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    3 Determinante Jacobiano

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    El jacobiano es un determinante que expresa la razón de transformación entre sistemas de coordenadas y se utiliza para calcular áreas de regiones en diferentes coordenadas. Se define como la derivada parcial de las nuevas coordenadas con respecto a las antiguas y permite convertir entre sistemas cartesianos y polares, por ejemplo.

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    El jacobiano es un determinante que expresa la razón de transformación entre sistemas de coordenadas y se utiliza para calcular áreas de regiones en diferentes coordenadas. Se define como la derivada parcial de las nuevas coordenadas con respecto a las antiguas y permite convertir entre sistemas cartesianos y polares, por ejemplo.

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    3 DETERMINANTE JACOBIANO

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    El jacobiano es un determinante que expresa la razón de transformación entre sistemas de coordenadas y se utiliza para calcular áreas de regiones en diferentes coordenadas. Se define como la derivada parcial de las nuevas coordenadas con respecto a las antiguas y permite convertir entre sistemas cartesianos y polares, por ejemplo.

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    DETERMINANTE JACOBIANO

    El jacobiano es un determinante que expresa la razón de transformación entre sistemas


    coordenados. Está relacionado con el cálculo de áreas de regiones en diferentes coordenadas.
    Por ejemplo, una región rectangular puede transformarse en una región polar y viceversa, y
    para esto se requiere de un “factor de conversión”. Este factor de conversión se obtiene a
    partir de la equivalencia de coordenadas de los sistemas involucrados.

    ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
    𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃
    𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃

    De manera general, el determinante jacobiano para la transformación de un sistema en tres


    dimensiones se define como:

    Sistema cartesiano: (𝑥, 𝑦, 𝑧)


    Sistema curvilíneo: (𝑢, 𝑣, 𝑤)

    Equivalencias:
    𝑥 = 𝑥(𝑢, 𝑣, 𝑤) 𝑦 = 𝑦(𝑢, 𝑣, 𝑤) 𝑧 = 𝑧(𝑢, 𝑣, 𝑤)

    Jacobiano:
    𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥
    𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑤 |
    𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧) |𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦
    𝐽= =
    𝜕(𝑢, 𝑣, 𝑤) |𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑤 |
    𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑧
    𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑤

    Para sistemas de dos dimensiones, el jacobiano se reduce a un determinante de 2 × 2

    Por ejemplo, el jacobiano de la transformación de coordenadas cartesianas a coordenadas


    polares es:

    Sistema cartesiano: (𝑥, 𝑦)


    Sistema curvilíneo (polar): (𝑟, 𝜃)
    Equivalencias:
    𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃

    Jacobiano:
    𝜕𝑥 𝜕𝑥
    𝜕(𝑥, 𝑦) 𝜕𝜃| = 𝜕𝑥 𝜕𝑦 − 𝜕𝑥 𝜕𝑦
    𝐽= = | 𝜕𝑟
    𝜕(𝑟, 𝜃) 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑟 𝜕𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝑟
    𝜕𝑟 𝜕𝜃

    A partir de las equivalencias se tiene:

    𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦
    = 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 = −𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑠𝑒𝑛𝜃
    𝜕𝑟 𝜕𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝑟

    Por lo tanto:

    𝐽 = (𝑐𝑜𝑠𝜃)(𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃) − (−𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃)(𝑠𝑒𝑛𝜃)

    𝐽 = (𝑟𝑐𝑜𝑠 2 𝜃) + (𝑟𝑠𝑒𝑛2 𝜃)

    𝐽 = 𝑟(𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2 𝜃)

    𝐽=𝑟

    Área de un círculo:
    2𝜋 𝑟
    𝐴=∫ ∫ 1𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃
    0 0

    𝑟 2𝜋 2
    𝑟2 𝑟
    𝐴= =∫ 𝑑𝜃
    20 0 2

    2𝜋
    𝜃𝑟 2
    𝐴= = 𝜋𝑟 2
    2 0

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