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    Volúmenes (Por Medio de Secciones Transversales, Corte Cilíndrico)

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    Fabrizzio Florez
    1) El documento describe cómo calcular el volumen de sólidos mediante integrales de funciones que representan el área de secciones transversales. Proporciona ejemplos de cómo calcular el volumen de una cuña curvada y una damajuana usando este método. 2) Explica cómo calcular integrales impropias cuando los límites de integración son infinitos y provee ejemplos de aplicar este método al cálculo de fuerzas gravitacionales y trabajo realizado por electrones. 3) Brevemente describe los métodos numéricos de la regla del

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    Volúmenes (Por Medio de Secciones Transversales, Corte Cilíndrico)

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    Fabrizzio Florez
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    1) El documento describe cómo calcular el volumen de sólidos mediante integrales de funciones que representan el área de secciones transversales. Proporciona ejemplos de cómo calcular el volumen de una cuña curvada y una damajuana usando este método. 2) Explica cómo calcular integrales impropias cuando los límites de integración son infinitos y provee ejemplos de aplicar este método al cálculo de fuerzas gravitacionales y trabajo realizado por electrones. 3) Brevemente describe los métodos numéricos de la regla del

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    Volúmenes (por medio de secciones transversales, corte cilíndrico)

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    Volúmenes (por medio de secciones transversales, corte cilíndrico)

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    Volúmenes (Por Medio de Secciones Transversales, Corte Cilíndrico)

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    Fabrizzio Florez
    1) El documento describe cómo calcular el volumen de sólidos mediante integrales de funciones que representan el área de secciones transversales. Proporciona ejemplos de cómo calcular el volumen de una cuña curvada y una damajuana usando este método. 2) Explica cómo calcular integrales impropias cuando los límites de integración son infinitos y provee ejemplos de aplicar este método al cálculo de fuerzas gravitacionales y trabajo realizado por electrones. 3) Brevemente describe los métodos numéricos de la regla del

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    Volúmenes (por medio de secciones transversales, corte cilíndrico)

    El volumen de un sólido de área de sección transversal integrable conocida A(x) desde


    𝑥 = 𝑎 hasta 𝑥 = 𝑏 es la integral de A de 𝑎 a 𝑏,
    𝑏
    𝑉 = ∫ 𝐴(𝑥)𝑑𝑥
    𝑎

    Dicha definición se aplica siempre que A(x) sea integrable, pero en particular cuando es
    continua. Con la finalidad de aplicar la definición para el cálculo del volumen de un
    sólido, se deben realizar los siguientes pasos:
    1. Bosqueje el sólido y una sección transversal representativa.
    2. Determine una fórmula para A(x), el área de una sección transversal representativa.
    3. Determine los límites de integración.
    4. Integre A(x) para determinar el volumen.

    1) Una cuña curvada se corta a partir de un cilindro de radio 3 mediante dos planos.
    Un plano es perpendicular al eje del cilindro. El segundo plano cruza al primero
    y forma un ángulo de 458 en el centro del cilindro. Determine el volumen de la
    cuña.
    Dibujamos la cuña y bosquejamos una sección transversal representativa,
    perpendicular al eje x (figura 6.6). La base de la cuña en la figura es un semicírculo
    con 𝑥 ≥ 0 , que se corta a partir del círculo 𝑥 2 + 𝑦 2 = 9 por medio del plano de
    45°, cuando éste interseca al eje “y”. Para cualquier “x” en el intervalo [0, 3], los
    valores de “y” en esta base semicircular varían desde y = −√9 − 𝑥 2 hasta y =
    √9 − 𝑥 2 .Cuando rebanamos la cuña mediante un plano perpendicular al eje x,
    obtenemos una sección transversal en x que es un rectángulo de altura x cuyo
    ancho cruza la base semicircular. El área de esta sección transversal es:

    A(x) = (𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎)(𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜) = (𝑥)(2√9 − 𝑥 2 )

    = 2√9 − 𝑥 2
    Los rectángulos van desde 𝑥 = 0 hasta 𝑥 = 3, de forma que tenemos
    𝑏 3
    𝑉 = ∫𝑎 𝐴(𝑥)𝑑𝑥 = ∫0 2𝑥√9 − 𝑥 2 𝑑𝑥 u = 9 − 𝑥2
    33
    2
    = − 3 (9 − 𝑥 2 )2 𝑑u = −2𝑥𝑑x
    0

