Guía No. 7 Plano Cartesiano

FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS
ÁREA DE MATEMÁTICA
Asignatura: Matemática Fundamental CN167
GUÍA DE TRABAJO No.7
Tema: Plano Cartesiano
Resultados de aprendizaje
Utiliza propiedades algebraicas para
determinar y representar objetos
geométricos en el plano cartesiano.
El estudio del plano cartesiano permite manipular objetos geométricos a partir del lenguaje
algebraico, fortaleciendo el pensamiento espacial y de sistemas de medidas. Un punto
importante, será el definir y comprender la relación entre variables entre sí a través de
ecuaciones, afianzando el pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos.
En esta parte del curso el estudiante consolidará el uso del lenguaje algebraico, representando
o modelando objetos geométricos y estableciendo medidas de los mismos; lo cual, será un
fundamento para el estudio de las funciones reales, que se estudiarán al final del curso.
Antes de iniciar, se invita al estudiante a desarrollar los siguientes ejercicios, como parte del
análisis y reflexión respecto se su conocimiento y uso de saberes previos, para lograr el mejor
avance en el estudio del plano cartesiano y objetos geométricos.
SABERES PREVIOS
1. Para ubicar sitios en muchas ciudades se usan las direcciones. Las direcciones en los
entornos permiten identificar puntos sobre la superficie terrestre a partir de datos
numéricos, acompañados en la mayoría de los casos, con letras de nuestro alfabeto.
a. ¿Sabes cuál es la diferencia entre Calle [CL] y Carrera [Cra]?
b. ¿Es igual encontrar la “Calle 15 con Séptima” que la “Carrera 15 con séptima”?
c. ¿Existe una diferencia entre la “calle 5 norte” y la “calle 5”?
d. ¿Si te encuentras en la carrera 5 con calle 5 y debes llegar a la calle 10 con 15,
¿Cuál es la ruta que debes seguir?
areamatematica@usc.edu.co
1
2. Realiza una copia del dibujo utilizando la cuadricula
3. Se muestra un mapa de islas muy conocidas en el mar del sur y la ruta a un tesoro, en las
indicaciones al reverso. Describe la ruta sobre el mapa e indica la ubicación del tesoro.
Punto de inicio, 2N, 7E, 3N, 13W, 5S, 2W, 8S, 5E, 4S
Inicia aquí
4. Responde las siguientes preguntas:

a) ¿Qué es una recta?
b) ¿Qué es una circunferencia?
c) ¿Qué es un círculo?
5. Si un círculo tiene radio 5𝑐𝑚, ¿cuáles son las longitudes de su perímetro y área?
2
MARCON CONCEPTUAL Y PRÁCTICO
EL PLANO CARTESIANO
Eje 𝑌 El plano cartesiano resulta de interceptar de
forma perpendicular dos rectas numéricas en el
origen, es decir, en el cero. Este punto de
intersección se denomina origen de
coordenadas. Los puntos en el plano se
identifican con dos números, llamadas
coordenadas del punto. Si 𝑃 es un punto en el
plano, entonces este se identifica con el par
Eje 𝑋 ordenado (𝑥, 𝑦), donde 𝑥 corresponde a la
proyección sobre el eje 𝑋 [eje horizontal] y el valor
𝑦, es la proyección del punto sobre el eje 𝑌 [eje
vertical]. Es decir, que el punto 𝑃 tiene
coordenadas (𝑥, 𝑦). El origen de coordenada es
(0,0). Las rectas dividen el plano en cuatro
cuadrantes, cada uno caracterizado por los
signos de las coordenadas de los puntos.
Ejercicio 1:
Ubica en el plano cartesiano los puntos dados a continuación:
𝐴(2, −3), 𝐵(−4, −5),

𝐶(0,2), 𝐷(−3,0),
3
𝐸(0,0), 𝐹 (0, 2),
3 4
𝐺(√2, 2), 𝐻 (5 , − 3),
𝐼(0, −5), 𝐽(4,0)

1
𝐾 (2 , 0), 𝐿(4,4)
𝑀(3,3) 𝑁(5, −5)
Explora el siguiente recurso

https://www.geogebra.org/m/ppctthpw
3
Ejercicio 2. Marca y une los conjuntos de puntos a continuación para formar la figura
geométrica correspondiente, hallando el área de cada una. Consulta las expresiones para el
área de cada figura.
Conjunto 1. (−1,1), (−1,4), (−5,1), (−5,4).

Conjunto 2. (1,1), (1,4), (5,1)
Conjunto 3. Circulo de centro (−3,3) y el punto 𝐼(−3, −1) sobre la circunferencia.

