Ejercicios Resueltos

1) Utilizando las propiedades de las integrales, calcule:
𝟏𝟎𝟎𝝅
∫ √𝟏 − 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒙) 𝒅𝒙
𝟎
Solución:
Manipulando la función del integrando:
√1 − 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) = √1 − [1 − 2𝑠𝑒𝑛2 (𝑥)] = √2 𝑠𝑒𝑛2 (𝑥) = √2 |𝑠𝑒𝑛(𝑥)|
Entonces:
100𝜋 100𝜋
𝐼 = ∫ √1 − 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) 𝑑𝑥 = √2 ∫ |𝑠𝑒𝑛(𝑥)| 𝑑𝑥
0 0
Por inspección, el periodo Fundamental de la función, es 𝑇 = 𝜋
Así, es fácil identificar que:

100𝜋 𝜋
𝐼 = √2 ∫ |𝑠𝑒𝑛(𝑥)| 𝑑𝑥 = 100√2 ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 = −100√2 [𝑐𝑜𝑠(𝑥)]𝜋0 =

0 0
−100√2[−1 − 1] = 200√2
Hallar el volumen generado por la rotación del área limitada por la parábola 𝒚𝟐 = 𝟖𝒙 y
la ordenada 𝒙 = 𝟐 , al rotarla en torno a la recta 𝒙 = 𝟐.
a) Por el método del disco.
b) Por el método de las capas cilíndricas.
Solución:
Método del disco:
𝑑𝑉 = 𝜋𝑅 2 𝑑𝑦
𝑦2
𝑅 = 2−
8
Aplicando simetría:
4 2 4 4
𝑦2 𝑦2 𝑦4 𝑦3 𝑦5
𝑉 = 2 ∫ 𝜋 (2 − ) 𝑑𝑦 = 2𝜋 ∫ (4 − + ) 𝑑𝑦 = 2 𝜋 [4𝑦 − + ]
0 8 0 2 64 6 320 0
256𝜋 3
= 𝑢
15
Método de las capas cilíndricas:

𝑑𝑉 = 2𝜋𝑅ℎ 𝑑𝑥
𝑅 =2−𝑥 ℎ = √8𝑥
Aplicando simetría:
2
𝑉 = 2 ∫ 2𝜋(2 − 𝑥)√8𝑥𝑑𝑥 =
0
2
𝑉 = 4𝜋 ∫ (2 − 𝑥)2√2𝑥𝑑𝑥 =
0
2
𝑉 = 4𝜋 ∫ (4√2√𝑥 − 2√2√𝑥 3 )𝑑𝑥 =
0
2
8√2 3 4√2 5
𝑉 = 4𝜋 [ √𝑥 − √𝑥 ]
3 5 0
8√2√8 4√2√32
𝑉 = 4𝜋 [ − ]
3 5
32 32
𝑉 = 4𝜋 [ − ]
3 5
256𝜋 3
𝑉= 𝑢
15
2) Utilizando las propiedades de las integrales, calcule:
𝟐𝟎
𝟓
∫ (𝟑 − √𝒔𝒆𝒏(𝒙𝟑 )) 𝒅𝒙
−𝟐𝟎
Solución:
Por linealidad la integral planteada, se separa en dos integrales:
20 20 20
5 5
𝐼 = ∫ (3 − √𝑠𝑒𝑛(𝑥 3 )) 𝑑𝑥 = ∫ (3)𝑑𝑥 − ∫ (√𝑠𝑒𝑛(𝑥 3 )) 𝑑𝑥
−20 −20 −20
5
Nótese que 𝑓(𝑥) = √𝑠𝑒𝑛(𝑥 3 ) es una función impar, por tanto:
20
5
∫ ( √𝑠𝑒𝑛(𝑥 3 )) 𝑑𝑥 = 0
−20
Luego:
𝐼 = 3[20 − (−20)] = 3[40] = 120

20
5
∫ (3 − √𝑠𝑒𝑛(𝑥 3 )) 𝑑𝑥 = 120
−20
3)
4) Dado el conjunto 𝑹𝒆 = ℝ y el predicado:

𝒙
𝒑(𝒙): ∫ (𝟏 − 𝒘𝟐 ) 𝒅𝒘 = 𝟎
𝟎
5 ) Determine 𝑨𝒑(𝒙).
Solución:
Aplicamos la propiedad de linealidad e integramos directamente:
𝑤3
∫(1 − 𝑤 2 ) 𝑑𝑤 = ∫ 𝑑𝑤 − ∫ 𝑤 2 𝑑𝑤 = 𝑤 − +𝐶
3
Evaluamos:
𝑥 𝑥
2)
𝑤3 (𝑥)3
∫ (1 − 𝑤 𝑑𝑤 = (𝑤 − )| = (𝑥) −
0 3 0 3
𝑥 3 3𝑥 − 𝑥 3 𝑥(3 − 𝑥 2 )
=𝑥− = =
3 3 3
Planteamos la ecuación lineal, según lo indicado en el enunciado, y la resolvemos:

