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    Gecalder TrabajoSistemasLinealesYNoLineales

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    Tania Galeano
    Este documento presenta dos talleres sobre sistemas lineales y no lineales. El primer taller involucra resolver un sistema lineal tridiagonal grande usando los métodos de Thomas y Jacobi. El segundo taller involucra encontrar la solución aproximada de un sistema no lineal usando el método de Newton-Raphson para sistemas. Se pide que el estudiante complete los ejercicios propuestos y presente un informe con los resultados y códigos desarrollados.

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    Este documento presenta dos talleres sobre sistemas lineales y no lineales. El primer taller involucra resolver un sistema lineal tridiagonal grande usando los métodos de Thomas y Jacobi. El segundo taller involucra encontrar la solución aproximada de un sistema no lineal usando el método de Newton-Raphson para sistemas. Se pide que el estudiante complete los ejercicios propuestos y presente un informe con los resultados y códigos desarrollados.

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    Este documento presenta dos talleres sobre sistemas lineales y no lineales. El primer taller involucra resolver un sistema lineal tridiagonal grande usando los métodos de Thomas y Jacobi. El segundo taller involucra encontrar la solución aproximada de un sistema no lineal usando el método de Newton-Raphson para sistemas. Se pide que el estudiante complete los ejercicios propuestos y presente un informe con los resultados y códigos desarrollados.

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    Este documento presenta dos talleres sobre sistemas lineales y no lineales. El primer taller involucra resolver un sistema lineal tridiagonal grande usando los métodos de Thomas y Jacobi. El segundo taller involucra encontrar la solución aproximada de un sistema no lineal usando el método de Newton-Raphson para sistemas. Se pide que el estudiante complete los ejercicios propuestos y presente un informe con los resultados y códigos desarrollados.

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    Análisis Numérico y Métodos Numéricos

    Escuela de Metalúrgica y Escuela de Civil


    Universidad Industrial de Santander, Bucaramanga, Colombia
    ~ Apuntes de clase, 2020

    TALLER 2: SISTEMAS LINEALES Y NO LINEALES

    Profesor: Giovanni Calderóna,1


    a Universidad Industrial de Santander, Bucaramanga, Colombia.
    e-mail: giovanni.calderon@correo.uis.edu.co

    Resumen. El taller aborda dos tipos de problemas. El primero, es resolver el problema clásico de en-
    contrar la solución de un sistema lineal tridiagonal Ax = d usando los métodos de Thomas y el esquema
    iterativo de Jacobi. El segundo problema, encontrar la solución aproximada de un sistema no lineal
    F (x) = 0. El taller será evaluado siguiendo la tabla de cotejo dada para los talleres de esta unidad.
    Palabras clave: Métodos numéricos para sistemas lineales, Matrices tridiagonales, Thomas, Métodos
    iterativos, Jacobi, Método numéricos para funciones no lineales, Newton-Raphson para sistemas.

    1 INTRODUCCIÓN
    El taller busca introducir al estudiante en el tema de modelado y simulaciones numéricas de
    problemas aplicados a la ingenierı́a. Generalmente, los sistemas lineales que surgen en inge-
    nierı́a son de gran tamaño y se debe usar y optimizar los métodos que resulten apropiados para
    la solución. Por tal motivo, en este taller, se plantea un sistema de ecuaciones grande (común
    en la ingenierı́a civil) para resolver usando el algoritmo de Thomas y el método iterativo de
    Jacobi; estos métodos, no necesariamente son los más eficientes, pero si los más simples y que
    nos pueden servir en el inicio de nuestra formación en el área. Se busca que el estudiante se
    enfrente al hecho de no poder resolver los sistemas de manera clásica y deba optimizar, o mejor
    dicho, usar correctamente los métodos, para resolver el sistema.
    El segundo problema, consiste en encontrar la solución aproximada de un sistema no lineal
    F (x) = 0.
    Se pide que el estudiante resuelva los problemas planteados y desarrolle un pequeño informe
    sobre los resultados obtenidos.

    Fecha de inicio: 22/01/2021. Fecha de entrega: 05/02/2021


    Estudiante: Análisis Numérico: Grupo B. Métodos Numéricos: Grupos H1, J1
    Observación: Se debe presentar un informe sobre los resultados obtenidos en la lista de pro-
    blemas y sustentar (tablero) los resultados obtenidos, códigos realizados y resultados teóricos
    utilizados.
    1
    Notas de clases usadas en los cursos de Análisis Numérico de la Escuela de Metalúrgica y de Métodos Numéri-
    cos de la Escuela de Ingenierı́a Civil, UIS.
    2 EJERCICIOS A REALIZAR
    2.1 LISTA 1: Problemas de sistemas lineales
    Problema 1 Se quiere resolver el sistema tridiagonal de ecuaciones lineales Ax = d, donde
     
    a1 c 1 0 0 ··· 0
     b 2 a2 c 2
     0 ··· 0 
     0 b 3 a3 c 3 · · · 0 
    A=  ··· ··· ··· ···
     (1)
     ··· ··· 

