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145 Unidad 1 Tarea 1 Calculo Integral
145 Unidad 1 Tarea 1 Calculo Integral
145 Unidad 1 Tarea 1 Calculo Integral
2
∫(1𝑑𝑥 + ∫ 𝑡𝑎𝑛 (𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑠𝑖𝑛 (𝑥) 𝑑𝑥
∫ 1𝑑𝑥 = 𝑥
∫ sin(𝑥) 𝑑𝑥 = −cos(𝑥)
= 𝑥 − 𝑥 + tan(𝑥) − cos(𝑥)
= tan(𝑥) − cos(𝑥) + 𝑐
∫ 4 + 3𝑥 2 𝑑𝑥
0
1
∫ 4 + 3𝑥 2 𝑑𝑥 = 4𝑥 + 𝑥 3 + 𝑐
0
∫ 4 + 3𝑥 2 𝑑𝑥
∫ 4𝑑𝑥 + ∫ 3𝑥 2 𝑑𝑥
∫ 4𝑑𝑥 = 4𝑥
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙𝑑𝑒𝑢𝑛𝑎𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = ∫ 𝑎𝑑𝑥 = 𝑎𝑥
∫ 4𝑑𝑥
∫ 3𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝑥 3 = ∫ 3𝑥 2 𝑑𝑥
𝑥 2+1
= 3. 2+1 = 𝑥 3 =
= 4𝑥 + 𝑥 3
1
𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠 = ∫ 4 + 3𝑥 2 𝑑𝑥 = 5 − 0
0
𝑙𝑖𝑚𝑥→0+(4𝑥+𝑥3 )=0
𝑙𝑖𝑚𝑥→1−(4𝑥+𝑥3 )=5
=5−0
=5
DESARROLLO DE LOS EJERCICIOS B DE LOS 4 TIPOS DE EJERCICIOS.
BLANCA INEZ SANABRIA
Tipo de ejercicios 1 - Integrales inmediatas.
Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el álgebra, la
trigonometría y propiedades matemáticas para reducir las funciones a
integrales inmediatas y compruebe su respuesta derivando el resultado.
Ejercicio b.
𝑠𝑒𝑛𝑥
∫ 𝑑𝑥
cos2 𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
∫ 𝑑𝑥
(cos 𝑥)2
1
∫ ∗ 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥
(cos 𝑥)2
1 𝑠𝑒𝑛𝑥
∫ ∗ 𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥
= 𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝐾
Tipo de ejercicios 2 - Sumas de Riemann
Ejercicio b.
a)
b)
b)
iii. Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el
resultado con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando
la suma de Riemann con n= 6 y n=12.
Calculamos △ 𝒙 asi:
𝒃−𝒂 𝟐−𝟎
△ 𝒙 = = = 𝟎, 𝟑𝟑𝟑𝟑
𝒏 𝟔
Ahora calculamos cada Xi partiendo de 0,33 y evaluamos f(x) en cada xi
𝟏𝟐
Aquí podemos ver que entre más rectángulos se tomen para calcular la suma,
más se acercara al resultado de la integral que es 2,67
𝑢(𝑥)
′ (𝑥)
𝑑
𝐹 = [∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡] = 𝑓[𝑢(𝑥)] ∗ 𝑢′(𝑥)
𝑑𝑥 𝑎
Y tengo que:
𝑓(𝑡) = ln(cos(3𝑡))
𝑢(𝑥) = 𝑥 2
𝑢′(𝑥) = 2𝑥
Entonces:
𝐹 ′ (𝑥) = ln(cos(𝑥 2 )) ∗ 2𝑥
𝐹 ′ (𝑥) = 2𝑥 ln(cos(𝑥 2 ))
6
𝑥 3 7𝑥 2 6
∫ |𝑥 2 − 7𝑥 + 12| = − + 12𝑥
2 3 2 2
63 7∗62 23 7∗22
( − + 12 ∗ 6) − ( − + 12 ∗ 2) = 5,33 -
3 2 3 2
DESARROLLO DE LOS EJERCICIOS C DE LOS 4 TIPOS DE EJERCICIOS.
TATIANA LIZETH SANCHEZ
Ejercicio c.
