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    Calculo Integral Eje 3

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    Osmar Perez Ricardo
    Este documento presenta tres ejercicios de cálculo integral indefinida. El primero calcula áreas delimitadas por funciones. El segundo calcula volúmenes al girar funciones sobre ejes. El tercero calcula trabajo usando la integral definida. Las soluciones a los ejercicios se muestran a través de la integración de las funciones dadas y la evaluación de las integrales entre los límites especificados.

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    Calculo Integral Eje 3

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    Osmar Perez Ricardo
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    Este documento presenta tres ejercicios de cálculo integral indefinida. El primero calcula áreas delimitadas por funciones. El segundo calcula volúmenes al girar funciones sobre ejes. El tercero calcula trabajo usando la integral definida. Las soluciones a los ejercicios se muestran a través de la integración de las funciones dadas y la evaluación de las integrales entre los límites especificados.

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    CALCULO INTEGRAL EJE 3

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    Osmar Perez Ricardo
    Este documento presenta tres ejercicios de cálculo integral indefinida. El primero calcula áreas delimitadas por funciones. El segundo calcula volúmenes al girar funciones sobre ejes. El tercero calcula trabajo usando la integral definida. Las soluciones a los ejercicios se muestran a través de la integración de las funciones dadas y la evaluación de las integrales entre los límites especificados.

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    de 6

    1

    CÁLCULO DE INTEGRALES INDEFINIDAS.EJE 3

    Ing Miguel Angel Granados Peñaranda

    Raúl Gabriel Roncancio Pinzón


    Osmar José Pérez Ricardo
    Jimmy Alexander Pamplona Sánchez

    Marzo 2022.
    Fundación universitaria del área andina
    Facultad de Ingeniería y Ciencias Básicas.
    Calculo Integral
    2

    Contenido
    Introducción.........................................................................................................................3
    Resolución de los ejercicios.................................................................................................4
    1. Calcular el área de la región delimitada por la gráfica de cada función..............4
    2. Calcular el volumen del sólido que se genera al girar cada función sobre el eje
    y las rectas dadas.........................................................................................................5
    3. En el siguiente problema, utilizar el concepto de integral definida para calcular
    el trabajo pedido...........................................................................................................5
    3

    Introducción

    En el siguiente documento se encontrará el uso del conocimiento adquirido en el eje 3 de


    cálculo integral, utilizando lo mismo para el planteamiento de la solución a los ejercicios
    expuestos, los mismo solucionados con conocimientos externos o aprendidos durante las
    sesiones y los componentes del eje.
    4

    Resolución de los ejercicios

    1. Calcular el área de la región delimitada por la gráfica de cada función

    a) 𝑓(𝑥) =𝑥 (𝑥−2)𝑦𝑙𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑠𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙𝑒𝑠𝑑𝑎𝑑𝑎𝑠𝑥2 = 1


    1 1
    ∫ 𝑥 (𝑥 − 2) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥2 − 2𝑥𝑑𝑥
    −1 −1
    2 2
    = 𝑥 − 2𝑥 +1
    1
    𝑥3 − 𝑥2 |+1
    3 2 |−1 2 −1
    = 1 (1)
    − (−1) − (1 1 − 1) − (1 −1 − 1) = 2
    2 (
    3 ) 3 3 )
    3
    3(

    b) 𝑓 (𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑦 𝑙𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑠 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑥 = ±𝜋


    𝜋 𝜋
    ∫ cos(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ sin (𝑥)
    −𝜋 −𝜋

    sin(𝜋) − sin(−𝜋) = 0

    c) 𝑓 (𝑥) = 𝑥2 𝑦 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑔(𝑥) = −𝑥2 + 2

    𝑥2 = −𝑥2 + 2

    𝑥2 + 𝑥2 = 2
    1
    1 𝑥3
    ∫ 𝑥2𝑑𝑥 = (1)3− (−1) = 1 1 2
    ∫ 3 𝑑𝑥 = |−1
    +1 =
    3
    −1 −1
    5

    2. Calcular el volumen del sólido que se genera al girar cada función sobre el eje
    y las rectas dadas.

    2
    a) 𝑦 = 𝑥 𝑐𝑜𝑛𝑙𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑠𝑑𝑎𝑑𝑎𝑠𝑝𝑜𝑟 𝑥 = 0𝑦 𝑥 = 4𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒𝑥
    4

    4 𝑥2 2
    ∫ ( ) 𝜋 × 𝑥5 4
    𝜋
    ∫ 𝑑𝑥 = 4
    𝜋𝑥4 𝑑𝑥= | =
    4 16 16 5 0
    0 0
    𝜋 𝜋 𝜋
    = 𝑥5 |4 = ( (4)5) − ( 05 ) =
    80 0
    80 80
    𝜋 64 𝜋
    = ( (4)5) − (0) =
    80 5 ≈ 40.2124

    b) 𝑦 = √𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑥 = 0 𝑦 𝑥 = 1 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑥

    1 1
    2
    𝑣 = 𝜋 ∫ 𝑓 (𝑥)2 𝑑𝑥 = 𝜋 ∫ (√𝑥) 𝑑𝑥 = 𝜋 ∫ 𝑥𝑑𝑥
    𝑢 0
    1
    𝑥2 𝜋
    𝑣=𝜋[ ] =
    20 2

    c) 𝑦 = 𝑥3 𝑐𝑜𝑛 𝑥 = 0 𝑦 𝑦 = 1 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑦

    𝑓 (𝑥) = 𝑥3 𝑔 (𝑥) = 8

    𝑥3 = 8 𝑥3 √8 = 𝑥 = 2
    2
    ∫ 𝑛 (𝑥3)2 − 82 𝑑𝑥
    0
    2
    768 𝑛
    ∫ 𝑛 𝑥6 − 64 𝑑𝑥 =
    0 7

    3. En el siguiente problema, utilizar el concepto de integral definida para calcular


    el trabajo pedido.
    6

    a) Un cuerpo es impulsado por fuerza 𝑓(𝑥) = 32 + 4𝑥 , donde la fuerza está dada


    en Newton y las distancias enmetros. Calcular el trabajo necesario para
    trasladar el objeto una distancia de 10m
    10
    Trabajo = ∫ (3𝑥 2 + 4𝑥 ) 𝑑𝑥 = [𝑥 3 + 2 𝑥 2 ]10 = 200000𝑁. 𝑚
    0 0

    = 200000 (J)

    Trabajo requerido es de 20000 N.m

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