ESTADISTICA DESCRIPTIVA E INFERENCIAL

SESION N°13
PRUEBA DE CORRELACION: PEARSON Y SPEARMAN

PRUEBA DE
CORRELACION: PEARSON
Y SPEARMAN
Mg. Fernando Ramos Ramos
CORRELACIÓN ENTRE VARIABLES

El análisis de correlación es un grupo de técnicas estadísticas que permiten

medir la intensidad de la relación que puede existir entre dos variables.

Ejemplos:
• Relación entre los datos de peso y talla de estudiantes de educación
secundaria.
• Relación entre el tiempo de estudio y calidad de profesional.

2
CORRELACIÓN ENTRE VARIABLES

La correlación puede ser:

• De al menos dos variables (dependiente-independiente).

• o de una variable dependiente y dos o más variables independientes

( correlación múltiple).

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CORRELACIÓN ENTRE VARIABLES

• El coeficiente de correlación es un valor cuantitativo de la relación entre dos o

más variables.
• El coeficiente de correlación puede variar desde -1 hasta 1.
• La correlación de proporcionalidad directa o positiva se establece con los
valores +1 y de proporcionalidad inversa o negativa con -1.
• No existe relación entre las variables cuando el coeficiente es cero (0).

-1 Relación negativa 0 Relación positiva 1

No existe relación
Correlación perfecta positiva: rxy = +1 (no común en psicología)
Correlación positiva: 0 < rxy < +1
Correlación perfecta negativa: rxy = -1 (no común en psicología)
Correlación negativa: -1 < rxy < 0
Ausencia de correlación
COEFICIENTES DE CORRELACION DE PEARSON
Coeficiente de Correlación de Pearson “r”

El coeficiente de correlación de Pearson, normalmente denotado como "r", es un

valor estadístico que mide la relación lineal entre dos variables e indica una perfecta
relación lineal positiva o negativa entre ambas variables.
 FÓRMULAS

 XY  XY
rXY  N
Puntuaciones directas
S X SY

rXY 
 xy
Puntuaciones diferenciales
x y 2 2

Puntuaciones estandarizadas rXY 

 Z X ZY
N
EJEMPLO

X: 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Y:1 6 8 10 12 10 12 13 10 22

1. Cálculo de rxy con puntuaciones directas.

2. Cálculo de rxy con puntuaciones diferenciales.
3. Cálculo de rxy con puntuaciones tipificadas.
EJEMPLO

• ¿El valor obtenido como coeficiente de correlación muestra que las

variables X e Y están relacionadas en realidad, o presentan dicha
relación debido al azar?

• Hipótesis nula  H0: rxy = 0. El coeficiente de correlación obtenido

procede de una población cuya correlación es cero (ρXY = 0).
• Hipótesis alternativa  H1: rXY  0. El coeficiente de correlación
obtenido procede de una población cuyo coeficiente de correlación
es distinto de cero (ρXY 0 ).
PRIMER PASO: CÁLCULO DE RXY CON PUNTUACIONES DIRECTAS
Se desea correlacionar dos variables, Tolerancia a la frustración (X) y Resentimiento (Y),
en un grupo de estudiantes de la Facultad de Psicología

X Y XY X2 Y2
2 1 2 4 1
4 6 24 16 36
6 8 48 36 64
8 10 80 64 100
10 12 120 100 144
12 10 120 144 100
14 12 168 196 144
16 13 208 256 169
18 10 180 324 100
20 22 440 400 484
110 104 1390 1540 1342
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 PRIMER PASO: CÁLCULO DE RXY CON PUNTUACIONES DIRECTAS

X
X 
110
 11 Sx 
 X 2

X 
1540
2
 112  5,745
N 10 N 10

Y
 Y 104
  10,4 Sy 
 Y 2
2
Y 
1342
 10,42  5,103
N 10 N 10

 XY  X Y 1390
 11*10,4
rXY  N  10  0,839
S X SY 5,745 * 5,103
SEGUNDO PASO: CÁLCULO DE RXY CON PUNTUACIONES DIFERENCIALES

X X X Y  Y Y
X  11 Y  10,4

X Y x y xy x2 y2
2 1 -9 -9,4 84,6 81 88,36
4 6 -7 -4,4 30,8 49 19,36
6 8 -5 -2,4 12 25 5,76
8 10 -3 -0,4 1,2 9 0,16
10 12 -1 1,6 -1,6 1 2,56
12 10 1 -0,4 -0,4 1 0,16
14 12 3 1,6 4,8 9 2,56
16 13 5 2,6 13 25 6,76
18 10 7 -0,4 -2,8 49 0,16
20 22 9 11,6 104,4 81 134,56
110 104 0 0 246 330 260,4 17
SEGUNDO PASO: CÁLCULO DE RXY CON PUNTUACIONES DIFERENCIALES

rXY 
 xy 
246
 0,839
x y 2 2
330 * 260,4

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TERCER PASO: CÁLCULO DE RXY CON PUNTUACIONES TIPIFICADAS
XX Y Y
ZX  ZY 
SX SY
X  11 S x  5.745 Y  10,4 S y  5,103

X Y Zx Zy ZxZy
2 1 -1,567 -1,842 2,886
4 6 -1,218 -0,862 1,051
6 8 -0,870 -0,470 0,409
8 10 -0,522 -0,078 0,041
10 12 -0,174 0,314 -0,055
12 10 0,174 -0,078 -0,014
14 12 0,522 0,314 0,164
16 13 0,870 0,510 0,443
18 10 1,218 -0,078 -0,096
20 22 1,567 2,273 3,561
110 104 0 0 8,391
TERCER PASO: CÁLCULO DE RXY CON PUNTUACIONES TIPIFICADAS

XX Y Y
ZX  ZY 
SX SY

rXY 
 Z X ZY

8,391
 0,839
N 10
CUARTO PASO: SIGNIFICACIÓN

rXY
Fórmula: t
1 r 2
XY
N 2
Interpretación:

•
t  t ( , N  2 ) Se rechaza la Hipótesis nula. La correlación no procede
de una población cuyo valor ρxy = 0. Las variables están relacionadas.