Conjunto 4. (1, −4), (2, −1), (6, −1), (8, −4).
Determinar la distancia entre puntos en la recta se hace a través de la noción de valor absoluto,
como trabajo opcional en sesiones anteriores. Este concepto de distancia, se extiende al plano
cartesiano, que será indispensable para resolver problemas en el contexto de plano. La
distancia entre puntos del plano exige el cálculo de una raíz cuadrada por lo que siempre será
una cantidad positiva, al ser esta una magnitud. Finalmente, si 𝐴 y 𝐵 son dos puntos del plano,
hallar la distancia desde el punto 𝐴 hasta el punto 𝐵, será equivalente a determinar la distancia
del punto 𝐵 hasta el punto 𝐴.
4
DISTANCIA ENTRE PUNTOS
La distancia 𝑑(𝑃1 , 𝑃2 ) entre los puntos 𝑃1 (𝑥1 , 𝑦1 ) y

𝑃2 (𝑥2 , 𝑦2 ) en el plano cartesiano se define como
𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2
Observa el video de ayuda

https://youtu.be/JcasngI8uHQ
1
Ejemplo 1: Hallar la distancia entre los puntos 𝑃(−2,3) y 𝑄 (2 , −4).
Solución. Para iniciar, debes etiquetar las coordenadas de los puntos para sustituir en la
fórmula de distancia, como se indica a continuación. Debe ser claro, que el orden como se
etiquete las coordenadas se puede intercambiar.
1
𝑃(−2
⏟,⏟3 ) y 𝑄 (⏟ ⏟)
, −4
2
𝑥2 𝑦2 𝑦1
𝑥1
Ahora, se sustituye en la fórmula de distancia.
1 2 2
𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2 = √ (−2 − ) + (3 − (−4))
2
5 2
= √ (− ) + 72
2
25
= √ + 49
4
221
= √
4
√221
=
2
√221
La distancia entre los dos puntos es 𝑑 = .
2
5
Ejercicio 3. Juan y Claudia se encuentran en la misma ciudad, situados en puntos distintos

sobre la misma autopista. Juan desea encontrarse con Claudia y se encuentra en un punto de
la autopista ubicado en (−2, −3) y Claudia en otro punto ubicado en (4,5). Si Juan va en su
vehículo a una velocidad constante de 55𝑘𝑚/ℎ y conduce en línea recta sobre la autopista,
determine el tiempo que demora Juan en donde Claudia. [Sugerencia: Emplear la expresión 𝑥 = 𝑣𝑡]
Ejercicio 4. Un triángulo es isósceles cuando tiene dos lados de igual magnitud. Determine si
los puntos (1,1), (5,1) y (2,5) corresponden a los vértices de un triángulo isósceles.
Ejercicio 5. Dados los puntos de coordenadas 𝑀(−3,2) y 𝑁(2, −4), determine si el punto de
1
coordenadas (− 2 , −1) corresponde al punto medio del segmento determinado por 𝑀 y 𝑁.
Ejercicio 6. Los puntos 𝐴(1,2), 𝐵(6,2), 𝐶 (1,5), 𝐷(6,5) son los vértices de un rectángulo.
Determine el área del triángulo que se forma al trazar la diagonal 𝐴𝐷.
Ejercicio 7. Un punto 𝑃(𝑥, 𝑦) se dice que están entre los puntos 𝐴(𝑥1 , 𝑦1 ) y 𝐵(𝑥2 , 𝑦2 ) si se
cumple siguiente igualdad 𝑑 (𝐴, 𝐵) = 𝑑 (𝐴, 𝑃) + 𝑑(𝑃, 𝐵).
• Verifique que el punto 𝑃 en la gráfica siguiente se encuentra entre los puntos 𝐴 y 𝐵.
• Se puede verificar que el punto (−1,3) se encuentra entre el punto 𝑃 y el punto 𝐴
• Muestra que (−2,1) no se encuentra entre los puntos 𝐵 y 𝐴.
6
PUNTO MEDIO
El punto medio del segmento ̅̅̅̅̅̅

𝑃1 𝑃2 es el punto
𝑃 entre 𝑃1 y 𝑃2 cuya distancia de 𝑃1 es igual a
su distancia a 𝑃2 .
Si 𝑃1 (𝑥1 , 𝑦1 ) y 𝑃2 (𝑥2 , 𝑦2 ) están sobre el plano,

entonces el punto medio tiene coordenadas
𝑥1 + 𝑥2 𝑦1 + 𝑦2
𝑃( , )
2 2
1
Ejemplo 2: Hallar el punto medio del segmento determinado por los puntos (−2,3) y (2 , −4).
Solución. Se etiqueta las coordenadas del punto, en el orden que quieras, en este caso:
1
𝑃(−2
⏟,⏟3 ) y 𝑄 (⏟ ⏟)
, −4
2
𝑥2 𝑦2 𝑦1
𝑥1
Se sustituye en la fórmula de punto medio, teniendo en cuenta los signos negativos.
1 1 3 3
𝑥1 + 𝑥2 𝑦1 + 𝑦2 2 + (−2) −4 + 3 2 − 2 −1 − 2 −1 − 2 −1 3 1
𝑀=( , )=( , )=( , )=( , )=( , ) = (− , − )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2
1
Ejercicio 8. Un triángulo es llamado equilátero si tiene