𝑥
2)
𝑥(3 − 𝑥 2 )
∫ (1 − 𝑤 𝑑𝑤 = =0
0 3
𝑥 = 0 ∨ 𝑥 2 = 3 → 𝑥 = ±√3
∴ 𝐴𝑝(𝑥) = {−√3, 0, +√3}
6)
Solución:
7) Suponga que 𝒇 𝒚 𝒈 son integrables y que:
𝟖 𝟖 𝟖
∫𝟏 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝟐, ∫𝟕 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝟔, ∫𝟕 𝒈(𝒙)𝒅𝒙 = 𝟒.
Determine:
𝟖
a. ∫𝟕 [𝟐𝒇(𝒙) − 𝟑𝒈(𝒙)] 𝒅𝒙
𝟕
b. ∫𝟖 [𝒈(𝒙) − 𝒇(𝒙)] 𝒅𝒙
𝟏
c. ∫𝟕 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙
Solución:
8 8 8
a. ∫7 [2𝑓(𝑥) − 3𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 = 2 ∫7 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − 3 ∫7 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 2(6) − 3(4) = 0.
7 8 8 8
b. ∫8 [𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)] 𝑑𝑥 = − ∫7 [𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)] 𝑑𝑥 = − ∫7 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 + ∫7 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
7
∫[𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)] 𝑑𝑥 = −4 + 6 = 2
8
1 7 8 8
c. ∫7 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = − ∫1 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = − (∫1 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 − ∫7 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥) = −(2 − 6) = 4
8)
Solución:
9) Dada la función 𝒈: 𝑿 ⊆ ℝ ↦ ℝ definida por:
𝒙𝟐 +𝟏
𝒕+𝟏
𝒈(𝒙) = ∫ 𝒅𝒕
𝒕−𝟏
𝟐𝒙
Determine 𝒈′(𝒙).
Solución:
Por el PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO:
𝑏(𝑥)
𝑑
( ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡) = 𝑓(𝑏(𝑥)) ∙ 𝑏′(𝑥) − 𝑓(𝑎(𝑥)) ∙ 𝑎′(𝑥)
𝑑𝑥
𝑎(𝑥)
Por lo que:
𝑥 2 +1
𝑑 𝑑 𝑡+1 (𝑥 2 + 1) + 1 (2𝑥) + 1
𝑔′ (𝑥) = (𝑔(𝑥)) = (∫ 𝑑𝑡) = 2 ∙ (2𝑥) − ∙ (2)
𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑡−1 (𝑥 + 1) − 1 (2𝑥) − 1
2𝑥
𝑥2 + 2 2𝑥 + 1 2𝑥 2 + 4 4𝑥 + 2
∙ (2𝑥) − ∙ (2) = −
𝑥2 2𝑥 − 1 𝑥 2𝑥 − 1
(2𝑥 2 + 4)(2𝑥 − 1) − (4𝑥 + 2)𝑥 4𝑥 3 − 2𝑥 2 + 8𝑥 − 4 − 4𝑥 2 − 2𝑥
= =
𝑥(2𝑥 − 1) 𝑥(2𝑥 − 1)
4𝑥 3 − 6𝑥 2 + 6𝑥 − 4
∴ 𝑔′ (𝑥) =
𝑥(2𝑥 − 1)
10)
𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙𝟑
Solución:

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1) Utilizando las propiedades de las integrales, calcule:

√1 − 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) = √1 − [1 − 2𝑠𝑒𝑛2 (𝑥)] = √2 𝑠𝑒𝑛2 (𝑥) = √2 |𝑠𝑒𝑛(𝑥)|

Por inspección, el periodo Fundamental de la función, es 𝑇 = 𝜋

Así, es fácil identificar que:

𝐼 = √2 ∫ |𝑠𝑒𝑛(𝑥)| 𝑑𝑥 = 100√2 ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 = −100√2 [𝑐𝑜𝑠(𝑥)]𝜋0 =

Método de las capas cilíndricas:

𝐼 = 3[20 − (−20)] = 3[40] = 120

4) Dado el conjunto 𝑹𝒆 = ℝ y el predicado:

Planteamos la ecuación lineal, según lo indicado en el enunciado, y la resolvemos:

∴ 𝐴𝑝(𝑥) = {−√3, 0, +√3}

Por el PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO:

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