Rta=
𝑥 3 − 9𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 + 26𝑥 −1
∫ 𝑑𝑥
𝑥
𝑥 3 − 9𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 + 26𝑥 −1 26
= 𝑥 2 9 sin(𝑋) + 2
𝑥 𝑥
26
∫ 𝑥 2 9 sin(𝑋) + 2 𝑑𝑥
𝑥
26
∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 − ∫ 9𝑠𝑖𝑛 (𝑥)𝑑𝑥 + 𝑑𝑥
𝑥2
2
𝑥3
∫ 𝑥 𝑑𝑥 =
3
∫ 9 sin(𝑥) 𝑑𝑥 = − 9cos(𝑥)
26 26
∫ 𝑑𝑥 = −
𝑥2 𝑥
𝑥3 26
= − (−9 cos(𝑥)) −
3 𝑥
𝑥3 26
= + 9cos(𝑥) −
3 𝑥
𝑥3 26
= + 9 cos(𝑥) − +𝑐
3 𝑥
Tipo de ejercicios 2 – Sumas de Riemann
i. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación
del área bajo la curva de la función
𝑥2
𝑓(𝑥) = + 𝑥 en el intervalo [-2,2], en donde use una partición de n=8.
2
= ∫ −2(−𝑢2 + 1)2 𝑑𝑢
Sacar la constante
= −2 ∗ ∫(−𝑢2 + 1)2 𝑑𝑢
expandir
= (−𝑢2 + 1)2
= −2 ∗ ∫ 𝑢4 − 2𝑢2 + 1𝑑𝑢
4
𝑢5
∫ 𝑢 𝑑𝑢 =
5
2𝑢3
∫ 2𝑢2 𝑑𝑢 =
3
∫ 1𝑑𝑢 = 𝑢
Sustituimos la ecuación
𝑢5 2𝑢3
= −2 ( − + 𝑢)
5 3
simplificamos
1 5 2 3
= −2 ( (1 − 𝑡)2 − (1 − 𝑡)2 + √1 − 𝑡) + 𝑐
5 3
punto 4
Ejercicio c.
2
3
∫ [2𝑥 3 − 6𝑥 + ] 𝑑𝑥
0 𝑥2 +1
Siga los siguientes pasos:
- Graficar la función que acaba de integrar en Geogebra.
- Tome un pantallazo de la gráfica.
- Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, coloree la región de la
cual acaba de hallar el área con la integral definida.
DESARROLLO DE LOS EJERCICIOS D DE LOS 4 TIPOS DE EJERCICIOS.
OMAR YOVANY FORERO DIAZ
Ejercicio d.
3 2
∫ (5 − 5 ) 𝑑𝑥
√𝑥 2 √𝑥
Desarrollo:
3 2
∫5 − 5 𝑑𝑥
√𝑥 2 √𝑥
3 2
∫5 𝑑𝑥 + ∫ − 5 𝑑𝑥
√𝑥 2 √𝑥
1 2
3∫ 5 𝑑𝑥 + ∫ − 5 𝑑𝑥
√𝑥 2 √𝑥
1 2
3∫ 1 𝑑𝑥 + ∫ − 5 𝑑𝑥
2
(𝑥 )5 √𝑥
1 2
3∫ 2 𝑑𝑥 + ∫ − 5 𝑑𝑥
𝑥5 √𝑥
2 −1 2
3 ∫ (𝑥 5 ) 𝑑𝑥 + ∫ − 5 𝑑𝑥
√𝑥
2 2
3 ∫ 𝑥 −5 𝑑𝑥 + ∫ − 5 𝑑𝑥
√𝑥
5 3 2
3 ( 𝑥 5 + 𝐶) + ∫ − 5 𝑑𝑥
3 √𝑥
5 3 2
3 ( 𝑥 5 + 𝐶) − ∫ − 5 𝑑𝑥
3 √𝑥
5 3 1
3 ( 𝑥 5 + 𝐶) − (2 ∫ − 5 𝑑𝑥)
3 √𝑥
5 3 1
3 ( 𝑥 5 + 𝐶) − 2 ∫ 𝑥 −5 𝑑𝑥
3
5 3 5 4
3 ( 𝑥 5 + 𝐶) − 2 ( 𝑥 5 + 𝑐)
3 4
4
3 2 (−5𝑥 5 )
5𝑥 5 + +𝐶
4
4
3 −5𝑥 5
5𝑥 5 + +𝐶
2
4
3 5𝑥 5
5𝑥 5 − +𝐶
2
3 5 4
5𝑥 5 − 𝑥 5 + 𝐶
2
Ejercicio d.