sus tres lados tienen igual medida, es llamado isósceles
si tiene dos lados de igual medida y es llamado escaleno
si sus lados son de diferente medida.
Determine:
• 𝑑 (𝐴, 𝐵) = _______
• 𝑑 (𝐴, 𝐶 ) = _______
• 𝑑 (𝐶, 𝐵) = _______
El triángulo es:
o Equilátero
o Isósceles
o Escaleno
7
PENDIENTE DE UNA RECTA
De geometría se sabe que dos puntos cualesquiera

determinan una única recta.
La pendiente de una recta mide su grado de inclinación.
Si 𝑃1 (𝑥1 , 𝑦1 ) y 𝑃2 (𝑥2 , 𝑦2 ) son puntos sobre una recta 𝑙, la

pendiente de 𝑙 se calcula con la expresión:
𝑦2 − 𝑦1
𝑚𝑙 =
𝑥2 − 𝑥1
Ejemplo 3: Calcular la pendiente de la recta que pasa

por los puntos 𝐴(1,4) y 𝐵(2, −3).
Solución.
En este caso, 𝐴( ⏟
1,⏟
4 ) y 𝐵( ⏟
2 , −3
⏟ ). Se sustituye en la
𝑥1 𝑦1 𝑥2 𝑦2
expresión para la pendiente y queda:
−3 − 4 −7
𝑚𝐴𝐵 = = = −7
2−1 1
Observa que el segmento determinado por los puntos 𝐴
y 𝐵 viene en caída, es decir, el segmento es decreciente,
lo cual es coherente con la pendiente calculada, pues
esta es negativa con valor 𝑚 = −7.
Ejercicio 9. Calcular la pendiente de la recta que pasa por los pares de puntos:
a) 𝐶(−5,1) y 𝐵(2, −3).

b) 𝐶(−5,1) y 𝐴(4,1).
Ejercicio 10. Dos rectas 𝑙1 y 𝑙2 con pendientes 𝑚1 y 𝑚2 son paralelas si y sólo si tienen la
misma pendiente, es decir, si 𝑚1 = 𝑚2 . Determine si la recta que pasa por los puntos (8,1) y
(11,7) es paralela a la recta que pasa por los puntos (1,3) y (4,8).
Ejercicio 11. Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente. Determine si la recta
que pasa por los puntos (−4,3) y (3, −2) es paralela a la recta que pasa por los puntos con
(−2,4) y (5, −1).
8
Ejercicio 12. Dos rectas 𝑙1 y 𝑙2 con pendientes 𝑚1 y 𝑚2 son perpendiculares cuando el

producto de sus pendientes es igual a −1, es decir, 𝑚1 ⋅ 𝑚2 = −1. Por ejemplo, si dos rectas
1
tienen pendientes 𝑚1 = −4 y 𝑚2 = 4, las rectas son perpendiculares, pues 𝑚1 ⋅ 𝑚2 = −1.
Determine si la recta que pasa por los puntos (10,8) y (3,1) es perpendicular a la recta que
pasa por los puntos (7,1) y (3,5).
ECUACIÓN DE LA RECTA
La ecuación de la recta [Canónica o Ecuación

pendiente - intercepto] tiene la forma
ᇣᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇥ
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
𝑦2 −𝑦1
La ecuación punto pendiente para una recta que

tiene pendiente 𝑚 y pasa por el punto 𝑃(𝑥1 , 𝑦1 ) es:
𝑦 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) + 𝑦1
En la ecuación anterior, el valor 𝑚, es la pendiente

y 𝑏 es el valor por donde corta el eje 𝑌.
Tener en cuenta que: La ecuación de una recta queda determinada por dos puntos o por un
punto y su pendiente. Para determinar la ecuación de la recta, se tienen varias posibilidades,
las cuáles depende de los datos que se dan. Analiza los siguientes ejemplos.
Opción 1. Dada la pendiente y el corte con el eje 𝒀
Ejemplo 3. Una recta tiene pendiente 𝑚 = −3 y corta el eje 𝑌 en 𝑦 = −5. Escriba la ecuación
de la recta.
Solución. Dados los valores 𝑚 = −3 junto a 𝑦 = −5, entonces se puede escribir directamente
la ecuación como 𝑦 = −3𝑥 − 5. Su gráfica es la siguiente.
9
Ejercicio 13. Halle la ecuación de la recta que pasa por (3, −4) y tiene pendiente 𝑚 = 4.
Opción 2. Dados dos puntos que están sobre la recta.
Ejemplo 4. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (5,1) y (10,7).
Solución. Dados los puntos sobre la recta, la ecuación se determina a través de los siguientes
pasos.
Paso 1. Primero calculas la pendiente

