250 Tarea - 1 - TrabajoColaborativo
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Algebra lineal
Estudiante
208046_250
Presentado a
Febrero de 2020
Luis Miguel Cortes Rodríguez
Dados los dos siguientes vectores 2D, encuentre el ángulo entre ellos, luego,
súmelos y halle tanto la magnitud como la dirección del vector resultante.
A. ⃗v =(−5 , 5 ) y ⃗
w =( 1 , 4 )
Desarrollo:
Suma de vectores
tan−1= |49|=66,04 °
∅=2 π−θ
∅=360−66,04 °
∅=293,96°
2 Ejercicio 3: Resolución de problemas básicos sobre vectores en R2 y
R3.
Dados los vectores 3D u⃗ =4 i−2 j−k y ⃗v =4 i−4 j−3 k determine su producto cruz
y calcule el resultado de la siguiente operación:
Suma de vectores:
Resta de vectores:
3 1 2
| |
A= 0 −1 2
−1 3 1
−2 1 2
2 −1 1 3
|
B= 0 −2 0 −4
−1 3 3 0 |
−2 0 1 −1
|
C= 1 −3 2 3
−1 2 0 −2 |
Realizar las siguientes operaciones:
Desarrollo:
2 −1 1 3 −2 0 1 −1 0 −1 2 2
| | | |
B= 0 −2 0 −4 + C= 1 −3 2 3 = ( B+C )= 1 −5 2 −1
−1 3 3 0 −1 2 0 −2 −2 5 3 −2 | |
6 2 4 −2 1 −1 −4 2 −2
2 A= 0
| |
−2
−2 6 2
−4 2 4
4
|
C = 0 −3 2
T
1 2 0
−1 3 −2
| |
2 C = 0 −6 4
T
2 4 0
−2 6 −4
|
6 2 4 −4 2 −2 10 0 6
| | |
−2 6 2
−4 2 4
2 4 0
−2 6 −4
|
2 A= 0 −2 4 −2 CT = 0 −6 4 =2( A−C T )= 0
−4 2
4
−2 −4
| | 0
2
8
10 0 6
0 −1 2 2
|
( B+C )= 1 −5 2 −1 ∗2 ( A−C T ) = 0
−2 5 3 −2 |
−4 2
4
−2 −4
| | 0
2
8
Matriz resultante:
−12 −8 20
R= 4
| −12 2
−28 34 −22 |
2 Ejercicio 5: Resolución de problemas básicos sobre matrices y
determinantes.
−5 2 3
A. A=
|
2 −2 1
−1 2 0 |
Juan Manuel Benavidez
Desarrollo actividad
Ejercicio 1: Conceptualización de vectores, matrices y determinantes.
Literal b.
Vectores en R2 y R3: propiedades de los vectores, operaciones básicas con
vectores.
Ejercicio 2: Resolución de problemas básicos sobre vectores en R2 y R3
Dados los dos siguientes vectores 2D, encuentre el ángulo entre ellos,
luego, súmelos y halle tanto la magnitud como la dirección del vector
resultante.
