos aplicado la segunda ley de Newton; la componente tangencial

Fuerza conservativa. Energía potencial

El trabajo infinitesimal dW es el producto escalar del vector fuerza por el vector

dW = F · dr = (Fxi + Fyj) · (dxi + dyj) = Fxdx + Fydy

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