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    Primer Parcial Métodos Numéricos

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    Este documento presenta un examen parcial de métodos numéricos que contiene 5 preguntas. La primera pregunta involucra resolver para la profundidad crítica de un canal trapezoidal usando métodos gráficos, de bisección y de falsa posición. La segunda pregunta usa el método de Newton para resolver la concentración de estado estable de un contaminante en un lago. La tercera pregunta factoriza una función de transferencia de un sistema de control usando técnicas numéricas. La cuarta pregunta usa el método de Newton para encontrar las raíces

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    Este documento presenta un examen parcial de métodos numéricos que contiene 5 preguntas. La primera pregunta involucra resolver para la profundidad crítica de un canal trapezoidal usando métodos gráficos, de bisección y de falsa posición. La segunda pregunta usa el método de Newton para resolver la concentración de estado estable de un contaminante en un lago. La tercera pregunta factoriza una función de transferencia de un sistema de control usando técnicas numéricas. La cuarta pregunta usa el método de Newton para encontrar las raíces

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    Primer parcial métodos numéricos

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    Facultad de Matemáticas e Ingenierías

    Matemáticas
    Métodos numéricos
    Parcial No. 1

    Nombre de Estudiante: ______________________________Cod:________Fecha: ______

    Cada una de las respuestas debe estar debidamente justificada


    Por favor suba al aula virtual la solución de su examen parcial en
    formato PDF.
    No se calificarán documentos enviados al correo electrónico del
    profesor.
    Tenga en cuenta que en el aula virtual hay una hora límite para cargar
    el documento.
    3
    1. (10 puntos) Por un canal trapezoidal fluye agua a una tasa de Q = 20 m . La profundidad crítica
    s
    y para dicho canal satisface la ecuación
    Q2
    O =1− 3 B
    gA c

    Donde g = 9.81 m s 2 , A c es el área de la sección transversal (m2), y 𝐵 = ancho del canal en la


    superficie (m). Para este caso, el ancho y el área de la sección transversal se relacionan con la
    profundidad por medio de
    y2
    B = 3+ y y Ac = 3 y +
    2
    Resuelva para la profundidad crítica con el uso de los métodos a) gráfico, b) bisección, y c) falsa
    posición. En los incisos b) y c), haga elecciones iniciales de xl = 0.5 y xu = 2.5
    Y ejecute iteraciones hasta que el error aproximado caiga por debajo del 1% o el número de iteraciones
    supere a 10. Analice sus resultados.

    2. (10 puntos) El balance de masa de un contaminante en un lago bien mezclado se expresa así:

    dc
    V = W − Qc − kV c
    dt

    Dados los valores de parámetros V = 1 10 6 m3, Q = 1 10 5 m3/año y W = 1 10 6 g/año, y k = 0.25


    m0.5/año, use el método de Newton para resolver para la concentración de estado estable. Emplee un
    valor inicial c = 4 g/m3 y  = 0.5. Realice tres iteraciones y determine el error relativo porcentual
    después de la tercera iteración.

    Elaborado por: Diego Fernando Vivas Berrio


    Facultad de Matemáticas e Ingenierías
    Matemáticas
    Métodos numéricos
    Parcial No. 1

    3. (10 puntos) En el análisis de sistemas de control, se desarrollan funciones de transferencia que


    relacionan en forma matemática la dinámica de la entrada de un sistema con su salida. La función de
    transferencia para un sistema de posicionamiento robotizado está dada por:

    C (s) s 3 + 12.5s 2 + 50.5s + 66


    G (s) = =
    N ( s ) s 4 + 19s 3 + 12s 2 + 296 s + 192
    Donde G(s) = ganancia del sistema, C(s) = salida del sistema, N(s) = entrada del sistema y s =
    frecuencia compleja de la transformada de Laplace. Utilice una técnica numérica para obtener las
    raíces del numerador y el denominador, y factorícelas en la forma siguiente:

    ( s + a1 )( s + a 2 )( s + a3 )
    G (s) =
    ( s + b1 )( s + b2 )( s + b3 )( s + b4 )

    Donde ai y bi = las raíces del numerador y el denominador, respectivamente.

    4. (10 puntos) Utilice el método de Newton para determinar las raíces de.

    f ( x) = 9.34 − 21.97 x + 16.3x 2 − 3.704 x 3


    Usted debe elegir las aproximaciones iniciales para que el método converja

    5. (10 puntos) La siguiente ecuación permite calcular la concentración de un químico en un reactor


    donde se tiene una mezcla completa:

    ( )
    c = cent 1 − e −0.04t + c0 e −0.04t

    Si la concentración inicial es c0 = 5 y la concentración de entrada es cent = 12, calcule el tiempo


    requerido para que c sea el 85% de cent .

    Elaborado por: Diego Fernando Vivas Berrio

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