Descripción Dados los vectores 3D ⃗μ=4 i−2 j−k u⃗ =3i−5 j+3 k y ϑ⃗ =4 i−4 j−3 k
⃗v =−2 i+ 9 j−k determine su producto cruz y calcule el resultado de la siguiente
operación:
8 14
( i+2 j+ 2 k )∗( i− j−5 k )
3 3
Se multiplican las componentes de cada vector:
( v−u ) ∙ ( 53 u−v )=( 1+2+2 )∗( 83 − 143 −5 )
5 8 −14
( v−u ) ∙ ( u−v )=( 1 ) . ( )+ ( 2 ) . (
3 )
+ ( 2 ) . (−5 )
3 3
5 8 28
( v−u ) ∙ ( u−v )= − −10
3 3 3
5 −50
( v−u ) ∙ ( u−v )=
3 3
Ejercicio 4: Resolución de problemas básicos sobre matrices y
determinantes
Dadas las siguientes matrices:
3 1 2 2 −1 1 3 −2 0 1 −1
A=
[ ]
0 −1
−1 3 1
−2 1 2
2
|
B= 0 −2 0 −4
−1 3 3 0 | |
C= 1 −3 2 3
−1 2 0 −2 |
Literal B ( AT +C ) . B T
Literal b
0 12 3
B [
A= 4 2 5
−9 1 −17 ]
Suly Vanessa Valencia
y
Para resolver este ejercicio, pasamos los vectores a su
forma de i y j:
⃗v =(4 i+3 j)
w =(2i+1 j)
⃗
Para encontrar el ángulo que forman los vectores,
utilizamos la fórmula
u⃗ ∗⃗v ⃗u∗⃗v producto punto entre vectores
cosθ= =¿ Donde
|u⃗|∗|⃗v| |u⃗|∗|⃗v| producto de magnitudes de los vectores
Para utilizar esta fórmula debemos primero encontrar la
magnitud de cada vector:
−1 Ay −1 4 −1 2
θ=tan =tan =tan =33,69 °
Ax 6 3
Producto cruz:
Para encontrar el producto cruz entre vectores de r3 utilizamos la
siguiente expresión:
⃗ y 1 z 1 i− x 1 z 1 j+ x 1 y1
⃗μ x ϑ=
[ ] [ ] [
y2 z2 x2 z2 x2 y2]k
⃗ −2 −1 i− 4 −1 j+ 4 −2 k
⃗μ x ϑ= [
−4 −3 4 −3 ] [4 −4 ] [ ]
⃗ ((−2∗−3)−(−4∗−1)) i−( (4∗−3)−( 4∗−1) ) j+ ( (4∗−4)−( 4∗−2) ) k
⃗μ x ϑ=
3 9
4 ( )
(−⃗μ−ϑ⃗ )∗( 2 ⃗μ + ϑ⃗ )= (−6∗12 )+ ∗(−8 ) +(3∗(−5 ))
2
3
(− ⃗μ−ϑ⃗ )∗( 2 ⃗μ + ϑ⃗ )= (−72 )+ (−36 ) +(−15)
4
3
(− ⃗μ−ϑ⃗ )∗( 2 ⃗μ + ϑ⃗ )=−72−36−15=−123
4
Gráfico de geogebra en 3d donde se puede observar que el producto
punto es igual.
Ejercicio 4: Resolución de problemas básicos sobre matrices y
determinantes
D.
Para realizar las operaciones expuestas en el ejercicio, es bueno
encontrar cada uno de las componentes:
Matriz B^t (esto indica que la matriz b es transpuesta):
Matriz de 3*4
Para transponerla, debemos cambiar las filas a columnas y las columnas
a filas creando una nueva matriz de 4*3
2 0 −1
T
B = −1
1
−2
0|
3 −4 0
por 2:
3
3 |
Ahora encontramos la matriz transpuesta multiplicada
3 1 2 4 0 −2
−1 3 1
−2 1 2
2 | || |
A−2 BT = 0 −1 2 − −2 −4 6
0
6 −8 0
6
−2 0 1 −1 4 −2 2 6
|
c +2 B= 1 −3 2 3 + 0 −4 0 −8
−1 2 0 −2 −2 6 6 0 || |
−2+ 4 0+(−2) 1+2 −1+ 6
|
c +2 B= 1+ 0
−1+(−2)
−3+(−4) 2+0 3+(−8)
2+6 0+6 −2+ 0 |
c +2 B=|2 ¿¿3¿5¿1¿−7¿2¿−5 ¿−3¿8¿6 ¿−2¿|
2 −2 3 5 −2 2 −3 −5
| ||
−1 ( c+ 2 B )=− 1 −7 2 −5 = −1 7 −2 5
−3 8 6 −2 3 −8 −6 2 |
Ahora encontramos el producto entre matrices que se pide en el
ejercicio:
−1 1 4
| ||
( A−2 B¿¿ T )∗(−1 ) ( c+2 B )= 2
−3
−8
3 −4 ∗
3 −5
9 2
−2 2 −3 −5
|
−1 7 −2 5 ¿
3 −8 −6 2
13 −27 −23 18
|
( A−2 B¿¿ T )∗(−1 ) ( c+2 B )= −19 57
−12 55
13 31
33 20
−6 89
|
12 −3 ¿
. Compruebe que
. Halle la inversa de la matriz en Geogebra y compruebe los
resultados
−8 1 9
A= 3
| 1 0
8 −7 −8 |
Método de Gauss Jordán
Tomamos la matriz inicial, y seguidamente ponemos la matriz identidad,
esto con el fin de poder hacer las operaciones en la búsqueda de la
matriz inversa:
−8 1 9 1 0 0
| 3 1
8 −7 | |
0 0 1 0 Como vemos es una matriz de 3*3 y su identidad
−8 0 0 1
también lo es.