(⏟
5,⏟
1 ) (10
⏟,⏟7)
𝑥2 𝑦2 𝑥1 𝑦1
1−7 −6 6
𝑚= = =
5 − 10 −5 5
6
Paso 2. La pendiente 𝑚=5 se sustituye en la ecuación de la recta
6
𝑦 = (𝑥 − 𝑥1 ) + 𝑦1 (∗)
5
Paso 3. Escoges uno de los puntos, para sustituir en la ecuación (∗). Por ejemplo, se elige
(10
⏟,⏟ 7)
𝑥1 𝑦1
“Dichas coordenadas se reemplazan en la ecuación” (∗).
6
𝑦 = (𝑥 − 10) + 7
5
Paso 4. Falta hallar el valor de 𝑏, realizas el producto y simplificas

6 60 6 6
𝑦= 𝑥− +7 ⇒ 𝑦 = 𝑥 − 12 + 7 ⇒ 𝑦 = 𝑥−5
5 5 5 5
10
Ejercicio 14.
−3 1
Halle la ecuación de la recta que pasa por los puntos ( 2 , −5) y (4, 2).
Opción 3. Dados un punto y la pendiente.
En este caso, se sigue desde el paso 2 de la opción anterior.
Ejercicio 15. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, −5) y tiene
pendiente 𝑚 = 5.
Existe otra forma de representar algebraicamente una recta mediante una ecuación llamada
ecuación general de la recta.
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
Veamos el proceso para convertir una ecuación canónica a una ecuación general y viceversa
6
Ejemplo 5. Convertir la ecuación de la recta 𝑦 = 5 𝑥 − 5 a su ecuación general
Solución. Se procede a igualar a cero, sumando a la derecha primero.

6
𝑦= 𝑥−5
5
6𝑥 5
𝑦= −
5 1
6𝑥 − 25
𝑦=
5
5𝑦 = 6𝑥 − 25
−6𝑥 + 5𝑦 + 25 = 0
La representación de la ecuación general de la recta se puede revertir, despejando la

variable 𝑦 y escribiendo tal ecuación de la forma 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏.
Ejemplo 6.
Convertir la ecuación general de la recta 3𝑥 − 4𝑦 + 12 = 0 a su ecuación canónica.
Solución. Se procede a despejar la variable 𝑦.

−3𝑥 − 12 3
3𝑥 − 4𝑦 + 12 = 0 ⇒ −4𝑦 = −3𝑥 − 12 ⇒ 𝑦= ⇒ 𝑦= 𝑥+3
−4 4
11
Ejercicio 16. Determine si las rectas con ecuaciones generales

5𝑥 − 2𝑦 − 1 = 0
−2𝑥 − 5𝑦 + 7 = 0
son perpendiculares.
Ejercicio 17. Usa el recurso https://www.geogebra.org/m/zxb2k3su para visualizar las

diversas formas de la recta.
GRAFICA DE UN SISTEMA 2X2
Un sistema 2 × 2 consiste en dos ecuaciones con dos incógnitas, que podrían ser nombradas
como 𝑥, 𝑦. Cada una de estas ecuaciones representa una recta. Las posibilidades de solución
del sistema se ven reflejadas geométricamente como dos rectas que se cortan en un punto
(una solución), dos rectas que coinciden (infinitas soluciones) o no se cortan (no tiene
solución). Observa los siguientes ejemplos.
Ejemplo 7. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones y representar gráficamente las

ecuaciones y la solución.
𝑥 − 3𝑦 = 5 (𝐸𝑐. 1)
{
2𝑥 + 3𝑦 = 2 (𝐸𝑐. 2)
Solución: Cada ecuación corresponde a la ecuación general de una recta. Se emplea el

método de sustitución para determinar, si es posible, el conjunto solución.
De la ecuación (𝐸𝑐. 1) se despeja la variable 𝑥 y queda 𝑥 = 5 + 3𝑦 (𝐸𝑐. 3).
Se sustituye esta última expresión en la ecuación (𝐸𝑐. 2) y queda:
2(5 + 3𝑦) + 3𝑦 = 2
10 + 6𝑦 + 3𝑦 = 2
9𝑦 = −8
8
𝑦=−
9
Este valor encontrado, se sustituye en la ecuación (𝐸𝑐. 3) para hallar 𝑥 y queda:
8
𝑥 = 5 + 3 (− )
9
24 21
𝑥 =5− =
9 9
21 8
𝑥 = 9 con el valor de 𝑦 = − 9
21 8
El punto 𝑃 ( 9 , − 9 ) es la solución del sistema, la cual representa el punto de intersección de
las dos rectas. Observa la siguiente gráfica.
12
Ejercicio 18. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales y comprueba la solución
verificando en el recurso https://www.geogebra.org/m/bw9nxn8m la interpretación geométrica.
2𝑥 + 4𝑦 + 1 = 0
a) 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 1 {
−𝑥 + 3𝑦 − 2 = 0
𝑥2 + 𝑦 + 1 = 0
b) 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑛𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 2 {
𝑥 − 5𝑦 + 2 = 0
Otro objeto geométrico de estudio en el plano, es la circunferencia. Una circunferencia es un