     0 · · · · · · bn−1 an−1 cn−1 
    0 ··· ··· 0 bn an
    Implemente, de forma apropiada, el algoritmo de Thomas para resolver el sistema.
    1. Resuelva el sistema para los siguientes datos: a y d son vectores de dimensión n, b y c
    son vectores de dimensión n − 1. Tomando n = 55000, y
    a = 3 + randi([50, 60], n, 1);
    b = 1 + randi([1, 10], n, 1);
    c = 1 − randi([0, 10], n, 1);
    d = 10 + randi([1, 60], n, 1);

    2. Haga la gráfica del vector solución x usando como abscisa un vector de tamaño n y paso
    h = 1.
    3. Encuentre en el vector solución x los valores que resulten mayores a 1.35 y trace una
    nueva gráfica (junto a la anterior).
    4. Intente resolver el sistema formando la matriz A del sistema, ¿qué dificultades encuentra?
    Discuta sobre el tema.
    Problema 2 En el aula virtual usted encontrara el código de una versión del algoritmo de Ja-
    cobi. Analice el código con los procedimientos teóricos y ejecute un ejemplo de prueba para
    entender los detalles del método. Compare la solución encontrada con la solución que se ob-
    tiene de MATLAB (x = A \ d). Ahora, se quiere resolver el problema del ejemplo anterior.
    Dado que la matriz (1) es tridiagonal, se puede modificar el código, de manera inteligente, pa-
    ra lograr resolver problemas con la dimensión del problema anterior o superior. Se sugiere, la
    modificación
    xk+1
    i = (−bi xki−1 − ci xki+1 )/ai con i = 1 : n
    1. Resuelva el sistema del problema anterior usando el algoritmo de Jacobi.
    2. Implemente en el código, la estimación del error y de la norma de la matriz del método
    para llevar control sobre la convergencia del método y el error que se está alcanzando.
    3. Analice la posibilidad de presentar un algoritmo para generalizar Jacobi a matrices con
    muchos ceros pero de dimensión muy alta.
    4. Discuta sobre las ventajas logradas en el método (código).

    2
    2.2 LISTA 2: Problemas de sistemas de funciones no lineales
    Problema 3 Un fluido se bombea en la red de tubos que se muestra en la Figura 1. En estado
    estacionario, se cumplen los balances de flujo siguientes:

    Q1 = Q2 + Q3
    Q3 = Q4 + Q5
    Q5 = Q6 + Q7

    donde Qi = flujo en el tubo i [m3 /s]. Además, la caı́da de presión alrededor de los tres lazos en
    los que el flujo es hacia la derecha debe ser igual a cero. La caı́da de presión en cada tramo de
    tubo circular se calcula por medio de la ecuación:
    16 f Lρ 2
    ∆P = Q
    π 2 2D5
    donde ∆P = caı́da de presión [Pa], f = factor de fricción [adimensional], L = longitud del
    tubo [m], ρ = densidad del fluido [kg/m3 ], y D = diámetro del tubo [m]. Modifique el código
    dado en el aula virtual para lograr un implementación (MATLAB) que permita calcular el flujo
    en cada tramo de tubo, dado que Q1 = 1m3 /s y ρ = 1.23kg/m3 . Todos los tubos tienen
    D = 500 mm y f = 0.005. Las longitudes de los tubos son: L3 = L5 = L8 = L9 = 2m;
    L2 = L4 = L6 = 4m; y L7 = 8m.

    Figura 1: Figura del Problema 3.

    Problema 4 Repita el problema anterior, pero incorpore el hecho de que el factor de fricción
    se calcula con la ecuación de von Karman, que es:
    1 p
    √ = 4 log10 (Re f ) − 0.4
    f

    3
    donde Re = número de Reynolds
    ρV D
    Re =
    µ
    donde V = velocidad del fluido en el tubo [m/s], y µ = viscosidad dinámica (N s/m2 ).
    Obsérvese que para un tubo circular, V = 4Q/πD2 . Asimismo, suponga que el fluido tiene
    una viscosidad de 1.79 × 10−5 N s/m2 . Es decir, debe implementar el método de Newton para
    una función.

    REFERENCIAS
    [1] Steven C. Chapra and Raymond P. Canale Métodos numéricos para ingenieros, quinta
    edición, McGraw-Hill, 2006.
    [2] Quarteroni Alfio, Saleri Fausto and Gervasio Paola, Scientific Computing with MATLAB
    and Octave, Third Edition, Texts in Computational Science and Engineering, Springer-
    Verlag Berlin Heidelberg, 2010.
    [3] Forsythe, G. E., M. A. Malcolm, and C. B. Moler, Computer Methods for Mathematical
    Computations, Prentice-Hall, 1976.

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