La idea es convertir la matriz del lado izquierdo en su forma binaria
(unos y ceros):
−1 −9 −1
f 1=
−1
8
f1
|
1
3 1
8
8 −7
| |
8 8
0 0
−8 0
0 0
1 0
0 1
−1 −9 −1
| | |
1 0 0
8 8 8
f 2=f 2−3 f 1
11 27 3
f 3=f 3−8 f 1 0 1 0
8 8 8
0 −6 1 1 0 1
−1 −9 −1
| | |
1 0 0
8 8 8
8
f 2= f2 27 3 8
11 0 1 0
11 11 11
0 −6 1 1 0 1
−9 −1 1
| | |
1 0 0
1 11 11 11
f 1=f 1+ f 2
8 27 3 8
0 1 0
f 3=f 3+6 f 2 11 11 11
173 29 48
0 0 1
11 11 11
−1 1
| | |
−9 0
1 011 11
11
11 3 8
f 3= f3 27 0
173 0 1 11 11
11
29 48 11
0 0 1
173 173 173
8 55 9
| || |
9 173 173 173
f 1=f 1+ f 3 1 0 0
11 24 8 −27
0 1 0 −
27 173 173 173
f 2=f 2− f 3 0 0 1
11 29 48 11
173 173 173
8 55 9
| |
A−1= −
173
24
173
29
173
173
8
173
48
173
173
−27
173
11
173
−8 1 9
|
A= 3 1 0
8 −7 −8 |
Para poder aplicar este método es necesario copiar las dos primeras
filas, y ponerlas en la parte inferior de la matriz, o se copian las dos
primeras columnas y se ponen al final de la matriz, en este caso
elegiremos las dos primeras filas de esta manera:
−8 1 9
| |
3
−8 1
3
1
1
0
A= 8 −7 −8
9
0
−8 1 9
| |3
−8 1
3
1
1
0
detrminante de A= 8 −7 −8 =¿
9
0
( (−8∗1∗−8 ) + ( 3∗−7∗9 ) + ( 8∗1∗0 ) )−( ( 3∗1∗−8 ) + (−8∗−7∗0 )+ ( 8∗1∗9 ) )
Realizamos las operaciones:
|
A= tienda 1
tienda 2
tienda 3
2
8
12
22
15
2
5
12
30
|
La matriz B relaciona los precios de cada tipo de café:
|
A∗B= tienda 1
tienda 2
tienda 3
2
8
12
22
15
2
12
30
||
5 ∗ precio por unidad $ 20000¿cafe tipo2¿ $ 35000¿cafe t ipo 3¿$ 5000¿
¿ |
C= A∗B
C 1=( 2∗$ 20000 ) + ( 22∗$ 35000 ) + ( 5∗$ 5000 )=$ 835000
C 2=( 8∗$ 20000 ) + ( 15∗$ 35000 ) + ( 12∗$ 5000 )=$ 745000
C 3=( 12∗$ 20000 ) + ( 2∗$ 35000 ) + ( 30∗$ 5000 )=$ 460000