conjunto de puntos que equidistan [tienen igual distancia] de un punto llamado centro de la
circunferencia.
ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
Una circunferencia se caracteriza por su centro, que se

denotará (ℎ, 𝑘), y su radio 𝑟. La ecuación
(𝑥 − ℎ )2 + (𝑦 − 𝑘 )2 = 𝑟 2
Es la ecuación canónica de la circunferencia con centro en
(ℎ, 𝑘) y radio 𝑟
Ejemplo 8. Ecuación de la circunferencia de centro (1,4) y radio 𝑟 = 5.
(𝑥 − 1) 2 + (𝑦 − 4)2 = (5)2
(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 4)2 = 25
La siguiente gráfica muestra, la circunferencia anterior.
13
Ejemplo 9. Determinar el centro y radio de la circunferencia a partir de la ecuación

9
(𝑥 + 3 )2 + (𝑦 − 7 )2 =
4
Solución. Se ajusta la ecuación para hacer visible los elementos

3 2
(𝑥 − (−3))2 + (𝑦 − 7)2 = ( )
2
3
En este caso, el centro es (−3,7) y el radio es 𝑟 = 2.
Ejemplo 10. Determine la ecuación de la circunferencia que tiene por diámetro los puntos
(−1,2) y (2, −3).
Solución: El diámetro es el doble del radio. Su punto medio determina el centro de la

circunferencia.
𝑥1 + 𝑥2 𝑦1 + 𝑦2 −1 + 2 2 + (−3) 1 −1
𝑀( , )=( , ) = ( , ) = (0.5, −0.5)
2 2 2 2 ⏟
2 ⏟
2
ℎ 𝑘
2 2
1 1
(𝑥 − ) + (𝑦 − (− )) = 𝑟 2
2 2
2
1 1 2
(𝑥 − ) + (𝑦 + ) = 𝑟 2
2 2
Dos formas de hallar el radio:

Forma 1. Hallar la medida del diámetro y dividir entre 2
(−1
⏟,⏟2 ) y (⏟
2 , −3
⏟)
𝑥1 𝑦1 𝑥2 𝑦2
𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2 = √(2 − (−1))2 + (−3 − 2)2 = √9 + 25 = √34
√34
El diámetro tiene una longitud de √34 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠. El radio es 𝑟 =
2
14
Forma 2. Hallar la distancia del centro al radio

2
1 2 1 2 √34
(𝑥 − ) + (𝑦 + ) = ( )
2 2 2
1 2 1 2 34
(𝑥 − ) + (𝑦 + ) =
2 2 4
34 √34
Significa que el radio tiene medida √ 4 = .
2
1 2 1 2 17
La ecuación de la circunferencia con las condiciones descritas es (𝑥 − 2) + (𝑦 + 2) = .
2
Ejemplo 11. Determinar las coordenadas del centro y el valor del radio de la circunferencia
que tiene por ecuación (𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 4)2 = 16.
Solución. Se ajusta la ecuación a (𝑥 − (−2))2 + (𝑦 − 4)2 = 16 = 𝑟 2 , donde ℎ = −2, 𝑘 = 4 y

𝑟 2 = 16 de donde 𝑟 = 4. Es así que 𝐶 (−2,4) 𝑦 𝑟 = 4.
Ejemplo 12. Determinar las coordenadas del centro y el valor

del radio de la circunferencia que tiene por ecuación 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1.
Solución. La ecuación 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1 se puede escribir como

(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2 = 1
Esto muestra que ℎ = 𝑘 = 0, así, 𝑐(0,0) y 𝑟 = 1 es conocido
como el Circulo unitario.
Ejemplo 13. Determinar las coordenadas del centro y el valor del radio de la circunferencia
que tiene por ecuación (𝑥 + 4)2 + 𝑦 2 = 5.
Solución: De acuerdo a lo explorado con anterioridad, 𝑐 (−4,0) y 𝑟 = √5.
Ejercicio 19. Explora en https://www.geogebra.org/m/rsvgvmsf las formas que adopta la

circunferencia al cambiar los valores del centro y radio.
Ejemplo 14. Dada la ecuación (𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 4)2 = 9, eliminar paréntesis, simplificar e igualar
a cero. Este procedimiento permite encontrar la ecuación general de la circunferencia.
Solución. Se usa producto notable y la simplificación.
(𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 4)2 = 9 ⇒ 𝑥 2 − 4𝑥 + 4 + 𝑦 2 + 8𝑦 + 16 = 9 ⇒ 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 + 8𝑦 + 11 = 0
15
La anterior ecuación se denomina ecuación general de la circunferencia, que a diferencia de

la ecuación canónica (𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 4)2 = 9 no refleja la información del centro y el radio.
✓ Ecuación canónica [muestra centro y radio] (𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 4)2 = 9
✓ Ecuación general [no refleja información] 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 + 8𝑦 + 11 = 0
Ejemplo 15. Determinar si la ecuación 𝑥 2 + 𝑦 2 + 3𝑥 − 5𝑦 + 1 = 0 corresponde a la ecuación

de una circunferencia. En caso de serlo, halla las coordenadas del centro y radio
Solución: ¿Cómo determinar si esta es de circunferencia?