    2 3
    = 0 + (9)2
    3
    = 18
    2) Como calcular el volumen de un sólido en revolución en este caso damajuana:
    Mediante un método de integración
    (Método de disco)
    Lo partimos en varias secciones para sacar
    la integral de la damajuana luego empezar
    a sacar los volúmenes y próximamente a
    sacar el volumen final que es la suma de los
    3 volúmenes.
    Para calcular el volumen hallamos los
    radios
    Para calcular el volumen de un sólido
    cilíndrico es 𝜋𝑟 2 ℎ en este “h” seria el
    diferencial de x (𝑑𝑥) y la función de x (𝑓(𝑥)
    es la variación del “x” que es el radio y para
    hallar la parte central de la botella que es
    curveada usamos la siguiente formula:
    𝑏
    ∫ 𝜋(𝑓(𝑥))2 𝑑𝑥
    𝑎
    2
    𝑓(𝑥) = √𝑟 2 − 𝑥 2

    Calculo del área mediante el uso de integrales

    Tapita

    Parte curveada Cuerpo del solido Parábola interior


    CALCULO DEL VOLUMEN APROXIMADO DE LA
    DAMAJUANA:
    52.9+59.9(188/3.14)+5880+392
    =6384.8𝜋𝑐𝑚3

    Integración impropia
    Las integrales con límites de integración infinitos son integrales impropias del tipo I.
    1. Si 𝑓(𝑥), es continua en (𝑎, ∞), entonces
    ∞ 𝑏
    ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
    𝑎 𝑏→∞ 𝑎
    2. Si 𝑓(𝑥), es continua en (−∞, 𝑏), entonces
    𝑏 𝑏
    ∫ 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 = lim ∫ 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥
    −∞ 𝑎→−∞ 𝑎
    3. Si 𝑓(𝑥), es continua en (−∞, ∞), entonces
    ∞ 𝑐 −∞
    ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
    −∞ −∞ 𝑐

    Donde c es cualquier número real.


    En cada caso, si el límite es finito, decimos que la integral impropia converge y
    que el límite es el valor de la integral impropia. Si el límite no existe, la integral
    impropia diverge.
    1) Se tiene una varilla uniforme ocupada toda la parte positiva del eje x (𝑥 ≥ 0)
    4𝑘𝑔
    y que tiene una densidad lineal de 𝑝 = . Determinar la fuerza de gravedad
    𝑚
    qu ejerce la varilla sobre una masa puntual de 𝑚 = 1𝑘𝑔,situada en el punto
    de coordenadas (−2𝑚, 0).

    Para calcular esta fuerza de gravedad se utiliza la ler de la gravitación


    universal, considerando que un segmento de varilla de longitud dx tiene una
    masa equivalente a 𝑝𝑑𝑥.
    2
    𝑝 = 4𝑘𝑔/𝑚; 𝑚 = 1𝑘𝑔; 𝑔 = 6.67𝑥 10−11 𝑁.𝑚
    𝑘𝑔2

    Si se aplica la expresión de esta ley y se trabaja con una integral impropia por la no
    definición del extremo derecho de la varilla, se tiene que:
    ∞ ∞
    𝑚 𝑝 𝑑𝑥 𝑑𝑥
    𝑓=∫ G = 𝐺. 𝑚. 𝑝 ∫
    0 (𝑥 + 𝑎)2 0 (𝑥 + 𝑎)
    2

    ∞ ∞
    −11
    𝑑𝑥 −11
    𝑑𝑥
    𝑓 = 6.67𝑥10 𝑥1𝑥4 ∫ 2
    = 26. 68. 10 lim ∫
    0 (𝑥 + 2) 𝑛→∞ 0 (𝑥 + 𝑎)2

    𝑑𝑥
    Se resuelve la integral indefinida ∫ para lo cual se realiza el siguiente cambio
    (𝑥+2)2
    de variable

    𝑑𝑢 −2
    𝑢−1 1
    𝑢 = 𝑥 + 2; 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥; ∫ 2 = ∫ 𝑢 𝑑𝑢 = +𝑐 =− +𝑐
    𝑢 −1 𝑥+2
    Luego

