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    Trabajo1 01

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    Este documento presenta un trabajo de métodos numéricos que incluye 6 tareas. La primera tarea involucra aproximar una función usando polinomios de Taylor y calcular errores. La segunda determina un polinomio de Taylor para una función de dos variables. La tercera construye un sistema de ecuaciones para analizar la concentración en reactores conectados. Las tareas restantes involucran resolver ejercicios numéricos usando métodos como Jacobi, Gauss-Seidel y derivadas parciales.

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    Este documento presenta un trabajo de métodos numéricos que incluye 6 tareas. La primera tarea involucra aproximar una función usando polinomios de Taylor y calcular errores. La segunda determina un polinomio de Taylor para una función de dos variables. La tercera construye un sistema de ecuaciones para analizar la concentración en reactores conectados. Las tareas restantes involucran resolver ejercicios numéricos usando métodos como Jacobi, Gauss-Seidel y derivadas parciales.

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    ESCUELA DE INGENIERÍA DE SISTEMAS Y COMPUTACIÓN

    750017M - MÉTODOS NUMÉRICOS


    FEBRERO/2021 - JUNIO/2020

    Trabajo 1

    1. Dada la función f (x) = x exp(x2 ) y x0 = 0:

    a. Hallar los polinomios de primer y tercer orden, P1 y P3 , para f alrededor de x0 .


    b. A partir del P1 del literal anterior, encontrar una expresión para el residuo R1 y expresar
    la función f como la suma entre el polinomio y su correspondiente residuo (ver el Teorema
    de Taylor).
    c. Use P1 y P3 para aproximar f (1.0) y calcule los errores relativos.
    d. Grafique las funciones f , P1 y P3 en una misma figura y analice la diferencia entre P1 y P3
    como aproximaciones de f . Para este punto puede usar los Notebooks de Colab vistos en
    clase.

    2. Determinar el segundo polinomio de Taylor P2 cerca de (2, 3) para la función

    (x − 2)2 (y − 3)3
     
    f (x, y) = cos + .
    2 2

    3. Considere un sistema de cinco reactores conectados por tuberı́as como el mostrado en la Figura
    1, con c01 = 10, c03 = 20, y

    Q01 = 5 Q15 = 4 Q12 = 4 Q31 = 3 Q55 = 3 Q03 = 8


    Q25 = 2 Q54 = 3 Q24 = 0 Q23 = 2 Q34 = 7 Q44 = 10

    Suponiendo que no hay acumulación de fluido y que la masa permanece constante (Entradas =
    Salidas), y también que la concentración es uniforme en todo el tanque:

    a. Construya un sistema de ecuaciones lineales Ac = b para el vector de concentraciones


    c = (c1 , c2 , c3 , c4 , c5 )τ .
    b. Partiendo de la solución inicial aproximada c(0) = (1, 1, 1, 1, 1)τ realice dos iteraciones del
    método de Jacobi y dos del método de Gauss-Seidel, mostrando el proceso de actualización
    para hallar c(1) y c(2) en cada caso.
    c. Usando un método directo de su preferencia, calcule la solución exacta c del problema (no
    es necesario mostrar el proceso de resolución del sistema) y calcule el error

    kc − c(2) k∞
    ,
    kck∞

    para cada c(2) del literal anterior y compare dichos errores.

    1
    Figura 1: Cinco reactores conectados por tuberı́as. Tomado de Chapra 5 ed.

    4. Resolver el Ejercicio 1.c. de la página 5 del archivo ejercicios sugeridos 01.pdf, presentando
    para su desarrollo un archivo .ipynb en cual use la función metodo sor ecu estudiada en la Clase
    04.

    5. Resolver el Ejercicio 2. de la página 11 del archivo ejercicios sugeridos 01.pdf.

    6. Resolver el Ejercicio 7.b. de la página 13 del archivo ejercicios sugeridos 01.pdf, presentan-
    do para su desarrollo un archivo .ipynb basado en el código tratado en la Clase 06 (presentar
    las cuentas de las derivadas parciales en el PDF del trabajo).

    Indicaciones
    El trabajo puede ser presentado en grupos de máximo 5 personas.

    Presentar un PDF respondiendo las preguntas del Trabajo 1 y un archivo .ipynb respondiendo
    los puntos 4 y 6.

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