Hay que llevar a cabo el proceso de completación de cuadrados.
𝑥 2 + 𝑦 2 + 3𝑥 − 5𝑦 + 1 = 0
Se asocia las variables 𝑥 con 𝑦, y se suma en ambos lados el “cuadrado de la mitad” de los
coeficientes de las variables tanto de 𝑥 como de 𝑦.
9 25 9 25
𝑥2 + ⏟3 𝑥 + + 𝑦 2 −5⏟ 𝑦+ = −1 + +
2 4 2 4 4 4
3 5
( ) (− )
2 2
9 25 15
(𝑥 2 + 3𝑥 + ) + (𝑦 2 − 5𝑦 + ) =
4 4 2
3 2 5 2 15
(𝑥 + ) + (𝑦 + ) = = 7.5
2 2 2
3 5 15
Al completar cuadrados, queda la expresión anterior, de donde 𝐶 = (− , − ) y 𝑟 = √ .
2 2 2
Ejemplo 16. Hallar el centro y radio de la circunferencia 𝑥 2 + 𝑦 2 + 9𝑥 + 3𝑦 − 4 = 0.
Solución. Procediendo como en el ejemplo anterior:
𝑥 2 + 𝑦 2 + 9𝑥 + 3𝑦 − 4 = 0
9 2 3 2 9 2 3 2
𝑥 2 +9𝑥 + ( ) + 𝑦 2 + 3𝑦 + ( ) = 4 + ( ) + ( )
2 2 2 2
81 9 53
(𝑥 2 + 9𝑥 + ) + (𝑦 2 + 3𝑦 + ) =
4 4 2
2 2
9 3 53
(𝑥 + ) + (𝑦 + ) =
2 2 2
9 3 53
De lo anterior, las coordenadas del centro y radio son 𝑐 (− 2 , − 2) radio 𝑟 = √ 2 .
16
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
1. Etiquete las coordenadas y determine la distancia entre los siguientes pares de puntos:
a. (3, −4) y (−2,5)
1 7
b. (2 , −3) y (2 , 2)
c. (√2},1) y (𝜋, 5)
2. Determine el punto medio del segmento que une los puntos dados a continuación:
a. (3, −4) y (−2,5)
1 7
b. (2 , −5) y (3, 2)
5
c. (1, √3) y (𝜋, 𝑒)
3. Los puntos 𝐴(3, −4) y 𝐵(𝑥, 𝑦) son los extremos de un segmento cuyo punto medio es el
punto 𝑀(−1,2). Halle las coordenadas del punto B. [Sug: Plantee dos ecuaciones]
4. Halle la distancia que existe entre el punto medio del segmento que une los puntos (3,6) y
(5, −2) con el punto (−2, −4).
El Teorema de Pitágoras, relaciona la medida de los lados de un triángulo rectángulo, es decir,

sus catetos y la hipotenusa. Este indica que “La hipotenusa al cuadrado corresponde a la suma
de los cuadrados de los catetos”. Simbólicamente,
ℎ2 = 𝑎2 + 𝑏2
donde 𝑎, 𝑏 son los catetos y ℎ es la hipotenusa.
5. A partir de este teorema, determine si los puntos (2,1), (8,4) y (5,7) correspoden a los
vértices de un triángulo rectángulo.
6. Determine todos los puntos del eje 𝑋 que estén a 3 unidades del punto (3, −2). Puede
visualizar con una gráfica.
7. Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos (1, −3) y (−5,2).
8. Escriba la ecuación de la recta que tiene pendiente 𝑚 = −2 y corte con el eje 𝑌 en 𝑦 = −3.
9. Determine si las rectas con ecuaciones 2𝑥 + 5𝑦 − 1 = 0 y −2𝑥 − 5𝑦 + 7 = 0 son paralelas.
10. La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular que pasa por su punto medio.
Determine la ecuación de la mediatriz del segmento que une los puntos (−3,5) y (4, −2).
11. Determine la ecuación que pasa por el punto (2,3) y es paralela a la recta con ecuación
2𝑥 + 3𝑦 − 1 = 0.
17
12. Determine la ecuación que pasa por el punto (3, −2) y es perpendicular a la recta que pasa
3
por los puntos (− 5 , 2) y (3,6).
13. Responde: ¿Son las rectas con ecuaciones 3𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0 y −2𝑥 + 3𝑦 + 2 = 0

perpendiculares o paralelas?
14. Determine el punto de intersección de las rectas 6𝑥 − 8𝑦 = 1 y −2𝑥 + 7𝑦 − 1 = 0.