    −11
    1 𝑁 1
    𝑓 = 26. 68. 10 lim [− ] = 26. 68. 10−11 ( ) = 13.34𝑥10−11 16𝜋7
    𝑛→∞ 𝑥+2 0 2
    Newton y la integral impropia es convergente.
    Convergencia. Una integral impropia de primera especie
    es convergente cuando existe y es finito el límite de la definición anterior, en
    cualquier otro caso se dirá que la integral impropia es divergente (bien porque
    tienda a infinito o porque no exista el límite).
    2) Dos electrones se repelen con una fuerza (newton) que es inversamente
    proporcional al cuadrado de la distancia (metros) que los separa. Supóngase
    que uno de los electrones esta fijo, calcular el trabajo realizado cuando el
    otro se mueve desde una distancia de 3 cm del primero, hasta el infinito,
    sobre una línea recta. La carga de un electrón es de 𝑞 = 1.6𝑥10−19 coulomb.

    Mediante la ley de coulomb y considerando una integral impropia, se resuelve


    este problema como sigue:

    2
    𝑘 = 9𝑥 109 𝑁.𝑚
    𝑘𝑔2
    ;𝑟 =𝑥
    ∞ 9 −19 2 ∞
    𝑓 = 𝑘 𝑞1.𝑞2
    𝑟 2 ; 𝑤 = ∫0.03
    𝑘 𝑞1.𝑞2
    𝑟2
    𝑑𝑥 = 9 𝑥10 𝑥(1.6𝑥10 ) ∫0.03 𝑑𝑥
    𝑥2

    −29
    𝑑𝑥𝑁
    −29
    1 𝑁
    𝑤 = 23. 04𝑥10 lim ∫ = 23. 04𝑥10 lim [− ]
    𝑛→∞ 0.03 𝑥 2 𝑛→∞ 𝑋 0.03
    1
    = 23. 04𝑥10−29 ( )
    0.03

    = 768𝑥10−29 Joule y la integral impropia es convergente.


    Integrales numéricas
    En esta sección estudiamos dos de estos métodos, la regla del trapecio y la regla de
    Simpson. En nuestra presentación, supondremos que f es positiva, pero el único
    requisito es que sea continua en el intervalo de integración [a, b].
    1) Se mide la concentracion quimica de salida de un reactor mezclado por
    completo para un flujo de salida de 𝑄 = 0.3𝑚3 /𝑠. Calcule la masa del producto
    quimico, en gramos que sale del reactor entre t=0 y t= 20 min.

    ℎ
    𝐼= [𝑓(𝑥0 ) + 4(𝑓(𝑥1 )) + 𝑓(𝑥2 )]
    3
    ℎ
    𝐼= [𝑓(𝑥0 ) + 3(𝑓(𝑥1 )) + 3(𝑓(𝑥2 )
    8
    + 𝑓(𝑥3 )]
    12 + 22
    𝐼 = (1 − 0) = 17
    2
    22 + 32
    𝐼 = (4 − 1) = 81
    2
    32 + 4(45) + 58
    𝐼 = (8 − 4) = 180
    6
    58 + 3(75 + 70) + 48
    𝐼 = (20 − 8)
    8
    = 811.5
    Al sumar las integraciones tenemos que

    𝑐𝑡𝑜𝑡 = 17 + 81 + 180 + 811.5 = 1089.5


    Entonces la masa total en el reactor es:

    𝑚3 𝑚𝑔. 𝑚𝑖𝑛 60𝑠 𝑔


    𝑀 = 0.3 (1089.5 ) = 19.611𝑔
    𝑚𝑖𝑛 𝑚3 𝑚𝑖𝑛 1000𝑚𝑔
    INTEGRAL DEFINIDA
    Calculo del trabajo que se efectua en un mol de gas de un sistema de pistón que pasa
    de un v1 a v2 a presión constante.
    Hallar el trabajo realizado?

    CONCLUSIONES:
    EL USO DE LAS INTEGRALES FACILITAN NUESTRA PERCEPCION DE LOS
    ACONTECIMIENTOS DURANTE NUESTRA VIDA LABORAL YA QUE NOS LLEVAN A
    APRECIAR EL USO DE LAS INTEGRALES Y OTROS METODOS MATEMATICOS.

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