n=6, i=1, 2, 3, 4, 5, 6
9 1
− 2 1
∆𝑥 = 4 4 = =
6 6 3
1
𝑥1 = 𝑎 =
4
1 1 7
𝑥2 = 𝑎 + 1(∆𝑥) = + =
4 3 12
1 1 11
𝑥3 = 𝑎 + 2(∆𝑥) = +2∗ =
4 3 12
1 1 5
𝑥4 = 𝑎 + 3(∆𝑥) = +3∗ =
4 3 4
1 1 19
𝑥5 = 𝑎 + 4(∆𝑥) = +4∗ =
4 3 12
1 1 23
𝑥6 = 𝑎 + 5(∆𝑥) = +5∗ =
4 3 12
𝑏 𝑛
𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥) = ∑ 𝑓(𝑥𝑖 ) ∗ ∆𝑥
𝑎 𝑖=1
6
+ 𝑓(𝑥6 ) ∗ ∆𝑥
1 2 1 7 2 1 11 2 1 5 2
= (10 − ( ) ) ∗ ( ) + (10 − ( ) ) ∗ ( ) + (10 − ( ) ) ∗ ( ) + (10 − ( ) )
4 3 12 3 12 3 4
1 19 2 1 23 2 1
∗ ( ) + (10 − ( ) ) ∗ ( ) + (10 − ( ) ) ∗ ( )
3 12 3 12 3
1 1 2 7 2 11 2 5 2 19 2
= ( ) [(10 − ( ) ) + (10 − ( ) ) + (10 − ( ) ) + (10 − ( ) ) + (10 − ( ) )
3 4 12 12 4 12
23 2
+ (10 − ( ) )]
12
1 159 1391 1319 135 1079 911
= ( )[ +( )+( )+( )+( )+( )]
3 16 144 144 16 144 144
1 3673
= ( )( )
3 72
3673
= = 17,005
216
ii. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del
1 9
área bajo la curva de la función 𝑓(𝑥) = 10 − 𝑥 2 en el intervalo [4, ], en
4
9 1
− 1
∆𝑥 = 4 4 =
12 6
1
𝑥1 = 𝑎 =
4
1 1 5
𝑥2 = 𝑎 + 1(∆𝑥) = + =
4 6 12
1 1 7
𝑥3 = 𝑎 + 2(∆𝑥) = +2∗ =
4 6 12
1 1 3
𝑥4 = 𝑎 + 3(∆𝑥) = +3∗ =
4 6 4
1 1 11
𝑥5 = 𝑎 + 4(∆𝑥) = +4∗ =
4 6 12
1 1 13
𝑥6 = 𝑎 + 5(∆𝑥) = +5∗ =
4 6 12
1 1 5
𝑥7 = 𝑎 + 6(∆𝑥) = +6∗ =
4 6 4
1 1 17
𝑥8 = 𝑎 + 7(∆𝑥) = +7∗ =
4 6 12
1 1 19
𝑥9 = 𝑎 + 8(∆𝑥) = +8∗ =
4 6 12
1 1 7
𝑥10 = 𝑎 + 9(∆𝑥) = +9∗ =
4 6 4
1 1 23
𝑥11 = 𝑎 + 10(∆𝑥) = + 10 ∗ =
4 6 12
1 1 25
𝑥12 = 𝑎 + 11(∆𝑥) = + 11 ∗ =
4 6 12
𝑏 𝑛
𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥) = ∑ 𝑓(𝑥𝑖 ) ∗ ∆𝑥
𝑎 𝑖=1
1 2 1 5 2 1 7 2 1 3 2
= (10 − ( ) ) ∗ ( ) + (10 − ( ) ) ∗ ( ) + (10 − ( ) ) ∗ ( ) + (10 − ( ) )
4 6 12 6 12 6 4
1 11 2 1 13 2 1 5 2 1
∗ ( ) + (10 − ( ) ) ∗ ( ) + (10 − ( ) ) ∗ ( ) + (10 − ( ) ) ∗ ( )
6 12 6 12 6 4 6
17 2 1 19 2 1 7 2 1
+ (10 − ( ) ) ∗ ( ) + (10 − ( ) ) ∗ ( ) + (10 − ( ) ) ∗ ( )
12 6 12 6 4 6
23 2 1 25 2 1
+ (10 − ( ) ) ∗ ( ) + (10 − ( ) ) ∗ ( )
12 6 12 6
1 1 2 15 2 7 2 3 2 11 2
= ( ) [(10 − ( ) ) + (10 − ( ) ) + (10 − ( ) ) + (10 − ( ) ) + (10 − ( ) )