Represente finalmente ambas rectas y verifique que la solución coincide con el punto de
intersección de su gráfica.
15. Escriba la ecuación de la circunferencia con las condiciones dadas a continuación:
a) Centro en (3,5) y radio 𝑟 = 3.

b) Centro en (−2,4) y radio 𝑟 = 1. Esta es una circunferencia unitaria.
c) Centro en el origen y radio 4
4
d) Centro en (4, − 5) y radio 𝑟 = √2.
e) Centro en (−3, −4) y radio 𝑟 = 3.
f) Extremos de un diámetro 𝑃(−4,0) y 𝑄(4,0).
g) Tiene centro en (2,1) y pasa por el punto (−4, −10).
16. completar cuadrados, cuando sea necesario, para identificar las coordenadas del centro y
radio de la circunferencia con ecuación dada a continuación:
a. (𝑥 + 3)2 + (𝑦 − 2)2 = 25
b. (𝑥 − 5)2 + 𝑦 2 = 3
c. 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1
d. 𝑥 2 + 𝑦 2 − 3𝑥 + 4𝑦 − 2 = 0
e. 𝑥 2 + 𝑦 2 + 7𝑦 − 3 = 0
f. 𝑥 2 + 𝑦 2 + 5𝑥 + 1 = 0
17. Una recta 𝑙 es tangente a una circunferencia si y sólo si la recta 𝑙 toca a la circunferencia
en un solo punto. Toda recta tangente es perpendicular al radio trazado desde su punto de
tangencia. Determine la ecuación de la recta tangente a la circunferencia en el punto 𝑃,
donde 𝑃(3,2) y 𝑄(6,8) son los extremos de un diámetro.
18. Obtenga una ecuación de la recta tangente al círculo 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25 en el punto (3, −4).
19. El perímetro y área de una circunferencia de radio 𝑟 se determinan a partir de las

expresiónes 𝑃 = 2𝜋𝑟 y 𝐴 = 𝜋𝑟 2 , respectivamente. Halle el perímetro y área de una
circunferencia de centro en el origen y que pasa por el punto (3,6).
1
20. Determine el valor de 𝑇, si la recta que pasa por (−1,1) y (1, 2) es perpendicular a la que
1
pasa por (1, ) y (7, 𝑇).
2
18
21. El área de un rectángulo se determina multiplicando las longitudes de su base y altura.

Trace el rectángulo de vértices 𝐴(1,3), 𝐵(5,3), 𝐶(1, −3) y 𝐷(5, −3) y determine su área.
22. Un triángulo es isósceles si tiene dos lados con igual medida. Demuestre que el triángulo
de vértices 𝐴(0,2), 𝐵(−3, −1), 𝐶(−4,3) es isosceles.
23. Ubique los puntos 𝑀(6,8) y 𝐴(2,3). Si 𝑀 es el punto medio de ̅̅̅̅

𝐴𝐵, determine el punto 𝐵.
24. Determine la ecuación de la circunferencia con centro en (7, −3) y tangente al eje 𝑋.
BIBLIOGRAFÍA
1. Aguilar J. (2017). Matemática: Aprenda, repase. (Primera Edición). Editorial USC.

2. Castaño J, Peña C. (2018). Guía de Razonamiento Matemático. Editorial USC. Tomado de
https://repository.usc.edu.co/handle/20.500.12421/2748
3. Haeussler,, E. (2008). Matemáticas para administración y economía. (13a. Ed.) Pearson Educación.
4. Silva, J. M. (2004). Fundamentos de matemáticas: álgebra, trigonometría, geometría analítica y cálculo.
México: Limusa.
5. Stewart, J., Redlin, L. y Watson, S. (2001). Precálculo (Tercera Edición): Thomson Editores
6. Zill, D. (2012). Álgebra, trigonometría y geometría analítica. (3a. Ed.) McGraw-Hill Interamericana. Zill, D. G.,
Dewar, J. M., Martínez Tellez, A. R., & Carrillo Moreno, S. (2008). Precálculo con avances de cálculo. México:
McGraw Hill.
AL FINALIZAR LA SESIÓN EL ESTUDIANTE ESTARÁ EN CAPACIDAD DE:
Resultados de aprendizaje
RA. Calcula o simplifica expresiones que vincula operaciones entre funciones empleando valores en su dominio.
RA. Determina empleando la solución de ecuaciones e inecuaciones el dominio de funciones reales.
RA. Utiliza propiedades algebraicas para determinar y representar objetos geométricos en el plano cartesiano.
RA. Utiliza funciones polinomicas, racionales y exponenciales, logarítmicas en la interpretación y solución de
problemas en situaciones cotidianas y propios de su área de conocimiento.
Conceptos claves de la sesión
Plano cartesiano Pendiente