•
t  t( , N 2)  Se acepta la Hipótesis nula. La correlación procede de
una población cuyo valor ρxy = 0. Las variables no están relacionadas.

t( , N  2 )  0,05  N  2
t( , N  2 )  0,05  10  2  8
t( , N  2 )  2,306
Quinto paso: Significancia estadística: Prueba de hipótesis

Hipótesis Nula (Ho) : No existe relación entre la tolerancia a

la frustración y el resentimiento en los estudiantes de
Psicología.

Ho:  = 0
Hipótesis Alterna (H1) : Existe relación entre la tolerancia a la
frustración y el resentimiento en los estudiantes de
Psicología.

H1:   0
 SEXTO PASO: SIGNIFICACIÓN

rXY 0,839
t   4,37
1  rXY
2
1  0,839 2
N 2 10  2

t( , N 2)  t(0.05,8)  2,306

4,37  2,306
SEPTIMO PASO: CONCLUSIONES
Rechazamos la hipótesis nula con un riesgo (máximo) de equivocarnos de 0,05. La
correlación no procede de una población caracterizada por una correlación de cero.
Ambas variables están relacionadas.
COEFICIENTES DE CORRELACION DE SPEARMAN
COEFICIENTES DE CORRELACION DE SPEARMAN

El coeficiente de correlación de Spearman (rs) es un coeficiente no paramétrico

alternativo al coeficiente de correlación de Pearson cuando este no cumple los
supuestos. Charles Spearman contribuyó al análisis del factor, a la teoría de la
inteligencia, elaboró una prueba de la teoría mental. Se define el coeficiente de
correlación de rangos de Spearman como el coeficiente de correlación lineal.

Es un estadístico basado en rangos, que sirve para determinar si hay asociación

entre dos variables de un mismo sujeto.

Permite identificar si dos variables se relacionan en una función monótona (es decir,
cuando un número aumenta, el otro también o viceversa). Se emplea cuando una o
ambas escalas de medidas de las variables son ordinales.
PLANTEAMIENTO DE LAS HIPOTESIS:

• Ho: No existe asociación entre las dos variables.

• Ha: Existe una relación o asociación entre las dos variables.

PROCEDIMIENTO:

• Se asignan rangos en la variable X y en la variable Y, de manera independiente.

• Se determinan las diferencia entre los rangos (di). di=Xi-Yi

• Se eleva al cuadrado cada di y luego se suman los resultados, para reemplazar

en la siguiente formula:

6 *  di
2

rS  1  2
n n
REGLA DE DECISION:

Si rs es mayor o igual al valor de tabla, se rechaza la hipótesis nula es decir

si hay correlación o asociación entre las dos variables.

Para comprobar la significación estadística del índice de correlación se consulta en

la tabla correspondiente el valor crítico de rs para n pares de datos, para p=0.05 o
inferior y para el número de colas acorde con la hipótesis.

Si rs cal > rs crít : se rechaza H0.

EJERCICIO:
PRIMER PASO:
Se desea correlacionar la autoestima y la dependencia emocional en
estudiantes universitarios

Estudiante Rango
Autoestima Dependencia
emocional
1 2 3
2 6 4
3 5 2
4 1 1
5 10 8
6 9 11
7 8 10
8 3 6
9 4 7
10 12 12
11 7 5
12 11 9
SEGUNDO PASO:
Se obtiene la diferencia (di) y posteriormente la diferencia al cuadrado DI2

Estudiante Rango
Autoestima Dependencia di di2
emocional
1 2 3 -1 1
2 6 4 2 4
3 5 2 3 9
4 1 1 0 0
5 10 8 2 4
6 9 11 -2 4
7 8 10 -2 4
8 3 6 -3 9
9 4 7 -3 9
10 12 12 0 0
11 7 5 2 4
12 11 9 2 4
s
TERCER PASO:

6 *  di
2
6(52)
rS  1  2 rs  1   0.82
n n (12) 2  12

rscal  10.82 rscrit  0.587

rscal  rscrit 10.82  0.587

Si rscal > rscrít : se rechaza H0

Como el valor de la tabla p=0.587 es menor que el rs se rechaza la hipótesis

nula, hay relación entre la autoestima y la dependencia emocional entre los
estudiantes universitarios.
EJERCICIO:
Se dese correlacionar dos variables en profesionales de la salud como es la frustración y
resentimiento: Calcular la correlación de Pearson sabiendo que la distribución es normal.
Calcular Spearman si la distribución no es normal, con una confianza de 95% bilateral.

Sujeto Frustración Resentimiento

1 6 5
2 5 3
3 7 4
4 10 8
5 2 1
6 4 6
7 9 10
8 1 2
9 11 9
10 4 7
11 8 11
12 12 12
13 4 5
14 10 9
15 3 5