6 4 12 12 4 12
13 2 5 2 17 2 19 2
+ (10 − ( ) ) + (10 − ( ) ) + (10 − ( ) ) + (10 − ( ) )
12 4 12 12
7 2 23 2 25 2
+ (10 − ( ) ) + (10 − ( ) ) + (10 − ( ) )]
4 12 12
1 159 1415 1391 151 1319 1271 135 1151 1079 111 911
= ( )[ + + + + + + + + + +
6 16 144 144 16 144 144 16 144 144 16 144
815
+ ]
144
1 3589
= ( )( )
6 36
3589
= = 16,62
216
Aguayo, J. (2012). Cálculo integral y series. Editorial ebooks Patagonia - J.C. Sáez
Editor. (pp. 50 – 53).
Ejercicio d.
𝑥
2
𝐹(𝑥) = ∫ 𝑒 𝑡 𝑑𝑡
1/𝑥
Aguayo, J. (2012). Cálculo integral y series. Editorial ebooks Patagonia - J.C. Sáez
Editor. (pp. 54 – 57).
Ejercicio d.
1
1
∫ 𝑑𝑥
0 1 + 𝑥2
Utilizando la regla de integración estandar tenemos
1
1 1 𝜋 𝜋
∫ 𝑑𝑥 = 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑥) | = 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(1) − 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(0) = − 0 = ≈ 0,79
0 1 + 𝑥2 0 4 4
DESARROLLO DE LOS EJERCICIOS E DE LOS 4 TIPOS DE EJERCICIOS.
JHONATAN FLORIAN
3 ∫ 𝑒 −3𝑥 𝑑𝑥 + ∫ −3𝑥 𝑑𝑥
sea u=-3x
du=-3dx
-1/3 du =dx
1
3 ∫ 𝑒𝑢 𝑑𝑢 + ∫ −3𝑥 𝑑𝑥
−3
𝑒𝑢
3∫− 𝑑𝑢 + ∫ −3𝑥 𝑑𝑥
3
𝑒𝑢
3(− ∫ 𝑑𝑢) + ∫ −3𝑥 𝑑𝑥
3
𝑒𝑢
−3 ∫ 𝑑𝑢 + ∫ −3𝑥 𝑑𝑥
3
1
−3( ∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢) + ∫ −3𝑥 𝑑𝑥
−3
− ∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 + ∫ −3𝑥 𝑑𝑥
−(𝑒 𝑢 + 𝑐) + ∫ −3𝑥 𝑑𝑥
−(𝑒 𝑢 + 𝑐) − ∫ 3𝑥 𝑑𝑥
3𝑥
−(𝑒 𝑢 + 𝑐) − ( + 𝑐)
𝑖𝑛(3)
3𝑥
−𝑒 𝑢 − ( + 𝑐)
𝑖𝑛(3)
−3𝑥
3𝑥
−𝑒 − +𝑐
𝑖𝑛(3)
Derivando
𝑑 𝑑 3𝑥
(−𝑒 −3𝑥 ) + (− )
𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑖𝑛(3)
𝑑 −3𝑥 𝑑 3𝑥
− (𝑒 ) + (− )
𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑖𝑛(3)
−3𝑥
𝑑 𝑑 3𝑥
− (𝑒 (−3𝑥)) + (− )
𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑖𝑛(3)
𝑑 1 𝑑 3𝑥
− (𝑒 −3𝑥 (−3 (𝑥))) − ( ( ))
𝑑𝑥 𝑖𝑛(3) 𝑑𝑥 1
1 3𝑥 𝑖𝑛(3)
−(𝑒 −3𝑥 (−3 ∗ 1)) − ( ∗( ))
𝑖𝑛(3) 12
1
−(𝑒 −3𝑥 ∗ −3) − ( ∗ (3𝑥 𝑖𝑛(3)))
𝑖𝑛(3)
3𝑥
−(−3 ∗ 𝑒 −3𝑥 ) − ( 𝑖𝑛(3))
𝑖𝑛(3)
3𝑥 𝑖𝑛(3)
3𝑒 −3𝑥 − ( )
𝑖𝑛(3)
3
= − 3𝑥
𝑒 3𝑥
Tipo de ejercicios 2 – Sumas de Riemann
Ejercicio e.
Ejercicio e.
2√𝑥
𝐹(𝑥) = ∫ 𝑆𝑒𝑛−1 (√𝑡)𝑑𝑡
1
𝑥
1 1
2√𝑥 arcsin (√2√√𝑥) − arcsin (√2√√𝑥) + sin (3𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 (√2√√𝑥))
2 4
1
arcsin (√𝑥 )
1 1 1 1
− + arcsin (√ ) − sin (2 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 (√ ))
𝑥 2 𝑥 4 𝑥
Tipo de ejercicios 4 – Integral definida.
Ejercicio e.
𝜋
2 𝑇𝑎𝑛(𝑥)
∫ ( ) 𝑑𝑥
0 𝑆𝑒𝑛2 (𝑥)𝑆𝑒𝑐(𝑥) + 𝐶𝑜𝑠(𝑥)
𝑥
𝑢 = tan ( )
2
4𝑢 𝑢
∫− 𝑑𝑢 = −4 ∗ ∫ 𝑑𝑢
(−𝑢2 2
− 1)(1 + 𝑢 ) (−𝑢 − 1)(1 + 𝑢2 )
2
𝑣 = 1 + 𝑢2
1 1 1
−4 ∗ ∫ − 2
𝑑𝑣 = − 4 (− ∗ ∫ 2 𝑑𝑣)
2𝑣 2 𝑣
1 1 𝑣 −2+1
−4 (− ∗ ∫ 𝑣 −2 𝑑𝑣) = −4 (− ∗ )
2 2 −2 + 1
2 𝑥 −2+1
1 (1 + 𝑡𝑎𝑛 (2))
−4 (− ∗ )
2 −2 + 1
𝑥
1 (1 + 𝑡𝑎𝑛2 (2))−2+1
4∗ ∗( )
2 −2 + 1
𝑥
(1 + 𝑡𝑎𝑛2 (2))−2+1 1
=− 𝑥
−2 + 1 1 + 𝑡𝑎𝑛2 (2)
𝑥
(1 + 𝑡𝑎𝑛2 (2))−1
−1
1
𝑥 𝑥
(1 + 𝑡𝑎𝑛2 (2))−1 𝑡𝑎𝑛2 (2) + 1
− =−
1 1
1 1 1 1
4 ∗ (− 𝑥 ) = −4 ∗ ∗
2 𝑡𝑎𝑛2 (2) + 1 2 1 + 𝑡𝑎𝑛2 (𝑥 )
2
1∗1∗4 4
− =− 𝑥
𝑥 2 (𝑡𝑎𝑛2 (2) + 1)
2 (1 + 𝑡𝑎𝑛2 (2))
2 2
− 𝑥 = − 𝑥
(𝑡𝑎𝑛2 (2) + 1) 1 + 𝑡𝑎𝑛2 (2)
2
− 𝑥 +𝐶
𝑠𝑒𝑐 2 (2)
2
lim (− 𝑥 )=2
𝑥→0+
𝑠𝑒𝑐 2 (2)
2
lim𝜋 (− 𝑥 ) = −1
𝑥→
2 𝑠𝑒𝑐 2 (2)
−1 − (−2) = 1
TABLA LINKS VIDEOS EXPLICATIVOS