Perpendicular Intercepto en 𝑌
Origen de coordenadas Ecuación general de la recta
Coordenadas de un punto Sistema de ecuaciones
Cuadrantes del plano cartesiano Circunferencia
Distancia entre puntos Radio de circunferencia
Punto medio Centro de circunferencia
Rectas paralelas Círculo unitario.
Rectas perpendiculares
Ecuación de la recta
19

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FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS

GUÍA DE TRABAJO No.7

Tema: Plano Cartesiano

a. ¿Sabes cuál es la diferencia entre Calle [CL] y Carrera [Cra]?

c. ¿Existe una diferencia entre la “calle 5 norte” y la “calle 5”?

2. Realiza una copia del dibujo utilizando la cuadricula

4. Responde las siguientes preguntas:

b) ¿Qué es una circunferencia?

MARCON CONCEPTUAL Y PRÁCTICO

𝐴(2, −3), 𝐵(−4, −5),

𝐼(0, −5), 𝐽(4,0)

𝑀(3,3) 𝑁(5, −5)

Explora el siguiente recurso

Conjunto 1. (−1,1), (−1,4), (−5,1), (−5,4).

Conjunto 3. Circulo de centro (−3,3) y el punto 𝐼(−3, −1) sobre la circunferencia.

DISTANCIA ENTRE PUNTOS

La distancia 𝑑(𝑃1 , 𝑃2 ) entre los puntos 𝑃1 (𝑥1 , 𝑦1 ) y

Observa el video de ayuda

Ejercicio 3. Juan y Claudia se encuentran en la misma ciudad, situados en puntos distintos

• Verifique que el punto 𝑃 en la gráfica siguiente se encuentra entre los puntos 𝐴 y 𝐵.

• Se puede verificar que el punto (−1,3) se encuentra entre el punto 𝑃 y el punto 𝐴

• Muestra que (−2,1) no se encuentra entre los puntos 𝐵 y 𝐴.

El punto medio del segmento ̅̅̅̅̅̅

Si 𝑃1 (𝑥1 , 𝑦1 ) y 𝑃2 (𝑥2 , 𝑦2 ) están sobre el plano,

Ejercicio 8. Un triángulo es llamado equilátero si tiene

PENDIENTE DE UNA RECTA

De geometría se sabe que dos puntos cualesquiera

La pendiente de una recta mide su grado de inclinación.

Si 𝑃1 (𝑥1 , 𝑦1 ) y 𝑃2 (𝑥2 , 𝑦2 ) son puntos sobre una recta 𝑙, la

Ejemplo 3: Calcular la pendiente de la recta que pasa

a) 𝐶(−5,1) y 𝐵(2, −3).

Ejercicio 12. Dos rectas 𝑙1 y 𝑙2 con pendientes 𝑚1 y 𝑚2 son perpendiculares cuando el

La ecuación de la recta [Canónica o Ecuación

La ecuación punto pendiente para una recta que

En la ecuación anterior, el valor 𝑚, es la pendiente

Opción 1. Dada la pendiente y el corte con el eje 𝒀

Opción 2. Dados dos puntos que están sobre la recta.

Paso 1. Primero calculas la pendiente

Paso 4. Falta hallar el valor de 𝑏, realizas el producto y simplificas

Opción 3. Dados un punto y la pendiente.

En este caso, se sigue desde el paso 2 de la opción anterior.

Solución. Se procede a igualar a cero, sumando a la derecha primero.

La representación de la ecuación general de la recta se puede revertir, despejando la

Solución. Se procede a despejar la variable 𝑦.

Ejercicio 16. Determine si las rectas con ecuaciones generales

Ejercicio 17. Usa el recurso https://www.geogebra.org/m/zxb2k3su para visualizar las

GRAFICA DE UN SISTEMA 2X2

Ejemplo 7. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones y representar gráficamente las

Solución: Cada ecuación corresponde a la ecuación general de una recta. Se emplea el

De la ecuación (𝐸𝑐. 1) se despeja la variable 𝑥 y queda 𝑥 = 5 + 3𝑦 (𝐸𝑐. 3).

Se sustituye esta última expresión en la ecuación (𝐸𝑐. 2) y queda:

Otro objeto geométrico de estudio en el plano, es la circunferencia. Una circunferencia es un

Una circunferencia se caracteriza por su centro, que se

Ejemplo 8. Ecuación de la circunferencia de centro (1,4) y radio 𝑟 = 5.

La siguiente gráfica muestra, la circunferencia anterior.

Ejemplo 9. Determinar el centro y radio de la circunferencia a partir de la ecuación

Solución. Se ajusta la ecuación para hacer visible los elementos

Solución: El diámetro es el doble del radio. Su punto medio determina el centro de la

Dos formas de hallar el radio: